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參考答案
一、單項選擇題（共8題，共40分）
1. 【答案】D
【解析】因為 ，
所以 ，
所以復數 在復平面內對應的點的坐標為 ，在第四象限．
2. 【答案】A
3. 【答案】C
【解析】由題意可知，，
又因為 ，
所以 ，
所以“”是“”的充要條件．
4. 【答案】B
5. 【答案】C
【解析】A中， 可能與 平行，也可能在平面 內；
B中，， 可能相交、平行或異面；
C中，由線面平行的性質定理可知C正確；
D中，， 可能平行或異面．
6. 【答案】A
【解析】由題圖，，則 ，可得 ，
又 ，
故 ，，
所以 ，，
又 ，則 ．
綜上，，．
故選：A．
7. 【答案】B
【解析】設 “從甲袋中取出的 個球中有 個白球”，其中 ，“從乙袋中取到的是白球”．顯然 ，， 構成一完備事件組，且根據題意 ，，；
，，，
由全概率公式得，．
8. 【答案】A
【解析】如圖所示：
設 ，，則 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
因為 ，當且僅當 時，等號成立．
所以 的最大值為 ．
二、多項選擇題（共3題，共18分）
9. 【答案】A；C
【解析】利潤 收入 支出．
由圖可知，收入與支出之差為利潤，即相同月份兩曲線之差．
A．由圖可知， 年 月至 月兩曲線之差之和大于 月至 月，故該企業 年 月至 月總利潤高于 年 月至 月的總利潤，故A正確；
B．第一季度指 ，， 月，由圖可知，第一季度的利潤 萬元，故B錯誤；
C．由圖可看， 年 月至 月兩圖曲線之差數值不斷變大，故利潤持續增長，故C正確；
D．月利潤最大的月份 月，故D錯誤．
10. 【答案】A；B；C；D
【解析】因為 ，
且其定義域為 ，
所以 ，
，有 ，故A是真命題；
因為 ，由 ，
可知 在區間 上單調遞增，
即 且 ，
有 ，故B是真命題；
因為 在 單調遞增，
所以 ，
有 ，故C是真命題；
設 ，則當 時，，
所以 在 單調遞增，
所以當 時，，即 ；
由奇函數性質可知，，，故D是真命題．
11. 【答案】A；C
【解析】因為直線 是 （）的對稱軸，
所以 （），則 （）．
當 時，，則 ．
對于選項A，，因為 ，所以 為奇函數，故A正確；
對于選項B，（），即 （），當 時， 在 當單調遞增，故B錯誤；
對于選項C，若 ，則 最小為半個周期，即 ，故C正確；
對于選項D，函數 的圖象向右平移 個單位長度，即 ，故D錯誤．
三、填空題（共3題，共15分）
12. 【答案】
13. 【答案】
【解析】由余弦定理得 ，
由余弦定理得 ，所以 ．
14. 【答案】①②④
四、解答題（共5題，共77分）
15. 【答案】
(1) 由已知，有 ，，
所以 ，
所以 ，
又由已知，有 ，
由①②可得 是三棱錐 的高，
所以，．
(2) 分別以 ，， 為坐標軸建立空間直角坐標系 ．
則有，，，，，
，，，
①設 與 所成角的大小為 ，
則 ．
故， 與 所成角的大小為 ．
②設 為平面 的一個法向量， 與 所在的直線所成的角為 ．
則 即
令 ，得 ．
因為 ，
故， 與平面 所成的角為 （或 ）．
16. 【答案】
(1) 由圖可知，參加活動 次、 次和 次的學生人數分別為 、 和 ．
該合唱團學生參加活動的人均次數為 ．
(2) 從合唱團中任選兩名學生，他們參加活動次數恰好相等的概率為 ．
(3) 從合唱團中任選兩名學生，記“這兩人中一人參加 次活動，另一人參加 次活動”為事件 ，“這兩人中一人參加 次活動，另一人參加 次活動”為事件 ，“這兩人中一人參加 次活動，另一人參加 次活動”為事件 ．易知 ；
；
的分布列： 的數學期望：．
17. 【答案】
(1) 由題意可知：，，，
所以 ，，
所以 ，
所以橢圓 的方程為 ．
(2) 設 ，，由
消去 ，得 ，，
所以 ，，
所以 ，
因為 為線段 中點，
所以 ，
又因為 ，，
所以 ，
又點 到 的距離 ，
所以 ，
所以 ，
此時 ，圓心 到 的距離
，成立．
綜上，．
18. 【答案】
(1) 因為當 時，．
，
即 ，
．
整理得 恒成立，
所以 ，
又 ，
即 ，從而 ．
所以 ，
因為 ，
所以 ，或 ，
所以 的定義域為 ．
(2) 有解，
即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，或 ，
解得 或 ，
所以實數 的取值范圍 ．
19. 【答案】
(1) 由已知 ，
所以 ，，．
猜想 ．
(2) 當 時，，，
所以 ，
