資源簡介

第08講 確定圓的條件（2種題型）
1.了解三角形的外接圓與外心相關概念，
2.探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓；
一．確定圓的條件
不在同一直線上的三點確定一個圓．
注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不能畫一個圓．“確定”一詞應理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數個圓，過兩點也能畫無數個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．
二．三角形的外接圓與外心
（1）外接圓：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．
（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．
（3）概念說明：
①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經過三角形的三個頂點．
②銳角三角形的外心在三角形的內部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．
③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內接三角形卻有無數個．
一．確定圓的條件（共5小題）
1．（2022秋 鹽都區期中）下列說法正確的是（　　）
A．等弧所對的圓心角相等
B．在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧也相等
C．過三點可以畫一個圓
D．平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧
2．（2016秋 太倉市校級期末）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中三塊碎片如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來一樣大小的圓形鏡子的碎片是（　　）
A．① B．② C．③ D．均不可能
3．（2021春 射陽縣校級期末）平面直角坐標系內的三個點A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）　 　確定一個圓（填“能”或“不能”）．
4．（2022秋 江寧區校級月考）下列說法：①長度相等的弧是等弧；②相等的圓心角所對的弧相等；③直徑是圓中最長的弦；④經過不在同一直線上的三個點A、B、C只能作一個圓．其中正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5．（2022春 射陽縣校級期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，C的橫、縱坐標都為整數，過這三個點作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標為 　 　．
二．三角形的外接圓與外心（共20小題）
6．（2022秋 廣陵區校級期末）如圖，點A（0，3），B（2，1），C在平面直角坐標系中，則△ABC的外心在（　　）
A．第四象限 B．第三象限 C．原點O處 D．y軸上
7．（2023 姑蘇區校級二模）如圖，E為正方形ABCD的邊CD上一點（不與C、D重合），將△BCE沿直線BE翻折到△BFE，延長EF交AE于點G，點O是過B、E、G三點的圓劣弧EG上一點，則∠EOG＝　 　°．
8．（2022秋 江陰市校級月考）（1）如圖1，請只用無刻度直尺找出△ABC的外心點O；并直接寫出其外接圓半徑 　 　；
（2）如圖2，請用直尺和圓規將圖中的弧補成圓；并標記圓心P．
9．（2023 無錫二模）在聯歡會上，甲、乙、丙3人分別站在不在同一直線上的三點A、B、C上，他們在玩搶凳子游戲，要在他們之間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，凳子應放在△ABC的（　　）
A．三條高的交點 B．內心
C．外心 D．重心
10．（2022秋 鼓樓區期中）如圖，正方形ABCD、等邊三角形AEF內接于同一個圓，則的度數為（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
11．（2022秋 太倉市校級月考）如圖，△ABC內接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，BD為⊙O的直徑，則AD的值為（　　）
A．6 B． C．3 D．
12．（2022秋 梁溪區校級期中）三角形的外心具有的性質是（　　）
A．外心在三角形外
B．外心在三角形內
C．外心到三角形三邊距離相等
D．外心到三角形三個頂點距離相等
13．（2023 邗江區校級二模）如圖，⊙O的直徑為m，△ABC是⊙O的內接三角形，AB的長為x，AC的長為y，且x+y＝6，AD⊥BC于點D，AD＝1，則m的最大值為 　 　．
14．（2022秋 阜寧縣期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝60°，BC＝4，則⊙O的半徑是 　 　．
15．（2021秋 海州區校級月考）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC＝2，∠BAC＝30°，則⊙O的直徑長等于　 　．
16．（2022 亭湖區校級模擬）如圖1，它是一個幾何探究工具，其中△ABC內接于⊙G，AB是⊙G的直徑，AB＝4，AC＝2，現將制作的幾何探究工具放在平面直角坐標系中（如圖2），然后點A在x軸上由點O開始向右滑動，點B在y軸上也隨之向點O滑動（如圖3），并且保持點O在⊙G上，當點B滑動至與點O重合時運動結束、在整個運動過程中，點C運動的路程是 　 　．
17．（2022秋 宿城區期中）如圖，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于點F，M是BC的中點，⊙O是△ABC的外接圓．
（1）點B，C，D，E是否在以點M為圓心的同一個圓上？請說明理由．
（2）若AB＝8，CF＝6，求△ABC外接圓的半徑長．
18．（2022秋 海州區校級月考）閱讀下列材料：已知實數m，n滿足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，試求2m2+n2的值．
解：設2m2+n2＝t，則原方程變為（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因為2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化．根據以上閱讀材料內容，解決下列問題．
（1）已知實數x、y，滿足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；
（2）已知Rt△ACB的三邊為a、b、c（c為斜邊），其中a、b滿足（a2+b2﹣1）（a2+b2﹣4）＝5（a2+b2）（a2+b2﹣4），求Rt△ACB外接圓的半徑．
19．（2022秋 秦淮區期中）以下列三邊長度作出的三角形中，其外接圓半徑最小的是（　　）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，10
20．（2023 秦淮區模擬）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，，把△ABC繞點O按逆時針方向旋轉90°得到△BED，則對應點C，D之間的距離為 　 　．
21．（2019秋 新北區校級期中）如圖，AB為△ADC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD＝50°，則∠ACD＝　 　°．
22．（2022秋 漣水縣校級月考）定義：到一個三角形三個頂點的距離相等的點叫做該三角形的外心．
（1）如圖①，△ABC是等邊三角形，點O是△ABC的外心，求證∠ABO＝30°
（2）如圖②，△ABC是等邊三角形，分別延長等邊三角形ABC的邊AB、BC、CA到點D、E、F，使BD＝CE＝AF，連接DE，EF，DF．若點O為△ABC的外心，求證：點O也是△DEF的外心．
