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參考答案
一、單項選擇題（共8題，共40分）
1. 【答案】A
【解析】 ，
，
所以 ．
故“”是“”的充分不必要條件．
2. 【答案】C
3. 【答案】B
【解析】方法一：
當 時，，，
故 ，故 ，
又因為 ，，
所以數列 是從第二項開始的， 為首項， 為公比的等比數列，
所以 ，當 時，上式也成立．
故選B．
方法二：
由已知 得 ，即 ，，而 ，
所以 ，故選B．
4. 【答案】D
5. 【答案】D
【解析】因為角 的頂點與直角坐標系的原點重合，始邊與 軸的非負半軸重合，終邊經過點 ，
所以 ，，
因此 ．
6. 【答案】C
7. 【答案】A
【解析】 的導數為 ，可得切線的斜率為 ，切線 的方程為 ，則直線 與 軸， 軸的交點為 ，，可得圍成的三角形面積為 ．
故選：A．
8. 【答案】C
二、多項選擇題（共3題，共18分）
9. 【答案】A；D
【解析】由 ，，得 ，，得 是其對稱軸，故A錯誤；
令 ，所以 ，故 的周期為 ，且在 上為增函數，故B錯誤；
將 的圖象向左平移 個單位長度得到 ，故C錯誤；
設 ，（不妨設 ）是關于 的方程 的兩根，則 ，則 ，故D正確．
10. 【答案】A；D
11. 【答案】B；C
【解析】設點 ，則 ，
化簡整理得 ，即 ，故A錯誤；
當 ，， 時，，故B正確；
對于C選項，，．
若 為 的平分線，只需 ，
又 ，
所以 成立，故C正確．
對于D選項，設 ，
由 可得 ，
整理得 ，而點 在圓上，故滿足 ．
聯立解得 ， 無實數解，于是D錯誤．
三、填空題（共3題，共15分）
12. 【答案】
13. 【答案】
14. 【答案】①②③
四、解答題（共5題，共77分）
15. 【答案】
(1) 由正弦定理 及 ，
得 ．
因為 ，
所以 ．
又因為 ，
所以 ．
(2) 法 ：選條件②：．
由 可知 ，
所以 ．
所以由 可得 ，
所以 ，即 ，
由余弦定理 及 ，
得 ，
所以 ，
所以 （ 舍去），
所以 的面積為 ．
法 ：選條件②：．
由 可知 ，
所以 ．
所以由 可得 ，
所以 ，
所以 ，
因為 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
由正弦定理可得 ，
所以 的面積為 ．
16. 【答案】
(1) 因為 ，
所以 ，，
又 ，即 ，， 兩兩垂直，
以 為原點，，， 所在直線為 ，， 軸建系，
，，設 長為 ，
則 ，，，，，
，，，
設平面 的法向量為 ， 與平面 所成角為 ，
則 即
令 ，得 ，
所以 ，
，
則 ，
即 與平面 所成角正弦值為 ．
(2) 由（）知，，
所以平面 的法向量為 ，平面 的法向量為 ，
設二面角 的平面角為 ，，
則 ，
．
(3) 設 ，，即 ，
所以 ，
得 ，，，，
若 ，則 ，即 ，
所以 ，得 ，即 長為 ．
17. 【答案】
(1) 若取出的紅球的個數不少于白球的個數，則有 紅、 紅 白、 紅 白三種情況，其中 紅有 種取法， 紅 白有 種取法， 紅 白有 種取法．因此，共有 種不同的取法．
(2) 若取出 個球的總分不少于 分，則有 紅、 紅 白、 紅 白和 紅 白四種情況．
其中 紅有 種取法， 紅 白有 種取法， 紅 白有 種取法， 紅 白有 種取法．
因此，共有 種不同的取法．
(3) 由題意知，箱子中 個球中紅球有 個，白球也有 個，從這 個球中取出 個球，取出 個紅球只有一種情況，取出 個白球也只有一種情況，取出 紅 白有 種情況，總共有 種情況．
若操作三次，則共有 種情況．
恰有一次取到 個紅球并且恰有一次取到 個白球共有 種情況，因此，所求概率為：．
18. 【答案】
(1) 由題可得方程組：
聯立解得：
所以橢圓的標準方程為 ．
(2) ①聯立 得
所以 ，
聯立 化簡得：，
因為橢圓與直線有且只有一個公共點，
所以 ，即 ，
化簡得 ，故 ，
設 ，則 ，，
所以 ．
② ，，
所以
即 ，
所以 在以 為直徑的圓上，得證．
19. 【答案】
(1) 設 ， 得 ，．
所以 ．
(2) ，若存在 ，滿足 恒成立，
即 ， 恒成立，
當 為奇數時，；
當 為偶數時，．
所以 ，故 ．夏河藏族中學2025屆高三學生模擬考試
高三 數學