得 ．
因為 ，所以 ，
數列 為等差數列，又由（），，
所以 ．
(3) 由（）知 ，，
若 ，則 ．
因為 ， 都是整數，所以對于任意 ， 都是整數，進而 是整數，
所以 ，，此時 ．
設 ，則 ，所以 或 ．
①當 時，對于任意 ，；
①當 時，對于任意 ，，
所以實數 取值的集合為 ．合作高級中學2025屆高三學生第五次模擬考試
高三 數學
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
若 ，則復數 在復平面內對應的點在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
中，若 ，，，則向量 可用 ， 表示為
A． B． C． D．
若集合 ，，，則“”是“”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
已知直線 與曲線 相切，則 的值為
A． B． C． D．
已知 ， 為兩條不同的直線，， 為兩個不同的平面，則下列結論中正確的是
A． ， B． ，
C． ，， D． ，
已知函數 的部分圖象如圖所示，則
， B． ，
C． ， D． ，
有甲、乙兩袋，甲袋中有 只白球， 只黑球；乙袋中有 只白球， 只黑球．現從甲袋中任取 個球放入乙袋，然后再從乙袋中任取一球，則此球為白球的概率為
A． B． C． D．
拋物線 的焦點為 ，已知點 ， 為拋物線上的兩個動點，且滿足 ．過弦 的中點 作拋物線準線的垂線 ，垂足為 ，則 的最大值為
A． B． C． D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分.
習總書記講到：“廣大人民群眾堅持愛國奉獻，無怨無悔，讓我感到千千萬萬普通人最偉大，同時讓我感到幸福都是奮斗出來的”．某企業 年 個月的收入與支出數據的折線圖如下：
已知：利潤 收入 支出，根據該折線圖，下列說法正確的是
A．該企業 年 月至 月的總利潤低于 年 月至 月的總利潤
B．該企業 年第一季度的利潤約是 萬元
C．該企業 年 月至 月的月利潤持續增長
D．該企業 年 月份的月利潤最大
已知函數 ，以下四個命題中真命題是
A． ，有 B． 且 ，有
C． ，有 D． ，
已知函數 （）的圖象關于直線 對稱，則
A．函數 為奇函數
B．函數 在 上單調遞增
C．若 ，則 的最小值為
D．函數 的圖象向右平移 個單位長度得到函數 的圖象
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
已知函數 滿足 ，且 在 上的導數滿足 ，則不等式 的解集為 ．
已知 ，， 分別為 三個內角 ，， 的對邊，，，，則 ．
如圖，在棱長為 的正方體 中，已知點 ， 分別為直線 ， 上的動點，給出下面四個結論所有正確結論的序號是 ．
①異面直線 ， 所成的角為 ；
②三棱錐 的體積為定值；
③若 為 中點，則點 到 距離為 ；
④ 的最小值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
（13分）已知正方形 的邊長為 ， 為兩條對角線的交點，如圖所示，將 沿 所在的直線折起，使得點 移至點 ，滿足 ．
(1) 求四面體 的體積 ；
(2) 請計算：
①直線 與 所成角的大小；
②直線 與平面 所成的角的大小．
（15分）某中學號召學生在今年春節期間至少參加一次社會公益活動（以下簡稱活動）．該校合唱團共有 名學生，他們參加活動的次數統計如圖所示．
(1) 求合唱團學生參加活動的人均次數；
(2) 從合唱團中任意選兩名學生，求他們參加活動次數恰好相等的概率；
(3) 從合唱團中任選兩名學生，用 表示這兩人參加活動次數之差的絕對值，求隨機變量 的分布列及數學期望 ．
（15分）已知橢圓 的左、右焦點為 ，，，若圓 的方程為 ，且圓心 滿足 ．
(1) 求橢圓 的方程；
(2) 過點 的直線 交橢圓 于 ， 兩點，過 與 垂直的直線 交圓 于 ， 兩點， 為線段 中點，若 的面積為 ，求 的值．
（17分）已知函數 ，，當 時，恒有 ．
(1) 求 的表達式及定義域；
(2) 若方程 有解，求實數 的取值范圍．
（17分）已知數列 各項均為正數， 為其前 項的和，且 ，， 成等差數列．
(1) 寫出 ，， 的值，并猜想數列 的通項公式 ．
(2) 證明（）中的猜想．
(3) 設 ， 為數列 的前 項和，若對于任意 ，都有 ，求實數 的值．

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