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5.5《分式方程》小節復習題
題型一 分式方程的定義
1．下列關于x的方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列方程中，是分式方程的有 （填序號）．
①；②；③；④．
4．下列關于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有 ．（填序號）
5．觀察下列分式方程：①；②；③；…．根據他們所蘊含的規律，寫出這一組分式方程中的第⑥個方程： ．
題型二 解分式方程
6．解方程：
7．解方程：．
8．解方程：．
9．解方程
(1) (2)
10．解方程：
(1) (2)
題型三 根據分式方程解的情況求值
11．已知關于x的分式方程的解為正數，則非正整數m的和為（ ）
A． B． C． D．
12．關于的分式方程的解為正數，則的取值范圍為（ ）
A． B．且
C． D．且
13．已知方程的根為，那么a的值是 ．
14．若關于x的分式方程有整數解，則整數m的值為 ．
15．已知關于x的分式方程的解是正數，求m的取值范圍
題型四 分式方程的增根問題
16．若分式方程有增根，則的值為（ ）
A． B．3 C．1 D．
17．關于x的方程有增根，那么m的值為（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
18．關于的分式方程有增根，則的值是 ．
19．當 時，解關于的方程會產生增根．
20．已知關于x的方程，若方程有增根，求m的值．
題型五 分式方程的無解問題
21．若關于x的分式方程，無解，則m的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
22．若關于的分式方程無解，則的值是（ ）
A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2
23．若關于x的分式方程無解，則a的值為 ．
24．已知分式方程無解，那么常數 ．
25．已知，關于的方程：．
(1)若方程無解，求的取值；
(2)若方程的解為整數，求整數的值．
題型六 列分式方程
26．甲志愿者計劃用若干個工作日完成社區的某項工作．從第三個工作日起，乙志愿者加入此項工作，且甲、乙兩人工作效率相同，結果提前3天完成此項工作．設甲志愿者計劃完成此項工作需用x天，用方程表示問題中的數量關系為（ ）．
A． B． C． D．
27．某市從今年1月1日起調整居民用水價格，每立方米水費較去年上漲．小麗家去年12月份的水費是15元，而今年3月的水費則是30元．已知小麗家今年3月的用水量比去年12月的用水量多．求該市去年居民用水的價格？設去年居民用水價格為x元/，根據題意列方程，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
28．甲、乙兩人加工某種零件，甲每小時加工x個，乙每小時比甲多加工5個，且甲加工4個所用時間與乙加工5個所用時間相等．根據題意，可列方程 ．
29．某商店銷售A，B兩款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的單價比B款吉祥物的單價高20元．若顧客花800元購買A款吉祥物的數量與花600元購買B款吉祥物的數量相同，設A款吉祥物的單價為元，根據題意可列方程為 ．
30．2024年12月8日，東方愛情馬拉松在重慶市江津區盛大舉行，吸引了來自世界各地的萬名馬拉松運動員和愛好者積極參與，小李和小楊也在其中．比賽伊始，小李的速度比小楊每分鐘慢75米，當小李跑至1000米處時，小楊已抵達1600米處．（全程兩人各階段均保持勻速運動）
