資源簡介

第11講 正多邊形與圓（3種題型）
1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念及對稱性；
2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識畫正
多邊形；
3.會進行正多邊形的有關(guān)計算.
正多邊形和圓
（1）正多邊形與圓的關(guān)系
把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．
（2）正多邊形的有關(guān)概念
①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．
②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．
③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．
④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．
題型一：求正多邊形的中心角
一、單選題
1．（2022·江蘇·九年級假期作業(yè)）中心角為45°的正n邊形的邊數(shù)n等于（　?。?br/>A．12 B．10 C．8 D．6
2．（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習）如圖，五邊形是的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形中心角的度數(shù)是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習）若一個圓內(nèi)接正多邊形的中心角是，則這個多邊形是（　?。?br/>A．正九邊形 B．正八邊形 C．正七邊形 D．正六邊形
4．（2022秋·九年級單元測試）如圖，是由邊長為1的正六邊形和六角星鑲嵌而成的圖案，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
5．（2022秋·九年級課時練習）五角星繞其中心旋轉(zhuǎn)一定的角度與原圖形重合，則這個旋轉(zhuǎn)角至少為_______度．
6．（2022秋·江蘇·九年級期中）線段AB是圓內(nèi)接正十邊形的一條邊，則AB所對的圓周角的度數(shù)是__度．
三、解答題
7．（江蘇泰州·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，點E在弧AD上，連接OA、OD、OE、AE、DE．
（1）求∠AED的度數(shù)；
（2）當∠DOE＝90°時，AE恰好為⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．
題型二：已知正多邊形的中心角求邊數(shù)
一、單選題
1．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）有一個正n邊形的中心角是36°，則n為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2022秋·九年級課時練習）如圖，邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，點C在上，且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值是（　　）
A．6 B．12 C．24 D．48
3．（2023·江蘇·九年級專題練習）一個圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對的圓心角為，則該正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2022秋·江蘇南京·九年級南京外國語學校仙林分校?？茧A段練習）如圖，點、、、為一個正多邊形的頂點，點為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．5 B．10 C．12 D．20
二、填空題
5．（2022秋·江蘇南通·九年級南通田家炳中學?？茧A段練習）一個正多邊形的中心角是30°，則這個多邊形是正____邊形．
6．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）正n邊形的中心角為72°，則______．
7．（2022秋·江蘇泰州·九年級校聯(lián)考階段練習）一個正n邊形繞它的中心至少旋轉(zhuǎn)36°才能與原來的圖形完全重合，則n的值為______．
8．（2023秋·江蘇揚州·九年級?？计谀┮粋€正n邊形的中心角為，則n為___________．
9．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學校考模擬預測）如圖，內(nèi)接于，，弦是圓內(nèi)接正多邊形的一邊，則該正多邊形的邊數(shù)是________．
三、解答題
10．（2022秋·九年級課時練習）【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與三角形的邊分別交于點．設(shè)等邊的面積為S，通過證明可得，則．
【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點．若正方形的面積為S，請用含S的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過程）．
【拓展應(yīng)用】如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點．若四邊形面積為，請直接寫出正六邊形的面積．
題型三：正多邊形和圓
一、單選題
1．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，正五邊形內(nèi)接于，點F在弧上．若，則的大小為（ ）

A． B． C． D．
2．（2023春·江蘇南京·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，是正六邊形的邊上一點，則的度數(shù)不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江蘇徐州·模擬預測）如圖，面積為6的正六邊形中，點，分別為邊，上的動點，則陰影部分面積為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空題
4．（2023春·江蘇南京·九年級南京外國語學校仙林分校校考階段練習）正方形內(nèi)接于，E是的中點，連接，則________°．
5．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形內(nèi)接于，是的直徑，是上的一點（不與點，重合），則的度數(shù)為______°．
6．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，正六邊形與相切于點、，則______°．

7．（2022秋·江蘇徐州·九年級?？茧A段練習）劉徽是中國古代卓越的數(shù)學家之一，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積．設(shè)的半徑為，若用的內(nèi)接正六邊形的面積來近似估計的面積，則的面積約為________．
8．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，點O是正六邊形的中心，以為邊在正六邊形的內(nèi)部作正方形連接，則______°．

三、解答題
9．（2022·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，已知⊙O內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長為6cm，求這個正六邊形的邊心距r6、面積S6．
10．（2022秋·江蘇·九年級期中）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．
(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．
(2)設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．
11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上的一點，連接DP，CP．
(1)求∠CPD的度數(shù)；
(2)當點P為的中點時，CP是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．
12．（2023·江蘇·九年級專題練習）[閱讀與思考]如圖①，在正三角形 中，點 ， 是，上的點，且 ，則， 　??；
如圖②，在正方形 中，點，是，上的點，且，則， 　??；
如圖③，在正五邊形 中，點，是，上的點，且，則， 　??；
[理解與運用]在正六邊形 中，點，是，上的點，且，則， 　??；
在正十邊形 中，點，是，上的點，且，則， 　　；
[歸納與總結(jié)]根據(jù)以上規(guī)律，在正 邊形 中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點，是 ，上的點，且， 與 相交于；也會有類似的結(jié)論，你的結(jié)論是　　．
13．（2022秋·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個小正方形的邊長都為1，點、都在格點上，以為圓心，為半徑做圓，只用無刻度的直尺完成以下畫圖．
(1)在圖①中畫的一個內(nèi)接正四邊形，___________；
(2)在圖②中畫的一個內(nèi)接正六邊形，__________．
題型四：尺規(guī)作圖
一、解答題
1．（2022秋·九年級課時練習）如圖1，等邊內(nèi)接于⊙O，連接CO并延長交⊙O于點D．
（1）可以證明CD垂直平分AB，寫出與的數(shù)量關(guān)系：___．
（2）請你僅使用無刻度的直尺按要求作圖：
①在圖1中作出一個正六邊形，保留作圖痕跡（作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實線表示）．
②請在圖2中作出⊙O的內(nèi)接正六邊形ADBECF的一條不經(jīng)過頂點的對稱軸，保留作圖痕跡(作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實線表示）．

2．（2022秋·九年級課時練習）如圖，已知AC為的直徑．請用尺規(guī)作圖法，作出的內(nèi)接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫作法）
3．（2022·江蘇·九年級專題練習）按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡.
（1）如圖1，A為圓E上一點，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作出圓內(nèi)接正方形；
（2）我們知道，三角形具有性質(zhì)，三邊的垂直平分線相交于同一點，三條角平分線相交于一點，三條中線相交于一點，事實上，三角形還具有性質(zhì)：三條高交于同一點，請運用上述性質(zhì)，只用直尺（不帶刻度）作圖：
①如圖2，在□ABCD中，E為CD的中點，作BC的中點F;
②圖3，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點都在小正方形的頂點上，作△ABC的高AH

4．（2021秋·江蘇·九年級專題練習）已知正五邊形，請僅用無刻度直尺作圖．
（1）在圖1中作點P，使得是等腰三角形：
（2）在圖2中作點，使點稱為正五邊形的中心．
5．（2021·江蘇無錫·九年級專題練習）已知正六邊形ABCDEF，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求作圖．
（1）在圖①中，以AB為邊作等邊三角形；
（2）在圖②中，作一個含30°的直角三角形．
6．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）請用圓規(guī)和直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
已知：⊙O，點A在圓上．
求作：以A為一頂點作圓內(nèi)接正方形ABCD．
二、填空題
7．（2021秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在⊙O中，MF為直徑，OA⊥MF，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE的部分尺規(guī)作圖步驟如下：
①作出半徑OF的中點H．
②以點H為圓心，HA為半徑作圓弧，交直徑MF于點G．
③AG長即為正五邊形的邊長、依次作出各等分點B，C，D，E．
已知⊙O的半徑R＝2，則AB2＝__．（結(jié)果保留根號）
一．選擇題（共10小題）
1．（2023 工業(yè)園區(qū)校級二模）閱讀理解：如圖1，在平面內(nèi)選一定點O，引一條有方向的射線Ox，再選定一個單位長度，那么平面上任一點M的位置可由∠MOx的度數(shù)θ與OM的長度m確定，有序數(shù)對（θ，m）稱為M點的“極坐標”，這樣建立的坐標系稱為“極坐標系”．應(yīng)用：在圖2的極坐標系下，如果正六邊形的邊長為4，有一邊OA在射線Ox上，則正六邊形的頂點C的極坐標應(yīng)記為（　?。?br/>A．（60°，8） B．（45°，8） C． D．
2．（2023 鼓樓區(qū)模擬）下列圖形中，正多邊形內(nèi)接于半徑相等的圓，其中正多邊形周長最小的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023 梁溪區(qū)二模）如圖所示，A、B、C、D是一個外角為40°的正多邊形的頂點．若O為正多邊形的中心，則∠OAD的度數(shù)為（　?。?br/>A．14° B．40° C．30° D．15°
4．（2023 姜堰區(qū)二模）一個正多邊形，它的每個內(nèi)角是與其相鄰外角的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（　?。?br/>A．6 B．7 C．8 D．9
5．（2023 宜興市二模）已知正多邊形的一個外角為72°，則該正多邊形的邊數(shù)是（　?。?br/>A．5 B．6 C．8 D．10
6．（2023 丹陽市模擬）如圖，邊長相等的正五邊形和正六邊形如圖拼接在一起，則∠ABC的度數(shù)為（　?。?br/>A．22° B．23° C．24° D．25°
7．（2022秋 南京期末）如圖，AB，CD分別是⊙O的內(nèi)接正十邊形和正五邊形的邊，AD，BC交于點P，則∠APC的度數(shù)為（　　）
A．126° B．127° C．128° D．129°
8．（2022秋 宿城區(qū)期末）如圖，A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心．若∠ADB＝18°，則這個正多邊形的邊數(shù)為（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．（2023 儀征市二模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點F在弧AE上．若∠CDF＝95°，則∠FCD的大小為（　　）
A．38° B．42° C．49° D．58°
10．（2023 惠山區(qū)校級模擬）如圖，面積為6的正六邊形ABCDEF中，點M，N分別為邊BC，EF上的動點，則陰影部分面積為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空題（共8小題）
11．（2023 鎮(zhèn)江一模）如圖，點A、B、C、D、E是圓O上的五等分點，該圖形繞點O至少旋轉(zhuǎn) 　 　度后與自身重合．
12．（2023 連云港）以正六邊形ABCDEF的頂點C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使得新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點D′落在直線BC上，則正六邊形ABCDEF至少旋轉(zhuǎn) 　 　°．
13．（2023 蘇州模擬）已知正六邊形的半徑為，則它的周長＝　 ?。?br/>14．（2023 蘇州二模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為1，過O作OM垂直AB，交AB于點M，則OM的長為 　 ?。?br/>15．（2023 南京三模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，⊙O經(jīng)過點E，且與AB，BC相切．若⊙O的半徑為4，則正六邊形的邊長為 　 　．
16．（2023 寶應(yīng)縣二模）三個能夠重合的正六邊形的位置如圖，已知A點的坐標是，則B點的坐標是 　 ?。?br/>17．（2023 玄武區(qū)一模）如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，以AB為邊在正六邊形ABCDEF的內(nèi)部作正方形ABMN，連接OD，ON，則∠DON＝　 　°．

