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寧遠(yuǎn)一中2025年高三
數(shù)學(xué)模擬卷（一）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．一組樣本數(shù)據(jù)刪除一個(gè)數(shù)后,得到一組新數(shù)據(jù):10,21,25,35,36,40.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等,則刪除的數(shù)為( )
A.25 B.30 C.35 D.40
2．已知集合,,則( )
A. B.
C. D.
3．已知向量,滿足,,則為( )
A. B. C. D.
4．函數(shù)在開(kāi)區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.5 B.6 C.7 D.8
5．正四棱臺(tái)中，，，與底面所成的角為，則此四棱臺(tái)的體積為( )
A. B. C. D.
6．若函數(shù)的定義域?yàn)镈,且存在,使得,則稱是的一個(gè)“二倍階值點(diǎn)”.下列四個(gè)函數(shù)中,不存在“二倍階值點(diǎn)”的是( )
A. B. C. D.
7．某商店店慶，每個(gè)在店內(nèi)消費(fèi)到一定額度的顧客都可以參與抽獎(jiǎng)活動(dòng).組織方準(zhǔn)備了個(gè)盲盒，其中有個(gè)盲盒內(nèi)有獎(jiǎng)品.抽獎(jiǎng)規(guī)則為：抽獎(jiǎng)?wù)邚倪@n個(gè)盲盒中隨機(jī)抽取1個(gè)盲盒，兌獎(jiǎng)后組織方會(huì)再補(bǔ)回一個(gè)相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽獎(jiǎng)?wù)叱楠?jiǎng).抽獎(jiǎng)?wù)呒紫饶闷鹆艘粋€(gè)盲盒，在猶豫是否打開(kāi)時(shí)，組織方拿走了一個(gè)沒(méi)有獎(jiǎng)品的盲盒，最終甲選擇了另外一個(gè)盲盒打開(kāi)，記甲中獎(jiǎng)的概率為.抽獎(jiǎng)?wù)咭以谶x盲盒時(shí)不小心碰掉了一個(gè)盲盒，并且發(fā)現(xiàn)摔裂的盲盒內(nèi)沒(méi)有獎(jiǎng)品，隨后乙從剩下的盲盒中選定一個(gè)盲盒打開(kāi)，記乙中獎(jiǎng)的概率為，則( )
A. B.
C. D.無(wú)法確定與的大小關(guān)系
8．已知平面向量,,,當(dāng)最小時(shí),,則,的夾角為( )
A. B. C. D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，不選或有選錯(cuò)的得0分。
9．已知拋物線的焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線l交拋物線于,兩點(diǎn),且A,B在其準(zhǔn)線上的射影分別為,,則下列結(jié)論正確的是( )
A.若直線軸,則 B.
C. D.
10．若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，，則( )
A. B.
C. D.
11．設(shè)等比數(shù)列的公比為q,其前n項(xiàng)和為,前n項(xiàng)積為,并且滿足條件,,,則下列結(jié)論正確的是( )
A. B.
C.的最大值為 D.的最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．某中學(xué)高一 高二 高三的學(xué)生人數(shù)比例為,假設(shè)該中學(xué)高一 高二 高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率分別為,,若從該中學(xué)三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生,則這名學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率不大于0.233,已知該中學(xué)高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率不低于高一的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率,則p的取值范圍是______________。
13．已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________。
14．在正六棱柱中,,M,N分別為,的中點(diǎn),則點(diǎn)A到平面的距離為_(kāi)_______。
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15．（本小題滿分13分）已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足.
(1)求A;
(2)若,求的取值范圍.
16．（本小題滿分15分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的漸近線交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l與C相切，證明：的面積為定值.
17．（本小題滿分15分）如圖,在四棱錐中,平面,,,,,點(diǎn)E在棱上,且不與S和D重合,平面交棱SC于點(diǎn)F.
（1）求證:;
（2）若E為棱的中點(diǎn),求二面角的正弦值;
（3）記點(diǎn)D,S到平面的距離分別為,,求的最大值.
18．（本小題滿分17分）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施,游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn),可以從高處俯瞰四周景色.位于濱海的“渤海之眼”摩天輪是世界上最大的無(wú)軸摩天輪,該摩天輪輪盤(pán)直徑為124米,設(shè)置有36個(gè)座艙.游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙,當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)距地面145米時(shí)大約需要15分鐘.當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開(kāi)始計(jì)時(shí).
