資源簡介

貴州省2025年中考適應性考試數學卷
1．（2025·貴州模擬）下列有理數中最小的數是（　　）
A．5 B．0 C． D．
2．（2025·貴州模擬）下面幾何體中，主視圖是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·貴州模擬）計算的結果是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·貴州模擬）如圖，四邊形是“垃圾入桶”標志中垃圾桶的平面示意圖，，若，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·貴州模擬）小紅在一次測試中每個小題平均用時分鐘，則她答完個小題共需要的時間是（　　）
A．分鐘 B．分鐘 C．分鐘 D．分鐘
6．（2025·貴州模擬）小星計劃五一假期來貴州游玩，他打算從“黃果樹”“小七孔”“西江苗寨”“赤水”“萬峰林”“梵凈山”這6個景點中隨機選擇一個，則選中“黃果樹”的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·貴州模擬）如圖，在矩形中，對角線與相交于點，則下列結論一定正確的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·貴州模擬）不等式組的解集是（　　）
A． B．
C．或 D．
9．（2025·貴州模擬）如圖，在軸，軸上分別截取，使，再分別以點，為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點．若點的坐標為，則的值為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025·貴州模擬）方程的解是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·貴州模擬）如圖①是第14屆數學教育大會會標，中心圖案來源于我國古代數學家趙爽的“弦圖”．如圖②所示的“弦圖”是由4個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的邊長為的長為6，則小正方形的邊長為（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
12．（2025·貴州模擬）已知正三角形的邊長為是邊上的一點（不與端點重合），過作邊的垂線，交于，設，的面積為，則關于的函數圖象為（　　）
A． B．
C． D．
13．（2025·貴州模擬）因式分解： 　 　．
14．（2025·貴州模擬）在一個不透明的盒子中有3個紅球、若干個白球，這些球除顏色外都相同．從中隨機摸出1個球，記下顏色后放回．通過大量重復摸球試驗后發現，摸到紅球的頻率穩定在左右，則盒子中球的總個數大約是　 　．
15．（2025·貴州模擬）關于的一元二次方程有兩個不相等的實根，則的取值范圍是　 　．
16．（2025·貴州模擬）如圖，在中，，，．平分交于點，點為上一點，連接，將沿方向平移到，連接，則的最小值為　 　．
17．（2025·貴州模擬）（1）計算：；
（2）下面是小紅同學分式化簡的過程，請認真閱讀并完成相應任務．
第一步 第二步 第三步 第四步
第___________步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是___________；
請寫出化簡該分式的正確過程．
18．（2025·貴州模擬）今年春節檔期全國總觀影人次超億，總票房超80億元．以下是甲、乙兩部影片一周上映的觀影人次信息．根據圖中信息，回答下列問題：
兩部影片觀影人次折線統計圖
（1）甲影片觀影人次的眾數為______萬人；乙影片觀影人次的中位數為_______萬人．
（2）下列說法正確的是______（填序號）
①甲影片的觀影人次逐日增加；
②周日甲影片與乙影片的觀影人次差值最大；
③乙影片觀影人次比甲影片觀影人次更穩定；
④甲影片的日平均觀影人次低于乙影片的日平均觀影人次．
（3）根據甲、乙兩部影片累計觀影人次統計數據，判斷甲、乙兩部影片受歡迎的程度并提出一條合理化的建議．
19．（2025·貴州模擬）如圖，是兩張疊放在一起的矩形紙片．分別過點A作于于，且．
（1）判斷四邊形的形狀，并說明理由；
（2）若為的中點，連接，求的面積．
20．（2025·貴州模擬）如圖，將等腰直角三角形的一條直角邊放在軸上，點，斜邊與反比例函數交于點．
（1）求的值；
（2）若在該反比例函數上有一點，過作軸的平行線，分別交于點．當時，求點的坐標．
21．（2025·貴州模擬）如圖是古代一位將軍在一次護城戰役中的布陣圖，在城池的周圍分布甲，乙兩種類型的哨所．若每個哨所至少要有一人，同類型哨所的人數相同，城池周圍每條邊上三個哨所的人數和都為11人．
（1）若六個哨所的總人數為21人，求甲，乙兩種類型每個哨所的人數；
（2）假設每個甲型哨所的人數為，請用含的代數式表示六個哨所的總人數，并求出六個哨所總人數最大值與最小值及相應的的值．
22．（2025·貴州模擬）如圖，小星利用自己的身高想要測量水平操場上旗桿的高度，請幫助小星按下列任務設計一種測量方案：
任務一：你選取的工具是___________（可選工具：小鏡子、標桿、皮尺）；
任務二：請在圖中畫出方案示意圖；
任務三：結合你畫的示意圖，從以下測量數據中選取合適的數據，求出旗桿的高度（結果保留整數）．
測量數據：①小星與旗桿的距離為，②小星到鏡子的距離為，③鏡子到旗桿的距離為，④同一時刻，小星的影長為，旗桿的影長為，⑤小星的身高為（眼睛到頭頂的距離忽略不計），⑥標桿長，⑦小星與標桿的距離為．
23．（2025·貴州模擬）如圖，內接于，過點作的切線交的延長線于，連接交于點，連接．
（1）求證；
（2）探究與的數量關系，并說明理由；
（3）若，求的半徑．
24．（2025·貴州模擬）如圖①是某小區設計的一個車棚，其截面如圖②所示，頂棚是拋物線的一部分，垂直于地面，且，以所在的直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，頂棚拋物線滿足函數關系式（為常數，）．
（1）求頂棚拋物線的函數關系式；
（2）小星想駕駛一輛高為，寬為的貨車進入車棚．通過計算判斷他能駕駛這輛車進入車棚嗎？
（3）如圖③，為使車棚更加穩固，需增加鋼筋進行加固．在頂棚之間拋物線上有兩個點和（不與點重合）．它們的橫坐標分別為，連接，．設點與點之間部分（含點和點）的最高點與最低點的縱坐標的差為，點與點之間部分（含點和點）的最高點與最低點的縱坐標的差為，當時，求出的值．
25．（2025·貴州模擬）勞動課上，同學們創造性地選用鐵皮代替鍋來烙一塊與鐵皮形狀、大小相同的餅．
（1）【操作發現】
小紅找到一塊如圖①的等腰三角形的鐵皮，餅烙好一面后將其翻身，這塊餅正好落在“鍋”中，利用的數學原理是___________；
A．三角形的穩定性 B.等腰三角形是軸對稱圖形 C.三角形內角和等于
（2）【思考操作】
如圖②，小紅找到一塊直角三角形的鐵皮．如果餅烙好一面后將其翻身，那么這塊餅不能正好落在“鍋”中．小紅將餅切了一刀，然后將兩小塊都翻身，結果餅就能正好落在“鍋”中，請你在圖中作出“切痕”（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（3）【拓展延伸】
如圖③，小星拿到一塊既不是等腰三角形也不是直角三角形的鐵皮．小星只切3刀，也能使餅翻身后，正好落在“鍋”中．用兩種不同方法畫出“切痕”，寫出切割的依據；
如圖④，小星最后拿到一塊凸四邊形鐵皮．他能否在四邊形內部取一點，使切法滿足．讓烙餅翻身仍能正好落在“鍋”中？寫出推理過程．
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】有理數的大小比較-直接比較法
【解析】【解答】解：，
最小的數是，
故答案為：D．
【分析】本題考查了有理數的大小比較，根據有理數的大小比較法則：正數大于0，0大于負數，正數大于負數；兩個負數相比較，絕對值大的反而小，據此直接得到答案.