18．（2023 高港區(qū)二模）如圖，點M在正六邊形的邊EF上運動．若∠ABM＝x°，寫出一個符合條件的x的值 　 ?。?br/>三．解答題（共7小題）
19．（2022秋 鹽都區(qū)校級月考）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上的一點，連接DP，CP．
（1）求∠CPD的度數(shù)；
（2）當點P為的中點時，CP是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．
20．（2020秋 灌云縣月考）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上一點，連接DP，CP．
（1）∠CPD＝　 　°；
（2）若DC＝4，CP＝，求DP的長．
21．（2023 鼓樓區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接矩形，點E、F分別在射線AB、AD上，OE＝OF，且點C、E、F在一條直線上，EF與⊙O相切于點C．
（1）求證：矩形ABCD是正方形；
（2）若OF＝10，則正方形ABCD的面積是 　 ?。?br/>22．（2022秋 南通期末）如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心．若OA長為6，求正六邊形ABCDEF的面積．
23．（2022秋 鎮(zhèn)江期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝6，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，延長AB到D，連接CD，AC＝CD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）以BC為邊的圓內(nèi)接正多邊形的周長等于 　 ?。?br/>24．（2020秋 玄武區(qū)月考）【閱讀理解】
[閱讀與思考]
如圖①，在正三角形ABC中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝CM，∠NOC＝　 　；
如圖②，在正方形ABCD中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝DM，∠NOD＝　 ?。?br/>如圖③，在正五邊形ABCDE中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝EM，∠NOE＝　 ??；
[理解與運用]
在正六邊形ABCDEF中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝FM，∠NOF＝　 　；
在正十邊形ABCDEFGHIJ中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝JM，∠NOJ＝　 ??；
[歸納與總結(jié)]
根據(jù)以上規(guī)律，在正n邊形A1A2A3A4…An中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點M，N是A1A2，A2A3上的點，且A1M＝A2N，A1N與AnM相交于O．也會有類似的結(jié)論，你的結(jié)論是　 ?。?br/>25．（2021 鼓樓區(qū)二模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，以AD為對角線作正方形APDQ，AP、DP與BC分別交于M、N．
（1）∠BAM＝　 　°；
（2）若AB＝4，求MN的長．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，結(jié)果精確到0.1，可以直接利用（1）的結(jié)論）
一．選擇題（共7小題）
1．（2022 岳池縣模擬）如圖，五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形的中心角∠COD的度數(shù)是（　　）
A．72° B．60° C．48° D．36°
2．（2022 達拉特旗一模）如圖，在擰開一個邊長為a的正六角形螺帽時，扳手張開的開口b＝10mm，則這個正六邊形的面積為（　　）
A．mm2 B．300mm2 C．150mm2 D．75mm2
3．（2022 德城區(qū)模擬）將正方形紙片按圖①方式依次對折得圖②的△ABC，點D是AC邊上一點，沿線段BD剪開，展開后得到一個正八邊形，則點D應(yīng)滿足（　?。?br/>A．BD⊥AC B．AD＝AB C．∠ADB＝60° D．AD＝DB
4．（2022 天府新區(qū)模擬）如圖，圓形螺帽的內(nèi)接正六邊形的邊心距為2cm，則圓形螺帽的面積是（　?。?br/>A．8cm2 B．16cm2 C．8πcm2 D．16πcm2
5．（2022 成華區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點P在劣弧上，則∠P的度數(shù)為（　?。?br/>A．15° B．30° C．45° D．60°
6．（2022 宜興市一模）如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，CD相切于A，C兩點，則∠AOC的度數(shù)是（　　）
A．108° B．129° C．130° D．144°
7．（2022 蚌埠二模）已知矩形MNPQ的頂點M，N，P，Q分別在正六邊形ABCDEF的邊DE，F(xiàn)A，AB，CD上，且MN∥BC．在點M從E移向D（與D不重合）的過程中，下列的判斷中，正確的是（　?。?br/>A．矩形MNPQ的面積與周長保持不變
B．矩形MNPQ的面積逐漸減小，周長逐漸增大
C．矩形MNPQ的面積與周長均逐漸增大
D．矩形MNPQ的面積與周長均逐漸減小
二．填空題（共6小題）
8．（2022 和平區(qū)一模）已知圓的周長是6π，則該圓的內(nèi)接正三角形的邊心距是 　 ?。?br/>9．（2022 新城區(qū)模擬）如圖，AC、AD為正六邊形ABCDEF的兩條對角線，若該正六邊形的邊長為2，則△ACD的周長為 　 ?。?br/>10．（2022 西山區(qū)一模）如圖，五邊形DEFGH是邊長為1的正五邊形，⊙O是正五邊形DEFGH的外接圓，過點D作⊙O的切線，與GH，F(xiàn)E的延長線交分別于點B和C，延長HG，EF相交于點A，連接GD，DF，下列結(jié)論正確的是 　 ?。?br/>①∠HDE＝108°；
②△ABC為等腰三角形；
③四邊形AGDF為菱形；
④△ABC的周長為．
11．（2022 徐州一模）如圖，AF是正五邊形ABCDE的外接圓的切線，則∠CAF＝　 　°．
12．（2022 石家莊一模）如圖所示，在正四邊形、正五邊形中，相鄰兩條對角線的夾角分別為α4，α5，則α5為 　 　°，以此類推，正n邊形相鄰兩條對角線的較大夾角為 　 　°．
13．（2022 北侖區(qū)二模）如圖，在正六邊形ABCDEF內(nèi)取一點O，作⊙O與邊DE，EF相切，并經(jīng)過點B，已知⊙O的半經(jīng)為，則正六邊形的邊長為 　 ?。?br/>三．解答題（共5小題）
14．（2021秋 信都區(qū)期末）已知正六邊形ABCDEF的中心為O，半徑OA＝6．
（1）求正六邊形的邊長；
（2）以A為圓心，AF為半徑畫弧BF，求．
15．（2021秋 昌邑區(qū)校級期末）已知，如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為6cm，求這個正六邊形的外接圓半徑R、邊心距r6、面積S6．
16．（2021秋 新榮區(qū)月考）閱讀與思考
請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：
克羅狄斯 托勒密（約90年﹣168年），是希臘數(shù)學家，天文學家，地理學家和占星家．在數(shù)學方面，他還論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的內(nèi)容如下：圓的內(nèi)接四邊形的兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積的和．即：如圖1，若四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則有 　 ?。?br/>任務(wù)：（1）材料中劃橫線部分應(yīng)填寫的內(nèi)容為 　 ?。?br/>（2）如圖2，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB＝2，求對角線BD的長．
17．（2021秋 許昌月考）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．
（1）求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．
（2）設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．
18．（2020秋 武漢期末）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是的中點，連接AE，DE，CE．
（1）求證：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四邊形AECD的面積．
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第11講 正多邊形與圓（3種題型）
1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念及對稱性；
2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識畫正
多邊形；
3.會進行正多邊形的有關(guān)計算.
正多邊形和圓
（1）正多邊形與圓的關(guān)系
把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．
（2）正多邊形的有關(guān)概念
①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．
②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．
③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．
④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．
題型一：求正多邊形的中心角
一、單選題
1．（2022·江蘇·九年級假期作業(yè)）中心角為45°的正n邊形的邊數(shù)n等于（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)正多邊形的中心角，計算即可．
【詳解】由題意得，45°，
解得n＝8，
故選：C．
【點睛】本題考查正多邊形中心角，解答這類題往往一些學生因?qū)φ噙呅蔚幕局R不明確，將正多邊形的中心角與內(nèi)角混淆而造成錯誤計算．
2．（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習）如圖，五邊形是的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形中心角的度數(shù)是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正多邊形的中心角的計算公式：計算即可．
【詳解】解：∵五邊形是的內(nèi)接正五邊形，
∴五邊形的中心角的度數(shù)為，
故選D．
【點睛】本題考查圓內(nèi)接正多邊形的中心角．熟練掌握正多邊形的中心角的計算公式：，是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·江蘇蘇州·九年級專題練習）若一個圓內(nèi)接正多邊形的中心角是，則這個多邊形是（　?。?br/>A．正九邊形 B．正八邊形 C．正七邊形 D．正六邊形
【答案】A
【分析】根據(jù)正多邊形的中心角的計算公式計算即可．
【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，
由題意得
解得，，
故選：A
【點睛】本題考查的是正多邊形和圓的有關(guān)知識，掌握正多邊形的中心角的計算公式是解題的關(guān)鍵．
4．（2022秋·九年級單元測試）如圖，是由邊長為1的正六邊形和六角星鑲嵌而成的圖案，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】計算出1個正六邊形的面積，利用矩形的面積減去圖中未涂色部分的面積即可．
【詳解】解：如圖所示，
∵正六邊形的中心角為60°，
∴每個邊長為1的正六邊形由六個全等的等邊三角形組成，
∴，，，
因此每個正六邊形的面積為：，
圖中未涂色部分面積等于16個正六邊形的面積：．
整個圖形是一個矩形，長為12，寬為，
矩形的面積為：，
因此圖中陰影部分的面積是：，
故選C．
【點睛】本題考查等邊三角形相關(guān)計算，利用等邊三角形計算出每個正六邊形的面積是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
5．（2022秋·九年級課時練習）五角星繞其中心旋轉(zhuǎn)一定的角度與原圖形重合，則這個旋轉(zhuǎn)角至少為_______度．
【答案】72
【分析】把五角星看成正五邊形，求出正五邊形的中心角即可解決問題；
【詳解】解：∵把五角星看成正五邊形，正五邊形的中心角==72°，
∴繞它的中心旋轉(zhuǎn)72°角度后能夠與自身重合，
故選：72．
【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
6．（2022秋·江蘇·九年級期中）線段AB是圓內(nèi)接正十邊形的一條邊，則AB所對的圓周角的度數(shù)是__度．
【答案】或/162或18
【分析】作出圖形，求出一條邊所對的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系解答．
【詳解】解：如下圖，
圓內(nèi)接正十邊形的邊AB所對的圓心角，
則，
根據(jù)圓周角等于同弧所對圓心角的一半，
AB所對的圓周角的度數(shù)是或．
故答案為：或．
【點睛】本題主要考查了正多邊形的中心角、圓周角定理等知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握圓周角和圓心角的關(guān)系，并要注意分兩種情況討論．
三、解答題
7．（江蘇泰州·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，點E在弧AD上，連接OA、OD、OE、AE、DE．
（1）求∠AED的度數(shù)；
（2）當∠DOE＝90°時，AE恰好為⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．
【答案】（1）∠AED=120°；（2）12.
【分析】（1）如圖，連接BD，由已知條件證△ABD是等邊三角形，得到∠ABD=60°，從而由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠AED=120°；
（2）如圖，連接OA，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，結(jié)合∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，從而可得；
【詳解】解：（1）如圖，連接BD，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠BAD+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠ABD=60°，
∵四邊形ABDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠AED+∠ABD=180°，
∴∠AED=120°；
（2）連接OA，
∵∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°，
∴．
題型二：已知正多邊形的中心角求邊數(shù)
一、單選題
1．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）有一個正n邊形的中心角是36°，則n為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】根據(jù)正多邊形的中心角和為360°計算即可．
【詳解】解：，
故選：D．
【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形的中心角的和是360°是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·九年級課時練習）如圖，邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，點C在上，且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值是（　　）
A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【分析】根據(jù)中心角的度數(shù)=360°÷邊數(shù)，列式計算分別求出∠AOB，∠BOC的度數(shù)，可得∠AOC=15°，然后根據(jù)邊數(shù)n=360°÷中心角即可求得答案．
【詳解】解：連接OC，
∵AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∵BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，
∴∠BOC＝360°÷8＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°
∴n＝360°÷15°＝24．
故選：C．
【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、正八邊形、正二十四邊形的性質(zhì)；根據(jù)題意求出中心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·江蘇·九年級專題練習）一個圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對的圓心角為，則該正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)正多邊形的中心角=計算即可．
【詳解】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n．
由題意=72°，
∴n=5，
故選：C．
【點睛】本題考查正多邊形的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是記住正多邊形的中心角=．
4．（2022秋·江蘇南京·九年級南京外國語學校仙林分校?？茧A段練習）如圖，點、、、為一個正多邊形的頂點，點為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．5 B．10 C．12 D．20
【答案】B
【分析】作正多邊形的外接圓，連接 AO，BO，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)中心角的定義即可求解．
【詳解】解：如圖，作正多邊形的外接圓，連接AO，BO，
∴，
∴這個正多邊形的邊數(shù)為=10．
故選：B．
【點睛】此題主要考查正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角定理．
二、填空題
5．（2022秋·江蘇南通·九年級南通田家炳中學?？茧A段練習）一個正多邊形的中心角是30°，則這個多邊形是正____邊形．
【答案】十二
【分析】根據(jù)正多邊形的邊數(shù)=周角÷中心角，計算即可得．
【詳解】解：∵一個正多邊形的中心角是30°，
∴這個多邊形是：360°÷30°＝12，即正十二邊形，
故答案為：十二．
【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的中心角與邊數(shù)的關(guān)系．
6．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）正n邊形的中心角為72°，則______．
【答案】5
【分析】根據(jù)正多邊形的中心角之和為360°計算即可．
【詳解】根據(jù)題意有：，
故答案為：5．
【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形的中心角之和為360°是解答本題的關(guān)鍵．
7．（2022秋·江蘇泰州·九年級校聯(lián)考階段練習）一個正n邊形繞它的中心至少旋轉(zhuǎn)36°才能與原來的圖形完全重合，則n的值為______．
【答案】10
【分析】直接利用旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)結(jié)合正多邊形中心角相等進而得到答案
【詳解】∵一個正n邊形繞它的中心至少旋轉(zhuǎn)36°才能與原來的圖形完全重合
∴ n的值為：
故答案為：10
【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形，正確把握正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
8．（2023秋·江蘇揚州·九年級?？计谀┮粋€正n邊形的中心角為，則n為___________．
【答案】10
【分析】根據(jù)正多邊形的中心角和為計算即可．
【詳解】解：，
故答案為：10．
【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形的中心角和為是解答此題的關(guān)鍵．
9．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學?？寄M預測）如圖，內(nèi)接于，，弦是圓內(nèi)接正多邊形的一邊，則該正多邊形的邊數(shù)是________．
【答案】5
【分析】如圖所示，連接，由圓周角定理得到，則該多邊形的中心角為，由此即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，連接，
∵，
∴，
∴，
∴該正多邊形是正五邊形，
故答案為：5．
【點睛】本題考查了正多邊形和圓的知識，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造同弧所對的圓心角，難度不大．
三、解答題
10．（2022秋·九年級課時練習）【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與三角形的邊分別交于點．設(shè)等邊的面積為S，通過證明可得，則．
【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點．若正方形的面積為S，請用含S的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過程）．
【拓展應(yīng)用】如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點．若四邊形面積為，請直接寫出正六邊形的面積．
【答案】【類比探究】四邊形的面積=．【拓展應(yīng)用】6
【分析】類比探究：通過證明可得，則．
拓展應(yīng)用：通過證明可得，則．
【詳解】解：類比探究：如圖2，∵為正方形的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，
∵繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點
∴∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON，
∴．
拓展應(yīng)用：如圖3，∵為正六邊形EF的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，
∵繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點
∴∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON，
∴．
∵四邊形面積為，
∴正六邊形的面積為6．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)，正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的中心角，三角形的全等，圖形的割補，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型三：正多邊形和圓
一、單選題
1．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，正五邊形內(nèi)接于，點F在弧上．若，則的大小為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接，，，根據(jù)五邊形是正五邊形，可求出的度數(shù)，由，可得的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理進一步求解即可．
【詳解】如圖，連接，，，

