資源簡介

七寶中學2024-2025學年第二學期高二年級數學月考
2025.5
一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）
1．已知某個隨機變量的分布為，若該分布是等可能分布，則的值
為________．
2．已知離散型隨機變量的分布為，則________．
3．已知隨機變量，，若，且，則________．
4．已知事件與事件相互獨立，如果，，則________．
5．某班級有42名學生，其中男生25名，女生17名，男生中有18名團員，女生中有10名團員．在該班中隨機選取一名學生，表示“選到的是團員”，表示“選到的是男生”，則________．
6．隨機變量的正態密度函數，其圖象如圖所示，若，則圖中陰影部分的面積為________．
7．一個口袋中有個白球和個紅球，這些球除顏色外都相同．某班50名學生分別從口袋中每次摸一個球，記錄顏色后放回，每人連續摸10次，其中摸到白球的次數共152次，以頻率估計概率，若從口袋中隨機摸1個球，則摸到紅球概率的估計值為________．（小數點后保留一位小數）．
8．已知在12件產品中可能存在次品，一從中抽取2件檢測，設次品數為，若，且該產品的次品率不超過40%，則這12件產品的次品率為________．
9．某商店店慶，每個在店內消費到一定額度的旅客都可以參與抽獎活動，組織方準備了20個盲盒，其中有6個盲盒內有獎品．抽獎者甲先拿起了一個盲盒，在猶豫是否打開時，組織方拿走了一個沒有獎品的盲盒，最終甲選擇了另外一個盲盒打開，記甲中獎的概率為，則________．
10．已知隨機變量，均服從伯努利分布，且，的取值為0或1，若，且，則________．
11．2025年春晚，一場別開生面的機器人舞蹈表演震撼了觀眾，現在編排一個動作，機器人從原點出發，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移動一個單位，共移動3次，求該機器人在有且僅有一次經過（含到達）點位置的條件下，水平方向移動2次的概率為________．
12．某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲、乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師安排了為期一周的對抗訓練，比賽規則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當兩人獲勝總局數不少于3局時，則認為這輪訓練過關；否則不過關，若甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為，，且滿足，每局之間相互獨立．記甲、乙在輪訓練中訓練過關的輪數為，若，則從期望的角度來看，甲、乙兩人訓練的輪數至少為________．
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16每題5分．
13．有一批產品，其中有6件正品和4件次品，從中任取3件，僅有2件次品的概率為（ ）
A． B． C． D．
14．某游戲玩家玩一款游戲，第一關通過的概率為0.6；在第一關通過的條件下，第二關通過的概率為0.4，則該玩家連續通過兩關的概率為（ ）
A．0.24 B．0.36 C．0.8 D．0.16
15．研究變量，得到一組成對數據，，2，…，，先進行一次線性回歸分析，接著增加一個數據，其中，，再重新進行一次線性回歸分析，則下列說法正確的是（ ）
A．變量與變量的相關性變強 B．相關系數的絕對值變小
C．線性回歸方程不變 D．擬合誤差變大
16．有甲、乙兩個盒子，甲盒子里有1個紅球，乙盒子里有3個紅球和3個黑球，現從乙盒子里隨機取出個球放入甲盒子后，再從甲盒子里隨機取一球，記取到的紅球個數為，則隨著的增加，下列說法正確的是（ ）
A．增加，增加 C．增加，減小
C．減小，增加 D．減小，減小
三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）．
17．（本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）
一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數字1、2、3、這三張卡片除標記的數字外完全相同．隨機地抽取3次，每次抽取1張
（1）若抽取是放回的，將抽取的卡片上的數字依次記為、、，求“抽取的卡片上的數字、、完全相同”的概率；
（2）若抽取是不放回的，記事件為第一次取出標記為1的卡片，事件為第二次取出標記為2的卡片，判斷事件，是否獨立．
18．（本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）
福州紙傘是歷史悠久的中國傳統手工藝品，屬于福州三寶之一，紙傘的制作工序大致分為三步：第一步削傘架，第二步裱傘面，第三步繪花刷油．已知某工藝師制作出一件優秀作品的概率為．在某次福州紙傘的比賽中，該工藝師制作了4件作品．
（1）設該工藝師制作的優秀作品數為，求的分布及期望；
（2）若制作一件優秀作品得10分，制作一件不合格品扣5分，求該工藝師在本次比賽中得分的期望和方差