23．（2022秋 惠山區校級月考）閱讀下列材料：
已知實數m，n滿足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，試求2m2+n2的值．
解：設2m2+n2＝t，則原方程變為（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因為2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．
上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化．
根據以上閱讀材料內容，解決下列問題，并寫出解答過程．
（1）已知實數x、y，滿足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；
（2）已知Rt△ACB的三邊為a、b、c（c為斜邊），其中a、b滿足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB外接圓的半徑．
24．（2023 建鄴區一模）如圖，在△ABC中，AC＝BC．D是AB上一點，⊙O經過點A，C，D交BC于點E．過點D作DF∥BC，分別交AC于點G，⊙O于點F．
（1）求證AC＝DF；
（2）若AC＝10，AB＝12，CF＝3，求BE的長．
25．（2022秋 溧陽市期中）閱讀下列材料：
已知實數m，n滿足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，試求2m2+n2的值．
解：設2m2+n2＝t，則原方程變為（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因為2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化．根據以上閱讀材料內容，解決下列問題，并寫出解答過程．
（1）已知實數x、y滿足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；
（2）已知Rt△ABC的三邊為a、b、c（c為斜邊），且a、b滿足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB外接圓的半徑．
一、單選題
1．（2022秋·江蘇鎮江·九年級統考期中）下列說法正確的是（ ）
A．弧長相等的弧是等弧 B．直徑是最長的弦
C．三點確定一個圓 D．平分弦的直徑垂直于弦
2．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校聯考期中）下列說法正確的是（ ）
A．等弧所對的圓心角相等 B．在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧也相等
C．過三點可以畫一個圓 D．平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧
3．（2022秋·江蘇徐州·九年級校考期末）下列命題中，正確的是（　　）
A．圓心角相等，所對的弦的弦心距相等 B．三點確定一個圓
C．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧 D．弦的垂直平分線必經過圓心
4．（2023秋·江蘇揚州·九年級校考期末）如圖，點，C在平面直角坐標系中，則的外心在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．原點O處 D．y軸上
5．（2021秋·江蘇泰州·九年級統考期中）下列命題中真命題的是（ ）
A．長度相等的弧是等弧 B．相等的圓心角所對的弦相等
C．任意三點確定一個圓 D．外心在三角形的一條邊上的三角形是直角三角形
6．（2022秋·江蘇南京·九年級統考期中）以下列三邊長度作出的三角形中，其外接圓半徑最小的是（ ）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，10
7．（2023·江蘇·模擬預測）如圖，是的直徑，點C在上，，垂足為D，，點E是上的動點（不與C重合），點F為的中點，若在E運動過程中的最大值為4，則的值為（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標為（1，3）、（5，3）、（1，－1），則△ABC外接圓的圓心坐標是（ ）
A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）
9．（2023秋·江蘇無錫·九年級統考期末）如圖，是等邊三角形的外接圓，若的半徑為r，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·江蘇無錫·九年級統考期末）如圖，為的外心，為正三角形，與相交于點，連接．若，，則為（ ）
A．110° B．90° C．85° D．80°
二、填空題
11．（2022秋·江蘇無錫·九年級江蘇省錫山高級中學實驗學校校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B、P的坐標分別為 ，， ．若點C在第一象限內，且橫坐標、縱坐標均為整數，P是的外心，則點C的坐標為______．
12．（2023秋·江蘇鎮江·九年級鎮江市外國語學校校考期末）已知一個直角三角形的兩條直角邊長分別為和，則這個直角三角形的外接圓的半徑為_____________．
13．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考期中）平面直角坐標系中，已知的三個頂點分別為，則的外心的坐標為______．
14．（2022秋·江蘇淮安·九年級統考期中）如圖，△ABC的三個頂點都在直角坐標系中的格點上，圖中△ABC外接圓的圓心坐標是_______．
15．（2022·江蘇無錫·無錫市天一實驗學校校考模擬預測）已知在中，，，則的外接圓的半徑是______ ．
16．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統考期中）小明在與同學的嬉鬧中把校服劃壞了，劃壞的圖形恰好是一個直角三角形，這個直角三角形的兩條邊長分別是5和12，媽媽打算用一個圓形圖案把它蓋住縫補好，則媽媽用的圓形圖案所在圓的半徑最小值為___________．
17．（2021秋·江蘇鹽城·九年級統考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點為，點為，點為．用一個圓面去覆蓋，能夠完全覆蓋這個三角形的最小圓面的半徑是______．
18．（2020秋·江蘇南通·九年級南通田家炳中學校考期中）若點O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底邊BC＝4，則△ABC的面積為_____．
三、解答題
19．（2022秋·江蘇鎮江·九年級統考期中）（1）請借助網格和一把無刻度直尺找出△ABC的外心點O；
（2）設每個小方格的邊長為1，求出外接圓⊙O的面積．
20．（2022秋·江蘇無錫·九年級江蘇省錫山高級中學實驗學校校考期中）請用無刻度的直尺和圓規作圖，不寫做法，保留作圖痕跡，標上相應字母．
(1)已知，作，使圓心P到、邊的距離相等，且經過A、B兩點．
(2)如圖，四邊形是直角梯形，作，使與邊都相切．
21．（2023·江蘇宿遷·統考一模）已知，點D是的邊上一點．
(1)如圖甲，，垂足為E，平分交邊于點F，交邊于點O，求證：；
(2)如圖乙，交邊于點E，平分交邊于點O，，垂足為點F，求；
(3)如圖丙，在線段上找一點O作，使經過點D且與相切．（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，寫出作法過程，不證明）
22．（2023秋·江蘇連云港·九年級統考期中）如圖，在平面直角坐標系中，、、．
(1)在圖中畫出經過、、三點的圓弧所在圓的圓心的位置；
(2)坐標原點與有何位置關系？并說明理由．
23．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）如圖，，是的高，，相交于點是的中點，是的外接圓．
(1)點是否在以點M為圓心得同一個圓上？請說明理由．
(2)若，，求外接圓的半徑長．
24．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學校考一模）已知是直線l和雙曲線的交點．
(1)求m的值．