∵五邊形是正五邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正五邊形內(nèi)接于，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了圓周角定理、正多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．
2．（2023春·江蘇南京·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，是正六邊形的邊上一點，則的度數(shù)不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作正六邊形的外接圓，延長交于點，連接，根據(jù)圓周角定理求得，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖，作正六邊形的外接圓，延長交于點，連接，
是正六邊形，
，，
，
，
A、B、C、D四個選項中，只有A選項符合題意，
故選：A．
【點睛】本題考查了正多邊形外接圓，圓周角定理，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·江蘇徐州·模擬預測）如圖，面積為6的正六邊形中，點，分別為邊，上的動點，則陰影部分面積為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】如圖，連接，，，交點為，設(shè)與的距離為，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及平行線間距離相等可得則，進而可求，同理可求的值，根據(jù)計算求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，，，交點為，
由正六邊形可得，即，，
設(shè)與的距離為，
則，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
故選：A．
【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，平行線間的距離相等．解題的關(guān)鍵在于確定陰影部分面積為正六邊形的面積與空白部分面積的差．
二、填空題
4．（2023春·江蘇南京·九年級南京外國語學校仙林分校?？茧A段練習）正方形內(nèi)接于，E是的中點，連接，則________°．
【答案】22.5
【分析】連接，根據(jù)圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)得到，得到，再利用圓周角定理求出的度數(shù)．
【詳解】解：連接，如圖所示．
∵四邊形是圓內(nèi)接正方形，
∴．
∵E是的中點，
∴，
∴．
故答案為：22.5．
【點睛】此題考查了正多邊形和圓，圓周角定理，正確理解圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形內(nèi)接于，是的直徑，是上的一點（不與點，重合），則的度數(shù)為______°．
【答案】或/或
【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)和圓周角定理，分當點在劣弧上時和當點在優(yōu)弧上時，結(jié)合圖形求解即可．
【詳解】①如圖所示：當點在劣弧上時，
連接、、，
∵是正五邊形，是的直徑，
∵是正五邊形，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（為優(yōu)弧所對的圓心角）
∴；
②如圖所示：當點在優(yōu)弧上時，連接、、，
∵是正五邊形，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案為：或 ．
【點睛】本題主要考查正五邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，正六邊形與相切于點、，則______°．

【答案】120
【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式可求出、，根據(jù)切線的性質(zhì)可求出、，從而可求出的度數(shù)．
【詳解】解：六邊形是正六邊形，
．
、與相切，
，
，
故答案為：120．
【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、正六邊形的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和公式、熟練掌握切線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
7．（2022秋·江蘇徐州·九年級校考階段練習）劉徽是中國古代卓越的數(shù)學家之一，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積．設(shè)的半徑為，若用的內(nèi)接正六邊形的面積來近似估計的面積，則的面積約為________．
【答案】
【分析】連接、，根據(jù)正多邊形和圓的關(guān)系可判斷出為等邊三角形，過點作于點，再利用勾股定理即可求出長，進而可求出的面積，最后利用的面積約為即可計算出結(jié)果．
【詳解】解：如圖，連接、

由題意可得：
∵
∴為等邊三角形，
∴
過點作于點，則
在中，
∴
∴的面積約為
故答案為：．
【點睛】本題主要考查正多邊形與圓、勾股定理等，正確應(yīng)用正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
8．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，點O是正六邊形的中心，以為邊在正六邊形的內(nèi)部作正方形連接，則______°．

【答案】105
【分析】連接，，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得，是等邊三角形，再證明四邊形是菱形，以及是等腰三角形，分別求出，從而可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵六邊形是正六邊形，
∴
∵四邊形是正方形，
∴
連接，，如圖，

