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第09講 圓周角（3種題型）
1.理解并掌握圓周角相關概念
2.探索并掌握圓周角與圓心角的關系、直徑所對的圓周角的特征；
1.圓周角定義：
像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
　
2.圓周角定理：
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
頂點在圓上,它們的兩邊在圓內的部分分別是圓的弦.
圓周角定理：
一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。
3、 圓心角定理：
圓心角的度數等于它所對弧的度數。
推論1： 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。
推論2： 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑,高考物理。
圓周角的特點: (1)角的頂點在圓上; (2)角的兩邊在圓內的部分是圓的弦.
4、圓周角和圓心角相對于圓心與直徑的位置關系有三種: 解題規律:
5、解決圓周角和圓心角的計算和證明問題,要準確找出同弧所對的圓周角和圓心角,然后再靈活運用圓周角定理
3.圓周角定理的推論：
半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
【微點撥】
(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.
(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.
圓心與圓周角存在三種位置關系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內部；圓心在圓周角的外部．（如下圖）
一．圓周角定理（共12小題）
1．（2023 亭湖區校級三模）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BCD＝40°，則∠ABD 的大小為（　　）
A．60° B．50° C．45° D．40°
2．（2023 溧陽市一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的兩點，若∠ABD＝54°，則∠BCD的度數是（　　）
A．36° B．40° C．46° D．65°
3．（2023 金壇區一模）如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點P，若∠A＝40°，∠APD＝70°，則∠B的度數是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
4．（2023 天寧區模擬）如圖，在⊙O中，AB∥OC，若∠OBA＝40°，則∠BAC的度數是（　　）
A．50° B．30° C．25° D．20°
5．（2023 鹽都區一模）用破損量角器按如圖方式測量∠ABC的度數，讓∠ABC的頂點恰好在量角器圓弧上，兩邊分別經過圓弧上的A、C兩點．若點A、C對應的刻度分別為55°，135°，則∠ABC的度數為 　 　．
6．（2023 蘇州模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交⊙O于點C，D，連接BD．若∠A＝34°，∠AED＝87°，則∠B＝　 　°．

7．（2022秋 南京期末）在同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點．
（1）如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，AB＝24，則CD的長為 　 　．
（2）如圖②，大圓的另一條弦EF交小圓于G，H兩點，若AB＝EF，求證CD＝GH．
8．（2023 南京模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，連接AC、BD，∠B＝75°，∠A＝45°，，則弦CD＝　 　．

9．（2023 蘇州模擬）如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條直徑，直徑CD平分∠ACE，∠ACE的一邊CE與⊙O和直徑AB分別交于點E，F，連接BE，且AC＝AF．
（1）證明：BE∥CD；
（2）若CF＝2，求BF的長．
10．（2022秋 太倉市期末）如圖，⊙O的直徑AB＝5，弦AC＝4，連接BC，以C為圓心，BC長為半徑畫弧與⊙O交于點D，連接AD，BD，BD與AC交于點E．
（1）請直接寫出圖中與∠CAB相等的所有角 　 　；
（2）求AD的長．
11．（2022秋 鼓樓區期末）如圖，AB為⊙O的直徑，D是弦AC延長線上一點，AC＝CD，DB的延長線交⊙O于點E，連接CE．
（1）求證∠A＝∠D；
（2）若的度數為108°，求∠E的度數．
12．（2022秋 建鄴區期末）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，AC是⊙O的直徑，，∠CAB＝32°．求∠ACD的度數．
二．圓內接四邊形的性質（共14小題）
13．（2023 高新區校級模擬）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE．若∠BCD＝2∠BAD，則∠DAE的度數是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．45°
14．（2023 興化市二模）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠ABD＝20°，則∠BCD的度數為 　 　°．
15．（2023 建鄴區一模）如圖，點A，B，C，D在⊙O上．若∠O＝∠C＝130°，則∠BAO＝　 　°．
16．（2023 沭陽縣模擬）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，連接AO、CO，若∠AOC＝112°，則∠B的度數是 　 　．
17．（2022秋 江陰市校級月考）如圖，正方形ABCD四個頂點都在⊙O上，點P是在弧BC上的一點（P點與C點不重合），則∠CPD的度數是 　 　．
18．（2022秋 靖江市期末）如圖，已知四邊形ABCD內接于⊙O．求證：∠A+∠C＝180°．
19．（2022秋 宿城區期末）如圖，四邊形ABCD內接于一圓，CE是邊BC的延長線．
（1）求證∠DAB＝∠DCE；
（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度數．
20．（2022秋 宿豫區期中）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB＝∠CDB，若，AD＝1，求CD的長度．
21．（2022秋 鎮江期中）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延長線交于點E．
求證：BD＝BC．
22．（2022秋 建鄴區期中）求證：圓內接四邊形的對角互補．
已知：如圖，四邊形ABCD內接于⊙O．
求證：∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°．
證明：作直徑AE，連接BE、DE．
所以∠ABE＝∠ADE＝90°．
因為∠CBE＝∠CDE，（①）
所以∠ABC+∠CDA＝∠ABE+∠EDA＝180°．
同理∠DAB+∠BCD＝180°．
（1）證明過程中依據①是 　 　；
（2）請給出另一種證明方法．
23．（2023 蘇州一模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，若∠BCD＝2∠BOD，則∠A的度數是（　　）
A．30° B．36° C．45° D．60°
24．（2023 鼓樓區校級三模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠A＝120°，則∠BOD的度數為（　　）
A．60° B．70° C．120° D．150°
25．（2022秋 棲霞區校級期末）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足為E．
（1）求證：∠BAC＝2∠DAC；
（2）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．
26．（2022秋 高新區期中）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交于點E，且DC＝DE．
（1）求證：∠A＝∠AEB；
（2）連接OE，交CD于點F，若OE⊥CD，求∠A的度數．
三．相交弦定理（共5小題）
27．（2021 鹽都區二模）如圖，在⊙O中，弦CD過弦AB的中點E，CE＝1，DE＝3，則AB＝　 　．
28．（2022秋 濱湖區校級期中）如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點P，且PD＜PC．
（1）求證：△PAD∽△PCB；
（2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．
29．（2021秋 錫山區校級月考）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD交于點E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的長．
30．（2021秋 江陰市校級月考）如圖，在⊙O中，弦AD，BC相交于點E，連接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．
（1）求證：AB＝CD；
（2）如果⊙O的直徑為10，DE＝1，求AE的長．
31．（2021秋 濱湖區校級期中）如圖，已知圓O，弦AB、CD相交于點M．
（1）求證：AM MB＝CM MD；
（2）若M為CD中點，且圓O的半徑為3，OM＝2，求AM MB的值．
一．選擇題（共10小題）
1．（2023 錫山區模擬）如圖，A、B、C、D是⊙O上四點，且點D是弧AB的中點，CD交OB于E，∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，則∠OEC的度數為（　　）
A．90° B．80° C．70° D．60°
2．（2023 漣水縣一模）如圖，點A、B、C在⊙O上，∠AOB＝108°，則∠ACB的度數是（　　）
A．54° B．27° C．36° D．108°
3．（2023 南京二模）如圖，AB是半圓O的直徑，C，D在半圓O上．若∠CAB＝28°，則∠ADC的度數為（　　）
A．152° B．142° C．118° D．108°
4．（2023 如皋市一模）如圖，A，B，C為⊙O上三點，∠AOC＝100°，則∠ABC的度數為（　　）
A．130° B．125° C．100° D．80°
5．（2023 銅山區一模）下列說法中，正確的是（　　）①對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形；②對角線相等的四邊形是矩形；③同弧或等弧所對的圓周角相等；④半圓是弧，但弧不一定是半圓．
A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④
6．（2023 徐州模擬）如圖，點A、B、C在⊙O上，若∠ACB＝39°，則∠AOB的度數為（　　）
A．78° B．61° C．76° D．51°
7．（2023 如東縣一模）如圖，AB，BC為⊙O的兩條弦，連接OA，OC，點D為AB的延長線上一點，若∠CBD＝62°，則∠AOC的度數為（　　）
A．100° B．118° C．124° D．130°
8．（2023 新華區校級模擬）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝1，則⊙O的半徑為（　　）
A．4 B． C． D．
9．（2023 連云港二模）小明用一個破損的量角器按照如圖所示的方式測量∠ABC的度數，讓∠ABC的頂點恰好在量角器的圓弧上，兩邊分別經過圓弧上的A、C兩點．若點A、C對應的刻度分別為55°，135°，則∠ABC的度數為（　　）
A．135° B．140° C．145° D．150°
10．（2023 鼓樓區校級二模）如圖，點A，B，C都在⊙O上，∠C＝40°，則∠AOB的度數為（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
二．填空題（共8小題）
11．（2023 姑蘇區校級二模）如圖，O、B兩點是線段AC的三等分點，以AB為直徑作⊙O，點E為⊙O上一點，連接CE，交⊙O于點D，連接BD、AE，若點D恰為線段CE中點且BD＝2，則△AEC周長為 　 　．