2．【答案】B
【知識點】簡單幾何體的三視圖
【解析】【解答】解：A、主視圖是矩形，故A不符合題意；
B、主視圖是三角形，故B符合題意；
C、主視圖是梯形，故C不符合題意；
D、主視圖是圓，故D不符合題意；
故答案為：B．
【分析】本題考查了主視圖的定義，從正面觀察幾何體，得出主視圖是三角形的即可．
3．【答案】B
【知識點】同底數冪的除法
【解析】【解答】解：a6÷a2=a4，
故答案為：B．
【分析】直接利用同底數冪的除法運算法則：同底數冪相除，底數不變，指數相減，據此即可求解.
4．【答案】A
【知識點】兩直線平行，同旁內角互補
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：A．
【分析】本題考查了平行線的性質，根據兩直線平行，同旁內角互補即可求解.
5．【答案】D
【知識點】用代數式表示實際問題中的數量關系
【解析】【解答】解：∵小紅在一次測試中每個小題平均用時3分鐘，
∴她答完個小題共需要的時間是分鐘，
故答案為：D．
【分析】此題考查了列代數式，由每個小題的平均用時求她答完個小題共需要的時間．
6．【答案】A
【知識點】簡單事件概率的計算
【解析】【解答】解：∵小星打算從“黃果樹”“小七孔”“西江苗寨”“赤水”“萬峰林”“梵凈山”這6個景點中隨機選擇一個，
∴供選擇的景點有6種等可能的情況，他選中“黃果樹”的情況有1種，
∴選中“黃果樹”的概率為，
故答案為：A．
【分析】本題考查了簡單事件的概率，根據“概率=所求情況數與總情況數之比”解答即可．
7．【答案】C
【知識點】矩形的性質
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
故答案為：C．
【分析】根據矩形的性質：對角線相等且互相平分，對邊平行且相等，逐項進行判斷即可求解.
8．【答案】A
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：，
∴不等式組的解集為，
故答案為：A．
【分析】本題考查不等式組的解集，根據口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了”得不等式組的解集.
9．【答案】C
【知識點】角平分線的性質；點的坐標與象限的關系；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【解答】解：根據畫圖可知：點P在的角平分線上，
∴點P到x軸和y軸的距離相等，
∵點P的坐標為，
∴，
解得：．
故答案為：C．
【分析】根據角平分線的作圖可知點P在的角平分線上，然后根據角平分線的性質可知點P到x軸和y軸的距離相等，即可得關于a的方程，解方程求解即可．
10．【答案】C
【知識點】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴方程兩邊同乘，得，
∴，
∴
解得：，
檢驗：當時，，
∴原分式方程的解為，
故答案為：C．
【分析】首先去分母，把分式方程整理成整式方程，再解整式方程得到x的值，檢驗x的值是否為分式方程的增根，即可得出答案．
11．【答案】D
【知識點】勾股定理；“趙爽弦圖”模型
【解析】【解答】解：根據題意，得為直角三角形，，，
∴，
∴，
故答案為：D．
【分析】本題考查了勾股定理的應用，利用勾股定理求得的值，最后求的值即可求解.
12．【答案】B
【知識點】等邊三角形的性質；動點問題的函數圖象；二次函數的實際應用-幾何問題；解直角三角形—邊角關系
【解析】【解答】解：∵正三角形的邊長為1，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵的面積為，
∴，
∵是邊上的一點（不與端點重合），
∴，
∴，
∴根據解析式和的取值范圍可知B正確，
故答案為：B．
【分析】根據等邊三角形性質得，，然后解直角三角形得，，利用三角形面積求出函數解析式，接下來由是邊上的一點（不與端點重合）求出的取值范圍，最后由解析式以及的取值范圍即可判斷．
13．【答案】
【知識點】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解： ．
故答案為： ．
【分析】因式分解：把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，根據定義求解。
14．【答案】15
【知識點】利用頻率估計概率
【解析】【解答】解：根據題意，得盒子中球的總個數大約是3÷20%=15（個），
故答案為：15．
【分析】本題考查了用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發生的頻率固定在某個位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，則可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率，利用紅球個數除以摸到紅球的頻率，可估計出球的總數.
15．【答案】
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵關于的一元二次方程有兩個不相等的實根，
，
解得：，
故答案為：．
【分析】先將方程化為一般式，根據一元二次方程根的判別式：①當時，方程有兩個不相等的實數根；②當時，方程有兩個相等的實數根；③當時，方程沒有實數根，據此得關于m的方程，解方程即可求解.
16．【答案】
【知識點】垂線段最短及其應用；角平分線的性質；含30°角的直角三角形；勾股定理；平移的性質
【解析】【解答】解：如圖，過點的線段，且，過點作于，過點作于，過點作于，
∴，，
∵點是在線段上移動的，將沿方向平移到，
∴點的軌跡是在過點且平行于的線段上移動，
∴當時，的長為的最小值，
∵，，，
∴，，
∴，
∵平分，，，
∴，，
設，則，
∴，
解得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值為，
故答案為：．
【分析】過點的線段，且，過點作于，過點作于，過點作于，得，，根據點的運動軌跡以及圖形平移的性質得點的軌跡是在過點且平行于的線段上移動，于是有當時，的長為的最小值，然后利用含30°的直角三角形的性質以及勾股定理得，的值，根據角平分線的性質和定義得，，設，則，可得，得到的值，進而由得的值，最后利用面積法以及三角形面積公式得的值，最后求的值即可.
17．【答案】解：（1）原式
；
（2）①二；括號前面是負號，去括號沒有變號；
②
．
【知識點】分式的混合運算；零指數冪；整數指數冪的運算
【解析】【解答】解：（2）①根據分式的運算可知，第二步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是括號前面是負號，去括號沒有變號，
故答案為：二；括號前面是負號，去括號沒有變號.