則是等邊三角形，
∴
∴
∴四邊形是菱形，，
∴
∴，
故答案為：105．
【點睛】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
三、解答題
9．（2022·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，已知⊙O內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長為6cm，求這個正六邊形的邊心距r6、面積S6．
【答案】
【分析】連接OB，OG⊥CB于G，證明△COB是等邊三角形，繼而可得正六邊形的外接圓半徑R，然后由勾股定理求得邊心距，又由S正六邊形＝6S△OBC求得答案．
【詳解】解：如下圖所示，連接OB，設(shè)OG⊥CB于G，
∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，
∴∠COB＝60°，OC＝OB，
∴△COB是等邊三角形，
∴OC＝OB＝6cm，
即⊙O的半徑R＝6cm，
∵OC＝OB＝6，OG⊥CB，
∴，
在Rt△COG中，（cm），
∴（cm2）．
【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握正六邊形的相關(guān)知識．
10．（2022秋·江蘇·九年級期中）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．
(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．
(2)設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）如圖，連接AE，AD，AC，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到結(jié)論；
（2）如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)⊙O的半徑為r，推出△ODE是等邊三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根據(jù)勾股定理得到OGr，根據(jù)三角形和圓的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：如圖，連接AE，AD，AC，
∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，
∴EF＝ED＝CD＝BC，
∴，
∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，
∴過頂點A的三條對角線四等分∠BAF；
（2）解：如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，
設(shè)⊙O的半徑為r，
∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，
∴△ODE是等邊三角形，
∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，
∴∠EOG＝30°，
∴EGr，
∴OGr，
∴正六邊形ABCDEF的面積＝6rrr2，
∵⊙O的面積＝πr2，
∴．
【點睛】本題考查了正多邊形與圓，正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上的一點，連接DP，CP．
(1)求∠CPD的度數(shù)；
(2)當點P為的中點時，CP是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）連接OD，OC，根據(jù)正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，結(jié)合圓周角定理可得∠CPD；
（2）結(jié)合正多邊形的性質(zhì)以及圓周角定理得出∠COP的度數(shù)，進而得出答案．
【詳解】（1）解：連接OD，OC，
∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠DOC＝90°，
∴．
（2）解：連接PO，OB，如圖所示：
∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠COB＝90°，
∵點P為的中點，
∴，
∴，
∴n＝360÷45＝8．
【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同弧所對的圓周角等于圓心角的一半．
12．（2023·江蘇·九年級專題練習）[閱讀與思考]如圖①，在正三角形 中，點 ， 是，上的點，且 ，則， 　??；
如圖②，在正方形 中，點，是，上的點，且，則， 　　；
如圖③，在正五邊形 中，點，是，上的點，且，則， 　　；
[理解與運用]在正六邊形 中，點，是，上的點，且，則， 　?。?br/>在正十邊形 中，點，是，上的點，且，則， 　??；
[歸納與總結(jié)]根據(jù)以上規(guī)律，在正 邊形 中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點，是 ，上的點，且， 與 相交于；也會有類似的結(jié)論，你的結(jié)論是　?。?br/>【答案】 ； ； ； ；；以上所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，進而利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出，；
根據(jù)正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出：；
根據(jù)正五邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出： ；
根據(jù)以上所求結(jié)論即可得正六邊形中，；
根據(jù)以上所求結(jié)論即可得正十邊形中，；
根據(jù)以上所求得出在正n邊形中，類似的結(jié)論．
【詳解】解：閱讀與思考:
∵在正三角形中，點M，N是，上的點，且，
∵在 和 中
故答案為： ；
∵在正方形中，點M，N是 ， 上的點，且
在 和中
答案為：；
∵在正五邊形 中，點M，N是 ，上的點，且 ，則
∵在和中，
故答案為：；
理解與運用：
∵正三角形的內(nèi)角度數(shù)為：；正方形的內(nèi)角度數(shù)為：；正五邊形的內(nèi)角度數(shù)為：；
∴同理可得：
在正六邊形中，點M，N是 ，上的點，且 ，則， ；
故答案為： ；
同理可得：
在正十邊形中，點M，N是 ，上的點，且，則 ，；
故答案為：；
歸納與總結(jié)：
根據(jù)以上所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角，
所以所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角
故答案為：以上所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角
【點睛】此題主要考查了正多邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練利用三角形的外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
13．（2022秋·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個小正方形的邊長都為1，點、都在格點上，以為圓心，為半徑做圓，只用無刻度的直尺完成以下畫圖．
(1)在圖①中畫的一個內(nèi)接正四邊形，___________；
(2)在圖②中畫的一個內(nèi)接正六邊形，__________．
【答案】(1)圖見解析，32
(2)圖見解析，
【分析】（1）只需要作直徑、，并使得即可；
（2）如圖所示，取格點B，C，D，E，F(xiàn)，然后順次連接A、B、C、D、E、F得到正六邊形，再求出求面積．
【詳解】（1）解：如圖所示，正四邊形即為所求；
，
故答案為32；
（2）解：如圖所示，正六邊形即為所求；
過點O作于H，
∵正六邊形，
∴，
又∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟知正多邊形和圓的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
題型四：尺規(guī)作圖
一、解答題
1．（2022秋·九年級課時練習）如圖1，等邊內(nèi)接于⊙O，連接CO并延長交⊙O于點D．
（1）可以證明CD垂直平分AB，寫出與的數(shù)量關(guān)系：___．
（2）請你僅使用無刻度的直尺按要求作圖：
①在圖1中作出一個正六邊形，保留作圖痕跡（作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實線表示）．
②請在圖2中作出⊙O的內(nèi)接正六邊形ADBECF的一條不經(jīng)過頂點的對稱軸，保留作圖痕跡(作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實線表示）．

【答案】（1）；（2）①見解析，②見解析
【分析】（1）結(jié)合外心的定義和等邊三角形的性質(zhì)推斷出CD垂直平分AB，從而利用垂徑定理得出結(jié)論即可；
（2）①結(jié)合（1）的結(jié)論，可直接連接AO，BO，分別延長與圓相交，再順次連接各交點即可；
②如圖，延長AF，EC，交于一點，此時可構(gòu)成等邊三角形，從而連接交點與圓心的直線即為所求的對稱軸．
【詳解】（1），
∵O為三角形的外心，
∴O為三角形三邊中垂線的交點，
又∵三角形為等邊三角形，
∴可得CD垂直平分AB，
根據(jù)垂徑定理可得：；
（2）①如圖所示，在（1）的基礎(chǔ)之上，連接AO，并延長至E，連接BO，并延長至F，順次連接圓周上各點即可；
②如圖所示：（方法不唯一）
【點睛】本題主要考查復雜作圖，以及正多邊形與圓之間的關(guān)系，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2．（2022秋·九年級課時練習）如圖，已知AC為的直徑．請用尺規(guī)作圖法，作出的內(nèi)接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫作法）
【答案】見解析
【分析】作AC的垂直平分線交⊙O于B、D，則四邊形ABCD就是所求作的內(nèi)接正方形．
【詳解】解：如圖，正方形ABCD為所作．
∵BD垂直平分AC，AC為的直徑，
∴BD為的直徑，
∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，
∴四邊形ABCD是的內(nèi)接正方形．
【點睛】本題考查了作圖 復雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓的基本性質(zhì)，正方形的判定．
3．（2022·江蘇·九年級專題練習）按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡.
（1）如圖1，A為圓E上一點，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作出圓內(nèi)接正方形；
（2）我們知道，三角形具有性質(zhì)，三邊的垂直平分線相交于同一點，三條角平分線相交于一點，三條中線相交于一點，事實上，三角形還具有性質(zhì)：三條高交于同一點，請運用上述性質(zhì)，只用直尺（不帶刻度）作圖：
①如圖2，在□ABCD中，E為CD的中點，作BC的中點F;
②圖3，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點都在小正方形的頂點上，作△ABC的高AH