12．（2023 鹽都區一模）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝130°，則∠ABC＝　 　°．
13．（2023 贛榆區一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D是圓周上的兩點，若∠ABC＝38°，則∠BDC的度數為 　 　．
14．（2023 南京一模）如圖，在⊙O中，C為上的點，．若∠ACB＝120°，則∠OBC＝　 　．
15．（2023 工業園區校級二模）如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，，以AD為直徑作⊙O，E為BC的中點，AE交⊙O于F，連CF，則CF的長為 　 　．
16．（2023 姑蘇區校級一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，且OC⊥AB，過點C的弦CD與線段OB相交于點E，滿足∠OCD＝25°，連接AD，則∠BAD＝　 　°．
17．（2023 溧陽市一模）如圖，正方形ABCD中，點E是BC的中點，連接DE，與以CD為直徑的半圓交于點F，
連接AF并延長交BC于點P，則的值 　 　．
18．（2023 武進區一模）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E是BC邊上一點，以AB為直徑在正方形內作半圓O，將△DCE沿DE翻折，點C剛好落在半圓O的點F處，則CF的長為 　 　．
三．解答題（共7小題）
19．（2022秋 淮安區校級期末）如圖，四邊形ABCD的頂點都在同一個圓上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．
（1）求∠A、∠B的度數；
（2）若D為的中點，AB＝4，BC＝3，求四邊形ABCD的面積．
20．（2022秋 蘇州期末）如圖，以AB為直徑的⊙O經過△ABC的頂點C，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，AE的延長線交BC于點F，交⊙O于點D，連接BD．
（1）求證：∠CBD＝∠BAD；
（2）求證：BD＝DE；
（3）若，，求BC的長．
21．（2022秋 高新區校級月考）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB為直徑作半圓O，分別交BC，AC于點D，E．
（1）求證：BD＝DC．
（2）若∠BAC＝40°，求所對的圓心角的度數．
22．（2022秋 海陵區校級期末）如圖，點A在y軸正半軸上，點B是第一象限內的一點，以AB為直徑的圓交x軸于D，C兩點．
（1）OA與OD滿足什么條件時，AC＝BC，寫出滿足的條件，并證明AC＝BC；
（2）在（1）的條件下，若OA＝1，，求CD長．
23．（2023 沭陽縣模擬）如圖，已知AC是⊙O的直徑，AB，CD是⊙O中的兩條弦，且AB∥CD，連結AD，BC．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）若∠BAC＝30°，⊙O的直徑為10，求矩形ABCD的面積．
24．（2022秋 姑蘇區校級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，K為弧AC上一動點，AK，DC的延長線相交于點F，連接CK，KD．
（1）求證：∠AKD＝∠CKF；
（2）已知AB＝8，CD＝4，求∠CKF的大小．
25．（2023 姑蘇區校級一模）我們給出定義：如果三角形存在兩個內角α與β滿足2a+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形”．已知△ABC為“準互余三角形”，并且∠A＞∠B＞∠C．
（1）如圖①，若∠B＝60°且，求邊BC的長；
（2）如圖②，∠B＞45°，以邊AC為直徑作⊙O，交BC于點D，若BD＝2，BC＝7，試求⊙O的面積．
一．選擇題
1．如圖，△ABC的頂點均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝84°，則∠AOC的度數是（　　）
A．45° B．28° C．56° D．60°
2．如圖，已知⊙O的弦AB、DC的延長線相交于點E，∠AOD＝128°，∠E＝40°，則∠BDC的度數是（　　）
A．16° B．20° C．24° D．32°
3．如圖，在⊙O中，弦AC，BD交于點E，連接AB、CD，在圖中的“蝴蝶”形中，若AE，AC＝5，BE＝3，則BD的長為（　　）
A． B． C．5 D．
4．如圖，點A，B在以CD為直徑的半圓上，B是的中點，連結BD，AC交于點E，若∠C＝38°，則∠CED的度數是（　　）
A．115° B．116° C．118° D．120°
5．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，若∠A＝50°，則∠BCD的度數為（　　）
A．50° B．80° C．100° D．130°
6．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，D是的中點，若∠B＝70°，則∠CAD的度數為（　　）
A．70° B．55° C．35° D．20°
二．填空題
7．如圖，⊙O中，弦AB、CD相交于點P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，則DP為　 　．
8．如圖，點A，B，C都在⊙O上，∠AOC：∠BOC＝2：5，OA∥BC，則∠ABC＝　 　°．
9．如圖已知四邊形ABCD內接于⊙O，∠ABC＝70°，則∠ADC的度數是 　 　．
10．如圖，點A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足為E．若∠ADC＝30°，BC＝4，則AE＝　 　．
11．如圖，AB是⊙O的弦，AB＝4，點P是優弧上的動點，∠P＝45°，連接PA、PB，AC是△ABP的中線，
（1）若∠CAB＝∠P，則AC＝　　 ；
（2）AC的最大值＝　 ．
三．解答題（共6小題）
12．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C、D是上兩點，過點D作DE∥OC交OB于E點，在OD上取點F，使OF＝DE，連接CF并延長交OB于G點．
（1）求證：△OCF≌△DOE；
（2）若C、D是AB的三等分點，：
①求∠OGC；
②請比較GE和BE的大小．
13．如圖，已知點C在以AB為直徑的半圓O上，點D為弧BC中點，連結AC并延長交BD的延長線于點E，過點E作EG⊥AB，垂足為點F，交AD于點G，連結OG，DG＝1，DB＝2．
（1）求證：AE＝AB．
（2）求FB的長．
（3）求OG的長．
14．已知：Rt△ACB中，∠C＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于E，點F為弧EC的中點，OF的延長線交CB于D．
（1）求證：CD＝BD；
（2）連接EC交OD于G，若AC＝6，CD＝4，求GF的長．
15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓分別交AC，BC于點D、E，過點A作AF∥BC交圓于點F，連接DE、EF．求證：
（1）四邊形ACEF是平行四邊形；
（2）EF平分∠BED．
16．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AC，BC交以AB為直徑的半⊙O于D，E．連接AE，BD，交點為F．
（1）證明：AF＝BC；
（2）當點F是BD中點時，求BE：EC值．
17．如圖，AB是⊙O直徑，弦CD⊥AB于點E，過點C作DB的垂線，交AB的延長線于點G，垂足為點F，連結AC，其中∠A＝∠D．
（1）求證：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半徑．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第09講 圓周角（3種題型）
1.理解并掌握圓周角相關概念
2.探索并掌握圓周角與圓心角的關系、直徑所對的圓周角的特征；
1.圓周角定義：
像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
　
2.圓周角定理：
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
頂點在圓上,它們的兩邊在圓內的部分分別是圓的弦.
圓周角定理：
一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。
3、 圓心角定理：
圓心角的度數等于它所對弧的度數。
推論1： 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。
推論2： 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑,高考物理。
圓周角的特點: (1)角的頂點在圓上; (2)角的兩邊在圓內的部分是圓的弦.
4、圓周角和圓心角相對于圓心與直徑的位置關系有三種: 解題規律:
5、解決圓周角和圓心角的計算和證明問題,要準確找出同弧所對的圓周角和圓心角,然后再靈活運用圓周角定理
3.圓周角定理的推論：
半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
【微點撥】
(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.
(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.
圓心與圓周角存在三種位置關系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內部；圓心在圓周角的外部．（如下圖）
一．圓周角定理（共12小題）
1．（2023 亭湖區校級三模）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BCD＝40°，則∠ABD 的大小為（　　）
A．60° B．50° C．45° D．40°
【分析】由圓周角定理得到∠ADB＝90°，∠BAD＝∠BCD＝40°，由直角三角形的性質，即可求出∠ABD的度數．
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝50°．
故選：B．
【點評】本題考查圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關鍵．
2．（2023 溧陽市一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的兩點，若∠ABD＝54°，則∠BCD的度數是（　　）
A．36° B．40° C．46° D．65°
【分析】連接AD，根據直徑所對的圓周角是直角可得∠ADB＝90°，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可求出∠DAB＝36°，從而利用同弧所對的圓周角相等，即可解答．
【解答】解：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝54°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝36°，
∴∠DAB＝∠BCD＝36°，
故選：A．
【點評】本題考查了圓周角定理，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
3．（2023 金壇區一模）如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點P，若∠A＝40°，∠APD＝70°，則∠B的度數是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】由三角形外角的性質求出∠C＝30°，由圓周角定理得到∠B＝∠C＝30°．
【解答】解：∵∠APD＝∠C+∠A，∠A＝40°，∠APD＝70°，
∴∠C＝∠APD﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°．
故選：B．
【點評】本題考查圓周角定理，三角形外角的性質，關鍵是掌握圓周角定理，三角形外角的性質．
4．（2023 天寧區模擬）如圖，在⊙O中，AB∥OC，若∠OBA＝40°，則∠BAC的度數是（　　）
A．50° B．30° C．25° D．20°
【分析】先利用平行線的性質可得∠COB＝∠OBA＝40°，然后再利用圓周角定理，進行計算即可解答．
【解答】解：∵AB∥OC，∠OBA＝40°，
∴∠COB＝∠OBA＝40°，
∴∠BAC＝∠COB＝20°，
故選：D．