（1）經(jīng)過(guò)t分鐘后游客甲距離地面的高度為H米,已知H關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式滿足（其中,,）,求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的解析式;
（2）游客甲坐上摩天輪后多長(zhǎng)時(shí)間,距離地面的高度第一次恰好達(dá)到52米
（3）若游客乙在游客甲之后進(jìn)入座艙,且中間間隔5個(gè)座艙,從游客甲坐上摩天輪后開(kāi)始計(jì)時(shí),多長(zhǎng)時(shí)間游客乙和游客甲距離地面的高度首次恰好相同
19．（本小題滿分17分）某市為繁榮地方經(jīng)濟(jì)，大力實(shí)行人才引進(jìn)政策，為了解政策的效果，統(tǒng)計(jì)了2018-2023年人才引進(jìn)的數(shù)量y（單位：萬(wàn)人），并根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖（x表示年份代碼，年份代碼1-6分別代表2018-2023年）.
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與（a，b，c，d均為常數(shù)）哪一個(gè)適合作為y關(guān)于x的回歸方程類型；（給出結(jié)論即可，不必說(shuō)明理由）
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)該市2025年引進(jìn)人才的數(shù)量；
（3）從這6年中隨機(jī)抽取4年，記引進(jìn)人才數(shù)量超過(guò)4萬(wàn)人的年數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù)：
5.15 1.55 17.5 20.95 3.85
其中，，，.
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.
參考答案
1．答案：B
解析：依題意,新數(shù)據(jù)組有6個(gè)數(shù),其中位數(shù)是,
顯然原數(shù)據(jù)組有7個(gè)數(shù),因此刪除的數(shù)是中位數(shù)30.
故選:B
2．答案：C
解析：因?yàn)榧?集合
,
.
故選:C.
3．答案：D
解析：因?yàn)?即,
則,整理得,
又因?yàn)?即,則,所以.
故選：D.
4．答案：D
解析：法一：
,
,
令,則或,
即：或或,
如圖所示：
由圖像可知,
函數(shù)共8個(gè)零點(diǎn).
法二：因?yàn)?
由,得,或,
所以,或,即,或,,
因?yàn)?
所以,或,,,,,,共8個(gè)零點(diǎn).
故選：D.
5．答案：B
解析：
∵，，
∴上、下底面的面積分別為
，
設(shè)正四棱臺(tái)的高為h，
連接，分別取，的中點(diǎn)O，，
由正四棱臺(tái)性質(zhì)可知：面，
面，∴，
過(guò)作交于E，
則，面，
∴，為與底面所成的角，
∵
，
由，
可得：，即，
所以
.
故選：B.
6．答案：C
解析：對(duì)于A,,,
由,得,解得,
所以函數(shù)存在“二倍階值點(diǎn)”;
對(duì)于B,,,
由,得,
因?yàn)?,解得,
所以函數(shù)存在“二倍階值點(diǎn)”;
對(duì)于C,,,
由,得,
令,,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時(shí),有極小值也是最小值,且,
所以無(wú)解,
所以函數(shù)不存在“二倍階值點(diǎn)”;
對(duì)于D,,,
由,得,
令,,
所以在R上單調(diào)遞增,
又,,
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知在上存在零點(diǎn),
所以方程有解,
所以函數(shù)存在“二倍階值點(diǎn)”.
故選：C.
7．答案：A
解析：設(shè)事件A為“抽獎(jiǎng)?wù)呒字歇?jiǎng)”，事件B為“甲選中的盲盒有獎(jiǎng)”，
則，在組織方拿走無(wú)獎(jiǎng)的盲盒后，若先選中的有獎(jiǎng)，
則剩余個(gè)盲盒中有個(gè)獎(jiǎng)品，甲更換盲盒后，
若甲先選中的盲盒無(wú)獎(jiǎng)，則剩余個(gè)盲盒中有m個(gè)獎(jiǎng)品，
則更換盲盒后，
因此，
由乙碰掉的盲盒無(wú)獎(jiǎng)，則所有個(gè)盲盒中有m個(gè)獎(jiǎng)品，
且每個(gè)盲盒被抽到的可能性相同，則，
于是，所以.
故選：A.
8．答案：D
解析：設(shè),的夾角為,由,
由二次函數(shù)的圖象可知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最小值,此時(shí)值最小,
將代入即得：,因,故.
故選：D.
9．答案：CD
解析：拋物線C的焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程,顯然l不垂直于y軸,
設(shè)l的方程為,由得：,,是此方程的二根,
選項(xiàng)A,直線軸,,,,則,即選項(xiàng)A錯(cuò)誤;
選項(xiàng)B,,則,即選項(xiàng)B錯(cuò)誤;
選項(xiàng)C,,即選項(xiàng)C正確;
選項(xiàng)D,如圖中,由拋物線的定義知,,,
又軸,,,同理可得,,
,即選項(xiàng)D正確.
故選：CD.
10．答案：ABC
解析：隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，.