(2)若直線l分別和x軸、y軸交于E、F兩點，且點A是的外心，試確定直線l的解析式．
(3)在雙曲線上另取一點B，過B作軸于K，試問：在y軸上是否存在點P，使得？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
25．（2022秋·江蘇常州·九年級統考期中）閱讀下列材料：
已知實數m，n滿足 ，試求的值．
解：設，則原方程變為，整理得，，所以，因為，所以,上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化．根據以上閱讀材料內容，解決下列問題，并寫出解答過程．
(1)已知實數x、y滿足 ，求值；
(2)已知的三邊為a、b、c（c為斜邊），且a、b滿足，外接圓的半徑．
26．（2023·江蘇宿遷·統考三模）尺規作圖蘊含豐富的推理，還體現逆向思維，請嘗試用無刻度的直尺和圓規完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．

(1)【圓的作圖】點P是中邊上的一點，在圖1中作，使它與的兩邊相切，點P是其中一個切點；
(2)點P是中邊上的一點，在圖2中作，使它滿足以下條件：
①圓心O在上；②經過點P；③與邊相切；
(3)【不可及點的作圖】如圖3，從墻邊上引兩條不平行的射線（交點在墻的另一側，畫不到），作這兩條射線所形成角的平分線．
一．選擇題
1．經過不在同一直線上的三個點可以作圓的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．無數
2．下列說法正確的個數有（　　）
①平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧；
②在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧也相等；
③等弧所對的圓心角相等；
④過三點可以畫一個圓．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列說法正確的是（　　）
A．一個三角形只有一個外接圓
B．三點確定一個圓
C．長度相等的弧是等弧
D．三角形的外心到三角形三條邊的距離相等
4．小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應該是（　　）
A．第一塊 B．第二塊 C．第三塊 D．第四塊
5．如圖，已知平面直角坐標系內三點A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P經過點A、B、C，則點P的坐標為（　　）
A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，）
6．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，則點O是△ABC的（　　）
A．三條高線的交點
B．三條邊的垂直平分線的交點
C．三條中線的交點
D．三角形三內角角平分線的交點
7．已知正三角形的邊長為12，則這個正三角形外接圓的半徑是（　　）
A．2 B． C．3 D．4
8．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC為直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x軸，M為Rt△ABC的外心．若點A的坐標為（3，4），點M的坐標為（﹣1，1），則點B的坐標為（　　）
A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）
9．如圖，在平面直角坐標系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．則△ABC的外心坐標為（　　）
A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）
10．如圖，在等邊△ABC中，AB＝4，點D為AB的中點，動點E、F分別在AD、BC上，且EF＝2，作△BEF的外接圓⊙O，交AC于點G、H．當動點E從點D向點A運動時，線段GH長度的變化情況為（　　）
A．一直不變 B．一直變大
C．先變小再變大 D．先變大再變小
二．填空題
11．（2021秋 東光縣期中）經過兩點可以做 　　個圓，不在同一直線的 　　個點可以確定一個圓．
12．（2021秋 建鄴區期中）當A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三點可以確定一個圓，則n需要滿足的條件為 　　．
13．平面直角坐標系內的三個點A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）　　確定一個圓（填“能”或“不能”）．
14．在平面直角坐標系中有A，B，C三點，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．現在要畫一個圓同時經過這三點，則圓心坐標為　 　．
15．如圖，點A、點B是直線l上兩點，AB＝10，點M在直線l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若點P為直線l上一動點，連接MP，則線段MP的最小值是 　　．
16．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，C的橫、縱坐標都為整數，過這三個點作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標為 　 　．
17．（2022 蘇州二模）如圖，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，D是△ABC內一動點，⊙O為△ACD的外接圓，⊙O交直線BD于點P，交邊BC于點E，若＝，則AD的最小值為 　 　．
三．解答題
18．如圖，正三角形ABC內接于⊙O，⊙O的半徑為r，求這個正三角形的周長和面積．
19．如圖，△ABC內接于⊙O；∠A＝30°，過圓心O作OD⊥BC，垂足為D．若⊙O的半徑為6，求OD的長．
20．如圖，△ABC內接于⊙O，高AD經過圓心O．
（1）求證：AB＝AC；
（2）若BC＝8，⊙O的半徑為5，求△ABC的面積．
21．（1）請借助網格和一把無刻度直尺找出△ABC的外心點O；
（2）設每個小方格的邊長為1，求出外接圓⊙O的面積．
22．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD⊥BC于點D，圓心O在AD上，AB＝10，BC＝12，求⊙O的半徑．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第08講 確定圓的條件（2種題型）
1.了解三角形的外接圓與外心相關概念，
2.探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓；
一．確定圓的條件
不在同一直線上的三點確定一個圓．
注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不能畫一個圓．“確定”一詞應理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數個圓，過兩點也能畫無數個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．
二．三角形的外接圓與外心
（1）外接圓：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．
（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．
（3）概念說明：
①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經過三角形的三個頂點．
②銳角三角形的外心在三角形的內部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．
③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內接三角形卻有無數個．
一．確定圓的條件（共5小題）
1．（2022秋 鹽都區期中）下列說法正確的是（　　）
A．等弧所對的圓心角相等