19．（本題滿分14分，第1小題滿分4分，第2小題滿分10分）
某芯片研究團隊為制定下一年的研發投入計劃，需要了解年研發資金投入量（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響，結合近12年的年研發資金投入量和年銷售額的數據，該團隊建立了兩個函數模型：
①，②，其中，，，均為常數，為自然對數的底數．經對歷史數據的初步處理，得到右側散點圖，如圖．
令，，計算得如下數據：
20 66 770 200 14
460 4.20 3125000 0.308 21500
（1）設和的相關系數為，和的相關系數為，請從相關系數的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；
（2）（i）根據（1）的選擇及表中數據，建立關于的回歸方程（系數精確到0.01）；
（ii）若下一年銷售額需達到80億元，預測下一年的研發資金投入量是多少億元？（結果精確到0.01）
附：對于一組數據，樣本相關系數；
回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，．
20．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）
某汽車公司最近研發了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續航里程的測試．現對測試數據進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）估計這100輛汽車的單次最大續航里程的平均值；
（2）經計算第（1）問中樣本標準差的近似值為50，根據大量的測試數據，可以認為這款汽車的單次最大續航里程（用樣本平均數和標準差分別作為、的近似值），現任取一輛汽車，求它的單次最大續航里程的概率；
（參考數據：若隨機變量，則，，）
（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據拋擲硬幣的結果，操控微型遙控車在方格圖上（方格圖上依次標有數字0、1、2、3、……、20）移動，若遙控車最后停在第19格，則可獲得購車優惠券3萬元；若遙控車最后停在第20格，則沒有任何優惠券．已知硬幣出現正、反面的概率都是，遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動一次：若擲出正面，遙控車向前移動一格（從到）；若擲出反面，遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第19格或第20格時，游戲結束．設遙控車移到第格的概率為；試證明是等比數列，并求參與游戲一次的顧客獲得優惠券金額的期望值（精確到0.1萬元）．
21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）
已知函數．
（1）當時，求函數圖象在點處的切線方程；
（2）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；
（3）若函數有兩個不同的極值點，，其中，且不等式恒成立，求實數的取值范圍．
參考答案
一、填空題
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．2025年春晚，一場別開生面的機器人舞蹈表演震撼了觀眾，現在編排一個動作，機器人從原點出發，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移動一個單位，共移動3次，求該機器人在有且僅有一次經過（含到達）點位置的條件下，水平方向移動2次的概率為________．
【答案】
【解析】設事件＂有且僅有一次經過＂，事件＂水平方向移動2次＂，
按到位置需要1步，3步分類討論．
記向左，向右，向上，向下，
①若1步到位為事件，
則滿足要求的是或或或或或或或或，
所以；
②若3步到位為事件，則滿足要求的是，，
所以；所以
滿足的情況有：或或或或，
所以，所以故答案為：．
12．某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲、乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師安排了為期一周的對抗訓練，比賽規則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當兩人獲勝總局數不少于3局時，則認為這輪訓練過關；否則不過關，若甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為，，且滿足，每局之間相互獨立．記甲、乙在輪訓練中訓練過關的輪數為，若，則從期望的角度來看，甲、乙兩人訓練的輪數至少為________．
【答案】
【解析】不妨設每一輪訓練通過的概率為，
所以
,
此時，當且僅當時，等號成立，
易知函數是開口向下的二次函數，對稱軸，
所以，因為每局之間相互獨立，
記甲、乙在輪訓練中訓練過關的輪數為，所以，
所以，
解得，則甲、乙兩人訓練的輪數至少為27輪.