【點評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．
5．（2023 鹽都區一模）用破損量角器按如圖方式測量∠ABC的度數，讓∠ABC的頂點恰好在量角器圓弧上，兩邊分別經過圓弧上的A、C兩點．若點A、C對應的刻度分別為55°，135°，則∠ABC的度數為 　140°　．
【分析】先圖形抽象出來，然后應用圓周角定理和圓內接四邊形的性質即可解答．
【解答】解：連接OA、OC、DA、DC，設⊙O的直徑為EF，如圖：
由題意可知，∠AOE＝55°，∠EOC＝135°，
∴∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE＝135°﹣55°＝80°，
∴∠ADC＝∠AOC＝40°，
∵∠ABC+∠AOC＝180°，
∴∠ABC＝140°，
故答案為：140°．
【點評】本題考查圓周角定理和圓內接四邊形的性質，根據題意抽象出圖形是解題關鍵．
6．（2023 蘇州模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交⊙O于點C，D，連接BD．若∠A＝34°，∠AED＝87°，則∠B＝　53　°．

【分析】先根據三角形的外角性質可得∠C＝∠AED﹣∠A＝53°，然后利用同弧所對的圓周角相等可得∠C＝∠B＝53°，即可解答．
【解答】解：∵∠AED是△ACE的一個外角，∠A＝34°，∠AED＝87°，
∴∠C＝∠AED﹣∠A＝53°，
∴∠C＝∠B＝53°，
故答案為：53．
【點評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．
7．（2022秋 南京期末）在同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點．
（1）如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，AB＝24，則CD的長為 　4　．
（2）如圖②，大圓的另一條弦EF交小圓于G，H兩點，若AB＝EF，求證CD＝GH．
【分析】（1）根據垂徑定理和勾股定理即可求出答案；
（2）利用弦，弧、圓心角、弦心距之間的關系進行解答即可．
【解答】解：（1）如圖①，過點O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE＝AB＝12，CE＝DE，連接OA，OC，
在Rt△AOE中，OE2＝OA2﹣AE2，
在Rt△COE中，OE2＝OC2﹣CE2，
∴OA2﹣AE2＝OC2﹣CE2，
即132﹣122＝72﹣CE2，
解得CE＝2，
∴CD＝2CE＝4，
故答案為：4；
（2）如圖②，過點O作OM⊥AB，ON⊥EF，垂足分別為M、N．
∵AB＝EF，
∴OM＝ON，
∴CD＝GH．
【點評】本題考查垂徑定理，圓心角、弦、弧、弦心距之間的關系，掌握垂徑定理，圓心角、弦、弧、弦心距之間的關系是正確解答的前提．
8．（2023 南京模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，連接AC、BD，∠B＝75°，∠A＝45°，，則弦CD＝　2　．

【分析】連接OC，過點O作OH⊥CD，垂足為H，根據垂徑定理可得CD＝2CH，再根據等腰三角形的性質可得∠A＝∠ACO＝45°，從而可得∠AOC＝90°，然后利用等腰直角三角形的性質可得OA＝OC＝2，再利用同弧所對的圓周角相等可得∠ACD＝∠B＝75°，從而可得∠OCD＝30°，最后在Rt△OCH中，利用含30度角的直角三角形的性質可得OH＝1，CH＝，從而可得CD＝2CH＝2，即可解答．
【解答】解：連接OC，過點O作OH⊥CD，垂足為H，
∴CD＝2CH，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝45°，
∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠ACO＝90°，
∵，
∴OA＝OC＝＝＝2，
∵∠B＝75°，
∴∠ACD＝∠B＝75°，
∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝30°，
在Rt△OCH中，OH＝OC＝1，CH＝OH＝，
∴CD＝2CH＝2，
故答案為：2．
【點評】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
9．（2023 蘇州模擬）如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條直徑，直徑CD平分∠ACE，∠ACE的一邊CE與⊙O和直徑AB分別交于點E，F，連接BE，且AC＝AF．
（1）證明：BE∥CD；
（2）若CF＝2，求BF的長．
【分析】（1）先利用∠OCA＝∠A和∠OCA＝∠OCF得到∠A＝∠OCF，再根據圓周角定理得到∠E＝∠A，所以∠E＝∠OCF，然后根據平行線的判定方法得到結論；
（2）先證明∠FOC＝∠OFC得到CF＝CO＝2，再證明△FCO∽△FAC，接著利用相似三角形的性質得到即2：（2+OF）＝OF：2，然后解方程求出OF，最后計算OB﹣OF即可．
【解答】（1）證明：∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A，
∵CD平分∠ACE，
∴∠OCA＝∠OCF，
∴∠A＝∠OCF，
∵∠E＝∠A，
∴∠E＝∠OCF，
∴BE∥CD；
（2）解：∵∠FOC＝2∠A，∠ACF＝2∠OCA，
∴∠FOC＝∠ACF，
∵AC＝AF，
∴∠ACF＝∠OFC，
∴∠FOC＝∠OFC，
∴CF＝CO＝2，
∵∠OFC＝∠CFA，∠OCF＝∠A，
∴△FCO∽△FAC，
∴CF：AF＝OF：CF，即2：（2+OF）＝OF：2，
解得OF＝﹣1或OF＝﹣﹣1（舍去），
∴BF＝OB﹣OF＝2﹣（﹣1）＝3﹣．
【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了等腰三角形的性質和相似三角形的判定與性質．
10．（2022秋 太倉市期末）如圖，⊙O的直徑AB＝5，弦AC＝4，連接BC，以C為圓心，BC長為半徑畫弧與⊙O交于點D，連接AD，BD，BD與AC交于點E．
（1）請直接寫出圖中與∠CAB相等的所有角 　∠CBD，∠CAD　；
（2）求AD的長．
【分析】（1）根據圓心角、弧、弦的關系，由CB＝CD得到＝，然后根據圓周角定理得到∠CAB＝∠CBD＝∠CAD；
（2）先公交卡圓周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，則利用勾股定理可計算出BC＝3，再證明△CBE∽△CAB，利用相似比可求出CE＝，所以AE＝，利用勾股定理可計算出BE＝，然后證明△ADE∽△BCE，則利用相似比可求出AD的長．
【解答】解：（1）∵CB＝CD，
∴＝，
∴∠CAB＝∠CBD＝∠CAD；
故答案為：∠CBD，∠CAD；
（2）∵AB為直徑，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，
∵∠CBE＝∠CAB，∠BCE＝∠ACB，
∴△CBE∽△CAB，
∴CE：CB＝CB：CA，即CE：3＝3：4，
解得CE＝，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣＝，
在Rt△BCE中，BE＝＝＝，
∵∠DAE＝∠CBE，∠D＝∠C，
∴△ADE∽△BCE，
∴AD：BC＝AE：BE，即AD：3＝：，
解得AD＝，
即AD的長為．
【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
11．（2022秋 鼓樓區期末）如圖，AB為⊙O的直徑，D是弦AC延長線上一點，AC＝CD，DB的延長線交⊙O于點E，連接CE．
（1）求證∠A＝∠D；
（2）若的度數為108°，求∠E的度數．
【分析】（1）連接BC，首先證明BA＝BD，即可解決問題；
（2）根據的度數為108°，可得∠EBA＝54°，又∠EBA＝∠A+∠D，∠A＝∠D，所以，即可求出答案．
【解答】（1）證明：連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴即AD⊥BC，
又AC＝CD，
∴AB＝BD，
∴∠A＝∠D；
（2）解：∵的度數為108°，
∴∠EBA＝54°，
又∠EBA＝∠A+∠D，∠A＝∠D，
∴，
∴∠E＝∠A＝27°．
【點評】本題考查圓周角定理和圓心角、弧、弦的關系，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．
12．（2022秋 建鄴區期末）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，AC是⊙O的直徑，，∠CAB＝32°．求∠ACD的度數．
【分析】由圓周角定理得到∠ABC＝90°，∠ADB＝58°，由三角形內角和定理求出∠DBA的度數，由圓周角定理即可求出∠ACD 的度數．
【解答】解：∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CAB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ADB＝∠ACB＝58°，
∵＝，
∴∠DAB＝∠DBA＝（180°﹣58°）＝61°，
∴∠ACD＝∠DBA＝61°．
∴∠ACD的度數是61°．
【點評】本題考查圓周角定理，圓心角，弧，弦的關系，掌握以上知識點是解題的關鍵．
二．圓內接四邊形的性質（共14小題）
13．（2023 高新區校級模擬）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE．若∠BCD＝2∠BAD，則∠DAE的度數是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【分析】根據圓內接四邊形的性質求出∠BAD＝60°，根據圓周角定理得到∠BAE＝90°，結合圖形計算，得到答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠BCD＝2∠BAD，
∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°，
∵BE是⊙O的直徑，
∴∠BAE＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
故選：B．
【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理的應用，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．
14．（2023 興化市二模）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠ABD＝20°，則∠BCD的度數為 　110　°．
【分析】根據圓周角定理得到∠ADB＝90°，進而求出∠A，根據圓內接四邊形的性質計算，得到答案．
【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝70°，
∵四邊形ABCD內接于⊙O，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣70°＝110°，
故答案為：110．
【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理，熟記圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．
15．（2023 建鄴區一模）如圖，點A，B，C，D在⊙O上．若∠O＝∠C＝130°，則∠BAO＝　75　°．
【分析】根據同弧或等弧所對的圓周角相等求解即可．
【解答】解：如圖：連接AD，
∵∠O＝130°，OA＝OD，
∴∠OAD＝（180°﹣130°）＝25°，
∵∠C＝130°，
∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BAO＝∠BAD+∠OAD＝25°+50°＝75°．
故答案為：75．
【點評】考查了圓的內接四邊形的性質，正確記憶相關知識點是解題關鍵．
16．（2023 沭陽縣模擬）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，連接AO、CO，若∠AOC＝112°，則∠B的度數是 　124°　．
【分析】首先利用圓周角定理求的∠ADC的度數，然后利用圓內接四邊形的對角互補求的答案即可．
【解答】解：∵∠AOC＝112°，
∴∠ADC＝∠AOC＝×112°＝56°，
∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，
∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180﹣56°＝124°，
故答案為：124°．
