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四川省綿陽市三臺中學高2022級五月月考
一、單選題：本大題共8小題，共計40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上。
1．設集合，，則( )
A. B. C. D.
2．已知復數,為z的共軛復數,則的虛部為( )
A. B. C. D.
3．已知，則下列結論正確的是( )
A. B. C. D.
4．隨著居民家庭收入的不斷提高,人們對居住條件的改善的需求也在逐漸升溫.某城市統計了最近5個月的房屋交易量,如下表所示：
時間x 1 2 3 4 5
交易量y（萬套） 0.8 1.0 1.2 1.5
若y與x滿足一元線性回歸模型,且經驗回歸方程為,則下列說法錯誤的是( )
A.根據表中數據可知,變量y與x正相關
B.經驗回歸方程中
C.可以預測時房屋交易量約為1.72（萬套）
D.時,殘差為
5．已知等差數列的項數為，若該數列前3項的和為3，最后三項的和為63，所有項的和為110，則n的值為( )
A.10 B.11 C.12 D.13
6．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于點A，若，則C的離心率為( )
A. B.2 C. D.
7．在三棱錐中，已知，，，則該三棱錐的體積為( )
A. B. C. D.
8．已知函數的定義域為，對于，滿足，且當時，.若函數恰有兩個不同的零點，則實
數a的取值范圍為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本大題共3小題，共計18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有錯選的得0分。
9．甲罐中有5個紅球, 2個白球和3個黑球,乙罐中有4個紅球, 3個白球和3個黑球,先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐,分別用事件,和表示從甲罐中取出的球是紅球,白球和黑球;再從乙罐中隨機取出一球,用事件B表示從乙罐中取出的球是紅球,則下列結論正確的是( )
A.
B.
C.事件B與事件相互獨立
D.,,是兩兩互斥的事件
10．設函數，已知在有且僅有3個零點，則( )
A.在有且僅有2個極大值點
B.在有且僅有1個極小值點
C.在單調遞增
D.若在單調遞減，則的最小值為2
11．已知圓，點P為直線與y軸的交點，過點P作圓M的兩條切線，切點分別為A，B，直線與交于點C，則( )
A.若直線l與圓M相切，則 B.時，四邊形的面積為
C.的取值范圍為 D.已知點，則為定值
三、填空題：本答題共3小題，每小題5分，共計15分。
12．在菱形中，，，E，F分別為，的中點，則________.
13. 若n為一組從小到大排列的數,1,3,5,7,9,11,13的第六十百分位數,則的展開式中的系數為_____________.
14. 公比為q的等比數列滿足:,記,則當q最小時,使成立的最小n值是______.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明或演算步驟。
15．在中，角A，B，C，所對邊分別為a，b，c，已知，且.
(1)求C；
(2)若D為邊的中點，且，，求的面積.
16．已知函數.
(1)求函數的單調區間;
(2)若函數在區間上的最小值為0,求實數a的值.
17．在三棱柱中，底面，，，到平面的距離為1.
(1)證明：平面平面；
(2)已知三棱錐的體積為，求與平面所成角的正弦值.
4月19日是中國傳統二十四節氣之一的“谷雨”，聯合國將這天定為“聯合國中文日”，以紀念“中華文字始祖”倉頡[jié]造字的貢獻，旨在慶祝多種語言以及文化多樣性，促進聯合國六種官方語言平等使用．某大學面向在校留學生舉辦中文知識競賽，每位留學生隨機抽取問題并依次作答，其中每個問題的回答相互獨立．若答對一題記2分，答錯一題記1分，已知甲留學生答對每個問題的概率為，答錯的概率為．
(1)甲留學生隨機抽取3題，記總得分為X，求X的分布列與數學期望；
(2)(i)若甲留學生隨機抽取m道題，記總得分恰為分的概率為，求數列的前m項和；
(ii)記甲留學生已答過的題累計得分恰為n分的概率為，求數列的通項公式．
19．已知在平面直角坐標系中，過點的直線l與拋物線交于A，B兩點，當平行于y軸時，.
(1)求p的值；
(2)是否存在不同于點Q的定點M，使得恒成立？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)若過點的直線與E交于異于A，B的C，D兩點，其中點A，D在第四象限，直線，直線與x軸的交點分別為G，H（G與H不重合），設線段的中點為，求實數n的取值范圍.
四川省綿陽市三臺中學高2022級五月月考
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A D D A B C D BD AC ACD
1．答案：B
解析：由，得，解得，
所以集合，又因為，所以.故選：B.
2.答案：A
解析：因為，則
3．答案：D
解析：對于A、當時顯然錯誤；對于B、當時顯然錯誤；
對于C、當時顯然錯誤；對于D、由，得，，
則，當且僅當時取等號，故D正確.故選：D.
4．答案：D
解析：對于B,依題意,,
所以,解得,所以,故B正確;
對于A,因為經驗回歸方程,,
所以變量y與x正相關,故A正確;
對于C,當時,,
所以可以預測時房屋交易量約為1.72（萬套）,故C正確;
對于D,當時,,
所以時,殘差為,故D錯誤.故選：D.
5．答案：A
解析：設這個數列有n項，則，，因此，即，則，解得.故選：A
6．答案：B
解析：由雙曲線及圓的對稱性，不妨設點A在第一象限.
如圖，由題意知.
又，則，，
所以，即，所以，所以.故選B.
