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廣東省廣州市黃埔區2025年中考數學一模試卷
1．（2025·黃埔模擬）下列四種化學儀器的示意圖中，是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】軸對稱圖形
【解析】【解答】解：A、圖案不是軸對稱圖形，
∴此選項不符合題意；
B、圖案是軸對稱圖形，
∴此選項符合題意；
C圖案不是軸對稱圖形，
∴此選項不符合題意；
D、圖案不是軸對稱圖形，
∴此選項不符合題意.選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形．
B選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．
故對答案為：B．
【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，根據定義并結合各選項即可判斷求解．
2．（2025·黃埔模擬）截至2025年3月18日，電影《哪吒之魔童鬧海》的票房約為15200000000元，將15200000000用科學記數法表示為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：，
故答案為：D．
【分析】科學記數法是指，任何一個絕對值大于或等于1的數可以寫成a×10n的形式，其中，n=整數位數-1.根據科學記數法的意義并結合題意項即可求解.
3．（2025·黃埔模擬）下列幾何體中，俯視圖是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】簡單幾何體的三視圖
【解析】【解答】解：A．俯視圖是有圓心的圓，∴此選項不符合題意；
B．俯視圖是沒有圓心的圓，
∴此選項不符合題意；
C．俯視圖是正方形，
∴此選項不符合題意；
D．俯視圖是三角形，
∴此選項符合題意．
故答案為：D．
【分析】根據俯視圖是從上面看到的圖形并結合各選項即可判斷求解．
4．（2025·黃埔模擬）下列運算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】二次根式的加減法；單項式除以單項式；合并同類項法則及應用；積的乘方運算
【解析】【解答】解：A、，
∴此選項不符合題意；
B、，
∴此選項不符合題意；
C、
∴此選項不符合題意；
D、，
∴此選項符合題意.
故答案為：D．
【分析】A、根據合并同類項法則“把同類項的系數相加，字母和字母的指數不變”可求解；
B、根據積的乘方法則“把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘”可求解；
C、根據單項式除以單項式的法則”系數相除，同底數冪相除 ，只在被除式里的字母則連同它的指數作為積的一個因式”可求解；
D、 根據二次根式的加減法法則"二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡 二次根式，再把被開方數相同的二次根式進行合 并，合并時系數相加減，根式不變"可求解.
5．（2025·黃埔模擬）中華人民共和國第十五屆運動會將于2025年11月9日至21日在粵港澳三地共同舉行．兩名運動員進行了10次某運動項目的測試，經計算，他們的平均成績相同，若要比較這兩名運動員的成績哪一位更穩定，通常還需要比較他們成績的(　　)
A．中位數 B．眾數 C．方差 D．以上都不對
【答案】C
【知識點】方差
【解析】【解答】解：由于方差能反映數據的穩定性，需要比較這兩名學生立定跳遠成績的方差．
故答案為：C．
【分析】根據方差的意義"方差是反映一組數據波動大小，穩定程度的量；方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，反之也成立"可判斷求解．
6．（2025·黃埔模擬）在中，，，，則的正弦值為(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
．
故答案為：A．
【分析】由題意，用勾股定理求出的長，再根據銳角三角函數sin∠A=計算即可求解．
7．（2025·黃埔模擬）如圖，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象相交于，兩點，點的橫坐標為4，當時，的取值范圍是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【解答】解：正比例函數的圖象與反比例函數的圖象相交于，兩點，點的橫坐標為4，
點的橫坐標為．
根據函數圖象可知：當時，的取值范圍是或．
故答案為：B.
【分析】y2＞y1就是雙曲線高于直線所對應的x的范圍，根據反比例函數與一次函數的交點并結合圖形即可求解．
8．（2025·黃埔模擬）對于任意4個實數，，，，定義一種新的運算，例如：，則關于的方程的根的情況為（　　）
A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根
C．沒有實數根 D．無法判斷
【答案】B
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：，
關于的方程可化為，即，
，，，
，
有兩個不相等的實數根．
故答案為：B．
【分析】由題意，根據新運算寫出關于x的一元二次方程，計算b2-4ac的值并判斷其符號，然后根據一元二次方程的根的判別式的關系"當時，方程有兩個不相等的兩個實數根；當時，方程有兩個相等的兩個實數根；當時，方程無實數根"可判斷求解．
9．（2025·黃埔模擬）如圖，是的直徑，是弦，于，，，則的長為（　　）
A．8 B．10 C． D．
【答案】C
【知識點】勾股定理；垂徑定理
【解析】【解答】解：連接OA，如圖所示：
∵CD⊥AB，
∴，
設，則，
在Rt△OAE中，，
即，
解得：，
∴，
∴，故C正確．
故答案為：C．
【分析】連接OA，設，則，在Rt△OAE中，根據勾股定理列關于r的方程，解方程求出r的值，再在Rt△ACE中，用勾股定理求即可求解．
10．（2025·黃埔模擬）如圖，在平面直角坐標系中，點，，，，，，……都是平行四邊形的頂點，點，，……在軸正半軸上，，，，，，，……，平行四邊形按照此規律依次排列，則第6個平行四邊形的對稱中心的坐標是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】平行四邊形的性質；中心對稱及中心對稱圖形；探索規律-點的坐標規律
【解析】【解答】解：如圖所示，作軸于點，
，，
，
，
，重合，
，
則的中點即為第1個平行四邊形的對稱中點，其坐標為；
同理可得：，，，
則的中點即為第2個平行四邊形的對稱中點，其坐標為；
同理可得：第3個平行四邊形的對稱中心的坐標是；
同理可得：第個平行四邊形的對稱中心的坐標是；
第6個平行四邊形的對稱中心的坐標是，
即，，.