(1)求小李和小楊最初的速度分別是多少？
(2)兩人同向行進，小李跑完1000米后，開始發力，速度提升了．同時，小楊因戰術調整，放慢了速度，變速30分鐘后兩人相遇．求小楊的速度每分鐘下降了多少米？
題型七 分式方程的行程問題
31．杭州灣跨海大橋，它是中國第一座真正意義上的跨海大橋，全長40千米，現計劃經過路面改造，實施提高限速，提高限速后比提高限速前增加了20千米/小時，汽車最快通過大橋時間可以減少10分鐘，大橋在現有條件下安全行駛速度不得超過100千米/小時，請你用學過的知識說明在大橋的現有條件下是否還可以再提高限速？
32．如圖，某森林公園從山腳B到山頂A有一段12千米長的山路，已知小牧下山的平均速度是上山的平均速度的倍，他從山腳走到山頂、再從山頂走到山腳一共需要5小時．
(1)求小牧上山的平均速度；
(2)在此山路上有一處C，小牧從C處走到山頂A所用的時間等于從C處走到山腳B所用的時間，則C處離山頂A有多遠？
33．甲、乙兩組學生從學校出發，去距學校的敬老院打掃衛生，甲組學生步行出發后，乙組學生騎自行車開始出發，騎自行車速度是步行速度的倍，結果兩組學生同時到達敬老院．步行與騎自行車的速度各是多少？
34．某旅行社組織游客從甲地到乙地的博物館參觀，已知甲地到乙地的路程為210千米，乘坐型車比乘坐型車少用1小時，型車的平均速度是型車的平均速度的倍，求型車的平均速度．
35．乙巳年正月初一，南南到離家1200米的電影院看電影《哪吒之魔童鬧海》，到電影院時發現電影票落在家里，此時距電影放映還有25分鐘，于是他立即步行（勻速）回家，在家拿電影票用了2分鐘，然后騎自行車（勻速）原路返回電影院，已知南南騎自行車的速度是步行速度的2.5倍，南南騎自行車到電影院比他從電影院步行到家少用了9分鐘．求南南步行的速度是每分鐘多少米
題型八 分式方程的工程問題
36．某市正在修建地鐵線路，該項工程使用我國自主研發的“春城一號”盾構機進行挖掘．在挖掘某段長240米的特殊路段時，盾構機的工作效率僅能達到挖掘正常路段的，打通這段路比打通相同長度的正常路段多用了5天．若挖掘正常路段，盾構機每天能掘進多少米？
37．一支園林隊進行某區域的綠化，在合同期內高效地完成了任務，這是記者與該工程師的一段對話：
如果每人每小時綠化面積相同，請通過這段對話，求每人每小時的綠化面積．
38．因調配物資馳援某地，現需要運送一批牛肉共計120噸，原計劃使用小型冷鏈車運輸，后因車輛調度原因實際調整為大型冷鏈車運輸，每輛車剛好裝滿的情況下比原計劃少用4輛車．已知每輛大型冷鏈車的運貨量是每輛小型冷鏈車的1.5倍，求每輛小型冷鏈車和大型冷鏈車的運貨量各為多少噸？
39．充電時間長是制約新能源汽車發展的重要因素，通過換電站換電池相比用充電樁充電可以極大地縮短充電時間，提高使用效率．已知某款油電混合型新能源汽車每次換電池的時間比加油的時間多分鐘，且花6小時完成換電池服務的次數與花4小時完成加油服務的次數相等．求該車每次完成換電池服務和完成加油服務的時間分別是多少？
40．新能源汽車有著動力強、能耗低的特點，正逐漸成為人們喜愛的交通工具．在新能源電池正極材料的制備過程中，錳是不可或缺的重要元素．現安排甲、乙兩個采礦隊開采錳礦石，已知甲隊每天的開采量是乙隊每天開采量的倍，甲隊開采噸錳礦石所用時間比乙隊開采同樣數量的錳礦石所用時間少天，求甲、乙兩隊每天開采錳礦石的量各為多少噸？
題型九 分式方程的經濟問題
41．清明節期間，某旅行社與社區物業聯合，推出優惠活動，將“揚州一日游”項目在原來門市報價的基礎上每人降價元，這樣某家庭原定元的旅游費用，降價后只需花費元（旅游人數不變）．求該旅行社此項目原來門市報價是每人多少元？
