資源簡介

2025屆高三云民中高考仿真模擬考試
高三數學 試題卷
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3.考試結束后，請將答題卡交回，試卷自行保留。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.對于任意集合，，下列關系正確的是( )
A.
B.
C.
D.
2.“”是“過點有兩條直線與圓：相切”的
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
3.若復數在復平面內對應的點在第二象限，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
4.已知點為的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量為，則的值為( )
A. B. C. D.
5.已知的面積為，取各邊的中點，，作，然后再取各邊的中點，，作，依此方法一直繼續下去記的面積為，數列的前項和為，則( )
A. 數列為常數列 B. 數列為遞增數列
C. 數列為遞減數列 D. 數列為遞增數列
6.如圖，點，，，，為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面的是( )
A. B.
C. D.
7.已知橢圓，稱點和直線是橢圓的一對極點和極線，每一對極點與極線是一一對應關系．當在橢圓外時，其極線是橢圓從點所引兩條切線的切點所確定的直線即切點弦所在直線結合閱讀材料回答下面的問題：已知是直線上的一個動點，過點向橢圓引兩條切線，切點分別為，，直線恒過定點，當時，直線的方程為( )
A. B. C. D.
8.已知對任意正整數對，定義函數如下：，，，則( )
A. B.
C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9.已知二項式其中的展開式中存在常數項，且展開式的項數不超過，則下列說法正確的是( )
A. 的所有取值組成的集合中有且僅有個元素
B. 若當取最大值時常數項為，則
C. 若當取最小值時函數的圖象在點處的切線與軸平行，則
D. 若二項展開式中的所有項的系數和為，則
10.已知函數，則下列判斷正確的是( )
A. 若，且，則
B. 若，且，則
C. 是偶函數
D. 在區間上單調遞增
11.如圖，半徑為的動圓沿著圓外側無滑動地滾動一周，圓上的點形成的外旋輪線，因其形狀像心形又稱心臟線已知運動開始時點與點重合以下說法正確的有( )
A. 曲線上存在到原點的距離超過的點
B. 點在曲線上
C. 曲線與直線有兩個交點
D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.甲、乙、丙人站到共有級的臺階上，若每級臺階最多站人且甲、乙不站同一個臺階，同一臺階上的人不區分站的位置，則不同的站法種數是 種．用數字作答
13.已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是 ．
14.，，則的取值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知的內角，，所對的邊分別為，，，且．
證明：
若的面積為，求C.
16.本小題分
某大型企業準備把某一型號的零件交給甲工廠或乙工廠生產經過調研和試生產，質檢人員抽樣發現：甲工廠試生產的一批零件的合格品率為乙工廠試生產的另一批零件的合格品率為若將這兩批零件混合放在一起，則合格品率為．
從混合放在一起的零件中隨機抽取個，用頻率估計概率，記這個零件中來自甲工廠的個數為，求的分布列和數學期望
為了爭取獲得該零件的生產訂單，甲工廠提高了生產該零件的質量指標已知在甲工廠提高質量指標的條件下，該大型企業把零件交給甲工廠生產的概率，大于在甲工廠不提高質量指標的條件下，該大型企業把零件交給甲工廠生產的概率．