故答案為：D．
【分析】由題意，先求出前幾個點的坐標，并找出規律：第個平行四邊形的對稱中心坐標為，然后把n=6代入所得規律計算即可求解．
11．（2025·黃埔模擬）若二次根式 有意義，則x的取值范圍是　 　
【答案】x≥1
【知識點】二次根式有意義的條件
【解析】【解答】解：根據二次根式有意義的條件，x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案為：x≥1．
【分析】根據二次根式的性質可知，被開方數大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范圍．此題考查了二次根式有意義的條件，只要保證被開方數為非負數即可．
12．（2025·黃埔模擬）物理課上我們學習過凸透鏡成像規律．如圖，蠟燭的高為，蠟燭與凸透鏡的距離為，蠟燭的像與凸透鏡的距離為，則像的高為　 　．
【答案】3
【知識點】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：由題意得：，
，，
，
，
，
解得：，
像的高為，
故答案為：3．
【分析】根據題意可得：，由平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等可得，，根據有兩個角對應角相等的兩個三角形相似可得，然后根據相似三角形的性質“相似三角形的對應邊的比相等”可得比例式求解．
13．（2025·黃埔模擬）2025年我國人工智能領域取得重大突破，國產大模型DeepSeek（深度求索）憑借開源模式和成本優勢火爆全球．在單詞DeepSeek中任意選擇一個字母，選到字母“e”的概率是　 　．
【答案】
【知識點】概率公式
【解析】【解答】解：“深度求索”的英語單詞“”中，共有8個字母，其中字母“e”出現4次，
∴字母“e”出現的頻率是，
故答案為：．
【分析】由題意，找出單詞中字母的總個數和字母e的個數，然后根據概率公式計算即可求解．
14．（2025·黃埔模擬）若是關于的方程的解，則的值為　 　．
【答案】2024
【知識點】一元二次方程的根；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：把代入方程得：，
即，
，
故答案為：2024．
【分析】根據一元二次方程的解的定義"方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值"可把代入方程得關于a、b的方程，整理可得3a-b=1，然后將所求代數式變形并整體代換即可求解．
15．（2025·黃埔模擬）如圖，已知矩形ABCD，，平分交于點E，點F、G分別為、的中點，則　 　．
【答案】
【知識點】矩形的性質；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：連接，
∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵點F、G分別為、的中點，
∴，
故答案為：．
【分析】連接．由矩形的性質“矩形的對邊平行且相等”可得AB=CD，AD=BC，AD∥BC，由平行線的性質和角平分線的定義可得，由線段的和差EC=BC-BE求出EC的值，在Rt△CDE中，由勾股定理可求出DE的值，然后根據三角形中位線定理“三角形的中位線等于第三邊的一半”可求解．
16．（2025·黃埔模擬）如圖，在中，，，點是平面內一點，且．過點作于點．
①若，則的長為　 　；
②當線段繞點在平面內旋轉時，線段長度的最大值為　 　．
【答案】3；4
【知識點】等腰三角形的判定與性質；圓周角定理；切線的性質；旋轉的性質
【解析】【解答】解：①，
，
故答案為：3；
②，
，
點是在以為直徑的圓上運動，
，且是繞點旋轉，
點是在以為圓心，以1為半徑的圓上運動，
如圖，當與圓相切于點，且在外部時，最大，最大，
由題意可得：，
四邊形為圓的內接四邊形，，，
，，，
，，
，
，
故答案為：4．
【分析】
①由題意，用勾股定理可求解；
（2）根據題意識別出點是在以為直徑的圓上運動，點是在以為圓心，以1為半徑的圓上運動，所以當與圓相切于點，且在△外部時，最大，最大，在Rt△ABE中，用勾股定理計算可求解．
17．（2025·黃埔模擬）解方程：
【答案】解：因式分解得： ，解得： ，
【知識點】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】觀察方程的特點：右邊為0，左邊可以分解因式，因此利用因式分解法解方程即可。
18．（2025·黃埔模擬）如圖，已知，，求證：．
【答案】證明：在與中，
∴
∴
【知識點】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【分析】由題意，用角邊角可得△BAC≌△ABD，然后根據全等三角形的對應邊相等可求解.
19．（2025·黃埔模擬）已知．
（1）化簡；
（2）若點在反比例函數的圖象上，求的值．
【答案】（1）解：

（2）解：∵點在反比例函數的圖象上，
∴，
即
∴原式.
