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天水一中高二級2024-2025學年度第二學期期中考試
（滿分：150分 時間：120分鐘）
一、單選題本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的4個選項中，只有一項符合要求
1．已知向量，若，則（ ）
A． B．4 C． D．5
2．已知函數，則曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
3．已知函數的定義域為且導函數為，函數的圖象如圖，則下列說法正確的是（ ）
A．函數的增區間是
B．函數的減區間是
C．是函數的極大值點
D．是函數的極大值點
4．在三棱錐中，為的中點，若，則（ ）
A． B．
C． D．
5．《九章算術》中，將底面為長方形，且一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.在陽馬中，若平面，且，異面直線與所成角的余弦值為，則（ ）
A． B．4 C．2 D．3
6．若函數有兩個不同的極值點，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，在一個的二面角的棱上，有兩個點A、B，AC、BD分別是在這個二面角的兩個半平面內垂直于AB的線段，且，，，則CD的長為（ ）cm．

A． B． C．5 D．
8．直線 分別與曲線， 直線 交于 兩點， 則 的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的4個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯得0分
9．如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱和的中點，則以為原點，所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，則下列結論正確的是（ ）
A．平面
B．
C．是平面的一個法向量
D．點到平面的距離為
10．六氟化硫，化學式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業方面具有廣泛用途. 六氟化硫分子結構為正八面體結構（正八面體每個面都是正三角形，可以看作是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體). 如圖所示，正八面體，下列說法中正確的有（ ）
A．平面EAD 平面FCB
B．平面EAD 平面ECB
C．異面直線與所成的角為
D．若點P為棱上的動點，則直線AP與平面FAD 成的角的正弦值的范圍
11．函數有兩個極值點，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則有3個零點 B．過上任一點至少可作兩條直線與相切
C．若，則只有一個零點 D．
三、填空題
12．已知函數，則函數的單調遞增區間為 .
13．已知“經過點且法向量為的平面的方程是”．現知道平面的方程為，則過與的直線與平面所成角的正弦值是 ．
14．正四棱柱中，底面邊長為1，側棱長為分別是異面直線和上的任意一點，則間距離的最小值為 .
四、解答題
15．已知空間中三點．
(1)若向量與平行，且，求的坐標；
(2)求以，為鄰邊的平行四邊形的面積．
16．在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，平面，，，，E為的中點．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
(3)在線段上是否存在點P，使直線與平面所成的角為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．
17．已知函數．
(1)若，求的單調區間；
(2)討論函數的單調性；
(3)若函數在處取得極值，且對，恒成立，求實數的取值范圍．
18．如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，為的中點．
（Ⅰ）求證：平面
（Ⅱ）若平面平面，異面直線與所成角為60°，且是鈍角三角形，求二面角的正弦值
19．已知函數.
(1)當時，求函數在點處的切線方程；
(2)設是函數的兩個極值點，證明：.
試卷第4頁，共5頁
《2025年5月10日高中數學作業》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C A B C D C ACD ACD
題號 11
答案 ACD
12．
13．/
14．
解：如圖建立空間直角坐標系，則、，，，
所以，，，
設且，即，令，則，，所以，
所以異面直線和的距離，
所以、間距離的最小值為；
故答案為：
15．(1)或
(2)
（2）利用空間向量的夾角公式求出，再結合三角形的面積公式即可求解.
（1）因為，所以，
因為向量與平行，所以可設，
所以，
因為，所以，
所以，
所以或，
所以的坐標為或；
（2）因為，
所以，
所以，即，
又，所以，
所以的面積，
所以以為鄰邊的平行四邊形的面積為．
16．(1)證明見解析；
(2)；
(3)不存在點P使直線PE與平面MBC所成角為.理由見解析.
（1）因為四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，
所以且，且，
則且，所以四邊形BCNM是平行四邊形，
設CM與BN交于F，則F是BN的中點．連接EF，又E是AB的中點，
所以，又平面MEC，平面MEC，
所以平面MEC．
（2）連接DE，由四邊形ABCD是菱形，，
所以為正三角形，又E是AB的中點，得，即，
因為平面ABCD，平面ABCD，
所以，建立如圖空間直角坐標系D-xyz，
則，，，，，
得，，，
設平面、平面MBC的一個法向量分別為、，
則，
令，得，令，得，
∴，，
得，
又平面與平面MBC的夾角為銳角，
∴平面與平面MBC所成角的余弦值為；
（3）設，則，且，
由（2）知平面MBC的法向量為，
設直線PE與平面MBC的所成角為，則，
所以，
解得，不符合題意，
∴在線段AM上不存在點P，使直線PE與平面MBC的所成角為．
17．(1)答案見解析；
(2)答案見解析；
(3).
（1）當時，，，
令可得，故當時，單調遞減；
當時，單調遞增；
故遞減區間為，遞增區間為.
（2）由可得：函數定義域為，.
當時，，此時函數在定義域上單調遞減；
當時，令，解得；令，解得，
此時函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.
綜上可得：當時，函數在定義域上單調遞減；
當時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.
（3）因為函數在處取得極值，
所以，即，解得.
此時，
令，解得；令，解得，
所以函數在處取得極值，故.
所以.
因為對，恒成立，
所以對，恒成立.
令，則.
令，解得；令，解得，
所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
所以，則，解得：.
所以實數b的取值范圍為
18．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.
（Ⅰ）證明：取的中點，連接，
因為為的中點，則，且，
又，且，所以，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，平面，平面，
所以平面
（Ⅱ）由題意可知，
所以或其補角為異面直線與所成角，
又，為鈍角三角形，
所以，
又平面平面，平面平面，，
所以平面，
以為坐標原點，所在直線為軸、軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，
向量，，
設平面的法向量為
由得，則，令，
得平面的一個法向量為，
設平面的一個法向量為
由得，令，
得平面的一個法向量為
設二面角的平面角為，
則.
則
故二面角的正弦值為
19．(1)
(2)證明見解析
(2) 先求導函數，根據韋達定理得兩極值點的關系，帶入到中化簡，構造，求出最值，即可求證.
（1）當時，，，
所以，.
所以函數在點處的切線方程為，即.
（2）令，
即有兩個不等正實根，
則解得.所以，.
故
，其中.
令，，，
當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
故.
所以成立.
答案第4頁，共7頁

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