設事件“甲工廠提高了生產該零件的質量指標”，事件“該大型企業把零件交給甲工廠生產”已知，證明：
17.本小題分
如圖，在四棱錐中，為矩形，且，，．
求證：平面
若在的左側，設三棱錐體積為，四棱錐體積為，且．
Ⅰ求點到平面的距離
Ⅱ求平面與平面所成夾角的正弦值．
18.本小題分
已知動點到點的距離等于它到直線的距離，記動點的軌跡為曲線．
求的方程
為坐標原點，過點且斜率存在的直線與相交于，兩點，直線與直線相交于點，過點且與相切的直線交軸于點．
(ⅰ)證明：直線
(ⅱ)滿足四邊形的面積為的直線共有多少條說明理由．
19.本小題分
已知函數，
Ⅰ求曲線在點處的切線方程
Ⅱ討論的單調性
Ⅲ設函數，證明：，且對任意，都存在，使得．
答案和解析
1.【答案】
解：對于，，不正確；
，B正確，不正確；
，不正確；
2.【答案】
解：由已知得點點在圓外，
所以解得．
因為
所以“”是“過點有兩條直線與圓：相切”的必要不充分條件．
故選：．
3.【答案】
解：復數在復平面內對應的點在第二象限，
，解得．
則實數的取值范圍是．
故選B．
4.【答案】
解：，
，即，即三點共線，
又為的外心，則，
，
則
，
即，且為斜邊的中點，
過作的垂線，垂足為，
易得向量在向量上的投影向量為，
向量在向量上的投影向量為，
，
不妨設，則，
易知∽，
，即，
故，
故選：．
5.【答案】
【解析】解：對于，，由題意，得數列是以為首項，為公比的等比數列，
可得，
則，
因為，且，
所以數列是首項為，公比為的等比數列，
該數列是遞減數列，不是常數列，故A，B錯誤；
對于，，因為，
則，
則，
因為，所以，
且當時，，
所以，即，
所以數列為遞減數列，故C正確，D錯誤．
故選：．
6.【答案】
解：對于，作出完整的截面，為平面與正方體的另一交點，由正方體的性質可得，，可得平面，能滿足；
對于，因為，，，可知平面，能滿足；
對于，取的中點，連接，易知，可證平面，能滿足
對于，作出完整的截面，可得在平面內，不能得出平行，不能滿足．
故選：．
7.【答案】
【解析】解：設點的坐標為，
因為點在直線上運動，
所以，
聯立得，
，該方程無實數根，
所以直線與橢圓相離，
即點在橢圓外，
又，都與橢圓相切，
所以點和直線是橢圓的一對極點和極線．
對于橢圓，
與點對應的極線方程為，
將代入，
整理得．
又因為定點的坐標與的取值無關，
所以，
解得，，
所以存在定點恒在直線上．
當時，
是線段的中點，
設，，直線的斜率為，
則，，
兩式相減，整理得，
即，
所以當時，
直線的方程為，
即．
故選A．
8.【答案】
解：，，
令，則，，則A錯誤；
，
當，
，，，，，
累乘得：，
，
，，
而對于中令，得，矛盾，則B錯誤；
，則C正確；
，
令，
則，
所以
，
所以，
所以，
則D錯誤．
故選C．
9.【答案】
解：二項式的展開式的通項為且，
因為展開式的項數不超過，所以，所以，
因為展開式中存在常數項，所以有解，即有解，所以能被整除，因此或．
選項A：顯然的所有取值組成的集合中有且僅有個元素，故A錯誤．
選項B：當取最大值時，，此時，故，解得，故 B正確．
選項C：當取最小值時，，此時，
則，，由，解得或．
當時，則，
則函數的圖象在點處的切線與軸重合，不符合題意，
當時，則，所以函數在點處的切線為，符合題意，故 C正確．
選項D：對于，令，則，解得，故 D正確．
故選：
10.【答案】
解：若，，
，
，A正確
若，，
，
，B錯誤
當時，，故C錯誤
，當時，
，在區間上單調遞增，D正確．
故選AD．
11.【答案】
【解析】解：首先建立動圓滾動過程中的參數方程，已知定圓，半徑，
設動圓滾動的圓心角為弧度制，動圓的圓心為，動圓半徑，
因為，所以動圓的圓心的坐標為，
設點，根據圓的滾動性質，因為開始時，動圓滾動角度后，
點相對動圓圓心的角度變化，點相對于動圓圓心的坐標為，
根據三角函數誘導公式，則點坐標滿足
分析選項A計算點到原點的距離，將代入可得：
，
所以，選項錯誤；
分析選項B若點在曲線上，則
所以點在曲線上，選項正確；
分析選項C由知點在曲線上，且，
