資源簡介

長郡中學2025年高一期末模擬考試
數(shù)學
本試卷共4頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。
注意事項：
1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷和答題卡上。
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。
3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．60名學生參加甲、乙兩項體育活動，每人至少參加了一項，參加甲項的學生有40名，參加乙項的學生有35名，則僅參加了一項活動的學生人數(shù)為（ ）
A．50 B．35 C．40 D．45
2．如果a b ，那么下列命題中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，，則
3．已知函數(shù)為冪函數(shù)，則（ ）
A． B．1
C． D．2
4．已知函數(shù)（其中,）圖象相鄰對稱軸的距離為，一個對稱中心為，為了得到的圖象，則只要將的圖象（ ）
A．向右平移個單位 B．向右平移個單位
C．向左平移個單位 D．向左平移個單位
5．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，則sin θ－cos θ的值為(　　)
A．－ B． C． D．－
6．函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
7．當時，不等式 恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
8．若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分.
9．下列選項中，是的充要條件的是（ ）
A．：，：，
B．：，：
C．：三角形是等腰三角形，：三角形存在兩角相等
D．：四邊形是正方形，：四邊形的對角線互相垂直平分
10．下列各式正確的有（ ）
A．
B．，則
C．若，則
D．若，則.
11．定義在上的奇函數(shù)在上的解析式，則在上正確的結論是（ ）
A． B． C．最大值 D．最小值
填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．函數(shù)的定義域為______.
13．若，則的值為________.
14．已知函數(shù)，若關于的方程有兩個不同的實根，則數(shù)的取值范圍是______.
解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
16．已知函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且.
（1）求函數(shù)在上的值域﹔
（2）判斷并證明函數(shù)在上的單調性.
17．設是不共線的兩個非零向量.
（1）若，求證：三點共線；
（2）若與共線，求實數(shù)的值；
（3）若，且三點共線，求實數(shù)的值.
18．在中，角，，所對的邊分別為，，，滿足.
（1）求的大小；
（2）若，求面積的最大值.
19．如圖，平面，四邊形是矩形， ，點是的中點，點在邊上移動.
（1）當點為的中點時，試判斷與平面的位置關系，并說明理由；
（2）證明：無論點E在邊BC的何處，都有.
長郡中學2025年高一期末模擬考試
答案
1．60名學生參加甲、乙兩項體育活動，每人至少參加了一項，參加甲項的學生有40名，參加乙項的學生有35名，則僅參加了一項活動的學生人數(shù)為（ ）
A．50 B．35 C．40 D．45
【答案】D
【解析】
用集合表示參加甲項體育活動的學生，用集合表示參加乙項體育活動的學生，
用來表示有限集合中的元素個數(shù)，
于是有：，
即：，
因此僅參加了一項活動的學生人數(shù)為：，
故選：D
2．如果a b ，那么下列命題中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，，則
【答案】B
【解析】
對于A，若,不成立，錯誤
對于B，因為在分母位置，即，兩邊同乘，得到，正確
對于C，，滿足，無意義，錯誤
對于D， ，滿足若，，不成立，錯誤
故選：B
3．已知函數(shù)為冪函數(shù)，則（ ）
A． B．1
C． D．2
【答案】D
【解析】
由已知得，解得.
故選：D.
4．已知函數(shù)（其中,）圖象相鄰對稱軸的距離為，一個對稱中心為，為了得到的圖象，則只要將的圖象（ ）
A．向右平移個單位 B．向右平移個單位
C．向左平移個單位 D．向左平移個單位
【答案】D
【詳解】
由題設,則,將代入可得
,所以,則,
而,
，將的圖象向左平移個單位可得到的圖象，所以應選D.
5．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，則sin θ－cos θ的值為(　　)
A．－ B． C． D．－
【答案】A
【解析】
∵sinθ+cosθ=，
∴（sinθ+cosθ）2=sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ= ，
所以2sinθcosθ= 又因為0＜θ＜，所以0sinθ﹣cosθ＜0，
∴（sinθ﹣cosθ）2=sin2θ+cos2θ﹣2sinθcosθ=1﹣2sinθcosθ= ，
則sinθ﹣cosθ=﹣ ．
故選A．
6．函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
當時，，開口向下，對稱軸為，故其遞增區(qū)間是；
當時，，開口向上，對稱軸為，在時，單調遞減，綜上：的單調遞增區(qū)間是.
