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太原市常青藤中學(xué) 平魯區(qū)李林中學(xué)2024-2025年度下學(xué)期聯(lián)考
高 二 數(shù)學(xué) 試 題
卷面分?jǐn)?shù)：150分 答題時(shí)間：120分鐘
一、單選題（本小題8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1．下列求導(dǎo)運(yùn)算結(jié)果不正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．在等差數(shù)列中，，，則的公差為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是（ ）
A． B． C． D．
4．在的二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
5．由0，1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，是5的倍數(shù)的有（ ）
A．120個(gè) B．30個(gè) C．36個(gè) D．48個(gè)
6．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（ ）
A．27 B．3 C．1或3 D．1或27
7．已知函數(shù)在時(shí)有極值為，則（ ）
A． B．或 C． D．
8．若函數(shù)，且，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題（本小題3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）
9．下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．若，則正整數(shù)x的值是1
10．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，，則下列說法正確的有（ ）
A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
C． D．
11．已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（ ）
A．存在，使得 B．函數(shù)的遞減區(qū)間是
C．任意，都有
D．對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)、，且，若，則
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 .
13．甲、乙、丙等人站成一排，其中甲、乙、丙3人相鄰，則不同的站法共有 種．
14．定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，且，則使得成立的x的取值范圍為 .
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
15．（13分）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求函數(shù)的極值．
16（15分）已知在的展開式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比為．
(1)求n的值；
(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng)（用數(shù)字作答）．
17.（15分）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
18.（17分）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）如果對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，求證：.
（17分）已知函數(shù)
(1)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(2)已知有兩個(gè)零點(diǎn)
①求實(shí)數(shù)a的取值范圍. ②當(dāng)時(shí),證明
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高 二 數(shù)學(xué) 試 題
卷面分?jǐn)?shù)：150分 答題時(shí)間120分鐘
一、單選題
1．下列求導(dǎo)運(yùn)算結(jié)果不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；
，故D正確.故選：A.
2．在等差數(shù)列中，，，則的公差為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】由題可知，得，，得，
所以的公差.
故選：B
3．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解】由，得到，所以，
所以在點(diǎn)處的切線方程是，即，
故選：A.
4．在的二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
【答案】A
【詳解】展開式的通項(xiàng)為，令，則，
所以項(xiàng)的系數(shù)為.故選：A.
5．由0，1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，是5的倍數(shù)的有（ ）
A．120個(gè) B．30個(gè) C．36個(gè) D．48個(gè)
【答案】C
【解】因?yàn)?的倍數(shù)的特征是個(gè)位數(shù)字為5或0，所以按照個(gè)位數(shù)字分為兩類：
當(dāng)個(gè)位數(shù)字為5時(shí)，首位數(shù)字從1，2，3，4中選一個(gè)，十位數(shù)字從0及余下的3個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，所以有（個(gè)）；
當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，前面兩位數(shù)字從1，2，3，4，5中選2個(gè)排列，所以有（個(gè)），
所以所求的三位數(shù)共有（個(gè)）．故選：C.
6．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（ ）
A．27 B．3 C．1或3 D．1或27
【答案】A
【解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)椋傻炔顢?shù)列，
所以，所以，化簡(jiǎn)得，
所以（不合題意，舍去），所以.故選：A.
7．已知函數(shù)在時(shí)有極值為，則（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】A
【分析】求導(dǎo)，由題意列方程組及不等式，從而解出，的值．
解：，由題意，解得，.
此時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在時(shí)取得極小值，合乎題意.
因此，.故選：A．
8．若函數(shù)，且，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解】易知的定義域?yàn)椋煽傻茫矗灰驗(yàn)椋裕矗?br/>構(gòu)造函數(shù)，則，
可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，所以，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，
因此在處取得極小值，也是最小值，；
即可得，解得.所以正實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C
二、多選題
9．下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．若，則正整數(shù)x的值是1
【答案】ABC
【解】選項(xiàng)A，因?yàn)椋蔄正確；選項(xiàng)B，，故B正確；選項(xiàng)C，由，
，得，故C正確；
選項(xiàng)D，因?yàn)椋曰颍椿?，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.