【點評】本題考查了圓內接四邊形的性質及圓周角定理的知識，解題的關鍵是掌握圓內接四邊形的對角互補，難度較小．
17．（2022秋 江陰市校級月考）如圖，正方形ABCD四個頂點都在⊙O上，點P是在弧BC上的一點（P點與C點不重合），則∠CPD的度數是 　45°　．
【分析】連接BD，根據正方形的性質求出∠DBC＝45°，根據圓周角定理解答即可．
【解答】解：連接BD，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠DBC＝45°，
由圓周角定理得：∠CPD＝∠DBC＝45°，
故答案為：45°．
【點評】本題考查的是正方形的性質、圓周角定理，根據正方形的性質求出∠DBC＝45°是解題的關鍵．
18．（2022秋 靖江市期末）如圖，已知四邊形ABCD內接于⊙O．求證：∠A+∠C＝180°．
【分析】連接OB、OD，根據圓周角定理得到∠A＝∠2，∠C＝∠1，進而證明結論．
【解答】證明：如圖，連接OB、OD，
由圓周角定理得：∠A＝∠2，∠C＝∠1，
∵∠2+∠1＝360°，
∴∠A+∠C＝180°．
【點評】本題考查的是圓周角定理、圓內接四邊形的性質，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．
19．（2022秋 宿城區期末）如圖，四邊形ABCD內接于一圓，CE是邊BC的延長線．
（1）求證∠DAB＝∠DCE；
（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度數．
【分析】（1）根據圓內接四邊形的性質得到∠DAB+∠DCB＝180°，根據同角的補角相等證明結論；
（2）根據圓周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝70°，根據三角形內角和定理計算即可．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD內接于圓，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，
∵∠DCE+∠DCB＝180°，
∴∠DAB＝∠DCE；
（2）解：∵∠ACB＝70°，
∴∠ADB＝∠ACB＝70°，
∴∠ABD＝180°﹣60°﹣70°＝50°．
【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．
20．（2022秋 宿豫區期中）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB＝∠CDB，若，AD＝1，求CD的長度．
【分析】根據AC為⊙O的直徑，可得∠ABC＝∠ADC＝90°，然后根據同弧所對的圓周角相等可得∠ACB＝∠CAB＝45°，然后根據勾股定理進行計算即可．
【解答】解：∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴∠ACB＝∠CAB＝45°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
在Rt△ABC中，，
在Rt△ADC中，．
【點評】本題考查了圓周角定理，勾股定理，熟知直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等是解本題的關鍵．
21．（2022秋 鎮江期中）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延長線交于點E．
求證：BD＝BC．
【分析】根據圓內接四邊形的性質得到∠BCD+∠BAD＝180°，進而證明∠BCD＝∠EAD，根據圓周角定理得到∠BDC＝∠BAC，等量代換得到∠BCD＝∠BDC，根據等腰三角形的判定定理證明結論．
【解答】證明：∵四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠EAD+∠BAD＝180°，
∴∠BCD＝∠EAD，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠BCD＝∠BAC，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴∠BCD＝∠BDC，
∴BD＝BC．
【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理、等腰三角形的判定，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．
22．（2022秋 建鄴區期中）求證：圓內接四邊形的對角互補．
已知：如圖，四邊形ABCD內接于⊙O．
求證：∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°．
證明：作直徑AE，連接BE、DE．
所以∠ABE＝∠ADE＝90°．
因為∠CBE＝∠CDE，（①）
所以∠ABC+∠CDA＝∠ABE+∠EDA＝180°．
同理∠DAB+∠BCD＝180°．
（1）證明過程中依據①是 　在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等　；
（2）請給出另一種證明方法．
【分析】（1）根據圓周角定理可得答案；
（2）連接BO，DO，根據圓周角定理證得∠A＝∠2，∠C＝∠1，進而根據∠1+∠2＝360°，證得∠A+∠C＝180°即可證得結論．
【解答】證明：連接BO，DO，
由圓周角定理得：∠A＝∠2，∠C＝∠1，
∵∠1+∠2＝360°，
∴∠A+∠C＝180°，
同理∠B+∠D＝180°．
即圓內接四邊形的對角互補．
【點評】本題考查了圓周角定理，解題的關鍵是熟練掌握運用在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
23．（2023 蘇州一模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，若∠BCD＝2∠BOD，則∠A的度數是（　　）
A．30° B．36° C．45° D．60°
【分析】根據圓內接四邊形的性質得出∠A+∠BCD＝180°，根據圓周角定理得出∠BOD＝2∠A，再求出答案即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝2∠BOD，∠BOD＝2∠A，
∴∠BCD＝4∠A，
∴4∠A+∠A＝180°，
解得：∠A＝36°，
故選：B．
【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質和圓周角定理，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．
24．（2023 鼓樓區校級三模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠A＝120°，則∠BOD的度數為（　　）
A．60° B．70° C．120° D．150°
【分析】根據圓內接四邊形的性質求出∠C，根據圓周角定理解答即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，
∴∠C＝180°﹣∠A＝60°，
由圓周角定理得，∠BOD＝2∠C＝120°，
故選：C．
【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．
25．（2022秋 棲霞區校級期末）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足為E．
（1）求證：∠BAC＝2∠DAC；
（2）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．
【分析】（1）根據等腰三角形的性質和三角形的內角和即可得到結論；
（2）過A作AH⊥BC于H，根據等腰三角形的性質得到∠BAH＝∠CAH＝∠CAB，CH＝BH，過C作CG⊥AD交AD的延長線于G，根據全等三角形的性質得到AG＝AH，CG＝CH，根據相似三角形的性質得到＝，設BH＝k，AH＝2k，根據勾股定理即可得到結論．
【解答】（1）證明：∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，
∵∠DAC＝∠CBD，
∴∠BAC＝2∠DAC；
（2）解：過A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，
∴∠BAH＝∠CAH＝CAB，CH＝BH，
∵∠BAC＝2∠DAC，
∴∠CAG＝∠CAH，
過C作CG⊥AD交AD的延長線于G，
∴∠G＝∠AHC＝90°，
∵AC＝AC，
∴△AGC≌△AHC（AAS），
∴AG＝AH，CG＝CH，
∵∠CDG＝∠ABC，
∴△CDG∽△ABH，
∴，
∴＝，
設BH＝k，AH＝2k，
∴AB＝＝k＝10，
∴k＝2，
∴BC＝2k＝4．
【點評】本題考查了圓內接四邊形，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
26．（2022秋 高新區期中）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交于點E，且DC＝DE．
（1）求證：∠A＝∠AEB；
（2）連接OE，交CD于點F，若OE⊥CD，求∠A的度數．
【分析】（1）根據圓內接四邊形的性質可得∠A+∠BCD＝180°，根據鄰補角互補可得∠DCE+∠BCD＝180°，進而得到∠A＝∠DCE，然后利用等邊對等角可得∠DCE＝∠AEB，進而可得∠A＝∠AEB；
（2）首先證明△DCE是等邊三角形，進而可得∠AEB＝60°，再根據∠A＝∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，進而可得△ABE是等邊三角形，根據等邊三角形的性質即可得到結論．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCE，
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠AEB，
∴∠A＝∠AEB；
（2）∵∠A＝∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形，
∵EO⊥CD，
∴CF＝DF，
∴EO是CD的垂直平分線，
∴ED＝EC，
∵DC＝DE，
∴DC＝DE＝EC，
∴△DCE是等邊三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴∠A＝60°．
【點評】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質，以及圓內接四邊形的性質，關鍵是掌握圓內接四邊形對角互補．
三．相交弦定理（共5小題）
27．（2021 鹽都區二模）如圖，在⊙O中，弦CD過弦AB的中點E，CE＝1，DE＝3，則AB＝　2　．
【分析】直接利用相交弦定理得出CE×DE＝AE×BE，求出即可．
【解答】解：∵弦CD過弦AB的中點E，CE＝1，DE＝3，
∴CE DE＝AE BE，
∴1×3＝AE2，
解得：AE＝，
∴弦AB的長為：AB＝2AE＝2，
故答案為：2．
【點評】此題主要考查了相交弦定理，正確記憶相交弦定理是解題關鍵．
28．（2022秋 濱湖區校級期中）如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點P，且PD＜PC．
（1）求證：△PAD∽△PCB；
（2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．
【分析】（1）根據圓周角定理得出∠A＝∠C，∠D＝∠B，再根據相似三角形的判定推出即可；
（2）根據相似得出比例式，再求出答案即可．
【解答】（1）證明：∵∠A＝∠C，∠D＝∠B（在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等），
∴△PAD∽△PCB；
（2）解：∵△PAD∽△PCB，
∴＝，
∵PA＝3，PB＝8，CD＝10，
∴＝，
解得：PD＝4或6，
當PD＝4時，PC＝6，
當PD＝6時，PC＝4，
∵PD＜PC，
∴PD＝4．
【點評】本題考查了相交弦定理，圓周角定理，相似三角形的性質和判定等知識點，能正確運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵．
29．（2021秋 錫山區校級月考）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD交于點E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的長．
【分析】設EC＝x，則ED＝CD﹣CE＝4﹣x，根據相交弦定理x（4﹣x）＝5 1，然后解一元二次方程即可．
【解答】解：設EC＝x，則ED＝CD﹣CE＝4﹣x，
根據題意得AE BE＝CE DE，