42．為切實落實初中信息技術新課程標準，某校準備購買兩種型號的配套器材．已知型器材的單價比型器材的單價多500元，用8000元購買型器材和用6000元購買型器材的數量相同．求兩種型號器材的單價．
43．春節期間，電影“哪吒之魔童鬧海”火出了圈，某商家看到商機，果斷購進哪吒和敖丙兩款玩具．
(1)商家花費元一次性購買了兩款玩具共個，已知哪吒玩具和敖丙玩具的單價分別是元、元，求購買了哪吒玩具和敖丙各多少個？
(2)由于電影熱度的下降和價格波動，現該商家第二次分別花費元、元購買哪吒玩具和敖丙玩具，已知購買哪吒玩具的數量是敖丙玩具數量的倍，每個敖丙玩具比每個哪吒玩具的價格少3元，求該商家第二次買多少個敖丙玩具？
44．某食品加工廠根據訂單的需求會不定期采購A，B兩種食材（單位：件），而兩種食材的單價會根據市場變化波動．
(1)第一周，該食品加工廠花費7650元一次性采購A，B兩種食材共100件，此時A，B兩種食材的單價分別是60元、90元，求食品加工廠采購了A，B兩種食材各多少件？
(2)第二周，由于采購價格發生了變化，食品加工廠分別花費2000元、4200元一次性購買A，B兩種食材，已知采購B種食材的數量是A種食材數量的倍，每件A種食材的單價比每件B種食材的單價少20元，求食品加工廠第二周采購A種食材多少件？
45．某公司對兩款價格相同，續航里程相同的汽車做了一次評測，一款為燃油車，另一款為純電新能源車．得到相關數據如下：
燃油車 純電新能源車
油箱容積：48升 電池容量：90千瓦時
油價：8元/升 電價：元/千瓦時
(1)設兩款車的續航里程均為千米，請用含的代數式表示燃油車和純電新能源車的每千米行駛費用；
(2)若燃油車每千米行駛費用比純電新能源車多元．請分別求出這兩款車的每千米行駛費用．
題型十 分式方程的和差倍分問題
46．文創產業蓬勃發展，成為新時代文藝的一大亮點．某商店老板在天貓某店定制A，B兩款文創帆布包，已知每件A款帆布包的利潤比每件B款帆布包的利潤多8元，銷售A款帆布包獲利300元和銷售B款帆布包獲利180元的銷售數量相同．求每件A款帆布包和每件B款帆布包的利潤．
47．某校八年級（1）班共捐款300元，八年級（2）班共捐款225元．已知八年級（1）班的人均捐款額是八年級（2）班的1.2倍，且八年級（1）班的人數比八年級（2）班多5人．兩個班各有多少人？
48．太原市某校教務處主任讓采購員小李查詢最近學校購買籃球和足球的單價，卻發現訂貨單已被墨水污染，下面是被墨水污染了的訂貨單及采購員小李和保管員小康的對話．
商品 進價/（元/個） 數量 總金額/元
足球 5000
籃球 4000
請根據表格及他倆的對話求出籃球和足球的單價．
49．為了加強學生的體育鍛煉，某學校需要購買籃球和足球兩種體育用品，已知每個足球的進價是每個籃球進價的倍，用1200元購進籃球的數量比用2100元購進足球的數量少20個．求：每個籃球、足球的進價分別為多少元？
50．學校廣播站要招聘一名播音員，擅長誦讀的小龍想去應聘，但是不知道是否符合應聘條件，于是在微信上向好朋友亮亮傾訴，下圖是他們的部分對話內容．面對小龍的問題，亮亮也犯了難．聰明的你用所學方程知識幫小龍準確計算一下，他平均每分鐘讀多少個字？他是否符合學校廣播站應聘條件
題型十一 分式方程的新定義問題
51．定義一種新運算（且）．若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
52．定義一種新運算“※”為：，則方程的解為（ ）
A． B． C． D．
53．對于實數，，定義一種新運算“*”：，等式右邊是實數運算．例如：，則方程的解是 ．
54．對于實數a、b，定義一種新運算“”為：，這里等式右邊是實數運算．例如：．則方程的解是 ．