故選：A.
7．當時，不等式 恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
設，其中.
①當時，即當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，
則，解得，此時不存在；
②當時，，解得；
③當時，即當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，
則，解得，此時不存在.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
8．若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
分段函數(shù)在上為單調遞增函數(shù)，
需滿足在各段內單調的基礎上還得滿足在臨界點上左邊界的值不大于右邊界的值，
即且，，解得，
故選：D．
多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分.
9．下列選項中，是的充要條件的是（ ）
A．：，：，
B．：，：
C．：三角形是等腰三角形，：三角形存在兩角相等
D．：四邊形是正方形，：四邊形的對角線互相垂直平分
【答案】BC
【解析】
對于A：由，得，或，，故不是的充要條件，故A錯誤；
對于B：由，則，若則，故是的充要條件，故B正確；
對于C：三角形是等腰三角形三角形存在兩角相等，故是的充要條件，故C正確；
對于D：四邊形的對角線互相垂直且平分四邊形為菱形，故不是的充要條件，故D錯誤；
故選：BC
10．下列各式正確的有（ ）
A．
B．，則
C．若，則
D．若，則.
【答案】AB
【解析】
對于A：因為，所以，故選項A正確；
對于B：若，則，可得，
所以，故選項B正確；
對于C：若，則，故選項C不正確；
對于D：由，可得，故選項D不正確；
故選：AB.
11．定義在上的奇函數(shù)在上的解析式，則在上正確的結論是（ ）
A． B． C．最大值 D．最小值
【答案】ABC
【解析】
由題可知，函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則，
已知在上的解析式，
則當時，，則，
所以當時，，
可知，，且最大值為，無最小值，
所以在上正確的結論是ABC.
故選：ABC.
填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．函數(shù)的定義域為______.
【答案】
【解析】
由題可知：，.
所以，
函數(shù)的定義域是.
故答案為：
13．若，則的值為________.
【答案】
【解析】
解：∵，
∴.
故答案為：.
14．已知函數(shù)，若關于的方程有兩個不同的實根，則數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
當時，即為，解得，
當時，即為，解得，
因為關于的方程有兩個不同的實根，所以且，
解得且，
所以.
故答案為：.
解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1) ； (2)
【解析】
（1）由，得.
將式兩邊平方，得，故，
又，∴，. ∴.
，
∴.
（2）
.
16．已知函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且.
（1）求函數(shù)在上的值域﹔
（2）判斷并證明函數(shù)在上的單調性.
【答案】
（1）；
（2）函數(shù)在上單調遞增，證明見解析.
【解析】
（1）∵，①
∴，
又是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，
∴，②
由①②可得：，.
∵是增函數(shù)，是減函數(shù)﹐
∴在上單調遞增，
∴所求值域為，即
（2）函數(shù)在上單調遞增．證明如下：
在上任取，，令，
由（1）：，
∵，則，，，，
∴，
∴函數(shù)在上單調遞增.
17．設是不共線的兩個非零向量.
（1）若，求證：三點共線；
（2）若與共線，求實數(shù)的值；
（3）若，且三點共線，求實數(shù)的值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.（3）.
【解析】證明：（1），所以.
又因為為公共點，所以三點共線.
（2）設，則
解得或
所以實數(shù)的值為.
（3），
因為三點共線，所以與共線.
從而存在實數(shù)使，即，
得解得所以.
18．在中，角，，所對的邊分別為，，，滿足.
（1）求的大小；
（2）若，求面積的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）．
，
，
，
，
．
（2），
，
，當時取得等號，
面積的最大值.
19．如圖，平面，四邊形是矩形， ，點是的中點，點在邊上移動.
（1）當點為的中點時，試判斷與平面的位置關系，并說明理由；
（2）證明：無論點E在邊BC的何處，都有.
【答案】（1）平面，理由見解析.（2）證明見解析
【解析】（1）是的中點，是的中點，
.又平面.平面，
平面.
（2）以為原點，所在的直線分別為軸 軸 軸建立空間直角坐標系，
則，，，
設，則
在上，
設，
，，
，.
無論點在邊的何處，都有.

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