【分析】（1）先根據有理數的乘方、有理數的絕對值、零指數冪進行化簡，然后計算加法即可；
（2）根據分式的運算，去括號要注意括號前面是負號的時候要變號，據此直接得到答案；
②根據分式的運算法則進行求解即可．
18．【答案】（1）45.2，61.4；
（2）②③；
（3）解：根據甲、乙兩部影片數據可知，甲影片在累計觀影人次、觀影人次眾數、周平均觀影人次等方面表現更優，更受歡迎，故建議多安排甲影片的播放次數．
【知識點】折線統計圖；分析數據的集中趨勢（平均數、中位數、眾數）
【解析】【解答】解：（1）∵甲影片觀看的人數為45.2萬人的有兩天，天數最多，
∴甲影片觀影人次的眾數為45.2萬人；
將乙影片周一到周日觀影人次從小到大進行排列為：47.3，51.3，57.3，61.4，64.2，65.6，70.9，
∴乙影片觀影人次的中位數為61.4萬人，
故答案為：45.2，61.4；
（2）解：①根據折線統計圖可知，甲影片的觀影人次沒有逐日增加，故①錯誤；
②周一：61.4-50.5=10.9（萬人），
周二：70.9-45.2=25.7（萬人），
周三：63.4-51.3=12.1（萬人），
周四：89.6-65.6=24（萬人），
周五：82.6-57.3=25.3（萬人），
周六：64.2-45.2=19（萬人），
周日：95.8-47.3=48.5（萬人），
∴10.9<12.1<19<24<25.3<25.7<48.5，
∴周日甲影片與乙影片的觀影人次差值最大，故②正確；
③根據折線統計圖可知，乙影片觀影人次比甲影片觀影人次波動小，
∴乙影片觀影人次比甲影片觀影人次更穩定，故③正確；
④甲影片的日平均觀影人次為：（萬人），
乙影片的日平均觀影人次為：（萬人），
，
∴甲影片的日平均觀影人次高于乙影片的日平均觀影人次，故④錯誤；
故答案為：②③.
【分析】（1）根據眾數和中位數的定義進行求解；
（2）①根據折線統計圖直接判斷該說法錯誤；②求出每一天觀影人次的差值，進行比較后可判斷②正確；③根據折線統計圖直接可判斷③正確；④分別求出甲乙影片的平均觀影人次，進行比較后可判斷④錯誤；
（3）根據眾數和平均數的意義進行求解．
（1）解：甲影片觀看的人數為萬人的有兩天，天數最多，
∴甲影片觀影人次的眾數為萬人；
乙影片周一到周日觀影人次從小到大排列為：，則乙影片觀影人次的中位數為萬人；
（2）解：①根據折線統計圖，甲影片的觀影人次沒有逐日增加，故預案說法錯誤；
②周一：（萬人），
周二：（萬人），
周三：（萬人），
周四：（萬人），
周五：（萬人），
周六：（萬人），
周日：（萬人），
則周日甲影片與乙影片的觀影人次差值最大，故原說法正確；
③根據統計圖，乙影片觀影人次比甲影片觀影人次波動小，則乙影片觀影人次比甲影片觀影人次更穩定，故原說法正確；
④甲影片的日平均觀影人次為：（萬人），
乙影片的日平均觀影人次為：（萬人），
，
甲影片的日平均觀影人次高于乙影片的日平均觀影人次，故原說法錯誤；
故答案為：②③；
（3）解：根據甲、乙兩部影片數據可知，甲影片在累計觀影人次、觀影人次眾數、周平均觀影人次等方面表現更優，更受歡迎．
建議：多安排甲影片的播放次數．
19．【答案】（1）解：四邊形是菱形，理由如下：
∵，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
∴四邊形是菱形；
（2）解：如圖，連接，，過作于，
為中點，，
∴垂直平分，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，
，
為等邊三角形，
，
∵，，
∴，，
由（1）得，
∴，
，
，
為等邊三角形，
∵，
∴，
∴，
的面積為．
【知識點】三角形的面積；等邊三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質；菱形的判定與性質；矩形的性質
【解析】【分析】（1）根據矩形的性質得，，推出四邊形是平行四邊形，然后根據平行四邊形對角相等得到，由垂直的定義得，于是證出，得，最后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形得證四邊形是菱形；
（2）連接，，過作于，根據線段垂直平分線的性質、菱形的性質得，判定是等邊三角形，得，從而得，，進而結合全等三角形的性質得，于是有，判定是等邊三角形，然后由等邊三角形的性質得到，利用勾股定理求出，最后利用三角形面積公式即可求出的面積．
（1）解：四邊形是菱形．
理由如下：
由題意可知：，，
四邊形是平行四邊形，
．
，
．
在和中，
．
．
平行四邊形是菱形；
（2）連接．
為中點，，
∴，
∵平行四邊形是菱形；
∴，
．
為等邊三角形．
，．
，
．
為等邊三角形．
∴，
過E作于H
∴，
，
的面積為．
20．【答案】（1）解：∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
設直線的函數表達式為，
將，代入表達式，得，
解得：，
∴直線的函數表達式為，
將代入，得，
∴，代入，得；
（2）解：設，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
將代入，得，
∴，
∵在反比例函數上，
∴，
，
解得：，（舍去），
．
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根據等腰直角三角形的性質以及點，的坐標求出點的坐標，然后利用待定系數法求出直線的函數表達式，從而得點的坐標，進而求出的值；
（2）設，，根據可得，根據點在直線上可得，由點在反比例圖像上可得，于是得關于的方程，解方程即可求解．
（1）解：設直線的函數表達式為，
，，是等腰直角三角形，
，
則，
，
解得，
直線的函數表達式為，
在上，
，
，
則；
（2）解：設，，
，
，則，則，
將代入得，，即，
在反比例函數上，
，
，
解得，（舍），
．
21．【答案】（1）解：設每個甲哨所有人，每個乙哨所有人，
根據題意，得，
解得：，
∴每個甲哨所有4人，每個乙哨所有3人；
（2）解：設六個哨所的總人數為人，
∵每個甲型哨所的人數為，城池周圍每條邊上三個哨所的人數和都為11人，
∴每個乙型哨所的人數為人，
又∵每個哨所至少要有一人，
∴，
∴，
根據題意，得，
隨的增大而減小，
當時，最大值為，當時，最小值為，
∴當時，哨所總人數的最大值是30人，當時，哨所總人數的最小值是18人．
【知識點】二元一次方程組的其他應用；一元一次不等式組的應用；一次函數的其他應用
【解析】【分析】（1）設每個甲哨所有人，每個乙哨所有人，根據“六個哨所的總人數為21人，且2個甲哨所和1個乙哨所的人數和為11人”即可得出關于，二元一次方程組，解方程組即可求解；
（2）設六個哨所的總人數為人，根據每個甲哨所的人數為人，得到每個乙型哨所的人數為人，然后由每個哨所至少要有一人得關于的不等式組，解不等式組得關于的取值范圍，最后將六個哨所有人數相加即可得出關于的一次函數關系式，利用一次函數的性質即可解決最值問題．
（1）解：設每個甲哨所有人，每個乙哨所有人，
根據題意列方程得：，
解得，
答：每個甲哨所有4人，每個乙哨所有3人；
（2）解：設六個哨所的總人數為人，
∵每個甲型哨所的人數為，城池周圍每條邊上三個哨所的人數和都為11人，
∴每個乙型哨所的人數為人，
又每個哨所至少要有一人，
∴，
∴，
∴，
隨的增大而減小，
當時，最大值，當時，最小值，
答：當時，哨所總人數的最大值是30人，當時，哨所總人數的最小值是18人．
22．【答案】解：任務一：①皮尺；②小鏡子、皮尺；③標桿、皮尺；（答案不唯一）
任務二：示意圖1或圖2或圖3均可；（答案不唯一）
任務三：（答案不唯一）如圖3，選取測量數據：①，⑤，⑥，⑦，
根據題意，得，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
∴學校旗桿的高度約為．
【知識點】相似三角形的應用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】任務一：根據測量需要選擇即可；
任務二：根據題意畫圖即可；
任務三：選取測量數據①，⑤，⑥，⑦，然后根據相似三角形的判定推出，從而由相似三角形對應邊成比例的性質得，進而代入數據可求出的值，最后可求出旗桿的高度的值，并把 結果保留整數即可．
23．【答案】（1）解：，
，
，
，
過點作的切線交的延長線于，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
由（1）得，
，
，
又，
，
，
；
（3）解：如圖②，過點作于點，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
，
，，
，
又∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
.