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②見解析.
【分析】(1)作直徑AC，分別以A、C為圓心，以大于AC的一半長為半徑畫弧，在AC的兩側(cè)分別交于點M、N，作直線MN交圓于點B，D，四邊形ABCD即為所求；
(2)①連接AC、BD交于點O，則O為BD的中點，連接BE交CO于點G，連接DG并延長交BC于點F，則F即為所求；
②如圖，利用網(wǎng)格特點連接BM，則可得直線BM⊥AC，連接CN，則可得直線CN⊥AB，兩線交于點E，連接AE并延長交BC于點H，則AH即為所求.
【詳解】(1)如圖所示，四邊形ABCD即為所求；
(2)①如圖所示，點F即為所求；
②如圖所示，AH即為所求.
【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，無刻度直尺作圖，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法以及無刻度直尺作圖的方法是解題的關(guān)鍵.
4．（2021秋·江蘇·九年級專題練習）已知正五邊形，請僅用無刻度直尺作圖．
（1）在圖1中作點P，使得是等腰三角形：
（2）在圖2中作點，使點稱為正五邊形的中心．
【答案】（1）畫圖見解析；（2）畫圖見解析．
【分析】（1）直接利用正多邊形的性質(zhì)得出頂點P的位置；
（2）利用正五邊形的性質(zhì)，得出對角線交點，進而得出其中心P點位置．
【詳解】解：（1）如圖所示：點P為所求；
（2）如圖所示：點O為所求；
【點睛】此題主要考查了復雜作圖以及等腰三角形的性質(zhì)和正多邊形的性質(zhì)，正確應(yīng)用正五邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
5．（2021·江蘇無錫·九年級專題練習）已知正六邊形ABCDEF，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求作圖．
（1）在圖①中，以AB為邊作等邊三角形；
（2）在圖②中，作一個含30°的直角三角形．
【答案】（1）見詳解；（2）見詳解
【分析】（1）連接AD，BE交于點O，即可得到所求三角形；
（2）連接AC，CF，即可得到所求三角形；
【詳解】（1）如圖①所示： AOB即為所求三角形；
（2）如圖②所示： ACF即為所求三角形．
【點睛】本題主要考查正六邊形的性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的每條邊都相等，每個內(nèi)角都等于120°，是解題的關(guān)鍵．
6．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）請用圓規(guī)和直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
已知：⊙O，點A在圓上．
求作：以A為一頂點作圓內(nèi)接正方形ABCD．
【答案】見解析
【分析】作直徑AC，過點O作BD⊥AC交⊙O于B，D，連接AB，BC，CD，AD即可．
【詳解】如圖，四邊形ABCD即為所求作．
【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
二、填空題
7．（2021秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在⊙O中，MF為直徑，OA⊥MF，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE的部分尺規(guī)作圖步驟如下：
①作出半徑OF的中點H．
②以點H為圓心，HA為半徑作圓弧，交直徑MF于點G．
③AG長即為正五邊形的邊長、依次作出各等分點B，C，D，E．
已知⊙O的半徑R＝2，則AB2＝__．（結(jié)果保留根號）
【答案】
【分析】連接AG，由作圖可知，OA＝2，H為OF中點，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可．
【詳解】解：連接AG，由作圖可知，OA＝2，OH＝1，H為OF中點，
∴OH=，
在Rt△OAH中，由勾股定理
∴AH＝，
∵AH＝HG＝，
∴OG＝GH﹣OH＝﹣1，
在Rt△AOG中，由勾股定理得，
∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2．
故答案為：10﹣2．
【點睛】本題考查尺規(guī)作圓內(nèi)接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧，掌握圓內(nèi)接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧的方法是解題關(guān)鍵．
一．選擇題（共10小題）
1．（2023 工業(yè)園區(qū)校級二模）閱讀理解：如圖1，在平面內(nèi)選一定點O，引一條有方向的射線Ox，再選定一個單位長度，那么平面上任一點M的位置可由∠MOx的度數(shù)θ與OM的長度m確定，有序數(shù)對（θ，m）稱為M點的“極坐標”，這樣建立的坐標系稱為“極坐標系”．應(yīng)用：在圖2的極坐標系下，如果正六邊形的邊長為4，有一邊OA在射線Ox上，則正六邊形的頂點C的極坐標應(yīng)記為（　　）
A．（60°，8） B．（45°，8） C． D．
【分析】設(shè)正六邊形的中心為D，連接AD，判斷出△AOD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得OD＝OA，∠AOD＝60°，再求出OC，然后根據(jù)“極坐標”的定義寫出即可．
【解答】解：如圖，設(shè)正六邊形的中心為D，連接AD，
∵∠ADO＝360°÷6＝60°，OD＝AD，
∴△AOD是等邊三角形，
∴OD＝OA＝4，∠AOD＝60°，
∴OC＝2OD＝2×4＝8，
∴正六邊形的頂點C的極坐標應(yīng)記為（60°，8）．
故選：A．
【點評】本題考查了正多邊形和圓，坐標確定位置，主要利用了正六邊形的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解“極坐標”的定義是解題的關(guān)鍵．
2．（2023 鼓樓區(qū)模擬）下列圖形中，正多邊形內(nèi)接于半徑相等的圓，其中正多邊形周長最小的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接多邊形的周長小于圓周長，再利用夾逼法對即可選擇答案．
【解答】解：隨著圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的增加，它的周長和面積越來越接近圓周長和圓面積．
故選：A．
【點評】此題主要考查了正多邊形與圓，關(guān)鍵是知道圓內(nèi)接多邊形的周長小于圓周長．
3．（2023 梁溪區(qū)二模）如圖所示，A、B、C、D是一個外角為40°的正多邊形的頂點．若O為正多邊形的中心，則∠OAD的度數(shù)為（　　）
A．14° B．40° C．30° D．15°
【分析】連接OB、OC，利用任意凸多邊形的外角和均為360°，正多邊形的每個外角相等即可求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式計算即可．
【解答】解：連接OB、OC，
多邊形的每個外角相等，且其和為360°，
據(jù)此可得多邊形的邊數(shù)為：＝9，
∴∠AOB＝，
∴∠AOD＝40°×3＝120°．
∴∠OAD＝＝＝30°．
故選：C．
【點評】本題主要考查了正多邊形的外角以及內(nèi)角，熟記公式是解答本題的關(guān)鍵．
4．（2023 姜堰區(qū)二模）一個正多邊形，它的每個內(nèi)角是與其相鄰外角的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（　?。?br/>A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根據(jù)“多邊形的內(nèi)角與其相鄰外角互補”可求出這個外角的度數(shù)，再根據(jù)正多邊形的外角和是360°即可求出答案．
【解答】解：這個內(nèi)角相鄰的外角為x，則這個內(nèi)角為3x，由題意得，
x+3x＝180°，
解得x＝45°，
由正多邊形的外角和是360°，
所以這個正多邊形的邊數(shù)為360°÷45°＝8（條），
故選：C．
【點評】本題考查正多邊形和圓，掌握正多邊形的內(nèi)角與其相鄰的外角互補以及外角和是360°是正確解答的前提．
5．（2023 宜興市二模）已知正多邊形的一個外角為72°，則該正多邊形的邊數(shù)是（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【分析】正多邊形的外角和是360°，這個正多邊形的每個外角相等，因而用360°除以外角的度數(shù)，就得到外角和中外角的個數(shù)，外角的個數(shù)就是多邊形的邊數(shù)．
【解答】解：這個正多邊形的邊數(shù)：360°÷72°＝5．
故選：A．
【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系，熟記正多邊形的邊數(shù)與外角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
6．（2023 丹陽市模擬）如圖，邊長相等的正五邊形和正六邊形如圖拼接在一起，則∠ABC的度數(shù)為（　　）
A．22° B．23° C．24° D．25°
【分析】根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和定理求得正五邊形和正六邊形的內(nèi)角，根據(jù)周角的定義即可得到結(jié)論．
【解答】解：由題意得：正六邊形的每個內(nèi)角都等于120°，正五邊形的每個內(nèi)角都等于108°，
∴∠BAC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝＝＝24°，
故選：C．
【點評】本題考查了正多邊形和圓、熟練掌握正五邊形的內(nèi)角，正六邊形的內(nèi)角是解題的關(guān)鍵．
7．（2022秋 南京期末）如圖，AB，CD分別是⊙O的內(nèi)接正十邊形和正五邊形的邊，AD，BC交于點P，則∠APC的度數(shù)為（　?。?br/>A．126° B．127° C．128° D．129°
【分析】連接OA、OB、OC、OD、BD，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)分別求出∠AOB、∠COD，再根據(jù)圓周角定理分別求出∠ADB、∠CBD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、對頂角相等解答即可．
【解答】解：如圖，連接OA、OB、OC、OD、BD，
∵AB，CD分別是⊙O的內(nèi)接正十邊形和正五邊形的邊，
∴∠AOB＝＝36°，∠COD＝＝72°，
∴∠ADB＝∠AOB＝18°，∠CBD＝∠COD＝36°，
∴∠APC＝∠BPD＝180°﹣18°﹣36°＝126°，
故選：A．
【點評】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的求法、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
8．（2022秋 宿城區(qū)期末）如圖，A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心．若∠ADB＝18°，則這個正多邊形的邊數(shù)為（　?。?br/>A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】連接OA，OB，根據(jù)圓周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，即可得到結(jié)論．
【解答】解：連接OA，OB，
∵A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心，
∴點A、B、C、D在以點O為圓心，OA為半徑的同一個圓上，
∵∠ADB＝18°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴這個正多邊形的邊數(shù)＝＝10．
故選：D．
【點評】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵．
9．（2023 儀征市二模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點F在弧AE上．若∠CDF＝95°，則∠FCD的大小為（　?。?br/>A．38° B．42° C．49° D．58°
【分析】連接OE，OD，CE，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得出∠CDE的度數(shù)，從而得出∠FDE的度數(shù)即∠FCE的度數(shù)，再根據(jù)正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，得出∠ECD的度數(shù)即可求解．
【解答】解：如圖，連接OE，OD，CE，
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠CDE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∵∠CDF＝95°，
∴∠FDE＝∠CDE﹣∠CDF＝108°﹣95°＝13°，
∴∠FCE＝13°，
∵正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，
∴∠EOD＝360°÷5＝72°，
∴∠ECD＝＝36°，
∴∠FCD＝∠FCE+∠ECD＝36°+13°＝49°，
故選：C．
【點評】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得出∠CDE與∠EOD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
10．（2023 惠山區(qū)校級模擬）如圖，面積為6的正六邊形ABCDEF中，點M，N分別為邊BC，EF上的動點，則陰影部分面積為（　?。?br/>A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】如圖，連接AD，BE，CF，交點為O，設(shè)EF與AD的距離為h，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及平行線間距離相等可得則，進而可求S△ADN，同理可求S△ADM的值，根據(jù)S陰影＝S正六邊形ABCDEF﹣S△ADM﹣S△ADN計算求解即可．
【解答】解：如圖，連接AD，BE，CF，交點為O，
由正六邊形ABCDEF可得，EF＝AO＝DO，即，AD∥EF∥BC，
設(shè)EF與AD的距離為h，
則，
∵，
∴S△ADN＝2，
同理可得S△ADM＝2，
∴S陰影＝S正六邊形ABCDEF﹣S△ADM﹣S△ADN＝2，
故選：A．
【點評】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，平行線間的距離相等．解題的關(guān)鍵在于確定陰影部分面積為正六邊形的面積與空白部分面積的差．
二．填空題（共8小題）
11．（2023 鎮(zhèn)江一模）如圖，點A、B、C、D、E是圓O上的五等分點，該圖形繞點O至少旋轉(zhuǎn) 　72　度后與自身重合．
【分析】分別找出外圍五等分所得圓弧、⊙O、△ACD各自至少旋轉(zhuǎn)至少度后與自身重合，綜合即可求解．
【解答】解：外圍五等分所得圓弧旋轉(zhuǎn)至少72°后與自身重合，⊙O旋轉(zhuǎn)任意角度后與自身重合．
故答案為：72．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵．
12．（2023 連云港）以正六邊形ABCDEF的頂點C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使得新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點D′落在直線BC上，則正六邊形ABCDEF至少旋轉(zhuǎn) 　60　°．
【分析】以正六邊形ABCDEF的頂點C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時針方向旋轉(zhuǎn)，即∠DCD'是旋轉(zhuǎn)角，∠BCD＝120°，要使新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點D′落在直線BC上，則∠DCD'至少要旋轉(zhuǎn)60°．
【解答】解：∵多邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠BCD＝120°，
要使新正六邊形A′B′CD′E′F′的頂點D′落在直線BC上，
則∠DCD'至少要旋轉(zhuǎn)60°．
故答案為：60°．
【點評】本題考查多邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟悉性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
13．（2023 蘇州模擬）已知正六邊形的半徑為，則它的周長＝　6?。?br/>【分析】根據(jù)正六邊形的半徑等于邊長進行解答即可．
【解答】解：∵正六邊形的半徑等于邊長，
∴正六邊形的邊長，
正六邊形的周長l＝6a＝6，
故答案為：6．
【點評】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟知正六邊形的邊長等于半徑．
14．（2023 蘇州二模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為1，過O作OM垂直AB，交AB于點M，則OM的長為 　?。?br/>【分析】連接OB、OA．先證明△OBA是等邊三角形，求出BA、BM，再根據(jù)勾股定理求出OM即可．
【解答】解：如圖，連接OB、OA．
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠BOA＝60°，OB＝OA＝1，
∴△OBA是等邊三角形，
∴BA＝OB＝OA＝1，
∵OM⊥BA，
∴BM＝AM＝，
在Rt△OBM中，OM＝＝，
故答案為：．
【點評】本題考查正多邊形與圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．
15．（2023 南京三模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，⊙O經(jīng)過點E，且與AB，BC相切．若⊙O的半徑為4，則正六邊形的邊長為 　4+2　．