55．我們定義：如果兩個分式A與B的差為常數，且這個常數為正數，則稱A是B的“雅中式”，這個常數稱為A關于B的“雅中值”．如分式，則A是B的“雅中式”，A關于B的“雅中值”為2．
(1)已知分式判斷C是否為D的“雅中式”，若不是，請說明理由，若是，請證明并求出C關于D的“雅中值”；
(2)已知分式，P是Q的“雅中式”，且P關于Q的“雅中值”是2，x為整數，且“雅中式”P的值也為整數，求E所代表的代數式及所有符合條件的x的值之和；
(3)已知分式（a，b，c為整數），M是N的“雅中式”，且M關于N的“雅中值”是1，求的值．
題型十二 分式方程的綜合
56．已知正整數，，，且，，則滿足題意的解的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
57．已知關于x的方程的兩根分別為m，，則關于x的方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
58．解方程：的解為 ．
59．觀察下列方程及其解的特征
第1個方程：的解為
第2個方程：的解為
第3個方程的解為
解答下列問題：
(1)猜想，第5個方程，方程的解為________．
(2)關于的第個方程為________，它的解為________；
(3)利用上述規律解關于的分式方程：
60．觀察下面的變化規律，解答下列問題：
，將以上三個等式兩邊分別相加得：
．
(1)＝
(2)利用上述規律計算：．
(3)靈活利用規律解方程：．
參考答案
題型一 分式方程的定義
1．D
【分析】本題考查的是分式方程的定義，熟知分母中含有未知數的方程叫做分式方程是解題的關鍵．根據分式方程的定義對各選項進行逐一分析即可．
【詳解】解：A、不含有分式，不是分式方程，不符合題意；
B、分母中不含有x，不是關于x的分式方程，不符合題意；
C、分母中不含有x，不是關于x的分式方程，不符合題意；
D、分母中含有x，是關于x的分式方程，符合題意．
故選：D．
2．A
【分析】本題主要考查了分式方程的定義，分母中是否含有未知數的方程叫做分式方程，據此可得答案．
【詳解】解；由分式方程的定義可知，四個選項中，只有A選項中的方程是分式方程，
故選：A．
3．②③
【分析】本題考查了分式方程的定義，熟練掌握分式方程的定義是解題的關鍵．根據分式方程的定義，逐個分析即可判斷．
【詳解】解：是整式方程，不是分式方程，故①不符合題意；
是分式方程，故②符合題意；
是分式方程，故③符合題意；
是整式方程，不是分式方程，故④不符合題意；
綜上所述，是分式方程的有②③．
故答案為：②③．
4．②④
【分析】本題考查了分式方程的定義，熟練掌握分式方程的定義是解題的關鍵．分母中含有未知數的方程叫做分式方程，根據定義逐項分析即可．
【詳解】解：依題意，②，④是分式方程；
①，③是一元一次方程；
∴是分式方程的是②④，
故答案為：②④
5．
【分析】本題考查了分式方程，代數式規律的探索；探索出方程的規律是解題的關鍵；分式方程的規律是：方程左邊是分式與1的和，其中分式的分母為未知數x，分子為從1開始的相鄰兩個自然數的積，方程右邊是從3開始的奇數；根據此規律即可寫出第⑥個方程．
【詳解】解：根據規律知，第⑥個方程為：，
即，
故答案為：．
題型二 解分式方程
6．解：兩邊同時乘以得，
當時，，
所以原方程的解為．
7．解：
兩邊乘，得，
去括號得，，
移項、合并同類項得，，
系數化成1得，，
經檢驗，是原分式方程的解．
8．解：
檢驗：把代入，，
∴是原方程的解．
9．（1）解：，
方程兩邊乘，得，
解得，
檢驗：當時，，
原分式方程的解為；
（2）解：方程兩邊乘，得，
解得，
檢驗：當時，，即是原分式方程的增根，
原分式方程無解．
