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隴西一中 2026 屆高二第五次月考數學試卷
注意事項：
1.答題前填寫自己的姓名、班級、考號等信息
2.請將答案正確填寫在答題卡上
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題（每題 5 分，共 40 分）
1. 已知函數 ，則 （ ）
A. B. 1 C. D. 2
2. 已知隨機變量 的分布列為 ，則 等于( )
A. B. C. D.
3. 甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知各人能破譯密碼的概率分別為 ， ，則恰有一人能成功破譯的
概率為（ ）
A. B. C. D.
4. 已知某班級的數學興趣小組中，有男生 5 人，女生 3 人，現從這個小組中隨機抽出 2 名學生參加同一個
數學競賽，在其中一人是男生的條件下，另一人也是男生的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 將一個邊長為 20 的正方形鐵片的四角截去四個邊長均為 的小正方形，做成一個無蓋方盒，當方盒的容
積最大時， （ ）
A. 3 B. 4 C. D.
6. 設函數 ，則曲線 在點 處 切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為
（ ）
A. B. C. D.
7. 已知正四面體 的棱長為 ， 為 中點， 為 中點，則 （ ）
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A. B. 1 C. D. 2
8. 若函數 在 上為單調遞增函數，則 的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
二、多選題（每題 6 分，共 18 分，全部選對 6 分，有選錯得 0 分）
9. 某校高三年級選考地理科的學生有 100 名，現將他們該科的一次考試分數轉換為等級分，已知等級分 X
的分數轉換區間為 ，若等級分 ，則（ ）
參 考 數 據 ： ； ；
A. 這次考試等級分的標準差為 5
B. 這次考試等級分超過 70 分的約有 45 人
C.
D. 這次考試等級分在 內的人數約為 48 人
10. 下列結論正確的是（ ）
A. 若隨機變量 X 服從兩點分布， ，則
B. 若隨機變量 Y 的方差 ，則
C. 已知隨機變量 X 服從二項分布 ，若 ， ，則
D. 若隨機變量 X 數學期望 ，則
11. 已知函數 ，其中 ，則（ ）．
A. 不等式 對 恒成立
B. 若直線 與函數 的圖象有且只有兩個不同的公共點，則 k 的取值范圍是
C. 方程 恰有 3 個實根
D. 若關于 x 的不等式 恰有 1 個負整數解，則 a 的取值范圍為
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第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題（每題 5 分，共 15 分）
12. 為加強對某病毒預防措施的落實，某校決定對甲、乙兩個班的學生進行隨機抽查，已知甲、乙兩班的人
數之比為 ，其中甲班女生占 ，乙班女生占 ，則學校恰好抽到一名女生的概率為______．
13. 函數 的極大值點為_________．
14. 已知函數 是定義在 上的偶函數，且 ，其導函數為 ，且 時，
恒成立， ， ， ， ， ， 的大小關系為______．
四、解答題（本題共 5 小題，共 77 分，解答應該寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15. 在一個不透明的袋子里裝有 3 個黑球，2 個紅球，1 個白球，從中任意取出 2 個球，然后再放入 1 個紅
球和 1 個白球.
（1）求取球放球結束后袋子里白球的個數為 2 的概率；
（2）設取球放球結束后袋子里紅球的個數為隨機變量 X，求 X 的分布列及方差.
16. 如圖，長方體 底面是邊長為 2 的正方形，高為 4， 為線段 的中點， 為線段
的中點.
（1）證明： 平面 ；
（2）求直線 與平面 所成角的正弦值.
（3）求直線 到平面 的距離.
17. 已知某種從太空飛船中帶回來 植物種子每粒成功發芽的概率都為 ，某植物研究所分兩個小組分別獨
立開展該種子的發芽試驗，每次試驗種一粒種子，如果某次沒有發芽，則稱該次試驗是失敗的.
（1）第一小組做了 3 次試驗，記該小組試驗成功的次數為 X，求 X 的分布列；
（2）第二小組進行試驗，到成功了 3 次為止，求在第 3 次成功之前共有 2 次失敗的概率.
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18. 在 中， ， ， ， 分別是 上的點，滿足 且
經過 的重心，將 沿 折起到 的位置，使 ， 是 的中點，如圖所
示．
（1）求證： 平面 ；
（2）在線段 上是否存在點 ，使平面 與平面 夾角的余弦值為 ,若存在，求出 的
長度；若不存在，請說明理由．
19. 已知函數
（1）討論 單調性；
（2）證明： .
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隴西一中 2026 屆高二第五次月考數學試卷
注意事項：
1.答題前填寫自己的姓名、班級、考號等信息
2.請將答案正確填寫在答題卡上
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題（每題 5 分，共 40 分）
【1 題答案】
【答案】B
【2 題答案】
【答案】B
【3 題答案】
【答案】A
【4 題答案】
【答案】C
【5 題答案】
【答案】D
【6 題答案】
【答案】A
【7 題答案】
【答案】A
【8 題答案】
【答案】D
二、多選題（每題 6 分，共 18 分，全部選對 6 分，有選錯得 0 分）
【9 題答案】
【答案】AD
【10 題答案】
【答案】CD
【11 題答案】
【答案】AD
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第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題（每題 5 分，共 15 分）
【12 題答案】
【答案】
【13 題答案】
【答案】
【14 題答案】
【答案】
四、解答題（本題共 5 小題，共 77 分，解答應該寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
【15 題答案】
【答案】（1） ；
（2）分布列見解析， .
【16 題答案】
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【17 題答案】
【答案】（1）分布列見解析；
（2） .
【18 題答案】
【答案】（1）證明見解析
（2）存在， 的長度為 或
【19 題答案】
【答案】（1）答案見詳解
（2）證明見詳解
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