【分析】先連接OB、OM、ON，根據(jù)題意可得△OBM≌△OBN，從而得出OB所在直線是正六邊形的一條對稱軸，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和勾股定理可得MB＝4，OB＝8，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出B、O、E在一條直線上，即可得到BE的長，進而求出正六邊形的邊長．
【解答】解：連接OB、OM、ON，如圖：
∵⊙O與AB，BC相切．
∴OM⊥AB，ON⊥BC，
∴∠OMB＝∠ONB＝90°，OM＝ON，
又∵OB＝OB，
∴Rt△OBM≌Rt△OBN（HL），
∴OB所在直線是正六邊形的一條對稱軸，
在正六邊形ABCDEF中，∠ABC＝120°，
∴∠MON＝60°，
∴∠MOB＝30°，
∵OM＝4，
∴MB＝4，OB＝8，
∵圓的對稱軸是直徑所在的直線，且經(jīng)過點E，
∴O、B、E三點共線，
∴BE＝8+4，
根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得BC＝BE＝4+2，
故答案為：4+2，
【點評】本題考查正六邊形的性質(zhì)和與圓有關(guān)的位置關(guān)系，軸對稱等知識，關(guān)鍵是判定出O、B、E三點共線，
16．（2023 寶應(yīng)縣二模）三個能夠重合的正六邊形的位置如圖，已知A點的坐標是，則B點的坐標是 　?。?br/>【分析】如圖，延長正六邊形的邊BM與x軸交于點E，過A作AN⊥x軸于N，連接AO，BO，證明∠BOE＝∠AON，可得A，O，B三點共線，可得A，B關(guān)于O對稱，從而可得答案．
【解答】解：如圖，延長正六邊形的邊BM與x軸交于點E，過A作AN⊥x軸于N，連接AO，BO，
∴三個正六邊形，O為原點，
∴BM＝MO＝OH＝AH，∠BMO＝∠OHA＝120°，
∴△BMO≌△OHA（SAS），
∴OB＝OA，
∴，
∴∠BOE＝60°，∠BEO＝90°，
同理：∠AON＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∠OAN＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BOE＝∠AON，
∴A，O，B三點共線，
∴A，B關(guān)于O對稱，
∴．
故答案為：．
【點評】本題考查的是坐標與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)于原點成中心對稱的兩個點的坐標特點，正多邊形的性質(zhì)，熟練的應(yīng)用正多邊形的性質(zhì)解題是解本題的關(guān)鍵．
17．（2023 玄武區(qū)一模）如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，以AB為邊在正六邊形ABCDEF的內(nèi)部作正方形ABMN，連接OD，ON，則∠DON＝　105　°．