故位于直線上方，且直線交坐標軸于兩點，
由圖象可知曲線與直線有兩個交點，選項正確；
分析選項D已知，令，
則，
令，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
且
所以，選項正確．
故選：．
12.【答案】
解：由題意知本題需要分組解決，
對于個臺階上每一個只站一人有種
若有一個臺階有人另一個是人共有種，甲、乙站同一個臺階，另一個是人共有種，
根據分類計數原理知共有不同的站法種數是種．
故答案為．
13.【答案】
解：由橢圓得，，，
設橢圓的右焦點為，連接，
線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，
連接，可得，
中，，，，
由余弦定理得
，
，
，即直線的斜率為．
故答案為．
14.【答案】
【解析】解：由題意得，，
當時，，則，
令，則，
令，則，則在上單調遞增，在上單調遞減，
又，則不恒成立，則不恒成立，
故，則有且，或且，
函數在上單調遞增，且，
結合在上單調遞增，且，
則．
故答案為：．
15.【答案】解：根據正弦定理設，
則，
代入，得，
即，
整理得，
由，得，
所以．
由面積公式得，
由正弦定理得，
整理得，
由，得，
由得，
由平方關系得
解得或
因為，
所以，
所以．
16.【答案】解：設甲工廠試生產的這批零件有件，乙工廠試生產的這批零件有件，
事件“混合放在一起零件來自甲工廠”，事件“混合放在一起零件來自乙工廠”，
事件“混合放在一起的某一零件是合格品”，
則，，
，
計算得．
所以．
的可能取值為，，，，∽，
，
，，
，．
所以，的分布列為：
所以；
證明：因為在甲工廠提高質量指標的條件下，該大型企業把零件交給甲工廠生產的概率，
大于在甲工廠不提高質量指標的條件下，該大型企業把零件交給甲工廠生產的概率，
所以
即．
因為，，
所以．
因為，，
所以．
即得，
所以．
即．
又因為，，
所以
因為，，
所以．
即得證
17.【答案】解：證明：在中，，，，
由余弦定理得，
解得，
因為，
所以，
在矩形中，，
因為，且，平面，
所以平面；
由知，平面，，
所以平面，
因為平面，所以，
又，，故，
在直角三角形中，求得，
又，
又，
所以，
又，所以；
Ⅰ取中點為，
過點作的平行線，交于點，
因為平面，所以平面，
又，平面，
所以，，
又，中點為，
所以，
所以，，兩兩垂直，
故以為坐標原點，，，所在直線為，，軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
，，，，，，
所以，，
設平面的法向量，
則，所以，
取，得，，
故平面的一個法向量為，
又，
所以到平面的距離，
Ⅱ，，，，
設平面的法向量，
所以，所以，
取，得，
故平面的一個法向量為，
設平面與平面所夾角為，
所以，
因為，所以，
所以平面與平面所成夾角的正弦值為．
18.【答案】解：由題意知動點的軌跡為拋物線，
設方程為，
則，解得，
的方程
設直線的方程為，，，
設．
由
直線方程為
，
拋物線在處的切線方程為：，
令．
，
；
由．
，
而，到的距離為：，
，
，
，
令，，
在上單調遞增，注意到，，
存在唯一的使．
此時有一條，由對稱性知此時關于軸的對稱直線也符合，還有一條
故滿足四邊形面積為的直線共有兩條．
19.【答案】解：Ⅰ，，，，
所求的切線方程為，即；
Ⅱ，，
設，則，
當時，當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增，則，當且僅當時取等號，
在上單調遞增；
Ⅲ，，由得，由得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
則，
易證，所以，所以．
由題意得．
對任意，取，則，
因為，再由Ⅱ可知，即，
于是有．
又因為，即，
所以．
故存在，使得．

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