10．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，，則下列說法正確的有（ ）
A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
C． D．
【答案】BCD
【解】因?yàn)椋裕瑒t是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；根據(jù)題意得，，
所以數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為1的等比數(shù)列，則 ，故B正確；
所以，故C正確；
，故D正確.故選：BCD
11．已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（ ）
A．存在，使得 B．函數(shù)的遞減區(qū)間是
C．任意，都有 D．對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)、，且，若，則
【答案】BCD
【解】因?yàn)椋x域?yàn)椋?br/>令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以函數(shù)，在處取得極小值也就是最小值，，所以對(duì)任意，故正確、錯(cuò)誤；
令，則，，
令，
則．
在上為減函數(shù)，則，令，由，得，
則，當(dāng)時(shí)顯然成立．
對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)、，且，若，則正確，故正確．故選：BCD
三、填空題
12．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 .
【答案】
【解】因?yàn)椋?br/>所以．故答案為：．
13．甲、乙、丙等人站成一排，其中甲、乙、丙3人相臨，則不同的站法共有 種．
【答案】36
14．定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，且，則使得成立的x的取值范圍為 .
【答案】
【解】設(shè)，為偶函數(shù)
當(dāng)時(shí)，
所以時(shí)，單調(diào)遞減，且
時(shí)，單調(diào)遞增，且所以
故答案為：
四、解答題
15．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求函數(shù)的極值．
【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為
(2)極大值16，極小值
【解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?dǎo)函數(shù)，令，解得，
則，隨的變化情況如下表：
2
0 0
取極大值 取極小值
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為;
（2）由小問1知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值16;
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值．
16．已知在的展開式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比為．
(1)求n的值；
(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng)．
【答案】(1)6 (2)4860
【解】（1）由展開式的第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比為5:2，
得，即，而，所以.
（2）二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式為，
由，得，則，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為4860.
17.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）設(shè)的公差為，則，，
解得，.故.
（2）由（1）可得，
所以，①
則，②
①②，得
，所以.
18.已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）如對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，求證：.
【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.
【解】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到在處的切線的斜率，并根據(jù)函數(shù)的解析式求得處的切點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用直線的點(diǎn)斜式方程得到切線的方程；
（2）求得后，根據(jù)在上的取值的正負(fù)情況對(duì)進(jìn)行分類，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助于,進(jìn)行分析，得到的取值范圍；
（3）借助于（2）中的結(jié)論，得到當(dāng)時(shí)的不等式，利用基本不等式的性質(zhì)和分析方法轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和最值，從而證得.
【詳解】（1）時(shí)，，則,
所以,而,所以切線方程為;
（2）因?yàn)椋郧遥?br/>當(dāng)時(shí)，在上，恒成立，且至多在處取得等號(hào)，
在上單調(diào)遞增，又對(duì)任意的恒成立，符合題意；
當(dāng)時(shí)，令,解得,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,.與已知矛盾,不符合題意.綜上所示，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（3）由（2）得，時(shí)，對(duì)于任意的恒成立，即,
又時(shí)，，
為證，只需證明,令,
則,
當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，
又在時(shí)，恒成立.
所以當(dāng)時(shí)， 成立.
方法二： 主參分離法：
方法三： 研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的圖像
19.已知函數(shù)
(1)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(2)已知有兩個(gè)零點(diǎn)，，
①求實(shí)數(shù)a的取值范圍
②當(dāng)時(shí),證明
【解析】（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），因?yàn)閒（x）在定義域上為增函數(shù)，
所以在（0，+∞）上恒成立.
即恒成立.，即，
令，所以，時(shí)，時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即.
（2）① 定義域?yàn)?br/>當(dāng)時(shí)，，所以在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意.
當(dāng)時(shí)，,在（0，）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為，
函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)的必要條件是，即，又，
所以在（1，）上存在一個(gè)零點(diǎn)（）.
當(dāng)時(shí)，，所以在（，+∞）上存在一個(gè)零點(diǎn)，
綜上函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
方法二 主參分離法：
② 當(dāng),由，所以，
所以， ，
要證明 , 只需證明
而
令，則，欲證明
即證明，只需證明即可，
令，
求導(dǎo)得，
令，當(dāng)時(shí)，，
則在單調(diào)遞增，故，
則，令在時(shí)單調(diào)遞增，則，
因此，即，所以
試卷第1頁，共3頁

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