B．在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧也相等
C．過三點可以畫一個圓
D．平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧
【分析】根據確定圓的條件，弧，圓心角，弦之間的關系，垂徑定理的判定進行一一判斷即可．
【解答】解：A、等弧所對的圓心角相等，說法正確，本選項符合題意；
B、在等圓中，如果弦相等，但它們所對的弧不一定相等，本選項不符合題意；
C、過不在同一直線上的三點可以畫一個圓，說法不正確，本選項不符合題意；
D、平分弦（非直徑）的直徑，平分這條弦所對的弧，說法不正確，本選項不符合題意．
故選：A．
【點評】本題考查確定圓的條件，弧，圓心角，弦之間的關系等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
2．（2016秋 太倉市校級期末）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中三塊碎片如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來一樣大小的圓形鏡子的碎片是（　　）
A．① B．② C．③ D．均不可能
【分析】要確定圓的大小需知道其半徑．根據垂徑定理知第①塊可確定半徑的大小．
【解答】解：第①塊出現兩條完整的弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，進而可得到半徑的長．
故選：A．
【點評】本題考查了垂徑定理的應用，確定圓的條件，解題的關鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點即為該圓的圓心．
3．（2021春 射陽縣校級期末）平面直角坐標系內的三個點A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）　能　確定一個圓（填“能”或“不能”）．
【分析】根據三個點的坐標特征得到它們不共線，于是根據確定圓的條件可判斷它們能確定一個圓．
【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），
∴BC∥x軸，
而點A（1，0）在x軸上，
∴點A、B、C不共線，
∴三個點A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能確定一個圓．
故答案為：能．
【點評】本題考查了確定圓的條件：不在同一直線上的三點確定一個圓．
4．（2022秋 江寧區校級月考）下列說法：①長度相等的弧是等弧；②相等的圓心角所對的弧相等；③直徑是圓中最長的弦；④經過不在同一直線上的三個點A、B、C只能作一個圓．其中正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】利用等弧的定義、圓周角定理、圓的有關定義及確定圓的條件分別判斷后即可確定正確的選項．
【解答】解：①長度相等的弧不一定是等弧，故原命題錯誤，不符合題意；
②同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故原命題錯誤，不符合題意；
③直徑是圓中最長的弦，正確，符合題意；
④經過不在同一直線上的三個點A、B、C只能作一個圓，正確，符合題意，
正確的有2個，
故選：B．
【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解等弧的定義、圓周角定理、圓的有關定義及確定圓的條件，難度不大．
5．（2022春 射陽縣校級期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，C的橫、縱坐標都為整數，過這三個點作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標為 　（2，1）　．
【分析】根據圖形得出A、B、C的坐標，再連接AB，作線段AB和線段BC的垂直平分線MN、EF，兩線交于Q，則Q是圓弧的圓心，最后求出點Q的坐標即可．
【解答】解：從圖形可知：A點的坐標是（0，2），B點的坐標是（1，3），C點的坐標是（3，3），
連接AB，作線段AB和線段BC的垂直平分線MN、EF，兩線交于Q，則Q是圓弧的圓心，如圖，
∴Q點的坐標是（2，1），
故答案為：（2，1）．
【點評】本題考查了確定圓的條件，坐標與圖形性質，垂徑定理等知識點，能找出圓弧的圓心Q的位置是解此題的關鍵．
二．三角形的外接圓與外心（共20小題）
6．（2022秋 廣陵區校級期末）如圖，點A（0，3），B（2，1），C在平面直角坐標系中，則△ABC的外心在（　　）
A．第四象限 B．第三象限 C．原點O處 D．y軸上
【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點，所以在平面直角坐標系中作AB與BC的垂線，兩垂線的交點即為△ABC的外心．
【解答】解：如圖，根據網格點O′即為所求．
∵△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點，
∴EF與MN的交點O′即為所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐標是（﹣2，﹣1）．
故選：B．
【點評】此題考查了三角形的外接圓與外心，坐標與圖形性質．注意三角形的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點．解此題的關鍵是數形結合思想的應用．
7．（2023 姑蘇區校級二模）如圖，E為正方形ABCD的邊CD上一點（不與C、D重合），將△BCE沿直線BE翻折到△BFE，延長EF交AE于點G，點O是過B、E、G三點的圓劣弧EG上一點，則∠EOG＝　135　°．
【分析】連接BG，由折疊的性質得出BC＝BF，∠CBE＝∠FBE，∠BCE＝∠BFE，由正方形的性質得出AB＝BC，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，證明Rt△ABG≌Rt△FBG（HL），證出∠ABG＝∠FBG，求出∠GBE＝∠ABC＝45°，則可得出答案．
【解答】解：連接BG，
∵將△BCE沿直線BE翻折到△BFE，
∴BC＝BF，∠CBE＝∠FBE，∠BCE＝∠BFE，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，
∴AB＝BF，
∵BG＝BG，
∴Rt△ABG≌Rt△FBG（HL），
∴∠ABG＝∠FBG，
∴∠ABG＝∠FBG，
∴∠GBE＝∠ABC＝45°，
∵四邊形GBEO為圓內接四邊形，
∴∠EBG+∠EOG＝180°，
∴∠EOG＝180°﹣∠EBG＝135°，
故答案為：135．
【點評】本題考查了正方形的性質，折疊的性質，圓內接四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．
8．（2022秋 江陰市校級月考）（1）如圖1，請只用無刻度直尺找出△ABC的外心點O；并直接寫出其外接圓半徑 　　；
（2）如圖2，請用直尺和圓規將圖中的弧補成圓；并標記圓心P．
【分析】（1）根據三角形的外心是三邊垂直平分線的交點作出點O；
（2）在弧上任取三點A，C，C，連接AB，BC，分別作弦AB，BC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點即為圓心P，于是得到結論．
【解答】解：（1）如圖（1）所示，點O即為所求；外接圓半徑＝＝；
故答案為：；
（2）如圖（2）所示：⊙P即為所求．
【點評】本題考查了三角形外接圓與外心，勾股定理，正確地作出圖形是解題的關鍵．
9．（2023 無錫二模）在聯歡會上，甲、乙、丙3人分別站在不在同一直線上的三點A、B、C上，他們在玩搶凳子游戲，要在他們之間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，凳子應放在△ABC的（　　）
A．三條高的交點 B．內心
C．外心 D．重心
【分析】為使游戲公平，要使凳子到三個人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊中垂線的交點上．
【解答】解：∵三角形的三條垂直平分線的交點到三個頂點的距離相等，
∴凳子應放在△ABC的三條垂直平分線的交點最適當．
即凳子應放在△ABC的外心上．
故選：C．