7．答案：C
解析：由題意分析可得：三棱錐可放置在如圖所示的長方體中，
設長方體的長寬高分別為a，b，c，則，
解得該長方體的長為，寬為1，高為2，
則三棱錐的體積為.故選：C.
8．答案：D
解析：當時，，，則，
在上單調遞減，在上單調遞減，，滿足，在上單調遞增，，，，，，
由得，，
令，則，令則，
圖象如圖所示，結合圖象得中需提供一個根，
且該根位于之間，故，又，.故選：D.
9．答案：BD
解析：依題意得,,,
,,,
選項A：,故A不正確;選項B：因為,故B正確;選項C：因為,,故,
所以事件B與事件不相互獨立,故C不正確;選項D：根據互斥事件的定義可知,,,是兩兩互斥的事件,故D正確.故選：BD.
10．答案：AC
解析：已知在有且僅有3個零點，則在上有2個或3個極值點，即在上有且僅有2個極大值點，故A正確；
當時，，在有且僅有3個零點，
，，，當或時，函數取得極小值，故在有2個或1個極小值點，故B錯誤;當時，，，，故在單調遞增，故C正確；若在單調遞減，則，，，，，的最小值為，故D錯誤;故選：AC.
11．答案：ACD
解析：圓轉化為標準方程為，
，在直角中，；
對于A:若直線l與圓M相切，圓心到直線的距離，解得，所以A正確;
對于B:當時，，，，四邊形的面積，所以B錯誤;
對C:
，因為，所以，
由對勾函數在上單調遞增，所以，所以C正確;
對于D:當時，存在與y軸的交點，，
，所以A，M，B，P四點共圓，且為此圓直徑，圓心為，
半徑為，此圓方程為：，
因為是此圓與圓M的相交弦，故直線方程為兩圓方程作差，
即，化簡得：，
所以直線經過定點，因為，所以，
因為在直線AB上，所以，即點C在以為直徑的圓上，因為，，所以圓心恰為Q點，半徑為，
因為點C在該圓上，所以為定值，所以D正確.故選：ACD.
12．答案：6
解析：如圖：由題意，得，，
，故答案為：6.
13．答案：
解析：由,得,
于是展開式中含的項為,
所以的展開式中的系數為.故答案為：.
14．答案：17
解析：是等比數列,,,,又,,設函數,,當時,,時,,在時,取極小值1,,,由題意,,,,,,的最小值是17.故答案為:17.
15．答案：(1)；(2)
解析：（1）因為，
由正弦定理得：
則， ................................2
所以，則.................4
所以，，或，，
則，或，
又因為，所以，所以，故..............................6
（2）在中由余弦定理得：，
所以①，........................................................8
因為D為邊的中點，所以，所以，
所以②，
②-①得：，.............................................................10
所以.........................................13
15．答案：(1)當時,在R上單調遞增;當時,遞減區間為,遞增區間為;(2).
解析：(1)當時,函數,在R上單調遞增,..................2
當時,,令,得,
所以當時,,函數單調遞減;當時,,函數單調遞增;..............................................................6
(2)由(1)可知,當時,函數,不符合題意;.......................8
當時,在上單調遞減,在上單調遞增,
①當,即時,最小值為,
所以,得,符合題意,..............................................12
②當,即時,最小值為,
由,得,不符合題意.綜上,........................15
17．(1)證明見解析；(2).
【詳解】（1）底面，底面，
，又，，平面，平面
平面，又底面，
平面平面..............................................................................................6
（2）由（1）可知，平面，平面，所以.
，
，
，.......................................................................................................................8
，
在中作于，
又平面平面，且平面平面平面，
平面，則即為到平面的距離，即，
所以為的中點，即，，
面且，、、兩兩相互垂直.
以為坐標原點，以、、所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖：
所以，，，，，，
，，，
設面的法向量，
，令，可得法向量.......................................13
所以，
與平面所成角的正弦值為....................................................................15
18．1．答案：(1)分布列見解析，(2)(i)(ii)
解析：(1)依題意可得X的可能取值為3、4、5、6，
則，，
，
，
所以X的分布列為
X 3 4 5 6
P
所以..............................7
(2)(i)若甲留學生隨機抽取m道題，
總得分恰為分，即m道題均答對了，
所以，設數列的前m項和為，
則...............................................12
(ii)依題意可得，，，
當時，所以，所以為常數數列，又，所以，則，
所以是以為首項，為公比的等比數列，所以，
經檢驗當、2上式也成立，
所以.....................................................15
答案：(1)（2）存在， (3)
解析：（1）設點A在第四象限，點B在第一象限，
當平行于y軸時，.在中，令，則，
，，.........................................................................................2
，解得....................................................................................4
（2）存在，理由如下：
由（1）得，拋物線E的方程為.
設直線l方程為，
由得，，故，...........................6
假設存在不同于點Q的定點M，使得恒成立.
由題意得，當軸時，，故點M在x軸上，
設，則，，
由得，，............................... .........8
，
整理得，，即，
化簡得，由不恒為0得，
存在不同于點Q的定點，使得恒成立............................10
（3）
設直線的方程為，代入得，，故.
設，，，直線方程為，
代入得，，故，
設直線方程為，代入得，，故.
由（2）得，
，
..................................................................................................................14
線段的中點為，，
，.....................................................................................17
實數n的取值范圍是.

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