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高三數(shù)學
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 集合，，則（ ）
A. B. C. D.
2. 等差數(shù)列中，若，則（ ）
A. 270 B. 225 C. 180 D. 135
3. 在復平面內(nèi)，點對應(yīng)的復數(shù)為，則（ ）
A B. C. D.
4. 若隨機變量，且，則的最小值為（ ）
A. 18 B. C. 24 D. 27
5. 若，則（ ）
A. B. C. D.
6. 已知點在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，，，則（ ）
A. B. C. D.
7. 有一組樣本數(shù)據(jù)為，3，7，8，9，11，在其中添加一個數(shù)構(gòu)成一組新的樣本數(shù)據(jù)，若，則新舊樣本數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)相等的概率為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是函數(shù)的零點，是函數(shù)的零點，則的值為（ ）
A. B. 1 C. D. e
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的數(shù)字圖形（見下圖），即楊輝三角，這是數(shù)學史上的一個偉大成就．在楊輝三角中，第行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項，依次構(gòu)成數(shù)列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5， ，則下列說法正確的是（ ）
A.
B.
C. 第項為
D. 從楊輝三角的圖中抽取一斜線的數(shù)列1，3，6，10，15，…，得到其倒數(shù)和，則
10. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A 若有兩個極值點
B. 的對稱中心為
C. 過平面內(nèi)一點作的切線最多有三條
D. 有三個不同的根，則
11. 已知為坐標原點，橢圓的長軸長為4，離心率為，過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，連接并分別延長交橢圓于兩點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若直線的斜率分別為，則
C. 若拋物線的準線與軸交于點，直線的傾斜角為，則
D. 的最小值為
第II卷（非選擇題，共92分）
三 填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上.
12. 已知復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則______.
13. 直三棱柱中，為邊中點，則異面直線與所成角的余弦值為______.
14. 已知定義在上的函數(shù)滿足，則______；若為偶函數(shù)，，且時，，則圖象與曲線的交點個數(shù)為______.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)．
（1）求A；
（2）若，面積為，求a的值．
16 某校高一年級開設(shè)建模，寫作，籃球，足球，音樂，朗誦，素描7門選修課，每位同學須彼此獨立地選3門課程，其中甲選擇籃球，不選擇足球，丙同學不選素描，乙同學沒有要求.
（1）求甲同學選中建模且乙同學未選中建模的概率；
（2）用表示甲、乙、丙選中建模的人數(shù)之和，求的分布列和數(shù)學期望.
17. 如圖，在多面體中，是邊長為2的等邊三角形，平面，，，，，設(shè)為的中點．
（1）證明：平面；
（2）設(shè)為棱上的動點，求與平面所成角的正弦值的最大值．
18. 已知函數(shù)
（1）若，討論函數(shù)在的單調(diào)性；
（2）若，求證：．
（3）若在上有唯一零點，求實數(shù)的最小值．
19. 已知經(jīng)過定點動圓與直線相切，記圓心的軌跡為曲線，直線與曲線交于不同的兩點，以分別為切點作曲線的切線與的交點為.
（1）求點軌跡方程；
（2）設(shè)點，連接，分別與曲線的另一個交點為，直線與軸相交于，連接，分別與曲線的另一個交點為，直線與軸相交于，連接，分別與曲線的另一個交點為，直線與軸相交于，已知.
（i）求數(shù)列的通項；
（ii）已知為數(shù)列的前項和，求使不等式成立時，的最小值.
BCDCA CCD 9AC 10BC 11ACD
12 5 13 14 ①. ②.
15 （1）由得，由正弦定理得．
由余弦定理得．
，．
【2詳解】
由于的面積為，
，
，
由余弦定理得：．
．
16 【1】
由題意，甲選擇籃球，并在建模，寫作，音樂，朗誦，素描5門里再選2門，則選中建模的概率為；
乙同學沒有要求，則選中建模的概率為.
故甲同學選中建模且乙同學未選中建模的概率為.
【2】
由（1）甲選中建模的概率為，乙選中建模的概率為，丙選中建模的概率為，
由題意可能的取值有0，1，2，3，故
，
，
，
.
故的分布列：
0 1 2 3
17【小問1詳解】
如圖，在平面ABC內(nèi)過點作直線，
∵平面，平面，∴，，
∴以為坐標原點，分別為坐標軸，如圖建立空間直角坐標系，
則，，，，
∵為的中點，∴，
∴，，，
∴，即，
又∵平面，平面，，
∴平面.
【小問2詳解】
設(shè)，即
則，
，，
設(shè)平面的一個法向量，
則，令，則，
即，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
令，
當時，取最小值，即，
即當時，取得最大值，，
18【小問1詳解】
當時，，
，
由，，
令，則，所以，或，
令，則，所以，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
【小問2詳解】
令，則，可得，
令，則，，在上單調(diào)遞減，
，在上單調(diào)遞增，
所以時，即，所以；
【小問3詳解】
令，即，
在上有唯一的零點，即與有唯一的交點，
，由（2）知，
，
在上單調(diào)遞增，故，，
，的最小值為1．
19小問1詳解】
依題意可知，動圓的圓心到點與到直線的距離相等，
根據(jù)拋物線定義可得曲線是以為焦點，為準線的拋物線，
所以曲線的方程為，則直線經(jīng)過拋物線的焦點，
設(shè)，聯(lián)立，整理得恒成立，
則，又可化為，則，
所以，聯(lián)立，
消可得，
又因為，所以點的軌跡方程為.
【小問2詳解】
（i）設(shè)，則，
又，則，又，
所以，即直線的方程為，
整理得，令，可得，①
同理得的方程為，令，可得，②
又直線的斜率為，
所以直線的方程為，令，得，
由①可知，，
①②可得.
于是可得，即，又因為，則，
于是，即，即，
即，又，
所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
則，所以，所以
（ii）由（i）可知，，則，
所以，
則，
兩式作差可得
所以.
令，即.
當時，顯然不合題意；
當時，隨著的增大而增大，
又，
，
，
則滿足不等式的的最小值為9.

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