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臨潭縣第二中學(xué)2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期高三模擬考試
高三 數(shù)學(xué)
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
若復(fù)數(shù) 的實部與虛部相等，則實數(shù)
A． B． C． D．
已知集合 滿足 ，則集合 的個數(shù)是
A． B． C． D．
對于實數(shù) ，“”是“方程 表示雙曲線”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
已知向量 ，，， 為向量 在向量 上的投影向量，則
A． B． C． D．
如圖，斜線段 與平面 所成的角為 ， 為斜足，平面 上的動點 滿足 ，則點 的軌跡是
A．直線 B．圓 C．拋物線 D．橢圓
已知等差數(shù)列 的前 項和為 ，若 ，則數(shù)列 的公差是
A． B． C． D．
函數(shù) 在區(qū)間 上存在最值，則實數(shù) 的取值范圍為
A． B． C． D．
如圖，在同一平面內(nèi)沿平行四邊形 兩邊 ， 向外分別作正方形 ，，其中 ，，，則
A． B． C． D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分.
下列命題中，正確的有
A．在線性回歸模型中，相關(guān)指數(shù) 表示解釋變量 對于預(yù)報變量 變化的貢獻(xiàn)率， 越接近于 ，表示回歸效果越好．
B．兩個變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于 ．
C．在回歸直線方程 中，當(dāng)解釋變量 每增加一個單位時，預(yù)報變量 平均減少 個單位
D．對分類變量 與 ，它們的隨機變量 的觀測值 來說， 越小，“ 與 有關(guān)系”的把握程度越大
設(shè)函數(shù) （），已知 在 有且僅有 個零點，下列說法正確的是
A．在 上存在 ，，滿足 B． 在 有且僅有 個最大值點
C． 在 單調(diào)遞增 D． 的取值范圍是
已知 是拋物線 的焦點，， 是經(jīng)過點 的弦且 ， 的斜率為 ，且 ，， 兩點在 軸上方，則下列結(jié)論中成立的是
A． B．若 ，則
C． D．四邊形 面積的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
在等比數(shù)列 中，，，則公比 ； ．
已知 ，且 ，則 的最小值為 ．
在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖，若四棱錐 為陽馬，側(cè)棱 ，且 ，，設(shè)該陽馬的外接球半徑為 ，內(nèi)切球半徑為 ，則 ；內(nèi)切球的體積 ．
解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
（13分）如圖所示，在四棱錐 中，底面四邊形 是菱形，， 是邊長為 的等邊三角形，，．
(1) 求證：．
(2) 求直線 與平面 所成角的大小．
(3) 在線段 上是否存在一點 ，使得 ？如果存在，求 的值，如果不存在，請說明理由．
（15分）在 中，設(shè) ，， 分別是角 ，， 的對邊，已知向量 ，，且 ．
(1) 求角 的大小．
(2) 若 ，求 的周長的取值范．
（15分）人民日報客戶端 年 月 日消息，由國際組織“”編制的新一期全球超級計算機 強榜單 月 日揭曉榜單顯示，在全球浮點運算性能最強的 臺超級計算機中，中國部署的超級計算機數(shù)量繼續(xù)位列全球第一，達(dá)到 臺，占總體份額超過 ；“神威·太湖之光”和“天河二號”分列榜單第四、第五位．超算，即超級計算或高性能計算，是計算機界“皇冠上的明珠”，也被視為科技突破的“發(fā)動機”.在目前最需要突破的研究領(lǐng)域—— 新型冠狀病毒的防治中，超算正在發(fā)揮力量．為了了解國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度，某調(diào)查公司對兩種國產(chǎn)品牌處理器進(jìn)行了 次測試，結(jié)果如下：（數(shù)值越小，速度越快，單位是 ）
(1) 從品牌A的 次測試結(jié)果中，隨機抽取一次，求測試結(jié)果小于 的概率．
(2) 在 次測試中，隨機抽取三次，記 為品牌A的測試結(jié)果大于品牌B的測試結(jié)果的次數(shù)，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望 ．
(3) 經(jīng)過了解，前 次測試是打開含有文字與表格的文件，后 次測試是打開含有文字與圖片的文件．請你依據(jù)表中數(shù)據(jù)，運用所學(xué)的統(tǒng)計知識，對這兩種國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度進(jìn)行評價．
（17分）在平面直角坐標(biāo)系 中，橢圓 的離心率為 ，直線 被橢圓 截得的線段長為 ．
(1) 求橢圓 的方程；
(2) 過原點的直線與橢圓 交于 ， 兩點（， 不是橢圓 的頂點），點 在橢圓 上，且 ，直線 與 軸 軸分別交于 ， 兩點．設(shè)直線 ， 斜率分別為 ，，證明存在常數(shù) 使得 ，并求出 的值．
（17分）已知函數(shù) ．
(1) 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
(2) 當(dāng) 時，求 的值域；
(3) 若關(guān)于 的不等式 （）恒成立，求實數(shù) 的取值范圍；
(4) 若 ，求證：．參考答案
一、單項選擇題（共8題，共40分）