10．（1）解：，
，
，
，
，
檢驗，當時，，
所以該分式方程的解為：；
（2）解：，
，
，
檢驗，當時，，
所以該分式方程無解．
題型三 根據分式方程解的情況求值
11．A
【分析】本題主要考查了解分式方程．解分式方程，得，因為分式方程的解是正數，所以且，進而推斷出且．進一步可得出結論．
【詳解】解：，
方程兩邊同乘，得，
解得：，
∵關于x的分式方程的解為正數，
∴且，
∴且，
∴符合條件的非正整數為0，，
和為．
故選：A．
12．B
【分析】本題考查了解分式方程，分式有意義的條件，熟練解分式方程是解題的關鍵．根據題意，解分式方程，得到，結合條件，得到，結合分式有意義的條件，得，從而得到結果．
【詳解】解：關于的分式方程，
去分母得，，
移項、合并同類項得，，
系數化為1得，，
分式方程的解是正數，
，
，
時，分式方程無意義，
，
，
，
綜上所述，且，
故選：．
13．
【分析】題目主要考查分式方程的解，理解題意是解題關鍵．
根據題意，將分式方程的解代入求解即可．
【詳解】解：將代入得：，
去分母得：
解得：，
經檢驗：為原方程的解，
∴，
故答案為：．
14．3，4，0
【分析】本題考查了解分式方程；先求出分式方程的解，再根據解為整數即可求得整數m的值．
【詳解】解：方程兩邊乘以，得：，
整理得：；
由于方程有解，則，即，
∴；
由于方程有整數解，則，
解得：或或或，
當時，，此時方程無解；
綜上，整數m的值為3，4，0．
15．解：整理得：
去分母得： 解之得：
∵該分式方程的解是正數，即,
∴
∴
又∵ 即 ，
∴∴
∴m的取值范圍是：
題型四 分式方程的增根問題
16．D
【分析】本題考查了解分式方程，分式方程的增根問題，解分式方程得出，再由分式方程有增根得出，求解即可．
【詳解】解：解分式方程得：，
∵分式方程有增根，
∴，
∴，即，
解得：，
故選：D．
17．B
【分析】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程有增根得到，求出x的值，代入整式方程計算即可求出m的值．
【詳解】解：分式方程去分母得：，
∵分式方程有增根，
∴，即，
把代入整式方程得：，
解得：．
故選：B．
18．或6
【分析】本題考查了解分式方程、分式方程的增根，首先解分式方程可得：，根據分式方程有增根，可得：或，繼續解關于的分式方程即可．
【詳解】解：，
去分母得：，
去括號得：，
移項得：，
合并同類項：，
系數化為得：，
分式方程有增根，
或，
當時，，
經檢驗是分式方程的解，
當時，，
經檢驗是分式方程的解．
綜上所述，的值是或 ．
故答案為：或 ．
19．
【分析】此題考查了分式方程的增根，熟練掌握增根的計算方法是解題的關鍵；增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．
【詳解】解 ：去分母得：
解得：；
因為關于的方程會產生增根，則增根為，
故，
解得：；
故答案為：
20．解：
分式方程去分母得：，
由分式方程有增根，得到或，
即或，
把代入整式方程得：，即；
把代入整式方程得：，無解，
綜上，m的值為0．
題型五 分式方程的無解問題
21．A
【分析】本題考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數的值，這個值叫方程的解．先去分母得到整式方程，解整式方程得，利用分式方程無解得到，所以，然后解關于m的方程即可．
【詳解】解：，
去分母得，
解得，
∵原分式方程無解，
∴，即，
∴，
解得，
故選：A．
22．D
【分析】本題考查分式方程增根情況及運用，解題的關鍵是注意關鍵詞“無解”與增根的關系．
