資源簡介

2024-2025學年臨滄地區中學高二（下）5月月考數學試卷
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知函數，則( )
A. B. C. D.
2.已知，則( )
A. B. C. D.
3.已知數列的前項和為，則下列說法正確的是( )
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則
4.已知航天員選拔時要接受特殊環境的耐受性測試，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飛行、飛行跳傘、著陸沖擊五項菪這五項測試每天進行一項，連續天完成，且超重耐力和失重飛行不能安排在相鄰兩天測試，則選拔測試的安排方案有( )
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
5.已知函數與存在公切線，則實數的最小值為( )
A. B. C. D.
6.農歷五月初五是端午節，民間有吃粽子的習慣，粽子又稱粽粒，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀念戰國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原如圖，三角形是底邊和腰長分別為和的等腰三角形的紙片，將它沿虛線中位線折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的四面體，若該四面體內包一蛋黃近似于球則蛋黃的半徑的最大值為．
A. B. C. D.
7.已知數列滿足，，則的最小值為( )
A. B. C. D.
8.已知正實數，滿足，則( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.年國外某智庫發布尖端技術研究國家競爭力排名的報告，涵蓋了超音速、水下無人滑航器、量子技術、人工智能、無人機等二十多個領域報告顯示，中國在其中個領域處于領先某學生是科技愛好者，打算從這個領域中選取，，，，這個領域給班級同學進行介紹，每天隨機介紹其中一個領域，且每個領域只在其中一天介紹，則下列結論中正確的( )
A. ，都在后天介紹的方法種數為
B. 不在第一天，不在最后一天介紹的方法種數為
C. ，相隔一天介紹的方法種數為
D. 在，之前介紹的方法種數為
10.對于一個方格圖，定義“連續完美分割”：當且僅當其可被互不重疊的四個形狀相同的區域分割，且每個區域各相鄰最小正方形有一條邊重合，同時恰含有個和個給出下列方格圖，可“連續完美分割”的是( )
A. B.
C. D.
11.已知定義在上的奇函數連續，函數的導函數為當時，，其中為自然對數的底數，則( )
A. 當時， B. 在上有且只有個零點
C. D. 在上為增函數
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知復數為純虛數，其中為虛數單位，則實數 ______．
13.用種不同顏色的粉筆寫黑板報，板報設計如圖所示，要求相鄰區域不能用同一種顏色的粉筆，則該板報共有______種不同的書寫方案．
14.已知函數，，設若在上恒成立，則實數的取值范圍為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知一個不透明的盒中有個小球小球除編號不同外其余均相同，這個小球的編號分別為，，，，現進行如下摸球活動：
若，從盒中一次性摸取個小球，求這個小球編號不相鄰的概率；
如果摸球前約定“固定重疊原則”：即隨機摸取盒中個小球，記錄編號后放回，再重復以上操作一次，記這兩次操作中被重復摸取的小球數為．
(ⅰ)若，，求概率；
(ⅱ)求使概率取得最大值時的值．
16.本小題分
已知函數，．
若，求圖象在點處的切線方程；
若函數在上的最小值是，求的值．
17.本小題分
設等差數列的公差為，記是數列的前項和，若，．
求數列的通項公式；
若，數列的前項和為，求證：．
18.本小題分
已知函數，其中為正整數．
當時，求在上極值點；
當時，記數列，有限數列是首項為，公差為的等差數列，求數列的前項和化成最簡形式．
19.本小題分
類比高中函數的定義，引入虛數單位，自變量為復數的函數稱之為復變函數已知復變函數，且，．
當時，解關于的方程：；
當時，
若，求的最小值．
若存在實部不為，虛部不為的虛數和實數，使得恒成立，求的取值范圍．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根據題意，函數，其導數，
當時，有．
故選：．
2.【答案】
【解析】解：因為，
所以．
故選：．
3.【答案】
【解析】解：對于，若數列為，，，則，，，但，故A錯誤；
對于，若數列為，，，則，，但，故B錯誤；
對于，當時，，但，不滿足，故C錯誤；
對于，當時，，則，
當時，，
因為，若，由，得，即，
若，由，得，即，
綜上，若，則，故D正確．
故選：．
4.【答案】
【解析】解：先安排前庭功能、飛行跳傘、著陸沖擊這共有種方法，
再安排超重耐力和失重飛行，共有種方法，
一共有種方法．
故選：．
5.【答案】
【解析】解：設公切線與函數及函數的切點分別為，，且，，
故兩切線方程為，，
即，，
與存在公切線，所以有解，
消去后得：，
令，，
易得在上單調遞增，且時，；時，，
故在區間上遞減，在上遞增．
所以，