所以x（4﹣x）＝5 1，
整理得x2﹣4x+5＝0，
解得x＝2±，
即EC的長為2+或2﹣．
【點評】本題考查了相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．
30．（2021秋 江陰市校級月考）如圖，在⊙O中，弦AD，BC相交于點E，連接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．
（1）求證：AB＝CD；
（2）如果⊙O的直徑為10，DE＝1，求AE的長．
【分析】（1）欲證明AB＝CD，只需證得＝；
（2）如圖，過O作OF⊥AD于點F，作OG⊥BC于點G，連接OA、OC．構建正方形EFOG，利用正方形的性質，垂徑定理和勾股定理來求AF的長度，則易求AE的長度．
【解答】（1）證明：如圖，∵AD＝BC，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴AB＝CD；
（2）如圖，過O作OF⊥AD于點F，作OG⊥BC于點G，連接OA、OC．
則AF＝FD，BG＝CG．
∵AD＝BC，
∴AF＝CG．
在Rt△AOF與Rt△COG中，，
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF＝OG，
∴四邊形OFEG是正方形，
∴OF＝EF．
設OF＝EF＝x，則AF＝FD＝x+1，
在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，
解得 x＝3．
則AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．
【點評】本題考查了勾股定理，正方形的判定與性質，垂徑定理以及圓周角、弧、弦間的關系．注意（2）中輔助線的作法．
31．（2021秋 濱湖區校級期中）如圖，已知圓O，弦AB、CD相交于點M．
（1）求證：AM MB＝CM MD；
（2）若M為CD中點，且圓O的半徑為3，OM＝2，求AM MB的值．
【分析】（1）利用同弧所對的圓周角相等，證明△ADM∽△CBM；
（2）連接OM、OC，由于M是CD的中點，由垂徑定理得OM⊥CD，利用勾股定理可求出CM的值，根據（1）的結論，求出AM BM．
【解答】解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，
∴△ADM∽△CBM
∴，
即AM MB＝CM MD．
（2）連接OM、OC．
∵M為CD中點，
∴OM⊥CD
在Rt△OMC中，
∵OC＝3，OM＝2
∴CM＝DM＝，
由（1）知AM MB＝CM MD．
∴AM MB＝ ＝5．
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質、勾股定理、圓周角定理及垂徑定理，是綜合性較強的題目．（1）利用相似、圓周角定理得到相交弦定理；（2）中利用垂徑定理、勾股定理和相交弦定理得到了AM與BM的積．相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．
一．選擇題（共10小題）
1．（2023 錫山區模擬）如圖，A、B、C、D是⊙O上四點，且點D是弧AB的中點，CD交OB于E，∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，則∠OEC的度數為（　　）
A．90° B．80° C．70° D．60°
【分析】根據等弧所對的圓心角相等以及圓周角定理，得∠BCD＝100°÷4＝25°．再根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，得∠OEC＝55°+25°＝80°．
【解答】解：連接OD，
∵點D是弧AB的中點，
∴，
∵∠AOB＝100°，
∴∠BOD＝∠AOB＝50°，
∴∠BCD＝∠BOD＝25°，
∴∠OEC＝∠OBC+∠C＝55°+25°＝80°．
故選：B．
【點評】本題考查了圓心角、弦、弧之間的關系定理、圓周角定理以及三角形的內角和定理的推論，解題的關鍵是掌握并熟練運用相關的性質和定理．
2．（2023 漣水縣一模）如圖，點A、B、C在⊙O上，∠AOB＝108°，則∠ACB的度數是（　　）
A．54° B．27° C．36° D．108°
【分析】根據圓周角定理解答即可，在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．
【解答】解：∵∠AOB＝108°，
∴∠ACB＝∠AOB＝54°．
故選：A．
【點評】本題考查了圓周角定理，解題的關鍵是掌握圓周角定理并靈活運用．
3．（2023 南京二模）如圖，AB是半圓O的直徑，C，D在半圓O上．若∠CAB＝28°，則∠ADC的度數為（　　）
A．152° B．142° C．118° D．108°
【分析】先用直徑所對的圓周角是直角求出∠ABC，再用圓的內接四邊形對角互補，求出∠ADC即可．
【解答】解：連接BC，
∵AB是圓的直徑，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠CAB＝28°，
∴∠ABC＝62°，
∵點A，B，C，D四點共圓，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣62°＝118°，
故選：C．
【點評】此題是圓周角定理，主要考查了直徑所對的圓周角是直角，圓的內接四邊形對角互補，解本題的關鍵是圓的內接四邊形的對角互補的應用．
4．（2023 如皋市一模）如圖，A，B，C為⊙O上三點，∠AOC＝100°，則∠ABC的度數為（　　）
A．130° B．125° C．100° D．80°
【分析】首先在上取點D，連接AD，CD，由圓周角定理即可求得∠D的度數，然后由圓的內接四邊形的性質，求得∠ABC的度數．
【解答】解：如圖，在優弧上取點D，連接AD，CD，
∵∠AOC＝100°，
∴∠ADC＝∠AOC＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°．
故選：A．
【點評】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關鍵．
5．（2023 銅山區一模）下列說法中，正確的是（　　）①對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形；②對角線相等的四邊形是矩形；③同弧或等弧所對的圓周角相等；④半圓是弧，但弧不一定是半圓．
A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④
【分析】根據對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，對角線相等的平行四邊形為矩形，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，弧分為優弧、劣弧、半圓弧分別判斷即可．
【解答】解：①、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，故該項正確；
②、對角線相等的平行四邊形為矩形，故該選項錯誤；
③、同弧或等弧所對的圓周角相等，故該選項正確；
④、弧分為優弧、劣弧、半圓弧，則半圓是弧，但弧不一定是半圓，故該項正確；
故選：C．
【點評】本題考查基本概念，熟記知識點是解題關鍵．
6．（2023 徐州模擬）如圖，點A、B、C在⊙O上，若∠ACB＝39°，則∠AOB的度數為（　　）
A．78° B．61° C．76° D．51°
【分析】根據圓周角定理即可得出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝39°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×39°＝78°．
故選：A．
【點評】本題主要考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．
7．（2023 如東縣一模）如圖，AB，BC為⊙O的兩條弦，連接OA，OC，點D為AB的延長線上一點，若∠CBD＝62°，則∠AOC的度數為（　　）
A．100° B．118° C．124° D．130°
【分析】根據∠CBD的度數可先求出弧AC所對應的圓周角的度數，進而可得答案．
【解答】解：如圖，在優弧AC上取點P，連接PA，PC，
∵∠CBD＝62°，
∴∠CPA＝62°，
∴∠AOC＝2∠APC＝124°，
故選：C．
【點評】本題考查圓內接四邊形的性質與圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題關鍵．
8．（2023 新華區校級模擬）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝1，則⊙O的半徑為（　　）
A．4 B． C． D．
【分析】先根據圓內接四邊形對角互補得出∠ADC＝45°，由圓周角定理得出∠AOC＝90°，根據OA＝OC可得出答案．
【解答】解：連接OA，OC，
∵四邊形ABCD內接于⊙O，∠ABC＝135°，
∴∠ADC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
由勾股定理得：OA2+OC2＝AC2，
∵OA＝OC，AC＝1，
∴OA2+OC2＝12，
∴2OA2＝1，
∴OA＝，
∴⊙O的半徑為．
故選：D．
【點評】本題考查圓內接四邊形的性質，圓周角與圓心角的關系，解題的關鍵是熟練運用相關定理．
9．（2023 連云港二模）小明用一個破損的量角器按照如圖所示的方式測量∠ABC的度數，讓∠ABC的頂點恰好在量角器的圓弧上，兩邊分別經過圓弧上的A、C兩點．若點A、C對應的刻度分別為55°，135°，則∠ABC的度數為（　　）
A．135° B．140° C．145° D．150°
【分析】如圖，連接OA，OC，DA，DC，設⊙O的直徑為EF，可求出∠AOC＝80°，即可得∠ADC＝40°，進一步可求出∠ABC＝140°．
【解答】解：連接OA，OC，DA，DC，設⊙O的直徑為EF，如圖，
∵∠AOE＝55°，∠EOC＝135°，
∴∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE＝135°﹣55°＝80°，
∴，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣40°＝140°．
故選：C．
【點評】本題考查了圓周角定理，從實際問題中抽象出圓周角定理模型是解題的關鍵．
10．（2023 鼓樓區校級二模）如圖，點A，B，C都在⊙O上，∠C＝40°，則∠AOB的度數為（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【分析】根據圓周角定理的含義可得答案．
【解答】解：∵∠C＝40°，
∴∠AOB＝2∠C＝80°，
故選：D．
【點評】本題考查的是圓周角定理的應用，熟記在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角是其所對的圓心角的一半．
二．填空題（共8小題）
11．（2023 姑蘇區校級二模）如圖，O、B兩點是線段AC的三等分點，以AB為直徑作⊙O，點E為⊙O上一點，連接CE，交⊙O于點D，連接BD、AE，若點D恰為線段CE中點且BD＝2，則△AEC周長為 　12+6　．
【分析】連接AD，交OE于F，如圖，先證明BD為△OCE的中位線，則OE＝2BD＝4，再根據圓周角定理得到∠ADB＝90°，則∠AFO＝90°，OF為△ABD的中位線，OF＝BD＝1，則EF＝OE﹣OF＝3，再利用勾股定理計算出AD＝2，則AF＝，再利用勾股定理求出AE，ED，即可求解．
【解答】解：連接OE、AD，如圖，設⊙O的半徑為r，
∵O、B兩點是線段AC的三等分點，
∴OB＝CB，
∵點D恰為線段CE中點，
∴BD為△OCE的中位線，
∴OE＝2BD＝4，OE∥BD，
∵AB為直徑，O、B兩點是線段AC的三等分點，
∴∠ADB＝90°，AB＝2OE＝8，AC＝12，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，
∵OA＝OB，OE∥BD，
∴∠AFO＝90°，OF為△ABD的中位線，
OF＝BD＝1，AF＝DF＝AF＝，
∴EF＝OE﹣OF＝3，
∴AE＝ED＝＝＝2，
∴CE＝2DE＝4，
∴△AEC周長為AE+CE+AC＝2+4+12＝12+6，
故答案為：12+6．
【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了勾股定理和三角形的中位線定理．
12．（2023 鹽都區一模）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝130°，則∠ABC＝　115　°．
【分析】先作出弧AC所對的圓周角∠D，如圖，根據圓周角定理得到∠D＝∠AOC＝65°，然后根據圓內接四邊形的性質求∠ABC的度數．