找出方程中的最簡公分母：，然后方程兩邊同乘最簡公分母，化為整式方程可解，然后根據分式有無意義即可得出結果．
【詳解】解：
根據題意，原分式方程無解，
①當時，即時，整式方程無解，所以原分式方程無解，符合題意；
②當原分式方程最簡公分母時，即，是原分式方程的增根，也符合題意，
此時，，
解得；
∴的值是1或2，
故選：D．
23．0或
【分析】本題考查了分式方程的解，掌握分式方程無解的條件是解題的關鍵．
根據分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0，建立關于a的方程，求解即可．
【詳解】解：方程去分母得，，
．
如果原分式方程無解，那么分兩種情況：
①當時，方程無解，所以分式方程無解；
②，解方程，得，
當分母即時原分式方程無解．
由，得．
經檢驗，符合題意，
故當或時，分式方程無解．
故答案為：0或．
24．
【分析】本題考查分式方程的無解問題．根據題意分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0，故此可以得到本題答案．
【詳解】解：，
去分母得：，
∵當時，分母為0，方程無解，
∴，
解得．
故答案為：．
25．（1）解：去分母，得，
去括號，得，
移項、合并同類項，得，
當時，得，
解得；
當時，得，
解得，
∴若方程有增根，的取值為或；
∵，
∴當時原分式方程無解，
∴，
∵當或時方程有增根，
∴若方程無解，的取值為或或；
（2）解：∵，
∴，
∵方程的解為整數，
∴，，
當時，（舍去）；
當時，（舍去）；
當時，；
當時，；
∴或．
題型六 列分式方程
26．A
【分析】本題考查了分式方程的應用，關鍵根據工程問題常用的等量關系“工效×時間=工作總量”列方程求解．
由題意可得甲的工作時間為天，乙是第三個工作日起加入，所以乙的工作時間為天，甲工作量+乙工作量=1，列出方程即可．
【詳解】由已知甲志愿者計劃完成此項工作需x天，因為提前3天完成此項工作，所以甲的工作時間為天，乙是第三個工作日起加入，所以乙的工作時間為天，甲和乙的工作效率相同，每天都做，則，
故選A．
27．A
【分析】本題主要考查分式方程的應用，設去年居民用水價格為x元/，則今年居民用水價格為元/，根據小麗家今年3月的用水量比去年12月的用水量多，即可列出方程．
【詳解】解：設去年居民用水價格為x元/，則今年居民用水價格為元/，
根據題意得，
故選：A．
28．
【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
根據甲加工4個所用時間與乙加工5個所用時間相等，即可列出方程．
【詳解】解：根據題意，甲每小時加工x個，乙每小時加工個，
可列方程，
故答案為：．
29．
【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，根據顧客花800元購買A款吉祥物的數量與花600元購買B款吉祥物的數量相同，即可列出關于x的分式方程，此題得解．
【詳解】解：設A款吉祥物的單價為x元，則B款吉祥物的單價為元，
根據題意得：．
故答案為：．
30．（1）解：設小李最初的速度是x米/分鐘，則小楊最初的速度是米/分鐘，
根據題意得：，
解得：，
經檢驗，是所列方程的解，且符合題意，
∴（米/分鐘）．
答：小李最初的速度是125米/分鐘，小楊最初的速度是200米/分鐘；
（2）解：設小楊的速度每分鐘下降了y米，
根據題意得：，
解得：．
答：小楊的速度每分鐘下降了45米．
題型七 分式方程的行程問題
31．解：設提速前的限速是x千米/小時，則提速后的限速為千米/小時，
由題意得，，
整理得，
解得或（舍去），
