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藺陽(yáng)中學(xué)高2023級(jí)高二下期末模擬考試
數(shù)學(xué)試題
數(shù)學(xué)試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共4頁(yè)，滿分150分.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)填寫在答題卷上相應(yīng)位置.
2.選擇題答案使用鉛筆填涂在答題卷對(duì)應(yīng)題目號(hào)的位置上，填涂在試卷上無(wú)效.
3.非選擇題答案請(qǐng)使用黑色簽字筆填寫在答題卷對(duì)應(yīng)題目號(hào)的位置上，填寫在試卷上無(wú)效.
第I卷（選擇題 共58分）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．若雙曲線的離心率為，則該雙曲線的焦距為（ ）
A． B． C． D．
3．已知隨機(jī)變量，則（ ）
A． B． C．4 D．7
4．已知，均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
5. 袋子中有10個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中有4個(gè)白球，6個(gè)黑球，每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回．則在第一次摸到白球的條件下，第二次摸到黑球的概率為（ ）
A. B. C. D.
6．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（ ）
A．10 B．9 C．6 D．3
7. 為了防止部分學(xué)生考試時(shí)用搜題軟件作弊，命題組指派5名教師對(duì)數(shù)學(xué)試卷的選擇題、填空題和解答題這3種題型進(jìn)行改編，則每種題型至少指派一名教師的不同分派方法種數(shù)為（ ）
A. 150 B. 180 C. 200 D. 280
8．已知是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
多選題：本題共3.小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的備選答案中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若，則（ ）
A．的坐標(biāo)為 B．
C． D．
10．在正三棱柱中，D為BC中點(diǎn)，則（ ）
A． B．平面
C． D．平面
11. 已知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（ ）
A．函數(shù)的極小值為0
B．若，則
C．若，則有3個(gè)相異的零點(diǎn)
D．若（其中），則
第II卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12．已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是 .
13. 的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 .
14. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新不動(dòng)點(diǎn)”．設(shè)，則在區(qū)間上的“新不動(dòng)點(diǎn)”為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15．(本小題滿分13分)已知數(shù)列滿足，且.
（1）證明是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.
16.(本小題滿分15分)某校為了了解高三男生的體能達(dá)標(biāo)情況，抽調(diào)了120名男生進(jìn)行立定跳遠(yuǎn)測(cè)試，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到如下的頻率分布直方圖.若立定跳遠(yuǎn)成績(jī)落在區(qū)間的左側(cè)，則認(rèn)為該學(xué)生屬“成績(jī)不達(dá)標(biāo)”的學(xué)生，其中，分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算可得（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）：
（1）若該校高三某男生的跳遠(yuǎn)距離為，
試判斷該男生是否屬于“體能不達(dá)標(biāo)”的學(xué)生？
（2）該校利用分層抽樣的方法從樣本區(qū)間，，中共抽出5人，再?gòu)闹羞x出兩人進(jìn)行某體能訓(xùn)練，設(shè)選出的兩人中跳遠(yuǎn)距離在的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
17．(本小題滿分15分)已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且點(diǎn)到的漸近線的距離為2．
（1）求的方程；
（2）記的左頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線l與交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）．
證明：直線的斜率之積為定值.
18. (本小題滿分17分) 正方體的棱長(zhǎng)為4，
分別為中點(diǎn)，．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）求三棱錐的體積．
(本小題滿分17分)函數(shù)的單調(diào)性反映在圖象上，就是曲線的上升或下降．但曲線在上升或下降的過(guò)程中，還有一個(gè)彎曲方向的問(wèn)題，即函數(shù)的凹凸性．函數(shù)的凹凸性可以用連接曲線上任意兩點(diǎn)的弦的中點(diǎn)與曲線上相應(yīng)點(diǎn)（即具有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn)）的位置關(guān)系來(lái)定義如下：
設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，如果對(duì)上任意兩點(diǎn)恒有，則稱在區(qū)間上的圖形是凹的【圖1】，區(qū)間為凹的區(qū)間；
設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，如果對(duì)上任意兩點(diǎn)恒有，
則稱在區(qū)間上的圖形是凸的【圖2】．區(qū)間為凸的區(qū)間；
關(guān)于導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的凹凸性的關(guān)系，有如下定理：
設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間上具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么
①如果在上恒有，則在區(qū)間上的圖象是凹的；如果在區(qū)間上的圖象是凹的，則在上恒有；
②如果在上恒有，則在區(qū)間上的圖象是凸的；如果在區(qū)間上的圖象是凸的，則在上恒有
其中是的導(dǎo)函數(shù)，為的一階導(dǎo)數(shù)：是的導(dǎo)函數(shù)，為的二階導(dǎo)數(shù)．
根據(jù)以上內(nèi)容，完成如下問(wèn)題：
（1）求函數(shù)的凹的區(qū)間和凸的區(qū)間；
（2）若在區(qū)間上圖象是凹的，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）證明：．
藺陽(yáng)中學(xué)高2023級(jí)高二下期末模擬考試
數(shù)學(xué)試題（解析）
數(shù)學(xué)試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共4頁(yè)，滿分150分.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)填寫在答題卷上相應(yīng)位置.