【知識點】分式的化簡求值；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【分析】
（1）由題意，先將括號內的分式通分，再根據除以一個數等于乘以這個數的倒數將除法轉化為乘法，然后將每一個分式的分子和分母分解因式并約分，即可將分式化簡；
（2）根據反比例函數圖象上的點的坐標特征，將點P代入反比例函數解析式整理可得m2-m=2，再整體代入（1）中化簡后的代數式計算即可求解．
（1）解：
（2）∵點在反比例函數的圖象上，
∴，
即
∴原式
20．（2025·黃埔模擬）為響應“非遺進校園”活動，某校開設了四類非遺文化社團：粵劇，粵繡，英歌舞，醒獅，每位同學只能選擇其中一個社團參加．學校隨機調查了部分參與社團的學生的情況，根據調查結果繪制了不完整的統計圖（如圖）：
（1）本次共調查了________名學生，其中參與社團的人數是________人；
（2）學校計劃從，，，四個社團中任選兩個社團進行成果展示，請用列表或畫樹狀圖的方法，求同時選中和兩個社團的概率．
【答案】（1）50；5
（2）解：列表如下：
共有12種等可能的結果，其中同時選中和兩個社團的結果有：，，共2種，
同時選中和兩個社團的概率為．
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】
（1）
解：本次共調查了（名學生，
參與社團的人數是（人．
故答案為：50；5．
【分析】
（1）根據樣本容量=頻數÷百分比可求得本次調查的學生人數；根據各小組頻數之和等于樣本容量可求得社團的人數；
（2）由題意，列表可得出所有等可能的結果數以及同時選中和兩個社團的結果數，再用概率公式計算可求解．
（1）解：本次共調查了（名學生，
參與社團的人數是（人．
故答案為：50；5．
（2）列表如下：
共有12種等可能的結果，其中同時選中和兩個社團的結果有：，，共2種，
同時選中和兩個社團的概率為．
21．（2025·黃埔模擬）清明節是中國的傳統節日之一，主要有踏青、掃墓、吃青團等習俗．某超市節前購進了甲、乙兩種暢銷口味的青團．已知購進90袋甲種青團和120袋乙種青團的總金額是2340元，購進150袋甲種青團和60袋乙種青團的總金額是2220元．
（1）求甲、乙兩種青團每袋的單價分別是多少元；
（2）為滿足消費者需求，該超市準備再次購進甲、乙兩種青團共150袋，若總金額不超過1750元，最少應購進多少袋甲種青團？
【答案】（1）解：設每袋甲種青團的單價是元，每袋乙種青團的單價是元，
根據題意得：，
解得：．
答：每袋甲種青團的單價是10元，每袋乙種青團的單價是12元；
（2）解：設再次購進袋甲種青團，則再次購進袋乙種青團，
根據題意得：，
解得：，
的最小值為25．
答：最少應購進25袋甲種青團．
【知識點】一元一次不等式的應用；二元一次方程組的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】
（1）設每袋甲種青團的單價是元，每袋乙種青團的單價是元，根據“購進90袋甲種青團和120袋乙種青團的總金額是2340元，購進150袋甲種青團和60袋乙種青團的總金額是2220元”，可列出關于，的二元一次方程組，解之即可求解；
（2）設再次購進袋甲種青團，則再次購進袋乙種青團，根據總價單價數量并結合總價不超過1750元可列出關于的一元一次不等式，解之取其中的最小值可求解．
（1）解：設每袋甲種青團的單價是元，每袋乙種青團的單價是元，
根據題意得：，
解得：．
答：每袋甲種青團的單價是10元，每袋乙種青團的單價是12元；
（2）設再次購進袋甲種青團，則再次購進袋乙種青團，
根據題意得：，
解得：，
的最小值為25．
答：最少應購進25袋甲種青團．
22．（2025·黃埔模擬）如圖，中，．
（1）尺規作圖：作，使圓心在邊上，且與，所在直線相切（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）的條件下，若，，求的半徑．
【答案】（1）解：如圖，作的平分線，交于點，以點為圓心，的長為半徑畫圓，
則即為所求．
（2）設與相切于點，連接，
，，
，
，
．
設的半徑為，
則，，
，
解得，
經檢驗，是原方程的解且符合題意，
的半徑為4．
【知識點】角平分線的性質；切線的判定與性質；尺規作圖-作角的平分線；已知余弦值求邊長
【解析】【分析】（1）根據角平分線的性質以及切線的判定與性質，作的平分線，交于點，以點為圓心，的長為半徑畫圓，則即為所求；
（2）設與相切于點，連接，由同角的余角相等可得，設的半徑為，則，，根據銳角三角函數可得關于r的方程，解方程可求解．
（1）解：如圖，作的平分線，交于點，以點為圓心，的長為半徑畫圓，
則即為所求．
（2）設與相切于點，連接，
，，
，
，
．
設的半徑為，
則，，
，
解得，
經檢驗，是原方程的解且符合題意，
的半徑為4．
23．（2025·黃埔模擬）如圖，直線與反比例函數的圖象交于點，與軸交于點．
（1）求的值和反比例函數的解析式；
（2）點是直線上的一點，過點作平行于軸的直線交反比例函數的圖象于點，連接，，求的面積．
【答案】（1）解：∵直線經過點，
∴
∴
∴
∵反比例函數經過
∴
∴反比例函數的解析式為；
（2）解：過點作軸于點，過點作軸于點，
令，
解得：，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
①點在線段上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴與重合，如圖，
∴點N在軸上，即點N為與軸交點重合，
將代入，則，
∴，
在反比例函數中，當時，，
∴，
∴，
②點在線段的延長線上，
同理得：，，
∴，
在反比例函數中，當時，，
∴，
，
綜上所述，或14．
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】
