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參考答案
一、單項選擇題（共8題，共40分）
1. 【答案】C
【解析】因為 ，，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
故選C．
2. 【答案】D
【解析】根據(jù)導數(shù)的定義，
3. 【答案】A
【解析】以 為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，
設 ，則 ，，，，
可得 ，，
，
此時，向量的夾角等于兩條直線的夾角．
4. 【答案】D
5. 【答案】C
【解析】當 時，，即點 在曲線 上．
，
，
則 在點 處的切線方程為 ，即 ．
6. 【答案】A
【解析】因為 ，
所以 ，
因為 是函數(shù)的極大值點，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
當 時，， 單調(diào)遞增；
當 時，， 單調(diào)遞減；
當 時，， 單調(diào)遞增；
所以當 時， 有極小值，且極小值為 ．
7. 【答案】C
【解析】當 時， 為 的增函數(shù)， 無最小值，不符合題意；
當 時， 即為 ，顯然成立；
當 時， 的導數(shù)為 ，
由于 在 遞增，
設 的根為 ，即有 ，
當 時，， 遞減；
當 時，， 遞增，
可得 處 取得極小值，且為最小值 ，
由題意可得 ，即 ，
化為 ，設 ，，
當 時，， 時，， 遞增，
可得 的解為 ，則 ．
綜上可得 ．
8. 【答案】B
【解析】因為 為正四棱錐且 是 在底面 內(nèi)的正投影，
所以 ．
連接 ，，則 且交于 ．
因為 ，
所以 ，．
所以以 ，， 為 ，， 軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
因為 ，
所以 ，，，，，
所以 ，．
設異面直線 與 的公垂線向量為 ，
則有 即
得 不妨令 ，則 ．
又因為 ，
所以異面直線 與 的距離 ．
所以異面直線 與 的距離為 ．
二、多項選擇題（共3題，共18分）
9. 【答案】B；C
【解析】因為 ，所以 ，所以 且 ，
所以 的定義域為 ，故A錯誤；
由 ，得 ，
令 ，則 ，令 ，
則 ，所以當 時，，
當 時，，
當 時，，
即 ，所以 在 上單調(diào)遞減，
因為 時，，
所以當 時， 圖象在 軸下方，故B正確；
當 時，，
所以 ，又 ，
所以存在 使 ，
所以當 時，；當 時，，
所以 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，故C正確，D錯誤．
10. 【答案】A；B；D
11. 【答案】B；C
【解析】A選項，因為 ，
所以 ，
所以 ，
所以曲線 在點 處的切線方程為 ，即 ．
令 解得 ，令 解得 ，，
所以切線與直線 和 圍成的三角形的面積為 ．
B選項，由題意，，，
因為函數(shù) 與函數(shù) 的圖象在點 的切線相同，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
C選項，設切點 ，
因為 ，
所以切線的斜率為 ．
又已知切線方程為 ，化為 ，
所以切線的斜率為 ．
因此 ，解得 ，
所以 ，解得 ，
所以點 的坐標是 ．
D選項，函數(shù) 的導數(shù) ，
令 ，解得 ，
則有 ，，
所以函數(shù) 在 處的切線方程為 ，即 ，
可求得直線 與 之間的距離為 ，即為所求．
三、填空題（共3題，共15分）
12. 【答案】
【解析】 ，，得 ．
13. 【答案】
【解析】連接 交 于 ，由題意知 ，
以 為坐標原點，，， 分別為 軸， 軸， 軸正方向，建立空間直角坐標系 如圖所示，
底邊 ，側(cè)棱 ，則高 ，
所以 ，，，，，
因為 ，
所以平面 的一個法向量為 ，
平面 的一個法向量 ，設所求二面角為 ，
則 ，
故所求二面角的余弦值為 ．
14. 【答案】①③
四、解答題（共5題，共77分）
15. 【答案】
(1) 函數(shù) 的定義域為 ，
求導得 ，
因為曲線 在點 處的切線斜率為 ，
所以 ，
即 ，
解得 ．
(2) 令 ，即 ，
解得 ，或 ，
因為 ，
當 變化時，， 的變化情況如表所示：所以 在區(qū)間 上的最大值是 ，最小值是 ．
16. 【答案】
(1) 連接 交 于點 ，連接 ，
在 中，
因為 ， 分別是 ， 的中點，
所以 是 的中位線，
所以 ，
因為 ，，
所以 ．
(2) 因為 ，，，
所以 ，，
因為 可知 是等腰直角三角形，而 是斜邊 的中點，
所以 ，
因為底面 是正方形，
所以 ，
又 ，，
所以 ，
而 ，
所以 ，
又 ， 于 點，，
所以 ，
所以 ，
又 ，且 ，，
所以 ．
(3) 以 為原點，，， 所在直線為 軸， 軸， 軸正方向建立空間直角坐標系，
設 ，則 ，，，
設平面 的一個法向量為 ，
由（Ⅱ）中 ，可得 為平面 的一個法向量，可取 ，
設平面 的一個法向量為 ，
則 ，，
因為
取 ，則
，
所以二面角 的大小為 ．
17. 【答案】
(1) ．
當 時，，則 在 單調(diào)遞增．
若 ，則 在 單調(diào)遞增，
在 單調(diào)遞減．
(2) 第一次構(gòu)造輔助函數(shù) ．
要證原不等式成立，需證 ，
即證 ．
由（）知，當 時，．
即證 ，
不妨設 ，則證 ，
令 ，求導得 ．