【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質的應用；掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等是解答本題的關鍵．
10．（2022秋 鼓樓區期中）如圖，正方形ABCD、等邊三角形AEF內接于同一個圓，則的度數為（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】由∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，已知圖形是以正方形ABCD的對角線AC所在直線為對稱軸的軸對稱圖形，求得∠BAE＝15°，則所對的圓心角等于30°，所以的度數為30°．
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，△AEF是等邊三角形，
∴∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，
∵已知圖形是以正方形ABCD的對角線AC所在直線為對稱軸的軸對稱圖形，
∴∠BAE＝∠DAF＝×（90°﹣60°）＝15°，
∵∠BAE是所對的圓周角，
∴所對的圓心角等于2×15°＝30°，
∴的度數為30°，
故選：D．
【點評】此題重點考查正多邊形與圓、正方形及等邊三角形的性質、圓周角定理、弧的度數等知識，根據圓周角定理求出所對的圓心角的度數是解題的關鍵．
11．（2022秋 太倉市校級月考）如圖，△ABC內接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，BD為⊙O的直徑，則AD的值為（　　）
A．6 B． C．3 D．
【分析】先根據“等邊對等角”得出∠C的度數，再根據“同弧所對的圓周角相等”得出∠D的度數，從而得出直徑BD的長度，最后根據勾股定理求解即可．
【解答】解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，
∴，
∴∠D＝∠C＝30°，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝2AB＝6，
在Rt△ABD中，根據勾股定理得：．
故選：D．
【點評】本題主要考查了“等邊對等角”，“同弧所對的圓周角相等”，“直徑所對的圓周角為直角”，“在直角三角形中，30°角所對的邊為斜邊的一半”，勾股定理，熟練掌握相關內容是解題的關鍵．
12．（2022秋 梁溪區校級期中）三角形的外心具有的性質是（　　）
A．外心在三角形外
B．外心在三角形內
C．外心到三角形三邊距離相等
D．外心到三角形三個頂點距離相等
【分析】三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，根據線段垂直平分線的性質即可確定．
【解答】解：根據三角形外心的定義，
可知三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，
故選：D．
【點評】本題考查了三角形的外心，線段垂直平分線的性質，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．
13．（2023 邗江區校級二模）如圖，⊙O的直徑為m，△ABC是⊙O的內接三角形，AB的長為x，AC的長為y，且x+y＝6，AD⊥BC于點D，AD＝1，則m的最大值為 　9　．
【分析】過點A作⊙O的直徑AE，連接CE，根據圓周角定理，可證得△ABD∽△AEC，根據相似三角形的性質，可得m＝xy，再由x+y＝6，即可得m＝﹣（x﹣3）2+9，根據二次函數的性質，即可求解．
【解答】解：如圖：過點A作⊙O的直徑AE，連接CE，
則AE＝m，∠ACE＝90°，∠ABD＝∠AEC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ACE＝90°，
∴△ABD∽△AEC，
∴，
∴，
∴m＝xy，
∵x+y＝6，
∴y＝6﹣x，
∴m＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，
∵﹣1＜0，
∴當x＝3時，m取最大值，最大值為9，
故答案為：9．
【點評】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質，二次函數的性質，得到m關于x或y的二次函數關系式是解決本題的關鍵．
14．（2022秋 阜寧縣期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝60°，BC＝4，則⊙O的半徑是 　4　．
【分析】作直徑CD，如圖，連接BD，根據圓周角定理得到∠CBD＝90°，∠D＝60°，然后利用含30度的直角三角形三邊的關系求出CD，從而得到⊙O的半徑．
【解答】解：作直徑CD，如圖，連接BD，
∵CD為直徑，
∴∠CBD＝90°，
∵∠D＝∠A＝60°，
∴BD＝BC＝×4＝4，
∴CD＝2BD＝8，
∴OC＝4，
即⊙O的半徑是4．
故答案為：4．
【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．也考查了圓周角定理．
15．（2021秋 海州區校級月考）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC＝2，∠BAC＝30°，則⊙O的直徑長等于　4　．
【分析】連接BO并延長交⊙O于D，連接CD，得到∠BCD＝90°，根據圓周角定理得到∠D＝∠BAC＝30°，根據含30°角直角三角形的性質即可得到結論．
【解答】解：連接BO并延長交⊙O于D，連接CD，
則∠BCD＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠D＝∠BAC＝30°，
∵BC＝2，
∴BD＝2BC＝4，
故答案為：4．
【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，含30°角的直角三角形的性質，正確的作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
16．（2022 亭湖區校級模擬）如圖1，它是一個幾何探究工具，其中△ABC內接于⊙G，AB是⊙G的直徑，AB＝4，AC＝2，現將制作的幾何探究工具放在平面直角坐標系中（如圖2），然后點A在x軸上由點O開始向右滑動，點B在y軸上也隨之向點O滑動（如圖3），并且保持點O在⊙G上，當點B滑動至與點O重合時運動結束、在整個運動過程中，點C運動的路程是 　　．
【分析】由于在運動過程中，原點O始終在⊙G上，則弧AC的長保持不變，弧AC所對應的圓周角∠AOC保持不變，等于∠XOC，故點C在與x軸夾角為∠ABC的射線上運動．頂點C的運動軌跡應是一條線段，且點C移動到圖中C2位置最遠，然后又慢慢移動到C3結束，點C經過的路程應是線段C1C2+C2C3．
【解答】解：如圖3，連接OG．
∵∠AOB是直角，G為AB中點，
∴GO＝AB＝半徑，
∴原點O始終在⊙G上．
∵∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝2，
∴BC＝，
連接OC，則∠AOC＝∠ABC，
∴tan∠AOC＝，
∴點C在與x軸夾角為∠AOC的射線上運動．
如圖4，C1C2＝OC2﹣OC1＝4﹣2＝2；
如圖5，C2C3＝OC2﹣OC3＝；
∴總路徑為：C1C2+C2C3＝＝，
故答案為：．
【點評】此題主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．
17．（2022秋 宿城區期中）如圖，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于點F，M是BC的中點，⊙O是△ABC的外接圓．
（1）點B，C，D，E是否在以點M為圓心的同一個圓上？請說明理由．
（2）若AB＝8，CF＝6，求△ABC外接圓的半徑長．
【分析】（1）連接EM，DM，根據垂直定義可得∠BDC＝∠BEC＝90°，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質可得EM＝BM＝BC，DM＝CM＝BC，從而可得EM＝BM＝DM＝CM，即可解答；
（2）連接AF并延長交BC于點G，連接BO并延長交⊙O于點H，連接AH，CH，根據三角形的高是交于一點的可得AG⊥BC，再根據直徑所對的圓周角是直角可得∠BAH＝∠BCH＝90°，從而可得AG∥CH，AH∥CE，然后利用平行四邊形的判定可得四邊形AFCH是平行四邊形，從而可得CF＝AH＝6，最后在Rt△BAH中，利用勾股定理進行計算即可解答．