【解答】解：∵∠D為弧AC所對的圓周角，
∴∠D＝∠AOC＝＝65°，
∵∠D+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣65°＝115°．
故答案為：115．
【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了圓內接四邊形的性質．
13．（2023 贛榆區一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D是圓周上的兩點，若∠ABC＝38°，則∠BDC的度數為 　52°　．
【分析】連接AC．由直徑所對圓周角為直角可得出∠ACB＝90°，從而可求出∠BAC＝52°．再結合同弧所對圓周角相等即得出∠BDC＝∠BAC＝52°．
【解答】解：如圖，連接AC．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°．
∵∠ABC＝38°，
∴∠BAC＝90°﹣38°＝52°．
∵，
∴∠BDC＝∠BAC＝52°．
故答案為：52°．
【點評】本題考查圓周角定理的推論．連接常用的輔助線是解題關鍵．
14．（2023 南京一模）如圖，在⊙O中，C為上的點，．若∠ACB＝120°，則∠OBC＝　50°　．
【分析】在優弧AB上取一點D，連接AD，BD，OC，根據圓周角定理即可得到結論．
【解答】解：在優弧AB上取一點D，連接AD，BD，OC，
∵∠ACB＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠D＝120°，
∵，
∴∠BOC＝2∠AOC，
∴∠BOC＝80°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝50°，
故答案為：50°．
【點評】本題考查了圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
15．（2023 工業園區校級二模）如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，，以AD為直徑作⊙O，E為BC的中點，AE交⊙O于F，連CF，則CF的長為 　2　．
【分析】連接DF，如圖，先根據圓周角定理得到∠AFD＝90°，再利用正切的定義求出∠BAE＝30°，則∠DAF＝60°，所以∠ADF＝30°，∠FDC＝60°，接著計算出DF＝AF＝2，然后證明△CDF為等邊三角形，所以CF＝DF＝2．
【解答】解：連接DF，如圖，
∵AD為直徑，
∴∠AFD＝90°，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD＝AB＝2，BC＝AD＝4，∠BAD＝90°，
∵E為BC的中點，
∴BE＝2，
在Rt△ABE中，∵tan∠BAE＝＝＝，
∴∠BAE＝30°，
∴∠DAF＝60°，
∴∠ADF＝30°，
在Rt△ADF中，∵AF＝AD＝2，
∴DF＝AF＝2，
∵∠FDC＝60°，DC＝DF＝2，
∴△CDF為等邊三角形，
∴CF＝DF＝2．
故答案為：2．
【點評】本題考查了圓周角定理：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了矩形的性質和解直角三角形．
16．（2023 姑蘇區校級一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，且OC⊥AB，過點C的弦CD與線段OB相交于點E，滿足∠OCD＝25°，連接AD，則∠BAD＝　20　°．
【分析】由直角三角形的性質得出∠ADC＝45°，由等腰三角形的性質得出∠ODC＝∠OCD＝25°，求出∠ADO＝20°，得出∴∠BAD＝∠ADO即可得出答案．
【解答】解：連接OD，如圖：
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠ADC＝∠AOC＝45°，
∵∠OCD＝25°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD＝25°，
∵∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝45°﹣25°＝20°，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO＝20°，
故答案為：20．
【點評】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質、直角三角形的性質、三角形內角和定理；熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．
17．（2023 溧陽市一模）如圖，正方形ABCD中，點E是BC的中點，連接DE，與以CD為直徑的半圓交于點F，
連接AF并延長交BC于點P，則的值 　　．
【分析】連接CF，設正方形的邊長是2a，可以證明△DCF∽△DEC，得到CD：DE＝FD：DC，因此2a：a＝FD：2a，即可求出DF＝a，得到EF的長，由△PEF∽△ADF，得到PE：AD＝EF：DF＝1：4，因此PE＝AD＝a，得到PB＝BE+PE＝a，即可求出＝．
【解答】解：連接CF，
設正方形的邊長是2a，
∵CD是半圓的直徑，
∴∠DFC＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DCE＝90°，AD＝CD＝BC＝2a，
∵E是BC中點，
∴BE＝CE＝BC＝a，
∴DE＝＝a，
∵∠CDF＝∠CDE，∠DFC＝∠DCE，
∴△DCF∽△DEC，
∴CD：DE＝FD：DC，
∴2a：a＝FD：2a，
∴DF＝a，
∴EF＝DE﹣DF＝a，
∵EP∥AD，
∴△PEF∽△ADF，
∴PE：AD＝EF：DF＝1：4，
∴PE＝AD＝a，
∴PB＝BE+PE＝a，
∴＝．
故答案為：．
【點評】本題考查圓周角定理，正方形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，關鍵是由以上知識點證明PE＝AD．
18．（2023 武進區一模）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E是BC邊上一點，以AB為直徑在正方形內作半圓O，將△DCE沿DE翻折，點C剛好落在半圓O的點F處，則CF的長為 　　．
【分析】連接DO，OF，首先根據SSS定理，可以判定△DAO≌△DFO，從而可以得到∠DFO的度數，再根據折疊的性質可知∠DFE＝90°，從而可以得到點O、F、E三點共線，然后根據勾股定理，即可求得CE的長，再根據折疊的性質，可得DC⊥CF，利用解直角三角形，即可求解．
【解答】解：如圖：連接DO，OF，DE與CF相交于點G，
∵四邊形ABCD是正方形，將△DCE沿DE翻折得到△DEF，
∴DC＝DA，DC＝DF，DE垂直平分CF，
∴DA＝DF，
在△DAO與△DFO中，
．
∴△DAO≌△DFO（SSS），
∴∠A＝∠DFO，
∵∠A＝90°，
∴∠DFO＝90°，
又∵∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFO＝∠DFE＝90°，
∴點O、F、E三點共線，
設CE＝EF＝x，則OE＝OF+EF＝1+x，BE＝2﹣x，OB＝1，
∵∠OBE＝90°，
∴OB2+BE2＝OE2，
∴12+（2﹣x）2＝（1+x）2，
解得，
即，
∵DE垂直平分CF，
∴CF＝2CG，∠DGC＝90°，
∵∠DCB＝90°，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案為：．
【點評】本題考查圓周角定理，全等三角形的判定與性質、正方形的性質、勾股定理，求一個角的正弦值，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．
三．解答題（共7小題）
19．（2022秋 淮安區校級期末）如圖，四邊形ABCD的頂點都在同一個圓上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．
（1）求∠A、∠B的度數；
（2）若D為的中點，AB＝4，BC＝3，求四邊形ABCD的面積．
【分析】（1）根據圓內接四邊形的性質求出∠A、∠B的度數；
（2）連接AC，根據勾股定理求出AC，根據圓心角、弧、弦之間的關系定理得到AD＝CD，根據勾股定理、三角形的面積公式計算，得到答案．
【解答】解：（1）設∠A、∠B、∠C分別為2x、3x、4x，
∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，
∴∠A+∠C＝180°，
∴2x+4x＝180°，
∴x＝30°，
∴∠A、∠B的度數分別為60°、90°；
（2）連接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC為圓的直徑，AC＝＝5，△ABC的面積＝×3×4＝6，∠D＝90°，
∵點D為的中點，
∴AD＝CD＝AC＝，
∴△ADC的面積＝××＝，
∴四邊形ABCD的面積＝6+＝．
【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓心角、弧、弦之間的關系定理，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．
20．（2022秋 蘇州期末）如圖，以AB為直徑的⊙O經過△ABC的頂點C，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，AE的延長線交BC于點F，交⊙O于點D，連接BD．
（1）求證：∠CBD＝∠BAD；
（2）求證：BD＝DE；
（3）若，，求BC的長．
【分析】（1）根據AE平分∠BAC，可得∠BAD＝∠CAD，再由圓周角定理可得∠CBD＝∠CAD，即可；
（2）由直徑所對圓周角為直角可知∠ADB＝90°．根據角平分線的性質可知∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE．根據同弧所對圓周角相等得出∠CAE＝∠CBD，最后由三角形外角性質結合題意即可證明∠BED＝∠EBD，得出BD＝ED，即說明△BDE為等腰直角三角形；
（3）連接OD，交BC于點F．由∠BAD＝∠CAD，說明，即可由垂徑定理得出OD⊥BC．由（2）得△BDE為等腰直角三角形，，得出BD＝DE＝2，再由兩次勾股定理建立方程得出，繼續利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）證明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠CBD＝∠BAD；
（2）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°．
∵AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE．
∵，
∴∠CAE＝∠CBD．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠EBD＝∠CBD+∠CBE，
∴∠BED＝∠EBD，
∴BD＝ED；
（3）解：如圖，連接OD，交BC于點F．
∵∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC，BF＝CF．
∵，
∴，
由（2）得△BDE為等腰直角三角形，，
∴BD2+DE2＝BE2，
解得：BD＝DE＝2，
在Rt△OBF中，BF2＝OB2﹣OF2，
在Rt△BDF中，，
∴
解得：，
∴，
∴．
【點評】本題考查圓周角定理，等腰直角三角形的判定，勾股定理，垂徑定理等知識．熟練掌握圓的相關知識，并會連接常用的輔助線是解題關鍵．
21．（2022秋 高新區校級月考）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB為直徑作半圓O，分別交BC，AC于點D，E．
（1）求證：BD＝DC．
（2）若∠BAC＝40°，求所對的圓心角的度數．
【分析】（1）連接AD，根據直徑所對的圓周角是直角可得∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的三線合一性質，即可解答；
（2）連接OD，OE，利用等腰三角形的三線合一性質可得∠DAC＝20°，然后利用圓周角定理可得∠DOE＝2∠DAE＝40°，即可解答．
【解答】（1）證明：連接AD，
∵AB是半⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）解：連接OD，OE，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴∠DAC＝∠BAC＝20°，
∴∠DOE＝2∠DAE＝40°，
∴所對的圓心角的度數為40°．