故答案為：27．
二、選擇題
13.B 14.A 15.C 16.C
15．研究變量，得到一組成對數據，，2，…，，先進行一次線性回歸分析，接著增加一個數據，其中，，再重新進行一次線性回歸分析，則下列說法正確的是（ ）
A．變量與變量的相關性變強 B．相關系數的絕對值變小
C．線性回歸方程不變 D．擬合誤差變大
【答案】C
【解析】增加的點為樣本中心點，所以增加一個數據后，變量與變量的相關性不變，相關系數的絕對值不變，線性回歸方程不變，擬合誤差變小，
故選：．
16．有甲、乙兩個盒子，甲盒子里有1個紅球，乙盒子里有3個紅球和3個黑球，現從乙盒子里隨機取出個球放入甲盒子后，再從甲盒子里隨機取一球，記取到的紅球個數為，則隨著的增加，下列說法正確的是（ ）
A．增加，增加 C．增加，減小
C．減小，增加 D．減小，減小
【答案】C
【解析】依題意，從乙盒子里隨機取出個球，含有紅球個數服從超幾何分布，即，
其中，其中且，
故從甲盒中取球，相當于從含有個紅球的個球中取一球，取到紅球個數為個，
故隨機變量服從兩點分布，
所以，隨著的增大，減小；
，隨著的增大，增大；
故選：．
三．解答題
17.（1） （2）
18.（1）的分布列為：，
期望為： （2）
19.（1）選② （2）（i） （ii）
20．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）
某汽車公司最近研發了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續航里程的測試．現對測試數據進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）估計這100輛汽車的單次最大續航里程的平均值；
（2）經計算第（1）問中樣本標準差的近似值為50，根據大量的測試數據，可以認為這款汽車的單次最大續航里程（用樣本平均數和標準差分別作為、的近似值），現任取一輛汽車，求它的單次最大續航里程的概率；
（參考數據：若隨機變量，則，，）
（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據拋擲硬幣的結果，操控微型遙控車在方格圖上（方格圖上依次標有數字0、1、2、3、……、20）移動，若遙控車最后停在第19格，則可獲得購車優惠券3萬元；若遙控車最后停在第20格，則沒有任何優惠券．已知硬幣出現正、反面的概率都是，遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動一次：若擲出正面，遙控車向前移動一格（從到）；若擲出反面，遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第19格或第20格時，游戲結束．設遙控車移到第格的概率為；試證明是等比數列，并求參與游戲一次的顧客獲得優惠券金額的期望值（精確到0.1萬元）．
【答案】（1） （2） （3）2.0萬元
【解析】（1）估計這100輛汽車的單次最大續航里程的平均值為：
；
（2）∵，
（3）由題可知，遙控車移到第格有兩種可能：
①遙控車先到第格，又擲出反面，其概率為；
②遙控車先到第格，又擲出正面，其概率為
∴當時，數列為首項為，公比為的等比數列，
以上各式相加，得
∴當時，，∴到達＂勝利大本營＂的概率，
∴設參與游戲一次的顧客獲得優惠券金額為萬元，則或0，
∴的期望，
∴參與游戲-次的顧客獲得優惠券金額的期望值為2.0萬元.
21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）
已知函數．
（1）當時，求函數圖象在點處的切線方程；
（2）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；
（3）若函數有兩個不同的極值點，，其中，且不等式恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）當時，，
令，則
所以函數圖象在點處的切線方程為，即
（2），
因為函數在上單調遞增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，則，當時，單調遞增，
從而，所以，即實數的取值范圍為；
（3），若函數有兩個不同的極值點，
必要性：
則在上有兩個零點，即在上有兩個零點，
由（1）可知，所以當時，單調遞減，
當時，單調遞增，所以，
且當時，都有，所以，
充分性：
當時，或，
且當時，均有，即此時單調遞增，
當時，有，即此時單調遞減，
即函數有兩個不同的極值點
令，
由此可知充分性成立，所以實數的取值范圍是；
因為所以所以，
等價于
令則,
令，則
當時，，即，
所以即單調遞減，從而
所以單調遞減，從而，所以實數的取值范圍為．

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