時，； 時，．
所以 在 單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減，
則 ．
故 ．
18. 【答案】
(1) 依題意，以 為原點，分別以 ，， 的方向為 軸、 軸、 軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖）．
可得 ，，，，，，，，．
依題意，，，
從而 ，
所以 ．
(2) 依題意， 是平面 的一個法向量，
，．
設 為平面 的法向量，
則 即
不妨設 ，可得 ．
，
所以 ，
所以，二面角 的正弦值為 ．
(3) 依題意，，
由（）知 為平面 的一個法向量，
于是 ，
所以，直線 與平面 所成角的正弦值為 ．
19. 【答案】
(1) 當 時，，．
所以 ，．
所以曲線 在點 處的切線方程為：，
即 ．
(2) 的定義域為 ，
當 時，，
令 ，得 或 ．
與 的情況如下：所以 的單調(diào)增區(qū)間為 ，，單調(diào)減區(qū)間為 ，．
(3) 法 ：
“”是“ 時， 恒成立”的必要條件．
當 ， 時，．
設 ，
由（Ⅱ）知， 在 上滿足 ，
所以，當 ， 時，，
所以 的取值范圍是 ．
法 ：
因為 時， 恒成立，
所以 ．
令 ，．
所以 ，
分析解析式發(fā)現(xiàn) ．
令 ，
所以 ．
所以 單調(diào)遞增．
與 的情況如下：所以 ，
所以 的取值范圍是 ．
法 ：
，
①當 時，因為 ，所以
取 ，得 ，不合題意；
②當 時，，
顯然 存在唯一負實數(shù)根 ，且在 上 ，在 上 ，
所以 在 上遞減，在 上遞增，所以 ，
由 得 ，
所以 ，
滿足 成立即可滿足題意，
設 ，則 ，
所以 在 時單調(diào)遞減，又 ，所以 ，
設 ，則 在 時成立
所以 在 單調(diào)遞增，
所以 時 恒成立．莊浪一中2024-2025學年度第二學期期中考試
高二數(shù)學
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
已知向量 ，，且 ，那么 等于
A． B． C． D．
已知函數(shù) 在 上可導，則
A． B． C． D．
如圖， 是直三棱柱，，點 ， 分別是 ， 的中點，若 ，則 與 所成角的余弦值是
A． B． C． D．
如圖，空間四邊形 中，，，，點 在 上，且滿足 ，點 為 的中點，則
A． B．
C． D．
曲線 在點 處的切線方程為
A． B．
C． D．
已知函數(shù) ，若 是函數(shù) 的極大值點，則函數(shù) 的極小值為
A． B． C． D．
若關(guān)于 的不等式 恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是
A． B． C． D．
正四棱錐 中， 為頂點 在底面 內(nèi)的正投影， 為側(cè)棱 的中點，且 ，則異面直線 與 的距離為
A． B． C． D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分.
設函數(shù) ，則下列說法正確的是
A． 定義域是 B． 時， 圖象位于 軸下方
C． 存在單調(diào)遞增區(qū)間 D． 有且僅有兩個極值點
如圖，在四面體 中，點 ，，， 分別是棱 ，，， 的中點，截面 是正方形，則下列結(jié)論正確的為
A．
B．
C．
D．異面直線 與 所成的角為
下列說法正確的是
A．曲線 在 處的切線與直線 和 圍成的三角形的面積為
B．函數(shù) 與函數(shù) 的圖象在點 處的切線相同，則實數(shù)
C．曲線 在點 處的切線方程為 ，則點 的坐標是
D．直線 上的點到曲線 距離的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
若 是函數(shù) 的一個極值點，則實數(shù) ．
如圖，在正四棱錐 中，底邊 ，側(cè)棱 ， 為側(cè)棱 上一點，若 ，則二面角 的余弦值是 ．
如圖，在棱長為 的正方體 中，， 分別是棱 ， 的中點，點 在線段 上運動，給出下列四個結(jié)論：
①平面 截正方體 所得的截面圖形是五邊形；
②直線 到平面 的距離是 ；
③存在點 ，使得 ；
④ 面積的最小值是 ．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
（13分）已知函數(shù) ．
(1) 若曲線 在點 處的切線斜率為 ，求 的值；
(2) 求 在區(qū)間 上的最大值與最小值．
（15分）如圖，在四棱錐 中，底面 是正方形，，， 是 的中點，作 交 于點 ．
(1) 證明：；
(2) 證明：；
(3) 求二面角 的大?。?br/>（15分）已知函數(shù) ．
(1) 討論 的單調(diào)性．
(2) 當 時，證明 ．
（17分）如圖，在三棱柱 中，，，，，點 ， 分別在棱 和棱 上，且 ，， 為棱 的中點．
(1) 求證：；
(2) 求二面角 的正弦值；
(3) 求直線 與平面 所成角的正弦值．
（17分）已知函數(shù) ．
(1) 當 時，求曲線 在 處的切線方程；
(2) 當 時，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
(3) 當 時， 恒成立，求 的取值范圍．

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