（1）由題意，將點A的坐標代入直線解析式可求出m的值，然后用待定系數法即可求解；
（2）過點作軸于點，過點作軸于點，根據有兩個角對應相等的兩個三角形相似可證，由相似三角形的對應邊的比相等可得比例式，由題意分兩種情況：①點在線段上，②點在線段的延長線上可求解．
（1）解：∵直線經過點
∴
∴
∴
∵反比例函數經過
∴
∴反比例函數的解析式為；
（2）解：過點作軸于點，過點作軸于點，
令，解得：，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
①點在線段上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴與重合，如圖，
∴點N在軸上，即點N為與軸交點重合，
將代入，則，
∴，
在反比例函數中，當時，，
∴，
∴，
②點在線段的延長線上，
同理得：，，
∴，
在反比例函數中，當時，，
∴，
，
綜上所述，或14．
24．（2025·黃埔模擬）如圖，在矩形中，，，點為射線上一動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接．
（1）當點為線段的中點時，求證：是等邊三角形；
（2）當與矩形的邊平行時，求線段的長；
（3）在點的運動過程中，線段的長度是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明：在矩形中，
∵點為線段的中點
∴
∵
∴
∴是等邊三角形；
（2）①當時∴
∴
∴
∴是等邊三角形
∴
②當時
在中，，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
綜上，線段的長為或．
（3）如圖，過點作于點
∵，設
∴，
∴
∴
當時，取得最小值，最小值為
∵當最小時，最小
∴最小值為
【知識點】四邊形-動點問題；已知正切值求邊長
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AC=AP，由角的和差可得∠DAP=60°，然后根據有一個角等于60度的等腰三角形是等邊三角形可求解；
（2）由題意分兩種情況：①當，②，然后用勾股定理和特殊角的三角函數值求解即可；
（3）過點D作DM⊥EP于點M，設DM=x，用勾股定理可得，當時，取得最小值.
（1）證：在矩形中，
∵點為線段的中點
∴
∵
∴
∴是等邊三角形；
（2）①當時
∴
∴
∴
∴是等邊三角形
∴
②當時
在中，，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
綜上，線段的長為或．
（3）如圖，過點作于點
∵，設
∴，
∴
∴
當時，取得最小值，最小值為
∵當最小時，最小
∴最小值為
25．（2025·黃埔模擬）平面直角坐標系中，拋物線（為實數）．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）已知和是拋物線上的兩點，若對于，，都有，求的取值范圍；
（3）當時（其中為實數且），拋物線的圖象總在直線的下方，求的最大值．
【答案】（1）解：拋物線的對稱軸為直線；
（2）解：點關于拋物線對稱軸的對稱點為，
①當時，，
∴在對稱軸右側，
∵對于，，都有，
∴或，
∴或，
②當時，，
∴在對稱軸左側，在對稱軸右軸，在對稱軸右側，
∵
∴恒成立；
③當時，，成立，
綜上可得，或；
（3）解：聯立，
消得，
∵當時（其中為實數且），拋物線的圖象總在直線的下方，且最大，
結合圖象知關于的方程的兩個根為，，
將代入方程得，
，
解得，，
當時，方程為，
解得，
∵，
∴不符合題意，舍去；
當時，方程為，
解得，，
∴；
綜上，的最大值為9．
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數與一次函數的綜合應用
【解析】【分析】
（1）根據拋物線對稱軸公式計算即可求解；
（2）由題意分三種情況：①，②，③，分別畫出圖形，根據二次函數的性質并結合圖形即可求解；
（3）由題意，將二次函數的解析式和直線y=x聯立解方程組，消未知數可得關于x的一元二次方程，結合圖象可知關于的方程的兩個根為，，將代入方程可得關于m的方程，解方程求得m的值，再把m的值分別代入原方程計算即可求解．
（1）解：拋物線的對稱軸為直線；
（2）解：點關于拋物線對稱軸的對稱點為，
①當時，，
∴在對稱軸右側，
∵對于，，都有，
∴或，
∴或，
②當時，，
∴在對稱軸左側，在對稱軸右軸，在對稱軸右側，
∵
∴恒成立；
③當時，，成立，
綜上，或；
（3）解：聯立，
消得，
∵當時（其中為實數且），拋物線的圖象總在直線的下方，且最大，
結合圖象知關于的方程的兩個根為，，
將代入方程得，
，
解得，，
當時，方程為，
解得，
∵，
∴不符合題意，舍去；
當時，方程為，
解得，，
∴；
綜上，的最大值為9．
1 / 1廣東省廣州市黃埔區2025年中考數學一模試卷
1．（2025·黃埔模擬）下列四種化學儀器的示意圖中，是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·黃埔模擬）截至2025年3月18日，電影《哪吒之魔童鬧海》的票房約為15200000000元，將15200000000用科學記數法表示為（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·黃埔模擬）下列幾何體中，俯視圖是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·黃埔模擬）下列運算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·黃埔模擬）中華人民共和國第十五屆運動會將于2025年11月9日至21日在粵港澳三地共同舉行．兩名運動員進行了10次某運動項目的測試，經計算，他們的平均成績相同，若要比較這兩名運動員的成績哪一位更穩定，通常還需要比較他們成績的(　　)