【解答】解：（1）點B，C，D，E在以點M為圓心的同一個圓上，
理由：連接EM，DM，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵M是BC的中點，
∴EM＝BM＝BC，DM＝CM＝BC，
∴EM＝BM＝DM＝CM，
∴點B，C，D，E在以點M為圓心的同一個圓上；
（2）連接AF并延長交BC于點G，連接BO并延長交⊙O于點H，連接AH，CH，
∵BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于點F，
∴AG⊥BC，
∵BH是⊙O的直徑，
∴∠BAH＝∠BCH＝90°，
∴BA⊥AH，BC⊥CH，
∴AG∥CH，
∵CE⊥AB，
∴AH∥CE，
∴四邊形AFCH是平行四邊形，
∴CF＝AH＝6，
在Rt△BAH中，AB＝8，
∴BH＝＝＝10，
∴△ABC外接圓的半徑長為5．
【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，直角三角形斜邊上的中線，點與圓的位置關系，確定圓的條件，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
18．（2022秋 海州區校級月考）閱讀下列材料：已知實數m，n滿足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，試求2m2+n2的值．
解：設2m2+n2＝t，則原方程變為（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因為2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化．根據以上閱讀材料內容，解決下列問題．
（1）已知實數x、y，滿足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；
（2）已知Rt△ACB的三邊為a、b、c（c為斜邊），其中a、b滿足（a2+b2﹣1）（a2+b2﹣4）＝5（a2+b2）（a2+b2﹣4），求Rt△ACB外接圓的半徑．
【分析】（1）設2x2+2y2＝t，解一元二次方程得到t＝±6，根據2x2+2y2≥0，得到2x2+2y2＝6，進而求出x2+y2＝3；
（2）設a2+b2＝t，解一元二次方程得到a2+b2＝4，根據勾股定理求出c，求出Rt△ACB外接圓的半徑為1．
【解答】解：（1）設2x2+2y2＝t，
則原方程變形為（t+3）（t﹣3）＝27，
整理得：t2＝36，
解得，t＝±6，
∵2x2+2y2≥0，
∴2x2+2y2＝6，
∴x2+y2＝3；
（2）設a2+b2＝t，
則原方程變形為（t﹣1）（t﹣4）＝5t（t﹣4），
整理得，4t2﹣15t﹣4＝0，
解得：t＝4或﹣，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2＝4，
∴c＝＝2，
∴Rt△ACB外接圓的半徑為1．
【點評】本題考查的是三角形的外心、一元二次方程的解法，掌握換元法解一元二次方程的一般步驟是解題的關鍵．
19．（2022秋 秦淮區期中）以下列三邊長度作出的三角形中，其外接圓半徑最小的是（　　）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，10
【分析】分別求出各三角形的外接圓半徑，比較即可．
【解答】解：A、∵△ABC是等邊三角形，設O是外心，
∴BF＝CF＝4，AF⊥BC，BE平分∠ABC，
∴∠OBF＝∠ABC＝30°，
∴OB＝＝＝，
∴△ABC的外接圓的半徑為；
B、∵△ABC是等腰三角形，
過A作AD⊥BC于D，延長AD交⊙O于E，
∵AB＝AC＝10，
∴＝，BD＝CD＝BC＝2，
∴AE是⊙O的直徑，AD＝＝＝4，
∴∠ABE＝∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝∠EAB，
∴△ADB∽△ABE，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝，
∴外接圓半徑為；
C、作AD⊥BC于點D，作直徑AE，連接CE，
在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，
在Rt△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即42﹣BD2＝82﹣（10﹣BD）2，
解得BD＝，
由勾股定理得，AD＝＝，
∵AE為圓的直徑，
∴∠ACE＝90°，
∴∠ADB＝∠ACE，又∠B＝∠E，
∴△ADB∽△ACE，
∴＝，即＝，
解得AE＝，
則外接圓半徑＝，
D、∵62+82＝102，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形外接圓的半徑為5，
∴其外接圓半徑最小的是A選項，
故選：A．
【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心、相似三角形的判定和性質、勾股定理，掌握圓周角定理、相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．
20．（2023 秦淮區模擬）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，，把△ABC繞點O按逆時針方向旋轉90°得到△BED，則對應點C，D之間的距離為 　2　．
【分析】連接OC，OB，OD，根據圓周角定理得到△OCB是等邊三角形，根據旋轉的性質得到∠COD＝90°，根據勾股定理得到．
【解答】解：連接OC，OB，OD，CD，
∵∠BOC＝2∠A＝60°，OC＝OB，
∴△OCB是等邊三角形，
∴，
∵△ABC繞點O按逆時針方向旋轉90°得到△BED，
∴∠COD＝90°，
根據勾股定理．
故答案為：2．
【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰三角形的性質，圓周角定理，旋轉的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
21．（2019秋 新北區校級期中）如圖，AB為△ADC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD＝50°，則∠ACD＝　40　°．
【分析】根據直徑所對圓周角是直角和同弧所對圓周角相等即可求出∠ACD的度數．
【解答】解：如圖，連接BD，
∵AB為△ADC的外接圓⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝50°，
∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACD＝∠ABD＝40°．
故答案為：40．
【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，解決本題的關鍵是掌握三角形的外接圓與外心．
22．（2022秋 漣水縣校級月考）定義：到一個三角形三個頂點的距離相等的點叫做該三角形的外心．
（1）如圖①，△ABC是等邊三角形，點O是△ABC的外心，求證∠ABO＝30°
（2）如圖②，△ABC是等邊三角形，分別延長等邊三角形ABC的邊AB、BC、CA到點D、E、F，使BD＝CE＝AF，連接DE，EF，DF．若點O為△ABC的外心，求證：點O也是△DEF的外心．
【分析】（1）根據等邊三角形的性質得到∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，根據全等三角形的性質得到∠ABO＝∠OBC，于是得到結論；
（2）連接OF，OD，OE，由（1）得，∠ABO＝30°，推出∠FAO＝∠DBO，根據全等三角形的性質即可得到結論．
【解答】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，
∵點O是△ABC的外心，
∴OA＝OB＝OC，
在△AOB與△COB中，
，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴∠ABO＝∠OBC，