【分析】連接OA，OB，OE，OF，利用正六邊形的性質(zhì)得到OA＝OB＝OF＝OE＝OD，∠AOB＝∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，則△OAB為等邊三角形，D，O，A在一條直線上；利用正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求得∠AON的度數(shù)，則結(jié)論可得．
【解答】解：連接OA，OB，OE，OF，如圖，
∵點O是正六邊形ABCDEF的中心，
∴OA＝OB＝OF＝OE＝OD，∠AOB＝∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，
∴△OAB為等邊三角形，∠AOF+∠FOE+∠EOD＝180°，
∴D，O，A在一條直線上，∠OAB＝60°，OA＝AB．
∵以AB為邊在正六邊形ABCDEF的內(nèi)部作正方形ABMN，
∴∠NAB＝90°，AB＝AN，
∴∠NAO＝30°，OA＝AN，
∴∠AON＝∠ANO＝＝75°，
∴∠NOD＝180°﹣∠AON＝105°．
故答案為：105．
【點評】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，連接正六邊形的半徑，證得D，O，A在一條直線上是解題的關(guān)鍵．
18．（2023 高港區(qū)二模）如圖，點M在正六邊形的邊EF上運動．若∠ABM＝x°，寫出一個符合條件的x的值 　50°（答案不唯一）　．
【分析】由正多邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求得∠ABF＝30°，∠ABE＝60°可得x的取值范圍30°≤x≤60°，即可得到答案．
【解答】解：連接BF，BE，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AF∥BE，
∴∠A＝∠ABC＝∠AFE＝＝120°，AB＝AF，
∴∠ABF＝＝30°，
∠ABE＝180°﹣∠A＝60°，
∵點M在正六邊形的邊EF上運動，∠ABM＝x°，
∴30°≤x≤60°，
∴x＝50°．
故答案為：50°（答案不唯一）．
【點評】本題主要考查了正多邊形和圓，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求得∠ABF＝30°，∠ABE＝60°得到x的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵．
三．解答題（共7小題）
19．（2022秋 鹽都區(qū)校級月考）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上的一點，連接DP，CP．
（1）求∠CPD的度數(shù)；
（2）當點P為的中點時，CP是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．
【分析】（1）連接OD，OC，根據(jù)正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，結(jié)合圓周角定理可得∠CPD；
（2）結(jié)合正多邊形的性質(zhì)以及圓周角定理得出∠COP的度數(shù)，進而得出答案．
【解答】解：（1）連接OD，OC，
∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠DOC＝90°．
∴；
（2）連接PO，OB，
∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠COB＝90°，
∵點P為BC的中點，
∴＝，
∴，
∴n＝360÷45＝8．
【點評】此題主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理、正方形的性質(zhì)，正確掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
20．（2020秋 灌云縣月考）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上一點，連接DP，CP．
（1）∠CPD＝　45　°；
（2）若DC＝4，CP＝，求DP的長．
【分析】（1）連接BD，根據(jù)正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，可得∠CPD＝∠DBC＝45°；
（2）作CH⊥DP于H，因為CP＝2，∠CPD＝45°，可得CH＝PH＝2，因為DC＝4，所以DH＝，即DP＝PH+DH＝2+2．
【解答】解：（1）如圖，連接BD，
∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為上一點，
∴∠DBC＝45°，
∵∠CPD＝∠DBC，
∴∠CPD＝45°．
故答案為：45；
（2）如圖，作CH⊥DP于H，
∵CP＝2，∠CPD＝45°，
∴CH＝PH＝2，
∵DC＝4，
∴DH＝＝＝2，
∴DP＝PH+DH＝2+2．
【點評】本題考查圓周角定理，正方形的性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理．
21．（2023 鼓樓區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接矩形，點E、F分別在射線AB、AD上，OE＝OF，且點C、E、F在一條直線上，EF與⊙O相切于點C．
（1）求證：矩形ABCD是正方形；
（2）若OF＝10，則正方形ABCD的面積是 　10?。?br/>【分析】（1）連接AC，證明△AOF≌△AOE（SAS），可得AF＝AE，然后證明AB＝CB，即可解決問題；
（2）根據(jù)勾股定理求出OC＝2，進而可以求出正方形ABCD的面積．
【解答】（1）證明：如圖，連接AC，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接矩形，
∴AC是⊙O的直徑，
∵EF與⊙O相切于點C，
∴AC⊥EF，
∵OE＝OF，
∴CF＝CE，∠FOC＝∠EOC，
∴∠AOF＝∠AOE，
∵OA＝OA，
∴△AOF≌△AOE（SAS），
∴AF＝AE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠FAE＝90°，
∴AC＝EF＝CF＝CE，
∴∠CAE＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝CB，
∴矩形ABCD是正方形；
（2）解：∵OC＝AC，AC＝CF，
∴CF＝2OC，
∵OF＝10，OF2＝OC2+CF2，
∴102＝OC2+4OC2，
∴OC＝2，
∴AB＝OC＝，
∴AB2＝10，
∴正方形ABCD的面積是10．
故答案為：10．
【點評】本題考查的是正多邊形和圓，矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用切線的性質(zhì)，結(jié)合正方形的特點求出正方形的邊長．
22．（2022秋 南通期末）如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心．若OA長為6，求正六邊形ABCDEF的面積．
【分析】正六邊形被半徑分成六個全等的等邊三角形，求出一個等邊三角形的面積即可解決問題．
【解答】解：過點O作OG⊥AB于點G，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠AOB＝60°，
∵AO＝OB，
∴△OAB是等邊三角形．
∴AB＝OA＝6，∠OAG＝60°，
在Rt△OAG中，sin∠OAG＝，
∴OG＝6×sin60°＝3，
∴S△OAB＝＝＝9，
∴正六邊形ABCDEF的面積＝6S△OAB＝54．
【點評】本題考查正六邊形和圓，關(guān)鍵是掌握正六邊形的性質(zhì)．
23．（2022秋 鎮(zhèn)江期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝6，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，延長AB到D，連接CD，AC＝CD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）以BC為邊的圓內(nèi)接正多邊形的周長等于 　18　．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理計算出∠OCD＝90°即可；
（2）得出以BC為邊的圓內(nèi)接正多邊形是圓內(nèi)接正六邊形，再求出BC的長即可．
【解答】（1）證明：如圖，連接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵AC＝CCD，
∴∠OAC＝∠ODC＝30°，
∴∠OCD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
即OC⊥CD，
又∵OC是半徑，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：∵∠BOC＝60°，
∴以BC為邊的圓內(nèi)接正多邊形是圓內(nèi)接正六邊形，
∴BC＝AB＝3，
∴以BC為邊的圓內(nèi)接正六邊形的周長為3×6＝18．
故答案為：18．
【點評】本題考查切線的判定，圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，掌握切線的判定方法是正確解答的前提．
24．（2020秋 玄武區(qū)月考）【閱讀理解】
[閱讀與思考]
如圖①，在正三角形ABC中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝CM，∠NOC＝　60°??；
如圖②，在正方形ABCD中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝DM，∠NOD＝　90°?。?br/>如圖③，在正五邊形ABCDE中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝EM，∠NOE＝　108°　；
[理解與運用]
在正六邊形ABCDEF中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝FM，∠NOF＝　120°?。?br/>在正十邊形ABCDEFGHIJ中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝JM，∠NOJ＝　144°　；
[歸納與總結(jié)]
根據(jù)以上規(guī)律，在正n邊形A1A2A3A4…An中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點M，N是A1A2，A2A3上的點，且A1M＝A2N，A1N與AnM相交于O．也會有類似的結(jié)論，你的結(jié)論是　以上所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角　．
【分析】[閱讀與思考]
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠CAM，AB＝AC，進而利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出，∠OAC+∠BCM＝∠NOC＝60°；
根據(jù)正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出，∠DON＝∠DAN+∠ADM＝90°；
根據(jù)正五邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出，∠EON＝∠AEM+∠EAN＝108°；
[理解與運用]
根據(jù)以上所求結(jié)論即可得正六邊形ABCDEF中，∠NOF＝120°；
根據(jù)以上所求結(jié)論即可得正十邊形ABCDEFGHIJ中，∠NOJ＝144°；
[歸納與總結(jié)]
根據(jù)以上所求得出在正n邊形中，類似的結(jié)論．
【解答】解：[閱讀與思考]
∵在正三角形ABC中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，
∴∠B＝∠CAM，AB＝AC，
∵在△ABN和△CAM中
，
∴△ABN≌△CAM（SAS），
∴AN＝CM，∠BAN＝∠MCA，
∴∠NOC＝∠OAC+∠MCA＝∠OAC+∠BAN＝∠BAC＝60°，
故答案為：60°；
∵在正方形ABCD中，點M，N是AB，BC上的點，且AN＝DM，
∴AD＝AB，
在△ABN和△DAM中，
，
∴△ABN≌△DAM（SAS），
∴∠AMD＝∠ANB，∠ADM＝∠BAN，
∴∠DON＝∠DAN+∠ADM＝90°，
答案為：90°；
∵在正五邊形ABCDE中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝EM，
∴AB＝AE，∠EAM＝∠ABN，
∵在△AEM和△BAN中，
，
∴△ABN≌△EAM（SAS），
∴AN＝EM，∠AEM＝∠BAN，
∴∠EON＝∠AEM+∠EAO＝108°，
故答案為：108°；
[理解與運用]
∵正三角形的內(nèi)角度數(shù)為：60°，
正方形的內(nèi)角度數(shù)為：90°，
正五邊形的內(nèi)角度數(shù)為：108°，
所以同理可得：
在正六邊形ABCDEF中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝FM，∠NOF＝120°；
故答案為：120°；
同理可得：
在正十邊形ABCDEFGHIJ中，點M，N是AB，BC上的點，且AM＝BN，則AN＝JM，∠NOJ＝144°；
故答案為：144°；
[歸納與總結(jié)]
根據(jù)以上所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角，
所以所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角．
故答案為：以上所求的角恰好等于正n邊形的內(nèi)角．
【點評】此題主要考查了正多邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用三角形的外角性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．
25．（2021 鼓樓區(qū)二模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，以AD為對角線作正方形APDQ，AP、DP與BC分別交于M、N．
（1）∠BAM＝　15　°；
（2）若AB＝4，求MN的長．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，結(jié)果精確到0.1，可以直接利用（1）的結(jié)論）
【分析】（1）利用正多邊形的性質(zhì)分別求出∠DAB，∠DAP即可．
（2）連接BE交AD于點O，連接OP交BC于H．想辦法求出OP，OH，再求出PH，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．
【解答】解：（1）在正六邊形ABCDEF中，∠DAB＝60°，
在正方形AQDP中，∠DAP＝45°，
∴∠BAM＝∠DAB﹣∠DAP＝60°﹣45°＝15°，
故答案為：15．
（2）連接BE交AD于點O，連接OP交BC于H．
在正六邊形ABCDEF 中，CD＝BC＝AB＝4，∠BAF＝∠ABC＝∠C＝∠CDE＝120°，
AO、BO 平分∠BAF、∠ABC，OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO＝∠CBO＝×120°＝60°，
∴△ABO 是等邊三角形，
∴BC∥AD，AO＝BO＝AB＝4，
∴AD＝2AO＝8，
在正方形APDQ 中，AP＝DP，∠APD＝90°，
∵AO＝DO，
∴PO＝AD＝4，PO⊥AD，∠APO＝∠DPO＝∠APD＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠MHP＝∠AOP＝90°，
∴∠BHO＝90°，
∴sin∠OBH＝，
∵∠OBH＝60°，BO＝4，
∴OH＝4×sin60°＝2，
∵PH＝MH＝OP﹣OH＝4﹣2，
∴MN＝2MH＝8﹣4≈1.1．
【點評】本題考查正多邊形和圓，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題．
一．選擇題（共7小題）
1．（2022 岳池縣模擬）如圖，五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形的中心角∠COD的度數(shù)是（　?。?br/>A．72° B．60° C．48° D．36°
【分析】根據(jù)正多邊形的中心角的計算公式：計算即可．
【解答】解：∵五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，
∴五邊形ABCDE的中心角∠COD的度數(shù)為72°，
故選：A．
【點評】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的計算公式：是解題的關(guān)鍵．
2．（2022 達拉特旗一模）如圖，在擰開一個邊長為a的正六角形螺帽時，扳手張開的開口b＝10mm，則這個正六邊形的面積為（　?。?br/>A．mm2 B．300mm2 C．150mm2 D．75mm2
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，可得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得CD的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的余弦，可得答案．
【解答】解：如圖：作BD⊥AC于D，
由正六邊形，得
∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，
∠BCD＝∠BAC＝30°．
由AC＝10mm，得CD＝5mm．
cos∠BCD，即，
解得a＝10，
這個正六邊形的面積610×5150（mm2），
故選C．
【點評】本題考查了正多邊形和圓，利用了正六邊形的性質(zhì)得出等腰三角形是解題關(guān)鍵，又利用了正三角形的性質(zhì)，余弦函數(shù)，
3．（2022 德城區(qū)模擬）將正方形紙片按圖①方式依次對折得圖②的△ABC，點D是AC邊上一點，沿線段BD剪開，展開后得到一個正八邊形，則點D應(yīng)滿足（　　）
A．BD⊥AC B．AD＝AB C．∠ADB＝60° D．AD＝DB
【分析】動手操作后很容易得到答案．
【解答】解：動手操作展開后可發(fā)現(xiàn)這是一個正八邊形，則△ABD是其中的八分之一塊．
∴△ABD是等腰三角形，
∴AD＝AB．
故選：B．
【點評】本題主要考查了正多邊形、含30度角的直角三角形，正方形的性質(zhì)，剪紙問題以及全等三角形，解決問題的關(guān)鍵是動手操作得到所求多邊形的形狀．
4．（2022 天府新區(qū)模擬）如圖，圓形螺帽的內(nèi)接正六邊形的邊心距為2cm，則圓形螺帽的面積是（　　）
A．8cm2 B．16cm2 C．8πcm2 D．16πcm2
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)正多邊形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：如圖所示，AB＝4cm，過O作OG⊥AB于G；
∵此多邊形是正六邊形，
∴∠AOB60°，∠AOG30°，
∴AO4cm，
∴S圓形螺帽＝16πcm2．
故選：D．
【點評】此題比較簡單，根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)正多邊形的性質(zhì)即銳角三角函數(shù)的定義解答即可．
5．（2022 成華區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點P在劣弧上，則∠P的度數(shù)為（　?。?br/>A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】連接OB、OC，如圖，先利用正方形的性質(zhì)得∠BOC＝90°，然后根據(jù)圓周角定理求解．