A．中位數 B．眾數 C．方差 D．以上都不對
6．（2025·黃埔模擬）在中，，，，則的正弦值為(　　)
A． B． C． D．
7．（2025·黃埔模擬）如圖，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象相交于，兩點，點的橫坐標為4，當時，的取值范圍是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
8．（2025·黃埔模擬）對于任意4個實數，，，，定義一種新的運算，例如：，則關于的方程的根的情況為（　　）
A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根
C．沒有實數根 D．無法判斷
9．（2025·黃埔模擬）如圖，是的直徑，是弦，于，，，則的長為（　　）
A．8 B．10 C． D．
10．（2025·黃埔模擬）如圖，在平面直角坐標系中，點，，，，，，……都是平行四邊形的頂點，點，，……在軸正半軸上，，，，，，，……，平行四邊形按照此規律依次排列，則第6個平行四邊形的對稱中心的坐標是(　　)
A． B． C． D．
11．（2025·黃埔模擬）若二次根式 有意義，則x的取值范圍是　 　
12．（2025·黃埔模擬）物理課上我們學習過凸透鏡成像規律．如圖，蠟燭的高為，蠟燭與凸透鏡的距離為，蠟燭的像與凸透鏡的距離為，則像的高為　 　．
13．（2025·黃埔模擬）2025年我國人工智能領域取得重大突破，國產大模型DeepSeek（深度求索）憑借開源模式和成本優勢火爆全球．在單詞DeepSeek中任意選擇一個字母，選到字母“e”的概率是　 　．
14．（2025·黃埔模擬）若是關于的方程的解，則的值為　 　．
15．（2025·黃埔模擬）如圖，已知矩形ABCD，，平分交于點E，點F、G分別為、的中點，則　 　．
16．（2025·黃埔模擬）如圖，在中，，，點是平面內一點，且．過點作于點．
①若，則的長為　 　；
②當線段繞點在平面內旋轉時，線段長度的最大值為　 　．
17．（2025·黃埔模擬）解方程：
18．（2025·黃埔模擬）如圖，已知，，求證：．
19．（2025·黃埔模擬）已知．
（1）化簡；
（2）若點在反比例函數的圖象上，求的值．
20．（2025·黃埔模擬）為響應“非遺進校園”活動，某校開設了四類非遺文化社團：粵劇，粵繡，英歌舞，醒獅，每位同學只能選擇其中一個社團參加．學校隨機調查了部分參與社團的學生的情況，根據調查結果繪制了不完整的統計圖（如圖）：
（1）本次共調查了________名學生，其中參與社團的人數是________人；
（2）學校計劃從，，，四個社團中任選兩個社團進行成果展示，請用列表或畫樹狀圖的方法，求同時選中和兩個社團的概率．
21．（2025·黃埔模擬）清明節是中國的傳統節日之一，主要有踏青、掃墓、吃青團等習俗．某超市節前購進了甲、乙兩種暢銷口味的青團．已知購進90袋甲種青團和120袋乙種青團的總金額是2340元，購進150袋甲種青團和60袋乙種青團的總金額是2220元．
（1）求甲、乙兩種青團每袋的單價分別是多少元；
（2）為滿足消費者需求，該超市準備再次購進甲、乙兩種青團共150袋，若總金額不超過1750元，最少應購進多少袋甲種青團？
22．（2025·黃埔模擬）如圖，中，．
（1）尺規作圖：作，使圓心在邊上，且與，所在直線相切（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）的條件下，若，，求的半徑．
23．（2025·黃埔模擬）如圖，直線與反比例函數的圖象交于點，與軸交于點．
（1）求的值和反比例函數的解析式；
（2）點是直線上的一點，過點作平行于軸的直線交反比例函數的圖象于點，連接，，求的面積．
24．（2025·黃埔模擬）如圖，在矩形中，，，點為射線上一動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接．
（1）當點為線段的中點時，求證：是等邊三角形；
（2）當與矩形的邊平行時，求線段的長；
（3）在點的運動過程中，線段的長度是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，請說明理由．
25．（2025·黃埔模擬）平面直角坐標系中，拋物線（為實數）．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）已知和是拋物線上的兩點，若對于，，都有，求的取值范圍；
（3）當時（其中為實數且），拋物線的圖象總在直線的下方，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】軸對稱圖形
【解析】【解答】解：A、圖案不是軸對稱圖形，
∴此選項不符合題意；
B、圖案是軸對稱圖形，
∴此選項符合題意；
C圖案不是軸對稱圖形，
∴此選項不符合題意；
D、圖案不是軸對稱圖形，
∴此選項不符合題意.選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形．
B選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．
故對答案為：B．
【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，根據定義并結合各選項即可判斷求解．
2．【答案】D
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：，
故答案為：D．
【分析】科學記數法是指，任何一個絕對值大于或等于1的數可以寫成a×10n的形式，其中，n=整數位數-1.根據科學記數法的意義并結合題意項即可求解.
