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臨潭縣第一中學2025屆高三學生臨考沖刺卷
高三 數學
命題：李文元 審核：數學教研組
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
設復數 ， 在復平面內的對應點關于虛軸對稱，，則
A． B． C． D．
向量 ，， 在正方形網格中的位置如圖所示，若 ，則 的值為
A． B． C． D．
已知函數 ，則“”是“ 為奇函數”的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
若 是 上的單調遞增函數，則實數 的取值范圍為
A． B． C． D．
設 ， 是兩個不同的平面，， 是兩條不同的直線，則下列結論中正確的是
A．若 ，，則
B．若 ，，，則
C．若 ，，則
D．若 ，，，則
將函數 的圖象向右平移 個單位，得到函數 的圖象．在同一坐標系中，這兩個函數的部分圖象如圖所示，則
A． B． C． D．
已知 ，，， 成等比數列，且 ．若 ，則
A． ， B． ， C． ， D． ，
已知直線 與雙曲線 交于 ， 兩點，以 為直徑的圓恰好經過雙曲線的右焦點 ，若 的面積為 ，則雙曲線的離心率為
A． B． C． D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分.
某學校為了了解本校學生的上學方式，在全校范圍內隨機抽查部分學生，了解到上學方式主要有： 結伴步行， 自行乘車， 家人接送， 其他方式．并將收集的數據整理繪制成如下兩幅不完整的統計圖．根據圖中信息，下列說法正確的是
A．扇形統計圖中 的占比最小 B．條形統計圖中 和 一樣高
C．無法計算扇形統計圖中 的占比 D．估計該校一半的學生選擇結伴步行或家人接送
設 ， 分別是雙曲線 ： 的左、右焦點， 為雙曲線的左頂點，以 為直徑的圓交雙曲線的某條漸近線于 ， 兩點（ 在 軸上方， 在 軸下方）， 為雙曲線的半焦距， 為坐標原點．則下列命題正確的是
A．點 的坐標為
B．
C．若 ，則雙曲線 的離心率為
D．若 ，且 的面積為 ，則雙曲線 的方程為
已知函數 ，給出下述論述，其中正確的
A．當 時， 的定義域為
B． 一定有最小值
C．當 時， 的值域為
D．若 在區間 上單調遞增，則實數 的取值范圍是
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
已知函數 在 時有極值 ，則 ．
（5分） 的內角 ，， 的對邊分別為 ，，．若 ，，，則 的面積為 ．
如圖，正方體 的棱長為 ，點 為底面 的中心，點 在側面 的邊界及其內部運動，且 ．給出下列結論：
① ；②三棱錐 體積為定值；
③點 在線段 上（ 為 的中點）；④ 面積的最大值為 ．
其中所有正確結論的序號是 ．
解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
（13分）如圖， 且 ，， 且 ， 且 ，，．
(1) 若 為 的中點， 為 的中點，求證：；
(2) 求二面角 的正弦值；
(3) 若點 在線段 上，且直線 與平面 所成的角為 ，求線段 的長．
（15分）某學校在寒假期間安排了“垃圾分類知識普及實踐活動”．為了解學生的學習成果，該校從全校學生中隨機抽取了 名學生作為樣本進行測試，記錄他們的成績，測試卷滿分 分，將數據分成 組：，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：
(1) 若全校學生參加同樣的測試，試估計全校學生的平均成績（每組成績用中間值代替）；
(2) 在樣本中，從其成績在 分及以上的學生中隨機抽取 人，用 表示其成績在 中的人數，求 的分布列及數學期望；
(3) 在（Ⅱ）抽取的 人中，用 表示其成績在 的人數，試判斷方差 與 的大小．（直接寫結果）
（15分）已知橢圓 的左、右焦點為 ，，，若圓 的方程為 ，且圓心 滿足 ．
(1) 求橢圓 的方程；
(2) 過點 的直線 交橢圓 于 ， 兩點，過 與 垂直的直線 交圓 于 ， 兩點， 為線段 中點，若 的面積為 ，求 的值．
（17分）設 是正數組成的數列，其前 項和為 ，并且對于所有的 ，都有 ．
(1) 寫出數列 的前 項．
(2) 求數列 的通項公式（寫出推證過程）．
(3) 設 ， 是數列 的前 項和，求使得 對所有 都成立的最小正整數 的值．
（17分）已知函數 只能滿足下列三個條件中的兩個：①函數 的最小值為 ；②函數 圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為 ；③函數 的圖象可由函數 的圖象左右平移得到．
(1) 請寫出這兩個條件的序號，并求出 的解析式．
(2) 計算 的值．
(3) 已知 ，討論 在 上零點的個數．
參考答案
一、選擇題（共8題，共40分）
1. A
2. C
3. A
4. A
5. B
6. C
7. B
8. D
二、不定項選擇題（共3題，共18分）
9. A；B；D
10. B；C；D
11. A；C
三、填空題（共3題，共15分）
12.
13.
14. ①②③
四、解答題（共5題，共77分）
15. (1) 依題意，可以建立以 為原點，分別以 ，， 的方向為 軸， 軸， 軸的正方向的空間直角坐標系（如圖），
可得 ，，，，，，，，．
依題意 ，．設 為平面 的法向量，則 即
不妨令 ，可得 ．
又 ，可得 ，
又因為直線 ，
所以 ．
(2) 依題意，可得 ，，．
設 為平面 的法向量，則 即
不妨令 ，可得 ，
設 為平面 的法向量，則 即
不妨令 ，可得 ．
因此有 ，于是 ．
所以，二面角 的正弦值為 ．
(3) 設線段 的長為 ，則點 的坐標為 ，可得 ．
易知， 為平面 的一個法向量，故 ，
由題意，可得 ，解得 ．
所以線段 的長為 ．
16. (1) 由題意得，，
解得 ．
因為 ，
所以估計全校學生的平均成績為 ．
(2) 的所有可能取值為 ，，，．
，
，
，
，
所以 的分布列為所以 的數學期望為 ．
(3) ．
17. (1) 由題意可知：，，，
所以 ，，
所以 ，
所以橢圓 的方程為 ．
(2) 設 ，，由
消去 ，得 ，，
所以 ，，
所以 ，
因為 為線段 中點，
所以 ，
又因為 ，，
所以 ，
又點 到 的距離 ，
所以 ，
所以 ，
此時 ，圓心 到 的距離
，成立．
綜上，．
18. (1) 當 時，，解得：；
當 時，，解得： 或 （舍）；
當 時，，解得： 或 （舍）．
所以 ；；．
(2) 由（）知：，
當 時，，
，
相減得：，
整理得：，
因為 是正數組成的數列，
所以 ，所以 ，
所以 為以 為首項， 為公差的等差數列，．
(3) ，
隨 的增大而增大，且恒小于 ，所以 ，
因為 對所有 都成立，所以 即 ，
故最小正整數 的值為 ．
19. (1) 滿足的條件為①②；
由①得 ，由②得 ．則 ，由③得 ，，
因此滿足的條件只能為①②．
．
(2) 因為 ，則 的最小正周期 ，
所以
．
(3) 在 上零點的個數等價于函數 與 圖象的交點個數．
在同一直角坐標系內作出這兩個數的圖象：
令 ，則 ，
得 或 ，．
解得 或 ，．
當 即 時，由圖象可知， 與 兩圖象無交點，無零點．
當 或 時， 與 兩圖象 個交點，
當 時， 與 兩圖象 個交點．
綜上，當 時， 在 上無零點，當 或 時， 在 上有 個零點，當 時， 在 上有 個零點．

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