對(duì)于A，，A正確；
對(duì)于B，，則，B正確；
對(duì)于C，由，，得，，
所以，C正確；
對(duì)于D，，則，D錯(cuò)誤.故選ABC.
11．答案：AD
解析：因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為q,由得,所以數(shù)列為等差數(shù)列,公差為,
由于,,則且,得,,
由 ,得,,
若,則,而,則,則,,此時(shí) 不成立,所以,所以,所以A正確;
由,,得,,又因?yàn)?所以數(shù)列為遞減數(shù)列,
從第10項(xiàng)開(kāi)始小于零,故前9項(xiàng)和最大,即可的最大值為,所以D正確,
因?yàn)?所以,所以B不正確,
因?yàn)?,所以數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),所以沒(méi)有最大值,所以C不正確,
故選：AD.
12．答案：
解析：若從該中學(xué)三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生,
則這名學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率為,解得.
因?yàn)樵撝袑W(xué)高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率不低于高一的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率,所以.
故p的取值范圍是.
故答案為：.
13．答案：
解析：由題設(shè),且,則,
所以曲線在點(diǎn)
的切線方程為,即.
故答案為：.
14．答案：/
解析：連接,,設(shè)其交點(diǎn)為O.由正六棱柱的性質(zhì)知,,且,取的中點(diǎn)P,連接,則平面.
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)?M,N分別為,的中點(diǎn),
所以,,,,
則,,.
設(shè)平面的法向量為,
則令,則.
故點(diǎn)A到平面的距離.
故答案為:
15
．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,
根據(jù)正弦定理,得：,
由,,則,
即,而,故,
又,所以.
(2)由正弦定理,且,則,,
由,
則
,
由,則,即,
可得,
令,則,
易知函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,,,所以.
16．答案：（1）
（2）證明見(jiàn)解析
解析：（1）設(shè)，，
，.
若，則.
易知雙曲線的漸近線方程為，不妨設(shè)A在直線上，B在直線上.
由得，
同理可得，
所以.
由得，
所以，
所以，即.
又，所以，解得，
所以雙曲線C的方程為.
（2）由（1）得，，
所以，，
所以.
由得.
因?yàn)橹本€l與雙曲線C相切，
所以，
所以，
所以，為定值.
17．答案：（1）證明見(jiàn)解析
（2）
（3）
解析：（1）因?yàn)?且平面,平面,
所以平面,
又因?yàn)槠矫?平面平面,
所以;
（2）取的中點(diǎn)P,連接,則,又,
所以四邊形為平行四邊形,
因?yàn)槠矫?平面,所以,故四邊形為矩形,
在中,,又,
所以在中,,所以.
因?yàn)槠矫?平面,所以,
又因?yàn)?平面,且,所以平面,
以為x軸,為y軸,為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,.
,,,,
設(shè)平面的法向量為,則,
即,可取.
設(shè)平面的法向量為,則,
即,可取.
設(shè)二面角的大小為,
則
則二面角的正弦值為;
（3）設(shè),,則,
設(shè)平面的法向量為,
則,即,可取.
因?yàn)?,
所以,,
故,設(shè),,則,
令,得,解得（舍去）,,
故時(shí),,時(shí),,
所以,
故的最大值為.
18．答案：（1）,;
（2）5分鐘
（3）17.5分鐘
解析：（1）由題意知,,,解得,
又,所以,
時(shí),,解得,
因?yàn)?所以,
所以,;
（2）令,得,解得,
即,因,依題意,需使,解得,
所以游客甲坐上摩天輪后5分鐘,距離地面的高度第一次恰好達(dá)到52米;
（3）由題意知,,
因中間間隔5個(gè)座艙,則有,
依題意,,即,
即,所以,解得,;
所以,;時(shí),,不合題意;當(dāng)時(shí),,
即從游客甲坐上摩天輪后開(kāi)始計(jì)時(shí),17.5分鐘游客乙和游客甲距離地面的高度首次恰好相同.
19．答案：（1）選擇更合適.
（2），12.68萬(wàn)人
（3）分布列見(jiàn)解析，2
解析：（1）根據(jù)散點(diǎn)圖可知，選擇更合適.
（2）因?yàn)椋詢蛇呁瑫r(shí)取常用對(duì)數(shù)，得.
設(shè)，則，先求w關(guān)于x的線性回歸方程.
因?yàn)椋?br/>，所以.
把代入上式，得，
故預(yù)測(cè)該市2025年引進(jìn)人才的數(shù)量為12.68萬(wàn)人.
（3）這6年中，引進(jìn)人才的數(shù)量超過(guò)4萬(wàn)人的年數(shù)有3個(gè)，
所以X的所有可能取值為1，2，3.
，，，
所以X的分布列為
X 1 2 3
P
所以.

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