2.選擇題答案使用鉛筆填涂在答題卷對(duì)應(yīng)題目號(hào)的位置上，填涂在試卷上無(wú)效.
3.非選擇題答案請(qǐng)使用黑色簽字筆填寫在答題卷對(duì)應(yīng)題目號(hào)的位置上，填寫在試卷上無(wú)效.
第I卷（選擇題 共58分）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以曲線在處的切線斜率．
2．若雙曲線的離心率為，則該雙曲線的焦距為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意，,，得，故該雙曲線的焦距為.
3．已知隨機(jī)變量，則（ ）
A． B． C．4 D．7
【答案】D
【詳解】因?yàn)椋裕瑒t.
4．已知，均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【詳解】由題意可得，.
5. 袋子中有10個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中有4個(gè)白球，6個(gè)黑球，每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回．則在第一次摸到白球的條件下，第二次摸到黑球的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【詳解】記第一次摸到白球?yàn)槭录诙蚊胶谇驗(yàn)槭录?br/>則，，故．
6．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（ ）
A．10 B．9 C．6 D．3
【答案】B
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，則，
所以，，則，故.
7. 為了防止部分學(xué)生考試時(shí)用搜題軟件作弊，命題組指派5名教師對(duì)數(shù)學(xué)試卷的選擇題、填空題和解答題這3種題型進(jìn)行改編，則每種題型至少指派一名教師的不同分派方法種數(shù)為（ ）
A. 150 B. 180 C. 200 D. 280
【答案】A
【詳解】解：人數(shù)分配上有兩種方式即1，2，2與1，1，3．
若是1，1，3，則有種，
若是1，2，2，則有種，所以共有150種不同的方法．
8．已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過(guò)，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，
設(shè)圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時(shí)，最小，
，此時(shí).
多選題：本題共3.小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的備選答案中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若，則（ ）
A．的坐標(biāo)為 B．
C． D．
【答案】BD
【詳解】對(duì)于A，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于BC，由拋物線定義可得，所以，，解得，故B正確C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.
10．在正三棱柱中，D為BC中點(diǎn)，則（ ）
A． B．平面
C． D．平面
【答案】BD
【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正三棱柱的底邊為，高為，則，
對(duì)于A，，
則，
則不成立，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于BC，，
設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則，所以，，
則平面，平面，故BD正確；
對(duì)于D，，則，顯然不成立，故C錯(cuò)誤；
11. 已知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（ ）
A．函數(shù)的極小值為0
B．若，則
C．若，則有3個(gè)相異的零點(diǎn)
D．若（其中），則
【詳解】對(duì)于A中，由函數(shù)，可得，因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，所以，解得，所以，
可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為0，所以A正確；
對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，且當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，可得的圖象，如圖所示，
當(dāng)時(shí)，有3個(gè)相異零點(diǎn)，所以C正確；
對(duì)于D中，因?yàn)椋C，只需證明，由在上單調(diào)遞增，需證明，
即當(dāng)時(shí)，證明，構(gòu)造函數(shù)（其中），
則，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以D正確．
第II卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12．已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是 .
【答案】.
【詳解】由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
所以該組數(shù)據(jù)的方差是.
13．的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．
【答案】17
【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，
令，得，該項(xiàng)為，令，得，該項(xiàng)為.
所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.
14. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新不動(dòng)點(diǎn)”．設(shè)，則在區(qū)間上的“新不動(dòng)點(diǎn)”為_(kāi)_____．
【答案】
【詳解】由，得，
由，得，，得，
所以，因?yàn)椋裕?br/>所以，得，所以在區(qū)間上的“新不動(dòng)點(diǎn)”為.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15．已知數(shù)列滿足，且.