【點評】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，圓心角、弧、弦的關系，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
22．（2022秋 海陵區校級期末）如圖，點A在y軸正半軸上，點B是第一象限內的一點，以AB為直徑的圓交x軸于D，C兩點．
（1）OA與OD滿足什么條件時，AC＝BC，寫出滿足的條件，并證明AC＝BC；
（2）在（1）的條件下，若OA＝1，，求CD長．
【分析】（1）連接AD，當OA＝OD時，由圓周角定理，圓內接四邊形的性質可以證明AC＝BC；
（2）由勾股定理求出AD的長，由圓周角定理，可以推出△AOC∽△ADB得到OC：DB＝AO：AD，即可求出DC的長．
【解答】解：（1）連接AD，
當OA＝OD時，AC＝BC，
證明：∵∠AOD＝90°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠ODA＝45°，
∴∠ODA＝∠ABC＝45°，
∵AB是圓的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC；
（2）∵AB是圓的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AOC＝∠ADB＝90°，
∵∠ACO＝∠ABD，
∴△AOC∽△ADB，
∴OC：DB＝OA：AD，
∵AD＝OA＝，
∴OC：3＝1：，
∴OC＝3，
∴DC＝OC﹣OD＝3﹣1＝2．
【點評】本題考查圓周角定理，圓內接四邊形的性質，相似三角形的性質，等腰三角形的判定和性質，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．
23．（2023 沭陽縣模擬）如圖，已知AC是⊙O的直徑，AB，CD是⊙O中的兩條弦，且AB∥CD，連結AD，BC．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）若∠BAC＝30°，⊙O的直徑為10，求矩形ABCD的面積．
【分析】（1）根據直徑所對的圓周角是直角可得∠ABC＝∠ADC＝90°，再利用平行線的性質可得∠BCD＝90°，然后利用矩形的判定即可解答；
（2）在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性質可得BC＝5，AB＝5，然后利用矩形的面積公式進行計算即可解答．
【解答】（1）證明：∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝90°，
∴四邊形ABCDABCD是矩形；
（2）解：∵∠B＝90°，∠BAC＝30°，AC＝10，
∴BC＝AC＝5，AB＝BC＝5，
∴矩形ABCD的面積＝AB BC
＝5×5
＝25，
∴矩形ABCD的面積為25．
【點評】本題考查了圓周角定理，矩形的判定與性質，含30度角的直角三角形，熟練掌握圓周角定理，以及矩形的判定與性質是解題的關鍵．
24．（2022秋 姑蘇區校級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，K為弧AC上一動點，AK，DC的延長線相交于點F，連接CK，KD．
（1）求證：∠AKD＝∠CKF；
（2）已知AB＝8，CD＝4，求∠CKF的大小．
【分析】（1）連接AD、AC．根據“圓內接四邊形對角互補”以及同角得到補角相等，推知∠CKF＝∠ADC；然后由圓心角、弧、弦間的關系以及圓周角定理證得∠ADC＝∠AKD；最后根據圖中角與角間的和差關系證得結論；
（2）連接OD．利用垂徑定理知DE＝CE＝CD＝2，然后在Rt△ODE中根據勾股定理求得OE＝2，最后在Rt△ADE中利用三角函數的定義求得tan∠ADE＝，由等量代換知∠CKF＝60°．
【解答】（1）證明：連接AD、AC，
∵∠CKF是圓內接四邊形ADCK的外角，
∴∠CKF+∠AKC＝180°，∠AKC+∠ADC＝180°
∴∠CKF＝∠ADC，
∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴＝，
∴＝，
∴∠ADC＝∠AKD，
∴∠AKD＝∠CKF；
（2）解：連接OD，
∵AB為⊙O的直徑，AB＝8，
∴OD＝OA＝4，
∵弦CD⊥AB，CD＝4，
∴DE＝CE＝CD＝2，
在Rt△ODE中，OE＝＝2，
∴AE＝6，
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝＝＝，
∴∠ADE＝60°，
∵∠CKF＝∠ADE＝60°．
【點評】此題考查了圓周角定理、圓內接四邊形的性質、垂徑定理、勾股定理以及解直角三角形等知識，熟練運用有關知識是解題的關鍵．
25．（2023 姑蘇區校級一模）我們給出定義：如果三角形存在兩個內角α與β滿足2a+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形”．已知△ABC為“準互余三角形”，并且∠A＞∠B＞∠C．
（1）如圖①，若∠B＝60°且，求邊BC的長；
（2）如圖②，∠B＞45°，以邊AC為直徑作⊙O，交BC于點D，若BD＝2，BC＝7，試求⊙O的面積．
【分析】（1）利用新定義計算出∠ACB＝15°，過A點作AH⊥BC于H點，過C點作CD⊥AB于D點，如圖①，先計算出BH＝，則AH＝BH＝，再證明∠BCD＝30°，CA平分∠BCD，根據角平分線的性質得到AD＝AH＝，所以BD＝+，然后在Rt△BCD中利用含30度直角三角形三邊的關系得到BC的長；
（2）延長BA交⊙O于E點，連接CE、AD，如圖②，利用圓周角定理得到AC為直徑，再利用新定義計算出∠ACB＝∠ACE，即CA平分∠BCE，所以AE＝AD，接著證明∠CAE＝∠CAD得到CE＝CD＝5，于是利用勾股定理可計算出BE＝2，設AE＝x，則AB＝2﹣x，AD＝x，在Rt△ABD中得到22+x2＝（2﹣x）2，解方程得到AD＝，然后在Rt△ACD中利用勾股定理計算出AC，從而得到⊙O的面積．
【解答】解：（1）∵∠BAC＞∠B＞∠ACB，△ABC為“準互余三角形”，
∴2∠C+∠B＝90°，
即2∠ACB+60°＝90°，
∴∠ACB＝15°，
過A點作AH⊥BC于H點，過C點作CD⊥AB于D點，如圖①，
在Rt△ABH中，∵BH＝AB＝，
∴AH＝BH＝，
∵∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，
∴CA平分∠BCD，
∴AD＝AH＝，
∴BD＝+，
在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD＝2+3；
（2）延長BA交⊙O于E點，連接CE、AD，如圖②，
∵AC為直徑，
∴∠AEC＝∠ADC＝90°，
∵∠B＞45°，△ABC為“準互余三角形”，
∴2∠ACB+∠B＝90°，
∵∠B+∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝∠ACE，
即CA平分∠BCE，
∴AE＝AD，
∵BD＝2，BC＝7，
∴CD＝5，
∵∠CAE＝∠CAD，
∴CE＝CD＝5，
在Rt△BCE中，BE＝＝＝2，
設AE＝x，則AB＝2﹣x，AD＝x，
在Rt△ABD中，∵BD2+AD2＝AB2，
∴22+x2＝（2﹣x）2，
解得x＝，
在Rt△ACD中，AC2＝52+（）2＝，
∴⊙O的面積＝π×AC2＝π．
【點評】本題考查了圓周角定理：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了角平分線的性質和勾股定理．
一．選擇題
1．如圖，△ABC的頂點均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝84°，則∠AOC的度數是（　　）
A．45° B．28° C．56° D．60°
【分析】根據在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半得到∠AOC＝2∠ABC，代入∠ABC+∠AOC＝84°，求出∠ABC的度數，從而得到∠AOC的度數．
【解答】解：∵∠ABC是所對的圓周角，
∴∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝84°，
∴3∠ABC＝84°，
∴∠ABC＝28°，
∴∠AOC＝28°×2＝56°，
故選：C．
【點評】本題考查了圓周角定理，掌握在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半是解題的關鍵．
2．如圖，已知⊙O的弦AB、DC的延長線相交于點E，∠AOD＝128°，∠E＝40°，則∠BDC的度數是（　　）
A．16° B．20° C．24° D．32°
【分析】根據在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求出∠ABD的度數，根據∠ABD是△BDE的外角即可出答案．
【解答】解：∵∠ABD是所對的圓周角，
∴∠ABD∠AOD128°＝64°，
∵∠ABD是△BDE的外角，
∴∠BDC＝∠ABD﹣∠E＝64°﹣40°＝24°，
故選：C．
【點評】本題考查了圓周角定理，掌握在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半是解題的關鍵．
3．如圖，在⊙O中，弦AC，BD交于點E，連接AB、CD，在圖中的“蝴蝶”形中，若AE，AC＝5，BE＝3，則BD的長為（　　）
A． B． C．5 D．
【分析】根據題意求出EC，根據相交弦定理計算即可．
【解答】解：EC＝AC﹣AE，
由相交弦定理得，AE EC＝DE BE，
則DE，
∴BD＝DE+BE，
故選：B．
【點評】本題考查的是相交弦定理，掌握圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等是解題的關鍵．
4．如圖，點A，B在以CD為直徑的半圓上，B是的中點，連結BD，AC交于點E，若∠C＝38°，則∠CED的度數是（　　）
A．115° B．116° C．118° D．120°
【分析】設半圓的圓心為O，連結AO，BO，BC，根據直徑所對的圓周角是直角得到∠CBD＝90°，根據在同圓或等圓中，等弧所對的圓心角相等得到∠BOC＝∠AOB，根據等腰三角形兩底角相等得到∠A＝∠ACO＝38°，求出∠AOC的度數，進而得到∠BOC＝∠AOB的度數，根據圓周角定理得到∠ACB∠AOB的度數，最后根據三角形外角的性質即可得到∠CED＝∠ACB+∠CBD的度數．
【解答】解：如圖，設半圓的圓心為O，連結AO，BO，BC，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CBD＝90°，
∵B是的中點，
∴∠BOC＝∠AOB，
∵OA＝OC，∠ACO＝38°，
∴∠A＝∠ACO＝38°，
∴∠AOC＝180°﹣38°﹣38°＝104°，
∴∠BOC＝∠AOB＝52°，
∵∠ACB是所對的圓周角，
∴∠ACB∠AOB52°＝26°，
∵∠CED是△BCE的外角，
∴∠CED＝∠ACB+∠CBD＝26°+90°＝116°，
故選：B．
【點評】本題考查了圓周角定理，遇到弧的中點，經常轉化為圓心角相等或圓周角相等，這是解題的關鍵．
5．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，若∠A＝50°，則∠BCD的度數為（　　）
A．50° B．80° C．100° D．130°
【分析】根據圓內接四邊形的性質得出∠A+∠BCD＝180°，代入求出即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠BCD＝130°，
故選：D．
【點評】本題考查了圓內接四邊形的性質的應用，能根據性質得出∠A+∠BCD＝180°是解此題的關鍵．
6．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，D是的中點，若∠B＝70°，則∠CAD的度數為（　　）
A．70° B．55° C．35° D．20°
【分析】根據∠B度數求出的度數，再求出的度數，再求出∠CAD的度數即可．
【解答】解：∵∠B＝70°，
∴的度數是140°，
∵D是的中點，
∴和的度數都是70°，
∴∠CAD70°＝35°，
故選：C．
【點評】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關系等知識點，能熟記圓周角定理是解此題的關鍵．
二．填空題
7．如圖，⊙O中，弦AB、CD相交于點P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，則DP為　 　．
【分析】根據相交弦定理列式計算即可．
【解答】解：由相交弦定理得，PA PB＝PC PD，
∴5×4＝3×DP，
解得，DP，
故答案為：．
【點評】本題考查的是相交弦定理的應用，掌握圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等是解題的關鍵．