【知識點】圓周角定理；切線的性質；正切的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】（1）根據圓周角定理得，然后結合等腰三角形”等邊對等角“性質以及三角形內角和定理得，根據切線的性質可得，于是得；
（2）由（1）得，從而證明，進而可得，最后變形即可；
（3）過點作于點，先證出是等腰直角三角形，求出，然后再證明，結合正切的定義，得的值，從而得的值，進而得的值.
（1）解：如圖①，，
．
，
．
為切線，
．
．
（2）解：，理由見解析：
由（1）得，
，
又，
．
．
．
（3）解：如圖②，過點作于點，
∵．
．
，
，
，
又，
∴，
．
．
．
．
24．【答案】（1）解：∵，
∴，代入得，
解得：，
∴頂棚拋物線的函數關系式為：；
（2）解：如圖，過作于點，
∵頂棚拋物線的函數關系式為：，
∴拋物線對稱軸為直線，
∵車身的寬為，
∴車身一端點的坐標為，
將代入，得，
∴，
∴小星能將車開進車棚；
（3）解：在拋物線之間，，
且，
，
，
，
①當都在對稱軸的左側時，
∴，
，
，
，
（舍去）；
②當在對稱軸的左側，點在對稱軸上或右側時，
∴，且，
，
，
，
（舍去），（舍去），
綜上所述，當時， ．
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數y=ax²+bx+c的圖象；二次函數y=ax²+bx+c的性質；二次函數的實際應用-拱橋問題
【解析】【分析】（1）根據題意得的坐標，然后利用待定系數法求解即可；
（2）過作于點，先求出拋物線的對稱軸，然后得車身一端點的坐標為，將代入拋物線解析式得此時的值，進行比較即可確定能將車開進車棚；
（3）根據在拋物線之間求出的取值范圍，得坐標，于是得用含的算式表示的值，然后分兩種情況討論：①當都在對稱軸的左側時，②當在對稱軸的左側，點在對稱軸上或右側時，最后結合函數圖象，根據二次函數的性質求解即可．
（1）解：由題意得，，
將分別代入得
，
解得：，
頂棚拋物線的函數關系式為：；
（2）解：如圖，
∵對稱軸為直線：，
車身的寬為，
車身一端點的坐標為，
過作于點，
將代入
得
即，
小星能將車開進車棚；
（3）解：在拋物線之間，
且，
，
．
①當都在對稱軸的左側時，
則，
∴
，
（舍）．
②當在對稱軸的左側，點在對稱軸上或右側時，
則，且，
，
，
（舍），（舍）
綜上所述：．
25．【答案】（1）B；
（2）解：如圖②，即為所求：
（3）解：如圖③-1所示，過點作于，作的垂直平分線交于點，作的垂直平分線交于點，
∴，
∴，，，是等腰三角形，都是軸對稱圖形，
∴將每一個三角形都翻身，及將每一塊烙餅都翻身，就能使烙餅仍能正好落在“鍋”中；
如圖③-2所示，分別作的垂直平分線交于點，連接，
∴，
∴是等腰三角形，都是軸對稱圖形，
∴將每一個三角形都翻身，及將每一塊烙餅都翻身，就能使烙餅仍能正好落在“鍋”中；
如圖④，假設點P存在，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，與題干矛盾，
∴不能在四邊形內部取一點，使切法滿足．
【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的判定與性質；軸對稱的性質；尺規作圖-垂直平分線；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】解：（1）如圖①的等腰三角形的鐵皮，餅烙好一面后將其翻身，這塊餅正好落在“鍋”中，利用的數學原理是等腰三角形是軸對稱圖形，
故答案為：B.
【分析】（1）根據軸對稱圖形的性質進行求解；
（2）餅正好落在“鍋”中，即餅翻折以后與原來的圖形重臺， 則鐵鍋的形狀翻折以后與原來的圖形重合，是軸對稱圖形，故作出斜邊上的垂直平分線交于點，連接，根據垂直平分線的性質以及直角三角形斜邊上的中線性質可得，于是有都是等腰三角形，都是軸對稱圖形；
（3）根據題意可知等腰三角形的餅翻身后能與本身重合，如圖③-1，過點作于，作的垂直平分線交于點，作的垂直平分線交于點，根據直角三角形斜邊上的中線性質得，，，是等腰三角形，翻身后與本身重合；
如圖③-2，分別作的垂直平分線交于點Q，連接，由線段垂直平分線的性質得是等腰三角形，翻身后與本身重合；
如圖④，假設點P存在，然后利用等腰三角形”等邊對等角“的性質結合四邊形內角和即可證明結論．
（1）解：如圖①的等腰三角形的鐵皮，餅烙好一面后將其翻身，這塊餅正好落在“鍋”中，利用的數學原理是等腰三角形是軸對稱圖形，
故答案為：B；
（2）解：由操作發現：餅正好落在“鍋”中，即餅翻折以后與原來的圖形重臺，則鐵鍋的形狀翻折以后與原來的圖形重合，是軸對稱圖形．
作出斜邊上的垂直平分線交與點，連接，
則，
∴都是等腰三角形，都是軸對稱圖形，
如圖②所示為所求：
（3）解：如圖③所示，作于D，平分，平分，分別交和于點E，F，
根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，
得，，，是等腰三角形，
則將每一個三角形都翻身，及將每一塊烙餅都翻身，就能使烙餅仍能正好落在“鍋”中；
如圖③所示，分別作的垂直平分線交于點Q，連接，
則，
得是等腰三角形，
則將每一個三角形都翻身，及將每一塊烙餅都翻身，就能使烙餅仍能正好落在“鍋”中；
如圖④，假設點P存在，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴與題干矛盾，
∴不能在四邊形內部取一點，使切法滿足．
1 / 1貴州省2025年中考適應性考試數學卷
1．（2025·貴州模擬）下列有理數中最小的數是（　　）
A．5 B．0 C． D．
【答案】D
【知識點】有理數的大小比較-直接比較法
【解析】【解答】解：，
最小的數是，
故答案為：D．
【分析】本題考查了有理數的大小比較，根據有理數的大小比較法則：正數大于0，0大于負數，正數大于負數；兩個負數相比較，絕對值大的反而小，據此直接得到答案.
