資源簡介

行知中學2024-2025學年第二學期高三年級數學三模
2025.5
一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）
1.設，集合，若，則=_______.
2.首項為2，公比為的無窮等比數列的各項和為_______.
3.大圓面積為的球的體積是__________.
4.已知，則=___________.
5.已知，則在上的數量投影是__________.
6.在的展開式中，第2項和第4項的系數相同，則=________.
7.已知冪函數過點，若，則實數的取值范圍是_____.
8.隨機變量,，若，則實數的值
為________.
9.已知復數，集合所構成區域的面積是_________.
10.從1,2,3,4,5,6,7,8,9中依次取出4個不同的數，分別記作，若和的奇偶性相同，則的取法共有_________種.
11.（教材）如圖，要在和兩地之間修一條筆直的隧道，現從地和地測量得到：,， 為確定隧道的方向，可求得=______.（精確到）
12.已知，函數的定義域是，且滿足.記函數的值域為，若存在，使得對于任意符合要求的函數，均滿足：，則實數的取值范圍是_________.
二、選擇題（本答題共4小題，滿分18分，13-14每小題4分，15-16每小題5分）
13.成對數據的回歸方程為，則它們在處的離差是（ ）
A. B.
C. D.
14.“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
15. 如圖，長方體中，，是線段上的動點，則下列直線中，始終與直線BP異面的是（ ）
A． B． C． D．
16.已知曲線為曲線上任一點，以下4個命題：①曲線與直線恰有四個公共點；②曲線與直線相切；③是的函數；④是的函數. 正確的個數是（ ）
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
三、解答題
17. (本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)
如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，為線段的中點，,.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面的夾角的正弦值．
18.(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)
已知，函數
（1）若，求函數的表達式及定義域；
（2）若關于的方程的解集中恰好只有一個元素，求實數的取值范圍.
19. (本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分)
2025世界人工智能大會將在上海舉辦，為普及人工智能相關知識，濱江中學組織學生參加“人工智能”知識競賽，競賽分為理論知識和實踐能力兩個部分，每部分的成績分為三檔，分別為基礎、中等、優異．現從參加活動的學生中隨機選擇20位，統計其兩部分成績，成績統計人數如表：
基礎 中等 優異
基礎
中等
優異
（1）若從這20位參加競賽的學生中隨機抽取一位，抽到理論或實踐至少一項成績為優異的學生概率為．求的值；
（2）在（1）的前提下，用樣本估計總體，從全市理論成績為優異的學生中，隨機抽取人，求至少有一人實踐能力的成績為優異的概率；
（3）若基礎、中等和優異對應得分為分、分和分，當參賽學生理論成績的方差最小時，求的值．
20.(本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分)
如圖，是拋物線上一點，過點的直線與軸分別交于兩點，且是線段的中點，是拋物線上異于點的動點
（1）證明：直線是拋物線的切線；
（2）已知,且的重心是的焦點，求所在的直線方程；
（3）若分別在線段上，且，交于點，求證：點是的重心.
21.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分)
把一列函數按一定次序排列稱為函數列，記為（是正整數），為的導函數.記，
（1）若，求證：是等比數列；
（2）若,，是否存在正數，使得；
（3）已知在上有最小值，求證“是偶函數”的充要條件是“對于任意正實數，均有”
行知中學2024-2025學年第二學期高三年級數學三模
2025.5
一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）
1.設，集合，若，則=_______.
【答案】2
2.首項為2，公比為的無窮等比數列的各項和為_______.
【答案】6
3.大圓面積為的球的體積是__________.
【答案】
4.已知，則=___________.
【答案】
5.已知，則在上的數量投影是__________.
【答案】
6.在的展開式中，第2項和第4項的系數相同，則=________.
【答案】4
7.已知冪函數過點，若，則實數的取值范圍是_________.
【答案】
8.隨機變量,，若，則實數的值
為________.
【答案】95.5
9.已知復數，集合所構成區域的面積是_________.
【答案】
10.從1,2,3,4,5,6,7,8,9中依次取出4個不同的數，分別記作，若和的奇偶性相同，則的取法共有_________種.
【答案】1584
11.（教材）如圖，要在和兩地之間修一條筆直的隧道，現從地和地測量得到：,， 為確定隧道的方向，可求得=______.（精確到）
【答案】52.5
12.已知，函數的定義域是，且滿足.記函數的值域為，若存在，使得對于任意符合要求的函數，均滿足：，則實數的取值范圍是_________.