所以的最小值為，即的最小值為，即實數的最小值為．
故選：．
6.【答案】
【解析】解：如圖所示，對折疊之前的平面圖形中各點進行標記，同時將折疊后的幾何體置于長方體中，
設長方體的長寬高分別為，，，
則，
解得，
所以四面體為，
四面體的全面積為，
內切球半徑，
則，
所以．
故選：．
7.【答案】
【解析】解：因為數列滿足，，即，
當時，
符合首項，
故對任意的，，
所以，
由對勾函數的單調性可知，函數在上單調遞減，
在上單調遞增，
又因為，
因為，，故，
所以的最小值為．
故選：．
8.【答案】
【解析】解：已知變形可得，
設，，求導可得，
當時，，，單調遞減；
當時，，，單調遞增，
所以在處取得最小值為，
因為，
且，
又因為，，當且僅當且時等號成立，
此時滿足，所以，，
所以．
故選：．
9.【答案】
【解析】解：根據題意，依次分析選項：
對于，若、都在后天介紹，需要將、安排在后三天，剩下的個領域全排列即可，有種介紹方法，A正確；
對于，分種情況討論：若在最后一天介紹，有種介紹方法，
若不在最后一天介紹，有種介紹方法，
則有種介紹方法，B錯誤；
對于，若，相隔一天介紹，在、、中任選個，安排在、中間，
再將其與、看成一個整體，有種情況，
再將整個整體與剩下的個全排列，有種情況，則有種介紹方法，C正確；
對于，先將安排在、之前，有種情況，
將插在、、中，有種安排方法，
最后將插在、、、中，有種安排方法，
則有種安排方法，D正確．
故選：．
10.【答案】
【解析】解：，，可“連續完美分割”，如圖：
對于，對于的方格，其可行的“連續完美分割”，僅有以下種情形或其旋轉圖形，經驗證，分割條件的分割方式不存在；
故答案為：．
11.【答案】
【解析】解：導函數，
即，
由于時，因此．
即，即函數在區間單調遞增，
又因為函數為奇函數且在上連續，函數為偶函數且恒正，
因此函數為奇函數在上連續，且單調遞增，
對于選項A：
時，函數，因此選項A錯誤．
對于選項B：
函數為奇函數，并且在上連續，且單調遞增，
因此函數僅一解為，在上恒成立，
因此函數在上有且只有個零點為，因此選項B正確．
對于選項C：
由于函數在上單調遞增，
那么，因此選項C正確．
對于選項D：
由于函數為奇函數且連續，
所以為上的奇函數且連續，故只需考慮在上的單調性，
當時，且，且
故，則在上單調遞增，
故在上為增函數，所以D正確．
故選：．
12.【答案】
【解析】解：化簡已知復數可得，
由純虛數的定義可得且，
解得．
故答案為：．
13.【答案】
【解析】解：完成工作可分四步，第一步，“英語角”用的粉筆顏色有種不同的選法；
第二步，“語文學苑”用的粉筆顏色不能與“英語角”用的粉筆顏色相同，有種不同的選法；
第三步，“理綜世界”用的粉筆顏色與“英語角”和“語文學苑”用的粉筆顏色都不相同，有種不同的選法；
第四步，“數學天地”用的粉筆顏色只要與“理綜世界”用的粉筆顏色不同即可，有種不同的選法．
由分步計數原理知，該板報共有種不同的書寫方案．
故答案為：．
14.【答案】
【解析】解：，，
當時，，
當時，，
則，
當在上恒成立，則，
也就是說，此時在必然恒成立，
則只需要在上恒成立，
則有，
構造，由于與在上均是增函數，
所以在上是增函數，
而，
則有，
又構造，則，
當時，，則在單調遞增，
當時，，則在單調遞減，
即，即，
故答案為：．
15.【答案】；
；．
【解析】根據題意，若，從盒中一次性摸取個小球，有種取法，
其中編號相鄰的可能情況有“，”、“，”、“，”、“，”，共種可能情況，
故個小球編號不相鄰的概率；
根據題意，，
(ⅱ)根據題意，當時，整數滿足，其中，
“”所包含的事件總數為，
由古典概型公式，有，
設，
則，
令，
當時，，則有，
當時，，則有，
而則有，
當能被整除即時，在或處達到最大值：
當不能被整除即時，在達到最大值，表示不超過的最大整數，
當時，只能取，此時符合上述不能被整除的情況．即在達到最大值，
綜合可得：概率取得最大值時，．
16.【答案】；
．
【解析】函數的定義域為，
當時，，，
又，則，
所以函數在點處的切線方程為，
即．
由，
則，
當時，，則函數在上單調遞增，
此時函數在上沒有最小值，不符合題意；
當時，由，得，由，得，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
若，即時，函數在上單調遞減，
此時函數在上沒有最小值，不符合題意；
若，即時，函數在上單調遞增，
此時函數在上沒有最小值，不符合題意；
若，即時，
函數在上單調遞減，在上單調遞增，
則，解得．
綜上所述，．
17.【答案】或； 證明見解答．
【解析】由，，得，解得，
由，，所以，所以或，
當時，此時；
當時，此時；
所以或；
證明：因為，所以，
則，
所以，
所以．
18.【答案】極大值點為，極小值點為；
．
【解析】由題意可得，
令，解得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
故的極大值點為，極小值點為；
，
故，則，
又是首項為，公差為的等差數列，故，
則，其中，
，
則考慮，
則，
則，
，故，
故．
19.【答案】； ；．
【解析】當時，，
則．
由，整理得，解得．
令，且，
，．
，．
，當時，．
當時，，
令且，，，
則
恒成立，
，即，
所以，
所以復數到的距離為，其軌跡為以為圓心，半徑為的圓上．
則．

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