【解答】解：連接OB、OC，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC∠BOC＝45°．
故選C．
【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了正方形的性質(zhì)．
6．（2022 宜興市一模）如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，CD相切于A，C兩點，則∠AOC的度數(shù)是（　?。?br/>A．108° B．129° C．130° D．144°
【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可求出每個內(nèi)角的度數(shù)為108°，由切線的性質(zhì)可得出∠OAE＝∠OCD＝90°，在五邊形CDEAO中由內(nèi)角和可求出答案．
【解答】解：∵正五邊形ABCDE，
∴∠D＝∠E108°，
又∵⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，CD相切于A，C兩點，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
在五邊形CDEAO中，
∠AOC＝（5﹣2）×180°﹣90°×2﹣108°×2＝144°，
故選：D．
【點評】本題考查正多邊形與圓，切線的性質(zhì)，掌握正多邊形的內(nèi)角、內(nèi)角和的計算方法以及切線的性質(zhì)是正確計算的前提．
7．（2022 蚌埠二模）已知矩形MNPQ的頂點M，N，P，Q分別在正六邊形ABCDEF的邊DE，F(xiàn)A，AB，CD上，且MN∥BC．在點M從E移向D（與D不重合）的過程中，下列的判斷中，正確的是（　　）
A．矩形MNPQ的面積與周長保持不變
B．矩形MNPQ的面積逐漸減小，周長逐漸增大
C．矩形MNPQ的面積與周長均逐漸增大
D．矩形MNPQ的面積與周長均逐漸減小
【分析】連接AD，交PN于H，設(shè)AB＝a，AN＝x，表示出PNx，MN＝2OH＝2a﹣x，可得矩形MNPQ周長L＝2（MN+PN）＝（22）x+4a，面積S（x﹣a）2a2，由一次函數(shù)及二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．
【解答】解：連接AD，交PN于H，如圖：
設(shè)AB＝a，AN＝x，
∵多邊形ABCDEF是正六邊形，四邊形MNPQ是矩形，
∴PN⊥AD，∠FAD＝60°，NH＝PH，OA＝a，
在Rt△NAH中，AHANx，NHx，
∴OH＝ax，PNx，
∴MN＝2OH＝2a﹣x，
∴矩形MNPQ周長L＝2（MN+PN）＝2（2a﹣xx）＝（22）x+4a，
矩形面積S＝MN PN＝（2a﹣x）x（x﹣a）2a2，
當點M從E移向D（與D不重合）的過程中，x由a向0變化（x≠0），
∴矩形MNPQ周長L隨x的減小而減小，
∵0，矩形面積S（x﹣a）2a2的圖象是一條開口向下，對稱軸為直線x＝a的拋物線，
∴x由a向0變化（x≠0）過程中，S隨x的減小而減小，
即x由a向0變化（x≠0）過程中，矩形MNPQ周長和矩形MNPQ的面積均逐漸減小，
故選：D．
【點評】本題屬于代數(shù)幾何綜合題，是中考填空題的壓軸題，考查了正多邊形及矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，解決本題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的性質(zhì)．
二．填空題（共6小題）
8．（2022 和平區(qū)一模）已知圓的周長是6π，則該圓的內(nèi)接正三角形的邊心距是 　?。?br/>【分析】根據(jù)圓周長的計算方法求出圓的半徑，在根據(jù)圓內(nèi)接正三角形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系進行計算即可．
【解答】解：如圖，由于圓的周長是6π，所以半徑為3，即OA＝OB＝3，
連接OA，OB，過點O作OD⊥AB，垂足為D，
∵△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，
∴∠AOB120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAD＝∠OBD30°，
在Rt△AOD中，OA＝3，∠OAD＝30°，
∴ODOA，
即該圓的內(nèi)接正三角形的邊心距是，
故答案為：．
【點評】本題考查正多邊形與圓，等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)以及正多邊形圓的有關(guān)計算是正確解答的前提．
9．（2022 新城區(qū)模擬）如圖，AC、AD為正六邊形ABCDEF的兩條對角線，若該正六邊形的邊長為2，則△ACD的周長為 　26?。?br/>【分析】求出正六邊形的內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的判斷和性質(zhì)以及角的和差關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．
【解答】解：∵正六邊形ABCDEF，
∴∠B＝∠BCD120°，AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BCA＝30°，
∴∠ACD＝120°﹣30°＝90°，
由對稱性可得，AD是正六邊形的對稱軸，
∴∠ADC＝∠ADE∠CDE＝60°，
在Rt△ACD中，CD＝2，∠ADC＝60°，
∴AD＝2CD＝4，ACCD＝2，
∴△ACD的周長為AC+CD+AD＝22+4＝26，
故答案為：26．
【點評】本題考查多邊形與圓，掌握正多邊形內(nèi)角的計算方法以及內(nèi)角和定理積推論是正確解答的關(guān)鍵．
10．（2022 西山區(qū)一模）如圖，五邊形DEFGH是邊長為1的正五邊形，⊙O是正五邊形DEFGH的外接圓，過點D作⊙O的切線，與GH，F(xiàn)E的延長線交分別于點B和C，延長HG，EF相交于點A，連接GD，DF，下列結(jié)論正確的是 　①②③　．
①∠HDE＝108°；
②△ABC為等腰三角形；
③四邊形AGDF為菱形；
④△ABC的周長為．
【分析】①根據(jù)正多邊形的內(nèi)角公式進行求解；②根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到角相等即可證明；③根據(jù)同?。ǖ然。┧鶎Φ膱A周角相等，即可證明四邊形AGDF為菱形；④證明△ABC∽△DCE，則相似的性質(zhì)，即可求得△ABC的周長．
【解答】解：根據(jù)多邊形的內(nèi)角求解公式可知：∠HDE108°，故①正確；
∵五邊形DEFGH是邊長為1的正五邊形，
∴∠HGF＝∠EFG，
∵GF∥BC，
∴BC是⊙O的切線，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC為等腰三角形，故②正確；
∵∠DFE＝∠GDF＝∠DGB，
∴DF∥AB，DFAB，DG∥AC，DGAC，
∴AF＝DG，AG＝DF，
∵AB＝AC，
∴四邊形AGDF為菱形，故③正確；
設(shè)DF＝AF＝FC＝x，
∵∠GFE＝∠DEF，
∴∠AFG＝∠DEC，
∴△ABC∽△DCE，
∴，即，
∴x1，x2（舍去），
∴AB＝2，
∴△ABC周長為：AB+AC+BC24．
故④錯誤．
故答案為：①②③．
【點評】此題主要考查的是圓的內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于掌握圓的內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)并結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)進行求解．
11．（2022 徐州一模）如圖，AF是正五邊形ABCDE的外接圓的切線，則∠CAF＝　72　°．
【分析】連接OC，AO，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到∠B108°，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC＝360°﹣2∠B＝144°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAO（180°﹣144°）＝18°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAF＝90°，于是得到結(jié)論．
【解答】解：連接OC，AO，
在正五邊形ABCDE中，∠B108°，
∴∠AOC＝360°﹣2∠B＝144°，
∵OC＝OA，
∴∠CAO（180°﹣144°）＝18°，
∵AF是正五邊形ABCDE的外接圓的切線，
∴∠OAF＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣18°＝72°，
故答案為：72．
【點評】本題考查了正多邊形與圓，切線的性質(zhì)，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
12．（2022 石家莊一模）如圖所示，在正四邊形、正五邊形中，相鄰兩條對角線的夾角分別為α4，α5，則α5為 　108　°，以此類推，正n邊形相鄰兩條對角線的較大夾角為 　　°．
【分析】對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．通過分析找到各部分的變化規(guī)律后用一個統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律即可．
【解答】解：由正方形ABCD，
可得：AC⊥BD，
∴α4＝90°；
由正五邊形ABCDE，
可得：AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，
∴∠DBC＝∠ACB36°，
∴α5＝180°﹣∠DBC﹣∠ACB＝108°；
同理：α6＝120°；
∴正n邊形相鄰兩條對角線的夾角：αn，
故答案為：108，．
【點評】本題主要考查了正多邊形和圓的知識，學生通過特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力．
13．（2022 北侖區(qū)二模）如圖，在正六邊形ABCDEF內(nèi)取一點O，作⊙O與邊DE，EF相切，并經(jīng)過點B，已知⊙O的半經(jīng)為，則正六邊形的邊長為 　2?。?br/>【分析】根據(jù)對稱性可得點O以及正六邊形ABCDEF的外接圓的圓心O′均在線段BE上，由切線的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求出OE，進而求出正六邊形ABCDEF的外接圓半徑，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可求出答案．
【解答】解：如圖，連接BE，由對稱性可知，點O以及正六邊形ABCDEF的外接圓的圓心O′均在線段BE上，
設(shè)⊙O與EF、DE相切于點M、N，連接OM、ON、O′D，則OM＝ON＝OB＝2，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠DEF＝120°，
由對稱性可得，∠OEF＝∠OED∠DEF＝60°，
在Rt△OEM中，OM＝2，∠OEM＝60°，
∴OE4，
∴BE＝OE+OB＝4+2，
∴正六邊形ABCDEF的外接圓半徑O′E2，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴△DO′E是正三角形，
∴EF＝O′E＝2，
即正六邊形ABCDEF的邊長為2，
故答案為：2．
【點評】本題考查切線的性質(zhì)，正多邊形與圓，掌握正六邊形的對稱性以及正六邊形與圓的性質(zhì)是正確解答的前提．
三．解答題（共5小題）
14．（2021秋 信都區(qū)期末）已知正六邊形ABCDEF的中心為O，半徑OA＝6．
（1）求正六邊形的邊長；
（2）以A為圓心，AF為半徑畫弧BF，求．
【分析】（1）根據(jù)正六邊形的邊長與半徑相等即可解決問題；
（2）由正六邊形的性質(zhì)和弧長公式即可得出結(jié)果．
【解答】解：（1）∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴正六邊形的邊長＝半徑OA＝6；
（2）∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠BCF＝120°，
∴弧BF的長為4π．
【點評】本題考查了正多邊形和圓、弧長公式；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2021秋 昌邑區(qū)校級期末）已知，如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為6cm，求這個正六邊形的外接圓半徑R、邊心距r6、面積S6．
【分析】連接OA，OB，過點O作OG⊥AB于G，易得△AOB是等邊三角形，繼而可得正六邊形的外接圓半徑R，然后由勾股定理求得邊心距，又由S正六邊形＝6S△ABC求得答案．
【解答】解：連接OA，OB，過點O作OG⊥AB于G，
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OA＝OB＝6，即R＝6，
∵OA＝OB＝6，OG⊥AB，
∴AGAB6＝3，
∴在Rt△AOG中，r6＝OG3cm，
∴S66×6×354cm2．
【點評】此題考查了正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
16．（2021秋 新榮區(qū)月考）閱讀與思考
請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：
克羅狄斯 托勒密（約90年﹣168年），是希臘數(shù)學家，天文學家，地理學家和占星家．在數(shù)學方面，他還論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的內(nèi)容如下：圓的內(nèi)接四邊形的兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積的和．即：如圖1，若四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則有 　AB CD+AD BC＝AC BD?。?br/>任務(wù)：（1）材料中劃橫線部分應(yīng)填寫的內(nèi)容為 　AB CD+AD BC＝AC BD?。?br/>（2）如圖2，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB＝2，求對角線BD的長．
【分析】（1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論．
（2）連接AD、AC，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可得出△ABC≌△DCB≌AED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可設(shè)BD＝AC＝AD＝x，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，利用托勒密定理可得關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）根據(jù)托勒密定理可得：AB CD+AD BC＝AC BD，
故答案為：AB CD+AD BC＝AC BD；
（2）如2圖，連接AD、AC．
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴△ABC≌△DCB≌△AED（SAS），
∴設(shè)BD＝AC＝AD＝x．
在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，由托勒密定理可得：AB CD+AD BC＝AC BD，
即2×2+x 2＝x2，
解得：x1＝1，x2＝1（舍去）．
∴對角線BD的長為1．
【點評】本題考查了命題、正多邊形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及解一元二次方程，利用托勒密定理找出關(guān)于x的一元二次方程是解決問題的關(guān)鍵．
17．（2021秋 許昌月考）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．
（1）求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．
（2）設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．
【分析】（1）如圖，連接AE，AD，AC，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到結(jié)論；
（2）如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)⊙O的半徑為r，推出△ODE是等邊三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根據(jù)勾股定理得到OGr，根據(jù)三角形和圓的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：如圖，連接AE，AD，AC，
∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，
∴EF＝ED＝CD＝BC，
∴，
∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，
∴過頂點A的三條對角線四等分∠BAF；
（2）解：如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，
設(shè)⊙O的半徑為r，
∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，
∴△ODE是等邊三角形，
∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，
∴∠EOG＝30°，
∴EGr，
∴OGr，
∴正六邊形ABCDEF的面積＝6rrr2，
∵⊙O的面積＝πr2，
∴．
【點評】本題考查了正多邊形與圓，正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
18．（2020秋 武漢期末）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是的中點，連接AE，DE，CE．
（1）求證：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四邊形AECD的面積．
【分析】（1）欲證明AE＝DE，只要證明．
（2）連接BD，過點D作DF⊥DE交EC的延長線于F．證明△ADE≌△CDF（AAS），推出AE＝CF，推出S△ADE＝S△CDF，推出S四邊形AECD＝S△DEF，再利用等腰三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求出DE，即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴，
∵E是的中點，
∴，
∴，即，
∴AE＝DE．
（2）解：連接BD，AO，過點D作DF⊥DE交EC的延長線于F．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，
∵∠EDF＝90°，
∴∠F＝∠EDF﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝DF，
∵∠AED∠AOD＝45°，
∴∠AED＝∠F＝45°，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四邊形AECD＝S△DEF，
∵EFDE＝EC+DE，EC＝1，
∴1+DEDE，
∴DE1，
∴S四邊形AECD＝S△DEFDE2．
【點評】本題考查正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