3．【答案】D
【知識點】簡單幾何體的三視圖
【解析】【解答】解：A．俯視圖是有圓心的圓，∴此選項不符合題意；
B．俯視圖是沒有圓心的圓，
∴此選項不符合題意；
C．俯視圖是正方形，
∴此選項不符合題意；
D．俯視圖是三角形，
∴此選項符合題意．
故答案為：D．
【分析】根據俯視圖是從上面看到的圖形并結合各選項即可判斷求解．
4．【答案】D
【知識點】二次根式的加減法；單項式除以單項式；合并同類項法則及應用；積的乘方運算
【解析】【解答】解：A、，
∴此選項不符合題意；
B、，
∴此選項不符合題意；
C、
∴此選項不符合題意；
D、，
∴此選項符合題意.
故答案為：D．
【分析】A、根據合并同類項法則“把同類項的系數相加，字母和字母的指數不變”可求解；
B、根據積的乘方法則“把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘”可求解；
C、根據單項式除以單項式的法則”系數相除，同底數冪相除 ，只在被除式里的字母則連同它的指數作為積的一個因式”可求解；
D、 根據二次根式的加減法法則"二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡 二次根式，再把被開方數相同的二次根式進行合 并，合并時系數相加減，根式不變"可求解.
5．【答案】C
【知識點】方差
【解析】【解答】解：由于方差能反映數據的穩定性，需要比較這兩名學生立定跳遠成績的方差．
故答案為：C．
【分析】根據方差的意義"方差是反映一組數據波動大小，穩定程度的量；方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，反之也成立"可判斷求解．
6．【答案】A
【知識點】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
．
故答案為：A．
【分析】由題意，用勾股定理求出的長，再根據銳角三角函數sin∠A=計算即可求解．
7．【答案】B
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【解答】解：正比例函數的圖象與反比例函數的圖象相交于，兩點，點的橫坐標為4，
點的橫坐標為．
根據函數圖象可知：當時，的取值范圍是或．
故答案為：B.
【分析】y2＞y1就是雙曲線高于直線所對應的x的范圍，根據反比例函數與一次函數的交點并結合圖形即可求解．
8．【答案】B
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：，
關于的方程可化為，即，
，，，
，
有兩個不相等的實數根．
故答案為：B．
【分析】由題意，根據新運算寫出關于x的一元二次方程，計算b2-4ac的值并判斷其符號，然后根據一元二次方程的根的判別式的關系"當時，方程有兩個不相等的兩個實數根；當時，方程有兩個相等的兩個實數根；當時，方程無實數根"可判斷求解．
9．【答案】C
【知識點】勾股定理；垂徑定理
【解析】【解答】解：連接OA，如圖所示：
∵CD⊥AB，
∴，
設，則，
在Rt△OAE中，，
即，
解得：，
∴，
∴，故C正確．
故答案為：C．
【分析】連接OA，設，則，在Rt△OAE中，根據勾股定理列關于r的方程，解方程求出r的值，再在Rt△ACE中，用勾股定理求即可求解．
10．【答案】D
【知識點】平行四邊形的性質；中心對稱及中心對稱圖形；探索規律-點的坐標規律
【解析】【解答】解：如圖所示，作軸于點，
，，
，
，
，重合，
，
則的中點即為第1個平行四邊形的對稱中點，其坐標為；
同理可得：，，，
則的中點即為第2個平行四邊形的對稱中點，其坐標為；
同理可得：第3個平行四邊形的對稱中心的坐標是；
同理可得：第個平行四邊形的對稱中心的坐標是；
第6個平行四邊形的對稱中心的坐標是，
即，，.