∵∠ABO+∠OBC＝∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°；
（2）連接OF，OD，OE，
由（1）得，∠ABO＝30°，
∵點O為△ABC的外心，
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝∠ABO＝30°，
∴∠OAC＝60°﹣30°＝30°，
∴180°﹣∠OAC＝180°﹣∠ABO，
∴∠FAO＝∠DBO，
在△FAD與△DBO中，
，
∴△FAD≌△DBO（SAS），
∴OF＝OD，
同理，OF＝OE，
∴OF＝OE＝OD，
∴點O也是△DEF的外心．
【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
23．（2022秋 惠山區校級月考）閱讀下列材料：
已知實數m，n滿足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，試求2m2+n2的值．
解：設2m2+n2＝t，則原方程變為（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因為2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．
上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化．
根據以上閱讀材料內容，解決下列問題，并寫出解答過程．
（1）已知實數x、y，滿足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；
（2）已知Rt△ACB的三邊為a、b、c（c為斜邊），其中a、b滿足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB外接圓的半徑．
【分析】（1）利用換元法解方程即可解決問題；
（2）利用換元法解方程可得c＝，再根據直角三角形外接圓的半徑等于斜邊的一半即可解決問題．
【解答】解：（1）設2x2+2y2＝t，
則原方程可變為（t+3）（t﹣3）＝27，
解得t＝±6，
∵2x2+2y2≥0，
∴2x2+2y2＝6，
∴x2+y2＝3；
（2）設a2+b2＝t，
則原方程可變為 t（t﹣4）＝5，
即t2﹣4t﹣5＝0，
解得t1＝5，t2＝﹣1，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2＝5，
∴c2＝5，
∴c＝，
∴Rt△ACB外接圓的半徑為．
【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，代數式求值，高次方程，勾股定理，一元二次方程，解決本題的關鍵是掌握直角三角形的外心．
24．（2023 建鄴區一模）如圖，在△ABC中，AC＝BC．D是AB上一點，⊙O經過點A，C，D交BC于點E．過點D作DF∥BC，分別交AC于點G，⊙O于點F．
（1）求證AC＝DF；
（2）若AC＝10，AB＝12，CF＝3，求BE的長．
【分析】（1）根據等腰三角形的性質得出∠BAC＝∠B，根據平行線的性質得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF＝∠CFD，根據平行線的判定得出BD∥CF，根據平行四邊形的判定得出即可得出平行四邊形DBCF，繼而得出BC＝DF，又由AC＝BC，即可得答案；
（2）求出∠AEF＝∠B，根據圓內接四邊形的性質得出∠ECF+∠EAF＝180°，根據平行線的性質得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根據等腰三角形的判定得出即可得出AF＝EF，再證△ACF≌△FDE（SAS），得出CF＝DE＝BD＝3，再證△ABC∽△EBD，得出＝，即可得答案．
【解答】（1）證明：∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四邊形DBCF是平行四邊形，
∴BC＝DF，
∵AC＝BC，
∴AC＝DF；
（2）解：連接AE，AF，DE，EF，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四邊形AECF是⊙O的內接四邊形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF，
∵DF∥BC，
∴∠DFE＝∠FEC，
∵∠FAC＝∠FEC，
∴∠FAC＝∠DFE，
∵AC＝DF，
∴△ACF≌△FDE（SAS），
∴CF＝DE，
∴DE＝BD＝3，
∴∠B＝∠DEB，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB，
∴∠B＝∠CAB＝∠DEB，
∴△ABC∽△EBD，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝3.6．
【點評】本題考查了平行線的性質和判定，平行四邊形的判定，圓內接四邊形，等腰三角形的判定等知識點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關鍵．
25．（2022秋 溧陽市期中）閱讀下列材料：
已知實數m，n滿足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，試求2m2+n2的值．
解：設2m2+n2＝t，則原方程變為（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因為2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化．根據以上閱讀材料內容，解決下列問題，并寫出解答過程．
（1）已知實數x、y滿足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；
（2）已知Rt△ABC的三邊為a、b、c（c為斜邊），且a、b滿足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB外接圓的半徑．
【分析】（1）設2x2+2y2＝t，解一元二次方程得到t＝±6，根據2x2+2y2≥0，得到2x2+2y2＝6，進而求出x2+y2＝3；
（2）設a2+b2＝t，解一元二次方程得到a2+b2＝4，根據勾股定理求出c，求出Rt△ACB外接圓的半徑為1．
【解答】解：（1）設2x2+2y2＝t，
則原方程變形為（t+3）（t﹣3）＝27，
整理得：t2＝36，
解得，t＝±6，
∵2x2+2y2≥0，
∴2x2+2y2＝6，
∴x2+y2＝3；
（2）設a2+b2＝t，
則原方程變形為t（t﹣4）＝5，
整理得t2﹣4t﹣5＝0，
解得：t＝5或﹣1，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2＝5，
∴c＝＝，
∴Rt△ACB外接圓的半徑為．
【點評】本題考查的是三角形的外心、一元二次方程的解法，掌握換元法解一元二次方程的一般步驟是解題的關鍵．
一、單選題
1．（2022秋·江蘇鎮江·九年級統考期中）下列說法正確的是（ ）
A．弧長相等的弧是等弧 B．直徑是最長的弦
C．三點確定一個圓 D．平分弦的直徑垂直于弦
【答案】B
【分析】根據等弧的概念、弦的概念、確定圓的條件以及垂徑定理判斷即可．
【詳解】A、能夠重合的弧是等弧，弧長相等的弧不一定是等弧，故本選項說法錯誤，不符合題意；
B、直徑是最長的弦，本選項說法正確，符合題意；
C、不在同一直線上的三點確定一個圓，故本選項說法錯誤，不符合題意；
D、平分弦（不是直徑的弦）的直徑垂直于弦，故本選項說法錯誤，不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查的是圓的概念和有關性質，熟記等弧的概念、弦的概念、確定圓的條件以及垂徑定理是解題的關鍵．
2．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校聯考期中）下列說法正確的是（ ）
A．等弧所對的圓心角相等 B．在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧也相等
C．過三點可以畫一個圓 D．平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧
【答案】A
【分析】根據確定圓的條件，弧，圓心角，弦之間的關系，垂徑定理的判定進行一一判斷即可．