2．（2025·貴州模擬）下面幾何體中，主視圖是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】簡單幾何體的三視圖
【解析】【解答】解：A、主視圖是矩形，故A不符合題意；
B、主視圖是三角形，故B符合題意；
C、主視圖是梯形，故C不符合題意；
D、主視圖是圓，故D不符合題意；
故答案為：B．
【分析】本題考查了主視圖的定義，從正面觀察幾何體，得出主視圖是三角形的即可．
3．（2025·貴州模擬）計算的結果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】同底數冪的除法
【解析】【解答】解：a6÷a2=a4，
故答案為：B．
【分析】直接利用同底數冪的除法運算法則：同底數冪相除，底數不變，指數相減，據此即可求解.
4．（2025·貴州模擬）如圖，四邊形是“垃圾入桶”標志中垃圾桶的平面示意圖，，若，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】兩直線平行，同旁內角互補
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：A．
【分析】本題考查了平行線的性質，根據兩直線平行，同旁內角互補即可求解.
5．（2025·貴州模擬）小紅在一次測試中每個小題平均用時分鐘，則她答完個小題共需要的時間是（　　）
A．分鐘 B．分鐘 C．分鐘 D．分鐘
【答案】D
【知識點】用代數式表示實際問題中的數量關系
【解析】【解答】解：∵小紅在一次測試中每個小題平均用時3分鐘，
∴她答完個小題共需要的時間是分鐘，
故答案為：D．
【分析】此題考查了列代數式，由每個小題的平均用時求她答完個小題共需要的時間．
6．（2025·貴州模擬）小星計劃五一假期來貴州游玩，他打算從“黃果樹”“小七孔”“西江苗寨”“赤水”“萬峰林”“梵凈山”這6個景點中隨機選擇一個，則選中“黃果樹”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】簡單事件概率的計算
【解析】【解答】解：∵小星打算從“黃果樹”“小七孔”“西江苗寨”“赤水”“萬峰林”“梵凈山”這6個景點中隨機選擇一個，
∴供選擇的景點有6種等可能的情況，他選中“黃果樹”的情況有1種，
∴選中“黃果樹”的概率為，
故答案為：A．
【分析】本題考查了簡單事件的概率，根據“概率=所求情況數與總情況數之比”解答即可．
7．（2025·貴州模擬）如圖，在矩形中，對角線與相交于點，則下列結論一定正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】矩形的性質
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
故答案為：C．
【分析】根據矩形的性質：對角線相等且互相平分，對邊平行且相等，逐項進行判斷即可求解.
8．（2025·貴州模擬）不等式組的解集是（　　）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：，
∴不等式組的解集為，
故答案為：A．
【分析】本題考查不等式組的解集，根據口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了”得不等式組的解集.
9．（2025·貴州模擬）如圖，在軸，軸上分別截取，使，再分別以點，為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點．若點的坐標為，則的值為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知識點】角平分線的性質；點的坐標與象限的關系；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【解答】解：根據畫圖可知：點P在的角平分線上，
∴點P到x軸和y軸的距離相等，
∵點P的坐標為，
∴，
解得：．
故答案為：C．
【分析】根據角平分線的作圖可知點P在的角平分線上，然后根據角平分線的性質可知點P到x軸和y軸的距離相等，即可得關于a的方程，解方程求解即可．
10．（2025·貴州模擬）方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴方程兩邊同乘，得，
∴，
∴
解得：，
檢驗：當時，，
∴原分式方程的解為，
故答案為：C．
【分析】首先去分母，把分式方程整理成整式方程，再解整式方程得到x的值，檢驗x的值是否為分式方程的增根，即可得出答案．
11．（2025·貴州模擬）如圖①是第14屆數學教育大會會標，中心圖案來源于我國古代數學家趙爽的“弦圖”．如圖②所示的“弦圖”是由4個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的邊長為的長為6，則小正方形的邊長為（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【知識點】勾股定理；“趙爽弦圖”模型
【解析】【解答】解：根據題意，得為直角三角形，，，
∴，
∴，
故答案為：D．
【分析】本題考查了勾股定理的應用，利用勾股定理求得的值，最后求的值即可求解.
12．（2025·貴州模擬）已知正三角形的邊長為是邊上的一點（不與端點重合），過作邊的垂線，交于，設，的面積為，則關于的函數圖象為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】等邊三角形的性質；動點問題的函數圖象；二次函數的實際應用-幾何問題；解直角三角形—邊角關系
【解析】【解答】解：∵正三角形的邊長為1，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵的面積為，
∴，
∵是邊上的一點（不與端點重合），
∴，
∴，
∴根據解析式和的取值范圍可知B正確，
故答案為：B．
【分析】根據等邊三角形性質得，，然后解直角三角形得，，利用三角形面積求出函數解析式，接下來由是邊上的一點（不與端點重合）求出的取值范圍，最后由解析式以及的取值范圍即可判斷．
13．（2025·貴州模擬）因式分解： 　 　．
【答案】
【知識點】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解： ．
故答案為： ．
【分析】因式分解：把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，根據定義求解。
14．（2025·貴州模擬）在一個不透明的盒子中有3個紅球、若干個白球，這些球除顏色外都相同．從中隨機摸出1個球，記下顏色后放回．通過大量重復摸球試驗后發現，摸到紅球的頻率穩定在左右，則盒子中球的總個數大約是　 　．
【答案】15
【知識點】利用頻率估計概率
【解析】【解答】解：根據題意，得盒子中球的總個數大約是3÷20%=15（個），
故答案為：15．
【分析】本題考查了用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發生的頻率固定在某個位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，則可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率，利用紅球個數除以摸到紅球的頻率，可估計出球的總數.
15．（2025·貴州模擬）關于的一元二次方程有兩個不相等的實根，則的取值范圍是　 　．
【答案】
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵關于的一元二次方程有兩個不相等的實根，
，
解得：，
故答案為：．
【分析】先將方程化為一般式，根據一元二次方程根的判別式：①當時，方程有兩個不相等的實數根；②當時，方程有兩個相等的實數根；③當時，方程沒有實數根，據此得關于m的方程，解方程即可求解.