故答案為：D．
【分析】由題意，先求出前幾個點的坐標，并找出規律：第個平行四邊形的對稱中心坐標為，然后把n=6代入所得規律計算即可求解．
11．【答案】x≥1
【知識點】二次根式有意義的條件
【解析】【解答】解：根據二次根式有意義的條件，x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案為：x≥1．
【分析】根據二次根式的性質可知，被開方數大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范圍．此題考查了二次根式有意義的條件，只要保證被開方數為非負數即可．
12．【答案】3
【知識點】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：由題意得：，
，，
，
，
，
解得：，
像的高為，
故答案為：3．
【分析】根據題意可得：，由平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等可得，，根據有兩個角對應角相等的兩個三角形相似可得，然后根據相似三角形的性質“相似三角形的對應邊的比相等”可得比例式求解．
13．【答案】
【知識點】概率公式
【解析】【解答】解：“深度求索”的英語單詞“”中，共有8個字母，其中字母“e”出現4次，
∴字母“e”出現的頻率是，
故答案為：．
【分析】由題意，找出單詞中字母的總個數和字母e的個數，然后根據概率公式計算即可求解．
14．【答案】2024
【知識點】一元二次方程的根；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：把代入方程得：，
即，
，
故答案為：2024．
【分析】根據一元二次方程的解的定義"方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值"可把代入方程得關于a、b的方程，整理可得3a-b=1，然后將所求代數式變形并整體代換即可求解．
15．【答案】
【知識點】矩形的性質；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：連接，
∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵點F、G分別為、的中點，
∴，
故答案為：．
【分析】連接．由矩形的性質“矩形的對邊平行且相等”可得AB=CD，AD=BC，AD∥BC，由平行線的性質和角平分線的定義可得，由線段的和差EC=BC-BE求出EC的值，在Rt△CDE中，由勾股定理可求出DE的值，然后根據三角形中位線定理“三角形的中位線等于第三邊的一半”可求解．
16．【答案】3；4
【知識點】等腰三角形的判定與性質；圓周角定理；切線的性質；旋轉的性質
【解析】【解答】解：①，
，
故答案為：3；
②，
，
點是在以為直徑的圓上運動，
，且是繞點旋轉，
點是在以為圓心，以1為半徑的圓上運動，
如圖，當與圓相切于點，且在外部時，最大，最大，
由題意可得：，
四邊形為圓的內接四邊形，，，
，，，
，，
，
，
故答案為：4．
【分析】
①由題意，用勾股定理可求解；
（2）根據題意識別出點是在以為直徑的圓上運動，點是在以為圓心，以1為半徑的圓上運動，所以當與圓相切于點，且在△外部時，最大，最大，在Rt△ABE中，用勾股定理計算可求解．
17．【答案】解：因式分解得： ，解得： ，
【知識點】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】觀察方程的特點：右邊為0，左邊可以分解因式，因此利用因式分解法解方程即可。
18．【答案】證明：在與中，
∴
∴
【知識點】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【分析】由題意，用角邊角可得△BAC≌△ABD，然后根據全等三角形的對應邊相等可求解.
19．【答案】（1）解：

（2）解：∵點在反比例函數的圖象上，
∴，
即
∴原式.
【知識點】分式的化簡求值；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【分析】
（1）由題意，先將括號內的分式通分，再根據除以一個數等于乘以這個數的倒數將除法轉化為乘法，然后將每一個分式的分子和分母分解因式并約分，即可將分式化簡；
（2）根據反比例函數圖象上的點的坐標特征，將點P代入反比例函數解析式整理可得m2-m=2，再整體代入（1）中化簡后的代數式計算即可求解．
（1）解：
（2）∵點在反比例函數的圖象上，
∴，
即
∴原式
20．【答案】（1）50；5
（2）解：列表如下：
共有12種等可能的結果，其中同時選中和兩個社團的結果有：，，共2種，
同時選中和兩個社團的概率為．
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】
（1）
解：本次共調查了（名學生，
參與社團的人數是（人．
故答案為：50；5．
【分析】
（1）根據樣本容量=頻數÷百分比可求得本次調查的學生人數；根據各小組頻數之和等于樣本容量可求得社團的人數；
（2）由題意，列表可得出所有等可能的結果數以及同時選中和兩個社團的結果數，再用概率公式計算可求解．
（1）解：本次共調查了（名學生，
參與社團的人數是（人．
故答案為：50；5．
（2）列表如下：
共有12種等可能的結果，其中同時選中和兩個社團的結果有：，，共2種，
同時選中和兩個社團的概率為．
21．【答案】（1）解：設每袋甲種青團的單價是元，每袋乙種青團的單價是元，
根據題意得：，
解得：．
答：每袋甲種青團的單價是10元，每袋乙種青團的單價是12元；
（2）解：設再次購進袋甲種青團，則再次購進袋乙種青團，
根據題意得：，
解得：，
的最小值為25．
答：最少應購進25袋甲種青團．
【知識點】一元一次不等式的應用；二元一次方程組的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】
（1）設每袋甲種青團的單價是元，每袋乙種青團的單價是元，根據“購進90袋甲種青團和120袋乙種青團的總金額是2340元，購進150袋甲種青團和60袋乙種青團的總金額是2220元”，可列出關于，的二元一次方程組，解之即可求解；