1. 【答案】B
2. 【答案】B
【解析】滿足 的集合 有 ，，，共三個．
3. 【答案】C
【解析】若方程 表示雙曲線，則 ，得 ，
則“”是“方程 表示雙曲線”的充要條件．
4. 【答案】A
5. 【答案】D
【解析】平面 上的動點 滿足 ，可以理解為 在以 為軸的圓錐的側(cè)面上，再由斜線段 與平面 所成的角為 ，可得 的軌跡為一以 為軸線的圓錐側(cè)面與 的交線，構(gòu)成的圖形為橢圓．
故選D．
6. 【答案】B
【解析】 為等差數(shù)列，前 項和為 ，
又 ，則 ，即 ，
設(shè) 的公差為 ，則 ．
故選B．
7. 【答案】D
【解析】因為 ，所以題中問題等價于 ，即 解得 ，故答案為 ．
8. 【答案】A
二、多項選擇題（共3題，共18分）
9. 【答案】A；B；C
【解析】對于 ，對分類變量 與 ，它們的隨機變量 的觀測值 來說， 越大，“ 與 有關(guān)系”的把握程度越大，故D錯誤．A 、 B、 C說法均正確，故選A、 B、 C．
10. 【答案】A；D
【解析】對A， 在 有且僅有 個零點，
則函數(shù)的最小正周期 ，
所以在 上存在 ，，使得 ，，
所以 可以成立，故A正確；
對B，由D選項中前 個零點分別是：，，，，
得 ，
此時 可使函數(shù) 取得最大值，
因為 ，
所以 ，所以 在 可能存在 個最大值點，故B錯誤；
對C，由D選項中 ，
所以 ，
區(qū)間 不是 的子區(qū)間，故C錯誤；
對D，函數(shù) 在 軸右側(cè)的前 個零點分別是 ，，，
則函數(shù) 在 軸右側(cè)的前 個零點分別是 ，，，，
因為 在 有且僅有 個零點，所以 ，故D正確．
11. 【答案】A；C
【解析】設(shè) ，， 的方程為 ，
由 可得 ，
則
所以 ，
同理可得 ，
則有 ，所以A正確；
與 無關(guān)，同理 ，
故 ，C正確；
若 ，由 ，
得 ，解得 ，故B錯誤；
因為 ，所以四邊形 的面積
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時，等號成立，故D錯誤．
三、填空題（共3題，共15分）
12. 【答案】 ；
【解析】 ，所以 ，，
13. 【答案】
14. 【答案】 ；
四、解答題（共5題，共77分）
15. 【答案】
(1) 因為底面 是菱形，，
所以 為 ， 中點．
又因為 ，，
所以 ，，
所以 ．
(2) 由底面 是菱形可得 ，
又由（Ⅰ）可知 ，．
如圖，以 為原點建立空間直角坐標(biāo)系 ．
由 是邊長為 的等邊三角形，，
可得 ，．
所以 ，，，．
所以 ，．
由已知可得 ，
設(shè)平面 的法向量為 ，則
令 ，則 ，
所以 ．
因為 ，
所以直線 與平面 所成角的正弦值為 ，
所以直線 與平面 所成角的大小為 ．
(3) 設(shè) ，
則 ．
若使 ，需且僅需 且 ，
解得 ，
所以在線段 上存在一點 ，使得 ．
此時 ．
16. 【答案】
(1) 由向量 ，，且 ，
得：，
由正弦定理，得：，
化為：，由余弦定理，得：，
所以，．
(2) 因為 ，
所以，，
由 ，得：，
由正弦定理，得：，
的周長為：
由 ，得：，，
所以，周長 ．
17. 【答案】
(1) 記事件 ：品牌A的 次測試結(jié)果中，測試結(jié)果小于 ．
一共有：，，，，，， 共 種情況．
所以
(2) 在 次測試中，品牌A的測試結(jié)果大于品牌B的測試結(jié)果的次數(shù)為 ．
的所有可能取值為：，，，．
；；
；．
所以 的分布列為：數(shù)學(xué)期望為 ．
(3) 本題答案不唯一．
結(jié)論一：品牌B處理器對含有文字與表格的文件的打開速度快一些，品牌A處理器對含有文字與圖片的文件的打開速度快一些．
理由如下：從前 次測試（打開含有文字與表格的文件）來看，對于含有文字與表格的相同文件，品牌A的測試有 次打開速度比品牌B快（數(shù)值小)，品牌B有 次比品牌A快，從后 次測試（打開含有文字與圖片的文件）來看，對于含有文字與圖片的相同文件，品牌A有 次打開速度比品牌B快（數(shù)值小）．
結(jié)論二：品牌A打開文件的速度快一些．
理由如下：品牌A處理器測試結(jié)果的平均數(shù)為 ，品牌B處理器測試結(jié)果的平均數(shù)為 ，所以品牌A打開文件的速度快一些．
18. 【答案】
(1) 因為 ，所以 ，即 ，，所以 ，
設(shè)直線與橢圓交于 ， 兩點．不妨設(shè) 點為直線和橢圓在第一象限的交點，
又因為弦長為 ，所以 ，所以 ，可得 ，
解得 ，，所以橢圓方程為 ．
(2) 設(shè) ，，則 ，
直線 的斜率 ，又 ，故直線 的斜率 ，
設(shè)直線 的方程為 ，由題意知 ，．
由 ，可得 ．
所以 所以 ．
由題意知 所以 ，
所以直線 的方程為 ，
令 ，得 ，即 ，可得 ，
所以 ，即 ．因此存在常數(shù) 使得結(jié)論成立．
19. 【答案】
(1) 由已知 ，
由 ，得 或 ，由 ，得 ．
所以，函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，，單調(diào)遞減區(qū)間為 ．
(2) 結(jié)合（）可知，當(dāng) 時， 的最小值為 ．
又因為 ，，所以 的最大值為 ；
所以，當(dāng) 時，函數(shù) 的值域為 ．
(3) 關(guān)于 的不等式 （）恒成立，
即當(dāng) 時， 恒成立， 應(yīng)小于等于函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值，
所以 ．
(4) 函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，，單調(diào)遞減區(qū)間為 ．
所以，若 ，有 ，即 ，
同理，，
所以 ，即 ．

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