16．（2025·貴州模擬）如圖，在中，，，．平分交于點，點為上一點，連接，將沿方向平移到，連接，則的最小值為　 　．
【答案】
【知識點】垂線段最短及其應用；角平分線的性質；含30°角的直角三角形；勾股定理；平移的性質
【解析】【解答】解：如圖，過點的線段，且，過點作于，過點作于，過點作于，
∴，，
∵點是在線段上移動的，將沿方向平移到，
∴點的軌跡是在過點且平行于的線段上移動，
∴當時，的長為的最小值，
∵，，，
∴，，
∴，
∵平分，，，
∴，，
設，則，
∴，
解得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值為，
故答案為：．
【分析】過點的線段，且，過點作于，過點作于，過點作于，得，，根據點的運動軌跡以及圖形平移的性質得點的軌跡是在過點且平行于的線段上移動，于是有當時，的長為的最小值，然后利用含30°的直角三角形的性質以及勾股定理得，的值，根據角平分線的性質和定義得，，設，則，可得，得到的值，進而由得的值，最后利用面積法以及三角形面積公式得的值，最后求的值即可.
17．（2025·貴州模擬）（1）計算：；
（2）下面是小紅同學分式化簡的過程，請認真閱讀并完成相應任務．
第一步 第二步 第三步 第四步
第___________步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是___________；
請寫出化簡該分式的正確過程．
【答案】解：（1）原式
；
（2）①二；括號前面是負號，去括號沒有變號；
②
．
【知識點】分式的混合運算；零指數冪；整數指數冪的運算
【解析】【解答】解：（2）①根據分式的運算可知，第二步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是括號前面是負號，去括號沒有變號，
故答案為：二；括號前面是負號，去括號沒有變號.
【分析】（1）先根據有理數的乘方、有理數的絕對值、零指數冪進行化簡，然后計算加法即可；
（2）根據分式的運算，去括號要注意括號前面是負號的時候要變號，據此直接得到答案；
②根據分式的運算法則進行求解即可．
18．（2025·貴州模擬）今年春節檔期全國總觀影人次超億，總票房超80億元．以下是甲、乙兩部影片一周上映的觀影人次信息．根據圖中信息，回答下列問題：
兩部影片觀影人次折線統計圖
（1）甲影片觀影人次的眾數為______萬人；乙影片觀影人次的中位數為_______萬人．
（2）下列說法正確的是______（填序號）
①甲影片的觀影人次逐日增加；
②周日甲影片與乙影片的觀影人次差值最大；
③乙影片觀影人次比甲影片觀影人次更穩定；
④甲影片的日平均觀影人次低于乙影片的日平均觀影人次．
（3）根據甲、乙兩部影片累計觀影人次統計數據，判斷甲、乙兩部影片受歡迎的程度并提出一條合理化的建議．
【答案】（1）45.2，61.4；
（2）②③；
（3）解：根據甲、乙兩部影片數據可知，甲影片在累計觀影人次、觀影人次眾數、周平均觀影人次等方面表現更優，更受歡迎，故建議多安排甲影片的播放次數．
【知識點】折線統計圖；分析數據的集中趨勢（平均數、中位數、眾數）
【解析】【解答】解：（1）∵甲影片觀看的人數為45.2萬人的有兩天，天數最多，
∴甲影片觀影人次的眾數為45.2萬人；
將乙影片周一到周日觀影人次從小到大進行排列為：47.3，51.3，57.3，61.4，64.2，65.6，70.9，
∴乙影片觀影人次的中位數為61.4萬人，
故答案為：45.2，61.4；
（2）解：①根據折線統計圖可知，甲影片的觀影人次沒有逐日增加，故①錯誤；
②周一：61.4-50.5=10.9（萬人），
周二：70.9-45.2=25.7（萬人），
周三：63.4-51.3=12.1（萬人），
周四：89.6-65.6=24（萬人），
周五：82.6-57.3=25.3（萬人），
周六：64.2-45.2=19（萬人），
周日：95.8-47.3=48.5（萬人），
∴10.9<12.1<19<24<25.3<25.7<48.5，
∴周日甲影片與乙影片的觀影人次差值最大，故②正確；
③根據折線統計圖可知，乙影片觀影人次比甲影片觀影人次波動小，
∴乙影片觀影人次比甲影片觀影人次更穩定，故③正確；
④甲影片的日平均觀影人次為：（萬人），
乙影片的日平均觀影人次為：（萬人），
，
∴甲影片的日平均觀影人次高于乙影片的日平均觀影人次，故④錯誤；
故答案為：②③.
【分析】（1）根據眾數和中位數的定義進行求解；
（2）①根據折線統計圖直接判斷該說法錯誤；②求出每一天觀影人次的差值，進行比較后可判斷②正確；③根據折線統計圖直接可判斷③正確；④分別求出甲乙影片的平均觀影人次，進行比較后可判斷④錯誤；
（3）根據眾數和平均數的意義進行求解．
（1）解：甲影片觀看的人數為萬人的有兩天，天數最多，
∴甲影片觀影人次的眾數為萬人；
乙影片周一到周日觀影人次從小到大排列為：，則乙影片觀影人次的中位數為萬人；
（2）解：①根據折線統計圖，甲影片的觀影人次沒有逐日增加，故預案說法錯誤；
②周一：（萬人），
周二：（萬人），
周三：（萬人），
周四：（萬人），
周五：（萬人），
周六：（萬人），
周日：（萬人），
則周日甲影片與乙影片的觀影人次差值最大，故原說法正確；
③根據統計圖，乙影片觀影人次比甲影片觀影人次波動小，則乙影片觀影人次比甲影片觀影人次更穩定，故原說法正確；
④甲影片的日平均觀影人次為：（萬人），
乙影片的日平均觀影人次為：（萬人），
，
甲影片的日平均觀影人次高于乙影片的日平均觀影人次，故原說法錯誤；
故答案為：②③；
（3）解：根據甲、乙兩部影片數據可知，甲影片在累計觀影人次、觀影人次眾數、周平均觀影人次等方面表現更優，更受歡迎．
建議：多安排甲影片的播放次數．
19．（2025·貴州模擬）如圖，是兩張疊放在一起的矩形紙片．分別過點A作于于，且．
（1）判斷四邊形的形狀，并說明理由；
（2）若為的中點，連接，求的面積．
【答案】（1）解：四邊形是菱形，理由如下：
∵，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
∴四邊形是菱形；
（2）解：如圖，連接，，過作于，
為中點，，
∴垂直平分，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，
，
為等邊三角形，
，
∵，，
∴，，
由（1）得，
∴，
，
，
為等邊三角形，
∵，
∴，
∴，
的面積為．
【知識點】三角形的面積；等邊三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質；菱形的判定與性質；矩形的性質
【解析】【分析】（1）根據矩形的性質得，，推出四邊形是平行四邊形，然后根據平行四邊形對角相等得到，由垂直的定義得，于是證出，得，最后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形得證四邊形是菱形；