（2）設再次購進袋甲種青團，則再次購進袋乙種青團，根據總價單價數量并結合總價不超過1750元可列出關于的一元一次不等式，解之取其中的最小值可求解．
（1）解：設每袋甲種青團的單價是元，每袋乙種青團的單價是元，
根據題意得：，
解得：．
答：每袋甲種青團的單價是10元，每袋乙種青團的單價是12元；
（2）設再次購進袋甲種青團，則再次購進袋乙種青團，
根據題意得：，
解得：，
的最小值為25．
答：最少應購進25袋甲種青團．
22．【答案】（1）解：如圖，作的平分線，交于點，以點為圓心，的長為半徑畫圓，
則即為所求．
（2）設與相切于點，連接，
，，
，
，
．
設的半徑為，
則，，
，
解得，
經檢驗，是原方程的解且符合題意，
的半徑為4．
【知識點】角平分線的性質；切線的判定與性質；尺規作圖-作角的平分線；已知余弦值求邊長
【解析】【分析】（1）根據角平分線的性質以及切線的判定與性質，作的平分線，交于點，以點為圓心，的長為半徑畫圓，則即為所求；
（2）設與相切于點，連接，由同角的余角相等可得，設的半徑為，則，，根據銳角三角函數可得關于r的方程，解方程可求解．
（1）解：如圖，作的平分線，交于點，以點為圓心，的長為半徑畫圓，
則即為所求．
（2）設與相切于點，連接，
，，
，
，
．
設的半徑為，
則，，
，
解得，
經檢驗，是原方程的解且符合題意，
的半徑為4．
23．【答案】（1）解：∵直線經過點，
∴
∴
∴
∵反比例函數經過
∴
∴反比例函數的解析式為；
（2）解：過點作軸于點，過點作軸于點，
令，
解得：，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
①點在線段上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴與重合，如圖，
∴點N在軸上，即點N為與軸交點重合，
將代入，則，
∴，
在反比例函數中，當時，，
∴，
∴，
②點在線段的延長線上，
同理得：，，
∴，
在反比例函數中，當時，，
∴，
，
綜上所述，或14．
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】
（1）由題意，將點A的坐標代入直線解析式可求出m的值，然后用待定系數法即可求解；
（2）過點作軸于點，過點作軸于點，根據有兩個角對應相等的兩個三角形相似可證，由相似三角形的對應邊的比相等可得比例式，由題意分兩種情況：①點在線段上，②點在線段的延長線上可求解．
（1）解：∵直線經過點
∴
∴
∴
∵反比例函數經過
∴
∴反比例函數的解析式為；
（2）解：過點作軸于點，過點作軸于點，
令，解得：，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
①點在線段上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴與重合，如圖，
∴點N在軸上，即點N為與軸交點重合，
將代入，則，
∴，
在反比例函數中，當時，，
∴，
∴，
②點在線段的延長線上，
同理得：，，
∴，
在反比例函數中，當時，，
∴，
，
綜上所述，或14．
24．【答案】（1）證明：在矩形中，
∵點為線段的中點
∴
∵
∴
∴是等邊三角形；
（2）①當時∴
∴
∴
∴是等邊三角形
∴
②當時
在中，，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
綜上，線段的長為或．
（3）如圖，過點作于點
∵，設
∴，
∴
∴
當時，取得最小值，最小值為
∵當最小時，最小
∴最小值為
【知識點】四邊形-動點問題；已知正切值求邊長
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AC=AP，由角的和差可得∠DAP=60°，然后根據有一個角等于60度的等腰三角形是等邊三角形可求解；
（2）由題意分兩種情況：①當，②，然后用勾股定理和特殊角的三角函數值求解即可；
（3）過點D作DM⊥EP于點M，設DM=x，用勾股定理可得，當時，取得最小值.
（1）證：在矩形中，
∵點為線段的中點
∴
∵
∴
∴是等邊三角形；
（2）①當時
∴
∴
∴
∴是等邊三角形
∴
②當時
在中，，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
綜上，線段的長為或．
（3）如圖，過點作于點
∵，設
∴，
∴
∴
當時，取得最小值，最小值為
∵當最小時，最小
∴最小值為
25．【答案】（1）解：拋物線的對稱軸為直線；
（2）解：點關于拋物線對稱軸的對稱點為，
①當時，，
∴在對稱軸右側，
∵對于，，都有，
∴或，
∴或，
②當時，，
∴在對稱軸左側，在對稱軸右軸，在對稱軸右側，
∵
∴恒成立；
③當時，，成立，
綜上可得，或；
（3）解：聯立，
消得，
∵當時（其中為實數且），拋物線的圖象總在直線的下方，且最大，
結合圖象知關于的方程的兩個根為，，
將代入方程得，
，
解得，，
當時，方程為，
解得，
∵，
∴不符合題意，舍去；
當時，方程為，
解得，，
∴；
綜上，的最大值為9．
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數與一次函數的綜合應用
【解析】【分析】
（1）根據拋物線對稱軸公式計算即可求解；
（2）由題意分三種情況：①，②，③，分別畫出圖形，根據二次函數的性質并結合圖形即可求解；
（3）由題意，將二次函數的解析式和直線y=x聯立解方程組，消未知數可得關于x的一元二次方程，結合圖象可知關于的方程的兩個根為，，將代入方程可得關于m的方程，解方程求得m的值，再把m的值分別代入原方程計算即可求解．
（1）解：拋物線的對稱軸為直線；
（2）解：點關于拋物線對稱軸的對稱點為，
①當時，，
∴在對稱軸右側，
∵對于，，都有，
∴或，
∴或，
②當時，，
∴在對稱軸左側，在對稱軸右軸，在對稱軸右側，
∵
∴恒成立；
③當時，，成立，
綜上，或；
（3）解：聯立，
消得，
∵當時（其中為實數且），拋物線的圖象總在直線的下方，且最大，
結合圖象知關于的方程的兩個根為，，
將代入方程得，
，
解得，，
當時，方程為，
解得，
∵，
∴不符合題意，舍去；
當時，方程為，
解得，，
∴；
綜上，的最大值為9．
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