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
設集合 ，，則“”是“”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
已知復數 ，則復數 的共軛復數
A． B． C． D．
已知數列 的前 項和為 ，，，則
A． B． C． D．
已知點 ，，則與向量 方向相反的單位向量是
A． B． C． D．
若角 的頂點與直角坐標系的原點重合，始邊與 軸的非負半軸重合，終邊經過點 ，則
A． B． C． D．
在數列 中，，，則 等于
A． B． C． D．
設直線 是曲線 在點 處的切線，則直線 與 軸， 軸圍成的三角形面積為
A． B． C． D．
如圖，在正方體 中，棱 的中點為 ．若光線從點 出發，依次經三個側面 ，， 反射后，落到側面 （不包括邊界），則入射光線 與側面 所成角的正切值的范圍是
A． B． C． D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分.
下列四個命題中，正確的是
A． 是 的一條對稱軸
B． 是以 為周期在 上的增函數
C．函數 的圖象可由 的圖象向左平移 個單位長度得到
D．設 ， 是關于 的方程 的兩根，則
下列四個命題中真命題是
A．一袋中有 個白球， 個紅球，它們除顏色外完全相同，有放回地隨機摸球 次，則摸中紅球的次數符合二項分布
B．兩個變量的線性相關程度越強，則相關系數的值越接近于
C．兩個分類變量 與 的統計量 ，若 越小，則說明“ 與 有關系”的把握程度越大
D．隨機變量 ，則
古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發現：“平面內到兩個定點 ， 的距離之比為定值 的點的軌跡是圓”．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．在平面直角坐標系 中，，，點 滿足 ，設點 的軌跡為 ，下列結論正確的是
A． 的方程為
B．在 軸上存在異于 ， 的兩定點 ，，使得
C．當 ，， 三點不共線時，射線 是 的平分線
D．在 上存在點 ，使得
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
已知數列 滿足 ，，若 ，則 ．
已知 ，，且 ，則 的最小值為 ．
如圖，矩形 ，，， 分別是 ， 的中點，將平面 沿 折起，使得二面角 的大小為 ．在折起后形成的空間圖形中，有如下 個結論：
① ；
②四邊形 是正方形；
③直線 和 所成角的正切值是 ．
其中所有正確結論的序號是 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
（13分）在 中，．
(1) 若 ，求 的值；
(2) 若 ，從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，使 存在．求 的面積．
條件①：；條件②：．
（15分）如圖所示，四棱錐 中，，，，．
(1) 求 與平面 所成角的正弦值．
(2) 求二面角 的正弦值．
(3) 設 為 上一點，且 ，若 ，求 的長．
（15分）將 個不同的紅球和 個不同的白球，放入同一個袋中，現從中取出 個球．
(1) 若取出的紅球的個數不少于白球的個數，則有多少種不同的取法？
(2) 取出一個紅球記 分，取出一個白球記 分，若取出 個球的總分不少于 分，則有多少種不同的取法？
(3) 若將取出的 個球放入一個箱子中，記“從箱子中任意取出 個球，然后放回箱子中”為一次操作，若操作三次，求恰有一次取到 個紅球并且恰有一次取到 個白球的概率．
（17分）已知橢圓 的一個焦點是 ，點 是 上一點．
(1) 求橢圓 的標準方程．
(2) 設動直線 與橢圓 有且只有一個公共點 ， 與直線 相交于點 ．
①用 ， 表示 ， 點的坐標．
②求證以 為直徑的圓過焦點 ．
（17分）已知函數 的圖象與 軸正半軸的交點為 ，．
(1) 求數列 的通項公式；
(2) 令 （ 為正整數），問是否存在非零整數 ，使得對任意正整數 ，都有 ？若存在，求出 的值，若不存在，請說明理由．

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