（2）連接，，過作于，根據線段垂直平分線的性質、菱形的性質得，判定是等邊三角形，得，從而得，，進而結合全等三角形的性質得，于是有，判定是等邊三角形，然后由等邊三角形的性質得到，利用勾股定理求出，最后利用三角形面積公式即可求出的面積．
（1）解：四邊形是菱形．
理由如下：
由題意可知：，，
四邊形是平行四邊形，
．
，
．
在和中，
．
．
平行四邊形是菱形；
（2）連接．
為中點，，
∴，
∵平行四邊形是菱形；
∴，
．
為等邊三角形．
，．
，
．
為等邊三角形．
∴，
過E作于H
∴，
，
的面積為．
20．（2025·貴州模擬）如圖，將等腰直角三角形的一條直角邊放在軸上，點，斜邊與反比例函數交于點．
（1）求的值；
（2）若在該反比例函數上有一點，過作軸的平行線，分別交于點．當時，求點的坐標．
【答案】（1）解：∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
設直線的函數表達式為，
將，代入表達式，得，
解得：，
∴直線的函數表達式為，
將代入，得，
∴，代入，得；
（2）解：設，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
將代入，得，
∴，
∵在反比例函數上，
∴，
，
解得：，（舍去），
．
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根據等腰直角三角形的性質以及點，的坐標求出點的坐標，然后利用待定系數法求出直線的函數表達式，從而得點的坐標，進而求出的值；
（2）設，，根據可得，根據點在直線上可得，由點在反比例圖像上可得，于是得關于的方程，解方程即可求解．
（1）解：設直線的函數表達式為，
，，是等腰直角三角形，
，
則，
，
解得，
直線的函數表達式為，
在上，
，
，
則；
（2）解：設，，
，
，則，則，
將代入得，，即，
在反比例函數上，
，
，
解得，（舍），
．
21．（2025·貴州模擬）如圖是古代一位將軍在一次護城戰役中的布陣圖，在城池的周圍分布甲，乙兩種類型的哨所．若每個哨所至少要有一人，同類型哨所的人數相同，城池周圍每條邊上三個哨所的人數和都為11人．
（1）若六個哨所的總人數為21人，求甲，乙兩種類型每個哨所的人數；
（2）假設每個甲型哨所的人數為，請用含的代數式表示六個哨所的總人數，并求出六個哨所總人數最大值與最小值及相應的的值．
【答案】（1）解：設每個甲哨所有人，每個乙哨所有人，
根據題意，得，
解得：，
∴每個甲哨所有4人，每個乙哨所有3人；
（2）解：設六個哨所的總人數為人，
∵每個甲型哨所的人數為，城池周圍每條邊上三個哨所的人數和都為11人，
∴每個乙型哨所的人數為人，
又∵每個哨所至少要有一人，
∴，
∴，
根據題意，得，
隨的增大而減小，
當時，最大值為，當時，最小值為，
∴當時，哨所總人數的最大值是30人，當時，哨所總人數的最小值是18人．
【知識點】二元一次方程組的其他應用；一元一次不等式組的應用；一次函數的其他應用
【解析】【分析】（1）設每個甲哨所有人，每個乙哨所有人，根據“六個哨所的總人數為21人，且2個甲哨所和1個乙哨所的人數和為11人”即可得出關于，二元一次方程組，解方程組即可求解；
（2）設六個哨所的總人數為人，根據每個甲哨所的人數為人，得到每個乙型哨所的人數為人，然后由每個哨所至少要有一人得關于的不等式組，解不等式組得關于的取值范圍，最后將六個哨所有人數相加即可得出關于的一次函數關系式，利用一次函數的性質即可解決最值問題．
（1）解：設每個甲哨所有人，每個乙哨所有人，
根據題意列方程得：，
解得，
答：每個甲哨所有4人，每個乙哨所有3人；
（2）解：設六個哨所的總人數為人，
∵每個甲型哨所的人數為，城池周圍每條邊上三個哨所的人數和都為11人，
∴每個乙型哨所的人數為人，
又每個哨所至少要有一人，
∴，
∴，
∴，
隨的增大而減小，
當時，最大值，當時，最小值，
答：當時，哨所總人數的最大值是30人，當時，哨所總人數的最小值是18人．
22．（2025·貴州模擬）如圖，小星利用自己的身高想要測量水平操場上旗桿的高度，請幫助小星按下列任務設計一種測量方案：
任務一：你選取的工具是___________（可選工具：小鏡子、標桿、皮尺）；
任務二：請在圖中畫出方案示意圖；
任務三：結合你畫的示意圖，從以下測量數據中選取合適的數據，求出旗桿的高度（結果保留整數）．
測量數據：①小星與旗桿的距離為，②小星到鏡子的距離為，③鏡子到旗桿的距離為，④同一時刻，小星的影長為，旗桿的影長為，⑤小星的身高為（眼睛到頭頂的距離忽略不計），⑥標桿長，⑦小星與標桿的距離為．
【答案】解：任務一：①皮尺；②小鏡子、皮尺；③標桿、皮尺；（答案不唯一）
任務二：示意圖1或圖2或圖3均可；（答案不唯一）
任務三：（答案不唯一）如圖3，選取測量數據：①，⑤，⑥，⑦，
根據題意，得，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
∴學校旗桿的高度約為．
【知識點】相似三角形的應用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】任務一：根據測量需要選擇即可；
任務二：根據題意畫圖即可；
任務三：選取測量數據①，⑤，⑥，⑦，然后根據相似三角形的判定推出，從而由相似三角形對應邊成比例的性質得，進而代入數據可求出的值，最后可求出旗桿的高度的值，并把 結果保留整數即可．
23．（2025·貴州模擬）如圖，內接于，過點作的切線交的延長線于，連接交于點，連接．
（1）求證；
（2）探究與的數量關系，并說明理由；
（3）若，求的半徑．
【答案】（1）解：，
，
，
，
過點作的切線交的延長線于，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
由（1）得，
，
，
又，
，
，
；
（3）解：如圖②，過點作于點，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
，
，，
，
又∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
.
【知識點】圓周角定理；切線的性質；正切的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】（1）根據圓周角定理得，然后結合等腰三角形”等邊對等角“性質以及三角形內角和定理得，根據切線的性質可得，于是得；
（2）由（1）得，從而證明，進而可得，最后變形即可；
（3）過點作于點，先證出是等腰直角三角形，求出，然后再證明，結合正切的定義，得的值，從而得的值，進而得的值.