【答案】
二、選擇題（本答題共4小題，滿分18分，13-14每小題4分，15-16每小題5分）
13.成對數據的回歸方程為，則它們在處的離差是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
14.“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
15. 如圖，長方體中，，是線段上的動點，則下列直線中，始終與直線BP異面的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
16.已知曲線為曲線上任一點，以下4個命題：①曲線與直線恰有四個公共點；②曲線與直線相切；③是的函數；④是的函數. 正確的個數是（ ）
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【答案】B
三、解答題
17. (本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)
如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，為線段的中點，,.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面的夾角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析 （2）
【解析】（1）連接交于點，是的中點，是中點.
又平面，平面，平面.
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系.
則,
，.
設平面的法向量為，則
令，則.是平面的一個法向量.
，設直線與平面所成角為，
則直線與平面所成角的正弦值為.
18.(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)
已知，函數
（1）若，求函數的表達式及定義域；
（2）若關于的方程的解集中恰好只有一個元素，求實數的取值范圍.
【答案】（1） （2）
【解析】（1），令，則，
即因為，所以，
又得，定義域為
（2）由（1）得，方程，
即，
可轉化為，且
①當即時，，符合題意；
②當即時，
(i)當時，符合題意
(ii)當時，且時，要滿足題意，則有
或無解
綜上可得，的取值范圍.
19. (本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分)
2025世界人工智能大會將在上海舉辦，為普及人工智能相關知識，濱江中學組織學生參加“人工智能”知識競賽，競賽分為理論知識和實踐能力兩個部分，每部分的成績分為三檔，分別為基礎、中等、優異．現從參加活動的學生中隨機選擇20位，統計其兩部分成績，成績統計人數如表：
基礎 中等 優異
基礎
中等
優異
（1）若從這20位參加競賽的學生中隨機抽取一位，抽到理論或實踐至少一項成績為優異的學生概率為．求的值；
（2）在（1）的前提下，用樣本估計總體，從全市理論成績為優異的學生中，隨機抽取人，求至少有一人實踐能力的成績為優異的概率；
（3）若基礎、中等和優異對應得分為分、分和分，當參賽學生理論成績的方差最小時，求的值．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由題意，，得.
（2）記事件理論成績為優異的學生，事件實踐成績為優異， 由（1）知，
設表示從全市理論成績為優異的學生中抽取到實踐能力成績為優異的成功次數，
則服從，所以
故至少有一個人實踐能力的成績為優異的概率
（3）由題意，，
設理論成績為X，則X取值為，對應的人數分別為
所以理論成績X的分布是
所以參賽學生理論競賽的平均成績為，
所以參賽學生理論成績的方差為
因為，所以當時，方差最小.
20.(本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分)
如圖，是拋物線上一點，過點的直線與軸分別交于兩點，且是線段的中點，是拋物線上異于點的動點
（1）證明：直線是拋物線的切線；
（2）已知,且的重心是的焦點，求所在的直線方程；
（3）若分別在線段上，且，交于點，求證：點是的重心.
【答案】（1）證明見解析 （2） （3）證明見解析
【解析】（1）設，因為是線段的中點，所以.
則，所以直線的方程為，即.
聯立，整理得，所以，
因此，直線是拋物線的切線.
（2）設，中點為，
由已知得，解得，從而
若直線斜率不存在，則,，與重心矛盾，故斜率存在；
設，聯立得：，
因為，所以，所以所在直線方程是
（3）因為三點共線，所以.
又因為，設，則，所以，
所以，因為是線段的中點，
所以，即，所以，所以是的重心.
21.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分)
把一列函數按一定次序排列稱為函數列，記為（是正整數），為的導函數.記，
（1）若，求證：是等比數列；
（2）若,，是否存在正數，使得；
（3）已知在上有最小值，求證“是偶函數”的充要條件是“對于任意正實數，均有”
【答案】（1）證明見解析 （2）不存在 （3）證明見解析
【解析】（1），因為，
所以是以為公比的等比數列
（2），所以
且
令
則得：在嚴格增，在嚴格減
①當時，，所以與矛盾；
②當時，，所以
令
則，所以在上嚴格減，所以，從而矛盾
綜上，不存在正數，使得.
（3）必要性:若為偶函數，
則，
當，因為，故;
充分性：若對于任意正實數，均有，其中，
因為有最小值，不妨設，
由于任意，令，則，
故最小元素為，中最小元素為，
又 則對任意成立,則，
若，則對任意成立是偶函數，
若，此后取，
，
綜上，任意，即是偶函數.
故"是偶函數"的充要條件是“對于任意正實數，均有”.

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