8．如圖，點A，B，C都在⊙O上，∠AOC：∠BOC＝2：5，OA∥BC，則∠ABC＝　 　°．
【分析】根據圓周角定理及三角形內角和定理求解即可．
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵OA∥BC，
∴∠A＝∠ABC，
∵∠AOC＝2∠ABC，∠AOC：∠BOC＝2：5，
∴∠BOC＝5∠ABC，
∴∠AOB＝7∠ABC，
在△AOB中，∠A+∠AOB+∠OBA＝180°，
∴9∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝20°，
故答案為：20．
【點評】此題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．
9．如圖已知四邊形ABCD內接于⊙O，∠ABC＝70°，則∠ADC的度數是 　 　．
【分析】根據圓內接四邊形的對角互補計算即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD內接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠ADC＝110°，
故答案為：110°．
【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．
10．如圖，點A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足為E．若∠ADC＝30°，BC＝4，則AE＝　 　．
【分析】連接OC，根據垂徑定理求出CE＝BE，根據圓周角定理求出∠AOC，解直角三角形求出OC和OE，再求出答案即可．
【解答】解：連接OC，
∵OA⊥BC，OA過圓心O，BC＝4，
∴∠OEC＝90°，CE＝BE＝2，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∴sin∠AOC，
∴sin60°，
解得：OC＝4，
∵∠BCO＝90°﹣60°＝30°，
∴OEOC＝2，
∴AE＝4﹣2＝2，
故答案為：2．
【點評】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形等知識點，能求出CE＝BE是解此題的關鍵．
11．如圖，AB是⊙O的弦，AB＝4，點P是優弧上的動點，∠P＝45°，連接PA、PB，AC是△ABP的中線，
（1）若∠CAB＝∠P，則AC＝　　 ；
（2）AC的最大值＝　 ．
【分析】（1）作BH⊥AC，根據△BAC∽△BPA，求出BC＝4，再證明H和C重合即可得到答案；
（2）確定點C的運動軌跡，軌跡點圓關系找到AC的最大值就是AC'長，再計算求解．
【解答】解：如圖1，作BH⊥AC，
∵∠B＝∠B，∠BAC＝∠P，
∴△BAC∽△BPA，
∴，
∴BA2＝BC BP，
∵AC是△ABP的中線，
∴BP＝2BC，
∴，
∴BC＝4，
在Rt△ABH中，∠BAC＝45°，AB＝4，
∴BH＝4，
又∵BC＝4，
∴點H和點C重合，
∴AC＝AH＝4．
故答案為4．
（2）如圖2，
∵點P的運動軌跡是圓，
∴點C的運動軌跡是OB為直徑的圓，
∴當AC'經過圓心O'時最大．
∵∠P＝45°，
∴∠AOB＝90°，
又∵AO＝4，OO'＝2，
∴AO'＝2，
∵O'C'＝2，
∴AC'＝2+2，
∴AC的最大值為2+2．
故答案為2+2．
【點評】本題考查了圓周角定理，相似三角形的性質和圓中最值問題，解題的關鍵是，確定AC最大時點C的位置．
三．解答題（共6小題）
12．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C、D是上兩點，過點D作DE∥OC交OB于E點，在OD上取點F，使OF＝DE，連接CF并延長交OB于G點．
（1）求證：△OCF≌△DOE；
（2）若C、D是AB的三等分點，：
①求∠OGC；
②請比較GE和BE的大小．
【分析】（1）根據平行可得∴∠COD＝∠ODE，再由于OC＝OD，OF＝DE，即可得證；
（2）①先根據C、D是弧AB的三等分點，得到∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30，∠COG＝60°，再根據全等得到∠OCF＝30°，從而得到∠OGC的值；
②利用勾股定理和全等三角形的性質即可得到OG、OF、OE的值，進而可求出GE，BE值，即可判斷出大小．
【解答】解：（1）∵DE∥OC，
∴∠COD＝∠ODE，
在△OCF和△DOE中，
∴△OCF≌△DOE（SAS）；
（2）①∵C、D是的三等分點，∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°，
∵△OCF≌△DOE，
∴∠OCF＝∠DOE＝30°，
∵∠COG＝∠COD+∠DOB＝60°，
∴∠OGC＝90°；
②在Rt△OGC中，∠OCG＝30°，，
∴，
又∵∠DOE＝30°，
∴OF＝2，
∵∠OCF＝∠COF＝30°，
∴CF＝OF＝2，
∵△OCF≌△DOE，
∴OE＝CF＝2，
∴，，
∵，
∴BE＞GE．
【點評】本題考查圓周角的定理，涉及到全等三角形的性質與判定，平行線的性質，勾股定理等，解題關鍵是靈活運用所學幾何基礎進行推理計算．
13．如圖，已知點C在以AB為直徑的半圓O上，點D為弧BC中點，連結AC并延長交BD的延長線于點E，過點E作EG⊥AB，垂足為點F，交AD于點G，連結OG，DG＝1，DB＝2．
（1）求證：AE＝AB．
（2）求FB的長．
（3）求OG的長．
【分析】（1）根據圓周角定理可得∠ADB＝90°，由點D為弧BC中點，可得∠CAD＝∠BAD，則可證明△AED≌△ADB，即可得出答案；
（2）根據題意可證明△EDG∽△EFB，則，根據勾股定理可得EF，代入計算即可得出答案；
（3）在Rt△EFB中，根據已知條件可算出EF的長，在Rt△EGD中，可算出EG的長，由GF＝EF﹣EG即可算出GF的長，由△EFB∽△ADB，可得，代入計算可算出AD的長，在Rt△ADB中，可算出AB的長，即可算出OB的長，根據OF＝OB﹣FB即可算出OF的長，在Rt△OGF中根據勾股定理即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵，
∴∠CAD＝∠BAD，
在△AED和△ADB中，
，
∴△AED≌△ADB（ASA），
∴AE＝AB．
（2）∵∠GED＝∠FEB，∠EDG＝∠EFB＝90°，
∴△EDG∽△EFB，
∴，
∵ED＝DB＝2，EF，
∴，
解得：FB．
（3）在Rt△EFB中，
∵EB＝4，FB，
∴EF，
在Rt△EGD中，
EG，
∴GF＝EF﹣EG，
∵△EFB∽△ADB，
∴，
∴，
∴AD＝4，
在Rt△ADB中，
AB2，
∴OB，
∴OF＝OB﹣FB，
在Rt△OGF中，
OG．
【點評】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理及相似三角形，熟練掌握圓周角定理，勾股定理及相似三角形相關知識進行求解是解決本題的關鍵．
14．已知：Rt△ACB中，∠C＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于E，點F為弧EC的中點，OF的延長線交CB于D．
（1）求證：CD＝BD；
（2）連接EC交OD于G，若AC＝6，CD＝4，求GF的長．
【分析】（1）根據圓周角定理得到∠AEC＝90°，F為弧EC的中點得到∠OGC＝90°，從而得到OD∥AB，從而根據平行線分線段成比例即可得證；
（2）在Rt△OCD中，勾股定理得出OD長，等面積法得到CG長，從而可在Rt△OCG中勾股定理求出OG，即可得GF的長．
【解答】（1）證明∵AC是直徑，
∴∠AEC＝90°，
∵F為弧EC的中點，
∴OF⊥CE，
∴∠OGC＝90°，
∴∠AEC＝∠OGC，
∴OD∥AB，
∴，
∴CD＝BD；
（2）解：∵AC＝6，
∴OC＝3，
在Rt△OCD中，OD5，
∵，
∴CG，
在Rt△OCG中，OG，
∴GF＝OF﹣OG．
【點評】本題考查垂徑定理及圓周角定理，難度一般，解題關鍵是根據90°得到平行．
15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓分別交AC，BC于點D、E，過點A作AF∥BC交圓于點F，連接DE、EF．求證：
（1）四邊形ACEF是平行四邊形；
（2）EF平分∠BED．
【分析】（1）連接AE，BF，如圖，根據半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．可得∠AEB＝90°，根據等腰三角形的性質可得，CE＝BE，根據矩形的判定方法∠FAE＝∠BFA＝∠BEA＝90°，可得四邊形FAEB是矩形，即可得出FA＝CE，由已知條件AF∥BC即可得出答案；
（2）根據圓內接四邊形性質可得∠AFE+∠ADE＝180°，由鄰補角定義可得∠CDE+∠ADE＝180°，即可得出∠CDE＝∠AFE，由（1）中結論可得EF∥AC，可得∠FED＝∠CDE，即可得出∠FED＝∠AFE，再由AF∥BC，可得∠FEB＝∠AFE，即可得出∠BEF＝∠FED，即可得出答案．
【解答】證明：（1）連接AE，BF，如圖，
∵AB是直徑，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，BE＝CE．
∵AE∥BC，
∴∠AEC＝∠EAF＝90°，
∴∠FAE＝∠BFA＝∠BEA＝90°，
∴四邊形FAEB是矩形，
∴FA＝BE＝CE，
∵AF∥CE，
∴四邊形ACEF是平行四邊形；
（2）∵四邊形AEBF是圓內接四邊形，
∴∠AFE+∠ADE＝180°，
∵∠CDE+∠ADE＝180°，
∴∠CDE＝∠AFE，
∵EF∥AC，
∴∠FED＝∠CDE，
∴∠FED＝∠AFE，
∵AF∥BC，
∴∠FEB＝∠AFE，
∴∠BEF＝∠FED，
∴EF平分∠BED．
【點評】本題主要考查了圓周角定理，平行四邊形的判定與性質及等腰三角形的性質，熟練掌握圓周角定理，平行四邊形的判定與性質及等腰三角形的性質進行求解是解決本題的關鍵．
16．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AC，BC交以AB為直徑的半⊙O于D，E．連接AE，BD，交點為F．
（1）證明：AF＝BC；
（2）當點F是BD中點時，求BE：EC值．
【分析】（1）由圓周角定理推論可得∠ADB＝∠AEB＝90°，根據等腰直角三角形的性質可得AD＝BD，根據∠DAF+∠AFD＝∠BFE+∠FEB＝90°，且∠AFD＝∠BFE，即可得出∠DAF＝∠FBE，則可證明△ADF≌△BDC，即可得出答案；
（2）設DF＝a，則DF＝BF＝a，可得AD＝BD＝2a，根據勾股定理可得AFa，由（1）中結論可得AF＝BC，由∠ADF＝∠BEF＝90°，∠AFD＝∠BFE，可證明△ADF∽△BEF，則，可得BEa，由CE＝BC﹣BE可得出CE的長度，計算即可得出答案．
【解答】證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴AD＝BD，
∵∠DAF+∠AFD＝∠BFE+∠FEB＝90°，∠AFD＝∠BFE，
∴∠DAF＝∠FBE，
在△ADF和△BDC中，
，
∴△ADF≌△BDC（ASA），
∴AF＝BC；
（2）設DF＝a，則DF＝BF＝a，
∴AD＝BD＝2a，
在Rt△ADF中，
AFa，
∴AF＝BC，
∵∠ADF＝∠BEF＝90°，∠AFD＝∠BFE，
∴△ADF∽△BEF，
∴，
∴，
∴BEa，
∴CE＝BC﹣BEaaa，
∴．
【點評】本題主要考查了圓周角定理及相似三角形的性質，熟練掌握圓周角定理及相似三角形的性質進行求解是解決本題的關鍵．
17．如圖，AB是⊙O直徑，弦CD⊥AB于點E，過點C作DB的垂線，交AB的延長線于點G，垂足為點F，連結AC，其中∠A＝∠D．
（1）求證：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半徑．
【分析】（1）利用等角的余角證明∠D＝∠G，再根據等量代換可得∠A＝∠G，從而得到結論；
（2）連接OC，如圖，設⊙O的半徑為r，根據等腰三角形的性質和垂徑定理得到AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，則OE＝8﹣r，利用勾股定理得r2＝（8﹣r）2+42，然后解方程即可．
【解答】（1）證明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG；
（2）解：連接OC，如圖，
設⊙O的半徑為r．
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
解得r＝5，
∴⊙O的半徑為5．
【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了圓周角定理和勾股定理．
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