（1）解：如圖①，，
．
，
．
為切線，
．
．
（2）解：，理由見解析：
由（1）得，
，
又，
．
．
．
（3）解：如圖②，過點作于點，
∵．
．
，
，
，
又，
∴，
．
．
．
．
24．（2025·貴州模擬）如圖①是某小區設計的一個車棚，其截面如圖②所示，頂棚是拋物線的一部分，垂直于地面，且，以所在的直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，頂棚拋物線滿足函數關系式（為常數，）．
（1）求頂棚拋物線的函數關系式；
（2）小星想駕駛一輛高為，寬為的貨車進入車棚．通過計算判斷他能駕駛這輛車進入車棚嗎？
（3）如圖③，為使車棚更加穩固，需增加鋼筋進行加固．在頂棚之間拋物線上有兩個點和（不與點重合）．它們的橫坐標分別為，連接，．設點與點之間部分（含點和點）的最高點與最低點的縱坐標的差為，點與點之間部分（含點和點）的最高點與最低點的縱坐標的差為，當時，求出的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，代入得，
解得：，
∴頂棚拋物線的函數關系式為：；
（2）解：如圖，過作于點，
∵頂棚拋物線的函數關系式為：，
∴拋物線對稱軸為直線，
∵車身的寬為，
∴車身一端點的坐標為，
將代入，得，
∴，
∴小星能將車開進車棚；
（3）解：在拋物線之間，，
且，
，
，
，
①當都在對稱軸的左側時，
∴，
，
，
，
（舍去）；
②當在對稱軸的左側，點在對稱軸上或右側時，
∴，且，
，
，
，
（舍去），（舍去），
綜上所述，當時， ．
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數y=ax²+bx+c的圖象；二次函數y=ax²+bx+c的性質；二次函數的實際應用-拱橋問題
【解析】【分析】（1）根據題意得的坐標，然后利用待定系數法求解即可；
（2）過作于點，先求出拋物線的對稱軸，然后得車身一端點的坐標為，將代入拋物線解析式得此時的值，進行比較即可確定能將車開進車棚；
（3）根據在拋物線之間求出的取值范圍，得坐標，于是得用含的算式表示的值，然后分兩種情況討論：①當都在對稱軸的左側時，②當在對稱軸的左側，點在對稱軸上或右側時，最后結合函數圖象，根據二次函數的性質求解即可．
（1）解：由題意得，，
將分別代入得
，
解得：，
頂棚拋物線的函數關系式為：；
（2）解：如圖，
∵對稱軸為直線：，
車身的寬為，
車身一端點的坐標為，
過作于點，
將代入
得
即，
小星能將車開進車棚；
（3）解：在拋物線之間，
且，
，
．
①當都在對稱軸的左側時，
則，
∴
，
（舍）．
②當在對稱軸的左側，點在對稱軸上或右側時，
則，且，
，
，
（舍），（舍）
綜上所述：．
25．（2025·貴州模擬）勞動課上，同學們創造性地選用鐵皮代替鍋來烙一塊與鐵皮形狀、大小相同的餅．
（1）【操作發現】
小紅找到一塊如圖①的等腰三角形的鐵皮，餅烙好一面后將其翻身，這塊餅正好落在“鍋”中，利用的數學原理是___________；
A．三角形的穩定性 B.等腰三角形是軸對稱圖形 C.三角形內角和等于
（2）【思考操作】
如圖②，小紅找到一塊直角三角形的鐵皮．如果餅烙好一面后將其翻身，那么這塊餅不能正好落在“鍋”中．小紅將餅切了一刀，然后將兩小塊都翻身，結果餅就能正好落在“鍋”中，請你在圖中作出“切痕”（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（3）【拓展延伸】
如圖③，小星拿到一塊既不是等腰三角形也不是直角三角形的鐵皮．小星只切3刀，也能使餅翻身后，正好落在“鍋”中．用兩種不同方法畫出“切痕”，寫出切割的依據；
如圖④，小星最后拿到一塊凸四邊形鐵皮．他能否在四邊形內部取一點，使切法滿足．讓烙餅翻身仍能正好落在“鍋”中？寫出推理過程．
【答案】（1）B；
（2）解：如圖②，即為所求：
（3）解：如圖③-1所示，過點作于，作的垂直平分線交于點，作的垂直平分線交于點，
∴，
∴，，，是等腰三角形，都是軸對稱圖形，
∴將每一個三角形都翻身，及將每一塊烙餅都翻身，就能使烙餅仍能正好落在“鍋”中；
如圖③-2所示，分別作的垂直平分線交于點，連接，
∴，
∴是等腰三角形，都是軸對稱圖形，
∴將每一個三角形都翻身，及將每一塊烙餅都翻身，就能使烙餅仍能正好落在“鍋”中；
如圖④，假設點P存在，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，與題干矛盾，
∴不能在四邊形內部取一點，使切法滿足．
【知識點】線段垂直平分線的性質；等腰三角形的判定與性質；軸對稱的性質；尺規作圖-垂直平分線；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】解：（1）如圖①的等腰三角形的鐵皮，餅烙好一面后將其翻身，這塊餅正好落在“鍋”中，利用的數學原理是等腰三角形是軸對稱圖形，
故答案為：B.
【分析】（1）根據軸對稱圖形的性質進行求解；
（2）餅正好落在“鍋”中，即餅翻折以后與原來的圖形重臺， 則鐵鍋的形狀翻折以后與原來的圖形重合，是軸對稱圖形，故作出斜邊上的垂直平分線交于點，連接，根據垂直平分線的性質以及直角三角形斜邊上的中線性質可得，于是有都是等腰三角形，都是軸對稱圖形；
（3）根據題意可知等腰三角形的餅翻身后能與本身重合，如圖③-1，過點作于，作的垂直平分線交于點，作的垂直平分線交于點，根據直角三角形斜邊上的中線性質得，，，是等腰三角形，翻身后與本身重合；
如圖③-2，分別作的垂直平分線交于點Q，連接，由線段垂直平分線的性質得是等腰三角形，翻身后與本身重合；
如圖④，假設點P存在，然后利用等腰三角形”等邊對等角“的性質結合四邊形內角和即可證明結論．
（1）解：如圖①的等腰三角形的鐵皮，餅烙好一面后將其翻身，這塊餅正好落在“鍋”中，利用的數學原理是等腰三角形是軸對稱圖形，
故答案為：B；
（2）解：由操作發現：餅正好落在“鍋”中，即餅翻折以后與原來的圖形重臺，則鐵鍋的形狀翻折以后與原來的圖形重合，是軸對稱圖形．
作出斜邊上的垂直平分線交與點，連接，
則，
∴都是等腰三角形，都是軸對稱圖形，
如圖②所示為所求：
（3）解：如圖③所示，作于D，平分，平分，分別交和于點E，F，
根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，
得，，，是等腰三角形，
則將每一個三角形都翻身，及將每一塊烙餅都翻身，就能使烙餅仍能正好落在“鍋”中；
如圖③所示，分別作的垂直平分線交于點Q，連接，
則，
得是等腰三角形，
則將每一個三角形都翻身，及將每一塊烙餅都翻身，就能使烙餅仍能正好落在“鍋”中；
如圖④，假設點P存在，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴與題干矛盾，
∴不能在四邊形內部取一點，使切法滿足．
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