經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
∵，
∴在大橋的現有條件下還可以再提高限速．
32．（1）解：設小牧上山的平均速度是x千米/時，根據題意，得
．
解得，
經檢驗，是原分式方程的解，且符合題意．
答：小牧上山的平均速度是4千米/時．
（2）設C處離山頂A為a千米．
根據題意，得．
解得．
答：C處離山頂A 4.8千米．
33．解：設步行速度為，則自行車的速度為，
∴，
解得，，
檢驗，當時，原分式方程有意義，
∴步行速度為，
∴，
∴自行車的速度為．
34．解：設型車的平均速度為千米每小時，根據題意得，
解得，
經檢驗，是原分式方程的解，并符合題意，
所以，型車的平均速度為70千米每小時．
35．解：設南南步行的速度是x米/分鐘，則南南騎自行車的速度是米/分鐘，根據題意，得：
，
解得，
經檢驗，是原分式方程的解，且符合題意，
答：南南步行的速度是每分鐘80米．
題型八 分式方程的工程問題
36．解：設挖掘正常路段，盾構機每天能掘進米，
則挖掘特殊路段，盾構機每天能掘進米．
由題意得，
則，
得，
即．
∴．
經檢驗，是原分式方程的解，且符合題目要求．
答：挖掘正常路段，盾構機每天能掘進12米．
37．解：設每人每小時的綠化面積為x平方米．
根據題意，得，
方程兩邊乘以得：，
解得：，
檢驗：當時，，
所以，原分式方程的解為．
答：每人每小時的綠化面積為平方米．
38．解：設每輛小型冷鏈車的運貨量為，則每輛大型冷鏈車的運貨量為．
由題意，得，
解得．
經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
則．
答：每輛小型冷鏈車的運貨量為，每輛大型冷鏈車的運貨量為．
39．解：設該車每次完成換電池服務的時間為分鐘，則每次完成加油服務的時間為分鐘，
根據題意，得，
解得，
經檢驗，是原分式方程的解，且符合題意，
（分鐘）．
答：該車每次換電池服務的時間為分鐘，完成加油服務的時間為3分鐘．
40．解：設乙隊每天開采錳礦石的量為噸，則甲隊每天開采錳礦石的量為噸，
根據題意，得：，
解得：（噸），
經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
（噸），
答：甲、乙兩隊每天開采錳礦石的量分別為噸、噸．
題型九 分式方程的經濟問題
41．解：設該旅行社此項目原來門市報價是每人x元，則降價后此項目的報價是每人元，
根據題意得：，
解得：，
經檢驗，是所列方程的解，且符合題意．
答：該旅行社此項目原來門市報價是每人元．
42．解：設型器材的單價為元，則型器材的單價為元．
根據題意，得．
解得．
經檢驗，是原方程的解，且符合題意．
．
答：型器材的單價為2000元，型器材的單價為1500元．
43．（1）解：設買了哪吒玩具x個，得解得
（個）
答：買哪吒玩具和敖丙玩具分別為個、個．
（2）解：設商家第二次購買敖丙玩具y個，得解得
經檢驗：既是所列方程的解，又符合問題實際．
答：商家第二次購買敖丙玩具個．
44．（1）解：設食品加工廠采購了A種食材x件，B種食材y件，
，
解得：，
答∶食品加工廠采購了A種食材45件，B種食材55件．
（2）解：設食品加工廠第二周采購A種食材m件，則B種食材采購件，
，
解得：，
經檢驗，是原分式方程的解，
答：食品加工廠第二周采購A種食材40件．
45．（1）解：由題意得，燃油車每千米行駛費用為（元），
純電新能源車每千米行駛費用為（元），
答：燃油車每千米行駛費用為元，純電新能源車每千米行駛費用為元；
（2）解；解：由題意得：，
解得：，
經檢驗，是分式方程的解，且符合題意，
∴ （元），（元），
答：燃油車每千米行駛費用為元，純電新能源車每千米行駛費用為元.