(1)證明是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和；
【詳解】（1）由，可得，
又，所以是1為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列，所以，所以；
（2）由（1）知，所以，
，
兩式相減，得，
故；
16．某校為了了解高三男生的體能達(dá)標(biāo)情況，抽調(diào)了120名男生進(jìn)行立定跳遠(yuǎn)測(cè)試，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到如下的頻率分布直方圖.若立定跳遠(yuǎn)成績(jī)落在區(qū)間的左側(cè)，則認(rèn)為該學(xué)生屬“成績(jī)不達(dá)標(biāo)”的學(xué)生，其中，分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算可得（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）：
(1)若該校高三某男生的跳遠(yuǎn)距離為，試判斷該男生是否屬于“體能不達(dá)標(biāo)”的學(xué)生？
(2)該校利用分層抽樣的方法從樣本區(qū)間，，中共抽出5人，再?gòu)闹羞x出兩人進(jìn)行某體能訓(xùn)練，設(shè)選出的兩人中跳遠(yuǎn)距離在的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）由題意可知：各小矩形面積從左到右依次為0.1，0.2，0.2，0.3，0.15，0.05，
，∵∴該生屬于“體能不達(dá)標(biāo)”的學(xué)生.
（2）區(qū)間的人數(shù)為人，的人數(shù)為人，的人數(shù)為，在抽出的人數(shù)為人，在抽出的人數(shù)為人，在抽出的人數(shù)為人，
則 可能取值為0，1，2∴，，
，∴的分布列為
0 1 2
∴.
17．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且點(diǎn)到的漸近線的距離為2．
(1)求的方程；
(2)記的左頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線l與交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）．
證明：直線的斜率之積為定值.
【詳解】（1）由題意知，可得，解得，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為2，可得，又因?yàn)椋傻茫缘姆匠虨椋?br/>由（1）知雙曲線的左頂點(diǎn)為，設(shè)，，由題意知直線l斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，所以，且，，
所以
，故直線的斜率之積為定值．
18．正方體的棱長(zhǎng)為4，分別為中點(diǎn)，．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)求三棱錐的體積．
【詳解】（1）法一、在正方形中，
由條件易知，所以，
則，故，即，
在正方體中，易知平面，且，
所以平面，
又平面，∴，
∵平面，∴平面；
法二、如圖以D為中心建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則，令，則，所以，
易知，則也是平面的一個(gè)法向量，∴平面；
（2）同上法二建立的空間直角坐標(biāo)系，所以，
由（1）知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
所以，令，則，即，
設(shè)平面與平面的夾角為，則；
（3）由（1）知平面，平面，∴，
易知，
又，則D到平面的距離為，
由棱錐的體積公式知：.
19. 函數(shù)的單調(diào)性反映在圖象上，就是曲線的上升或下降．但曲線在上升或下降的過(guò)程中，還有一個(gè)彎曲方向的問(wèn)題，即函數(shù)的凹凸性．函數(shù)的凹凸性可以用連接曲線上任意兩點(diǎn)的弦的中點(diǎn)與曲線上相應(yīng)點(diǎn)（即具有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn)）的位置關(guān)系來(lái)描述定義如下：
設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，如果對(duì)上任意兩點(diǎn)恒有，則稱在區(qū)間上的圖形是凹的【圖1】，區(qū)間為凹的區(qū)間；
設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，如果對(duì)上任意兩點(diǎn)恒有，
則稱在區(qū)間上的圖形是凸的【圖2】．區(qū)間為凸的區(qū)間；
關(guān)于導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的凹凸性的關(guān)系，有如下定理：
設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間上具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么
①如果在上恒有，則在區(qū)間上的圖象是凹的；如果在區(qū)間上的圖象是凹的，則在上恒有；
②如果在上恒有，則在區(qū)間上的圖象是凸的；如果在區(qū)間上的圖象是凸的，則在上恒有
其中是的導(dǎo)函數(shù)，為的一階導(dǎo)數(shù)：是的導(dǎo)函數(shù)，為的二階導(dǎo)數(shù)．
根據(jù)以上內(nèi)容，完成如下問(wèn)題：
（1）求函數(shù)的凹的區(qū)間和凸的區(qū)間；
（2）若在區(qū)間上圖象是凹的，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）證明：．
【小問(wèn)1詳解】，
令，解得或；令，解得.
因此，函數(shù)的凹的區(qū)間是和，凸的區(qū)間是.
【小問(wèn)2詳解】，
在區(qū)間上圖象是凹的，，即.
所以，即.
令，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【小問(wèn)3詳解】，
構(gòu)造函數(shù)，
令，解得， 易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以，
因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
構(gòu)造函數(shù)，
令，則，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
綜上，

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