題型十 分式方程的和差倍分問題
46．解：設每件B款帆布包的利潤為x元，則每件A款帆布包的利潤為元．
根據題意，得．
解得．
經檢驗，是原方程的解，且符合題意．
（元）．
答：每件A款帆布包的利潤為20元，每件B款帆布包的利潤為12元．
47．解：設八年級（2）班有x人，八年級（1）班有人，根據題意，得：
，
解得：，
經檢驗，是原方程的根，
∴，
答：八年級（1）班有50人，八年級（2）班有45人．
48．解：設購買籃球的數量為個，則購買足球的數量為個．根據題意可得：
，
解得，
經檢驗是原分式方程的解，且符合題意，
籃球的單價（元），
足球的單價（元）．
答：籃球的單價為80元，足球的單價為50元．
49．解：設每個籃球的進價為x元，則每個足球的進價為元．
根據題意得：，
解得，
經檢驗是原分式方程的解，且符合實際，
∴．
答：每個籃球的進價為80元，則每個足球的進價為60元．
50．解：設小龍每分鐘讀個字，小龍奶奶每分鐘讀個字．
根據題意，得：．
解得：．
經檢驗，是所列方程的解，并且符合實際問題的意義．
學校廣播站招聘條件是每分鐘250－270字，
小龍符合學校廣播站應聘條件．
題型十一 分式方程的新定義問題
51．B
【分析】本題考查新定義運算，分式方程，解題的關鍵是掌握新定義運算，根據題意，，則，進行計算，即可．
【詳解】解：∵，
∴，
解得：，
經檢驗，是原方程方解，
∴的值為．
故選：B．
52．B
【分析】本題考查了定義新運算、解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．根據定義新運算得到方程，再解分式方程求出的值即可．
【詳解】解：由題意得，，
去分母，得：，
解得：，
經檢驗，是原方程的解．
故選：B．
53．
【分析】本題考查了新定義、分式方程的解法，解題的關鍵是理解題中給出的新運算法則及分式方程的解法．根據題中的新運算法則列出分式方程，再根據分式方程的解法解答即可．
【詳解】解：∵，
∴
∴
去分母得，
解得：，
經檢驗，是原方程的解，
故答案為：．
54．
【分析】本題主要考查了解分式方程，新定義，根據新定義得到，解分式方程即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，即，
∴，
解得，
經檢驗，是原方程的解，
故答案為：．
55．（1）解：C不是D的“雅中式”，理由如下：
不是的“雅中式”．
（2）解：關于的“雅中值”是，
，
，
，
為整數，且“雅中式”的值也為整數，
是的因數，
可能是：
的值為：
的值為：
（3）解：是的“雅中式”，且關于的“雅中值”是1，
整理得：
由上式恒成立：
消去可得：
、、為整數
為整數，
當時，
此時：
當時，
此時：
當時，
此時：
當時，
此時：
綜上：的值為：或或或
題型十二 分式方程的綜合
56．A
【分析】本題主要考查分數方程的整數解問題，需結合不等式約束條件進行分析，通過逐步縮小變量范圍并驗證可能的取值．根據整數，，，且，，通過分析的取值范圍來確定滿足條件的解．
【詳解】解：∵正整數，，，，
，
，
，
，
，
即或，
當時，，
，
，
，
，
，
，
可能的值為，，，，
當時，，不滿足為正整數，舍去；
當時，，不滿足為正整數，舍去；
當時，，則，滿足條件；
當時，，則，不滿足為正整數，舍去；
當時，，
，
，
，
，
，
為正整數，
為或，
，
的值無解；
滿足題意的解是，，．
故選：A．
57．D
【分析】此題主要考查了解分式方程和分式方程的解，理解分式方程的解，熟練掌握解分式方程的方法與技巧是解決問題的關鍵．先將將方程轉化為，再根據已知得，，再由，解得，由，解得，據此即可得出答案．
【詳解】解：將方程轉化為：，
方程的兩根分別為m，，
，，
由，解得：，
由，解得：，
方程的根是：，，
故選：．
58．
【分析】此題主要考查了解分式方程，正確地將原方程變形是解決問題的關鍵． 先將原方程變形，再進一步化簡轉化為整式方程求解即可．
【詳解】解：原方程可變形為，
，
化簡得，，
∴，
即，
∴，
解得：，
檢驗，把代入，
∴原方程的解為．
故答案為：
59．（1）解：，即，
∴，，
故答案為：，；
（2）解：可猜想第n個方程為：的解為，，
故答案為：，；
（3）解：方程兩邊乘2得，，
移項，得，
∴或，
解得：，，
經檢驗得，，是原方程的解．
60．（1）解：，
，
，
；
故答案為：；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
經檢驗，是原方程的解．

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