【詳解】解：A、等弧所對的圓心角相等，說法正確，本選項符合題意；
B、在等圓中，如果弦相等，但它們所對的弧不一定相等，本選項不符合題意；
C、過不在同一直線上的三點可以畫一個圓，說法不正確，本選項不符合題意；
D、平分弦（非直徑）的直徑，平分這條弦所對的弧，說法不正確，本選項不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題考查確定圓的條件，弧，圓心角，弦之間的關系，垂徑定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
3．（2022秋·江蘇徐州·九年級校考期末）下列命題中，正確的是（　　）
A．圓心角相等，所對的弦的弦心距相等 B．三點確定一個圓
C．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧 D．弦的垂直平分線必經過圓心
【答案】D
【分析】根據圓的確定，垂徑定理，弦，圓心角的關系，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：A、同圓或等圓中，圓心角相等，所對的弦的弦心距相等，選項說法錯誤，不符合題意；
B、不在同一直線上的三點確定一個圓，選項說法錯誤，不符合題意；
C、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，選項說法錯誤，不符合題意；
D、弦的垂直平分線必經過圓心，選項說法正確，符合題意；
故選D．
【點睛】本題考查判斷命題的真假．熟練掌握圓的確定，垂徑定理，弦，圓心角的關系，是解題的關鍵．
4．（2023秋·江蘇揚州·九年級校考期末）如圖，點，C在平面直角坐標系中，則的外心在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．原點O處 D．y軸上
【答案】B
【分析】根據直角坐標系的特點作AB、BC的垂直平分線即可求解．
【詳解】如圖，作AB、BC的垂直平分線，交點在第三象限，
故選B．
【點睛】此題主要考查三角形的外心的定義，解題的關鍵是根據題意作出垂直平分線求解．
5．（2021秋·江蘇泰州·九年級統考期中）下列命題中真命題的是（ ）
A．長度相等的弧是等弧 B．相等的圓心角所對的弦相等
C．任意三點確定一個圓 D．外心在三角形的一條邊上的三角形是直角三角形
【答案】D
【分析】根據等弧、圓心角與弦的關系、確定圓的條件、直角三角形的外心等知識一一判斷即可．
【詳解】解：A、在同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，故A中命題是假命題，不符合題意；
B、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，故B中命題是假命題，不符合題意；
C、不共線的三點確定一個圓，故C中命題是假命題，不符合題意；
D、外心在三角形的一條邊上的三角形是直角三角形，是真命題，本選項符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查判斷命題的真假，涉及等弧、圓心與弦的關系、確定圓的條件、直角三角形的外心等知識，熟知它們的前提條件是解答的關鍵．
6．（2022秋·江蘇南京·九年級統考期中）以下列三邊長度作出的三角形中，其外接圓半徑最小的是（ ）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，10
【答案】A
【分析】分別求出各三角形的外接圓半徑，比較即可．
【詳解】A、∵是等邊三角形，設O是外心，
∴，平分，
∴，
∴，
∴的外接圓的半徑為，
B、∵是等腰三角形，
過點A作于D，延長交于E，
∵，
∴，，
∴是的直徑，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴外接圓半徑為，
C、作于點D，作直徑，連接，
在中，，
在中，，
∴，
即,
解得，
由勾股定理得，
，
∵為圓的直徑，
∴，
∴，又，
∴，
∴，即，
解得，
則外接圓半徑，
D、∵，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形外接圓的半徑為5，
∴其外接圓半徑最小的是A選項，
故選：A．
【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心、相似三角形的判定與性質，勾股定理，掌握圓周角定理、相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．
7．（2023·江蘇·模擬預測）如圖，是的直徑，點C在上，，垂足為D，，點E是上的動點（不與C重合），點F為的中點，若在E運動過程中的最大值為4，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判斷出點，，，四點共圓，判斷出的最大值為，再求出，然后根據勾股定理即可求出答案．
【詳解】解：如圖，
連接，，
點是的中點，
，
，
，
，
，
點，，，在以為直徑的圓上，
，
∵，
在中，，，
根據勾股定理得，
故選A．
【點睛】此題主要考查了垂徑定理，四點共圓，勾股定理，作出輔助線判斷出點，，，四點共圓是解本題的關鍵．
8．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標為（1，3）、（5，3）、（1，－1），則△ABC外接圓的圓心坐標是（ ）
A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）
【答案】B
【分析】根據三角形的外心的概念作出外心，根據坐標與圖形性質解答即可．
【詳解】解：連接AB、AC，分別作AB、AC的垂直平分線，兩條垂直平分線交于點P，
則點P為△ABC外接圓的圓心，
由題意得：點P的坐標為（3，1），即△ABC外接圓的圓心坐標是（3，1），
故選：B．
【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心、坐標與圖形性質，掌握三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點是解題的關鍵．
9．（2023秋·江蘇無錫·九年級統考期末）如圖，是等邊三角形的外接圓，若的半徑為r，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】連接，，延長交于D，根據等邊三角形性質得出，，，求出，根據勾股定理求出，即可求出，根據三角形的面積公式求出即可．
【詳解】連接，，延長交于D，
∵等邊三角形是，
∴，，，
∴，
∴
由勾股定理得：，
∴
則的面積是
，
故選：D．
【點睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質，勾股定理，三角形的外接圓，三角形的面積等知識點的應用，關鍵是能正確作輔助線后求出的長，題目具有一定的代表性，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．
10．（2023秋·江蘇無錫·九年級統考期末）如圖，為的外心，為正三角形，與相交于點，連接．若，，則為（ ）
A．110° B．90° C．85° D．80°
【答案】C
【分析】由三角形的外心可知，結合，先求出，再利用是正三角形以及外角的性質即可求解的度數．
【詳解】解：是的外心，
是正三角形
故選C．
【點睛】本題主要考查外心的性質，等邊三角形的性質及三角形外角性質，熟練掌握外心的性質及外角的性質是解決本題的關鍵．
二、填空題
11．（2022秋·江蘇無錫·九年級江蘇省錫山高級中學實驗學校校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B、P的坐標分別為 ，， ．若點C在第一象限內，且橫坐標、縱坐標均為整數，P是的外心，則點C的坐標為______．
【答案】或或
【分析】如圖所示，以P為圓心，以的長為半徑畫圓，在圓上的格點即為所求．
【詳解】解：如圖所示，以P為圓心，以的長為半徑畫圓，
在圓上的格點有，，，
∵P是的外心，即點C在圓P上，且點C在第一象限，
∴點C的坐標為或或，
故答案為：或或．
【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，三角形外接圓，熟知點C在圓P上是解題的關鍵．
12．（2023秋·江蘇鎮江·九年級鎮江市外國語學校校考期末）已知一個直角三角形的兩條直角邊長分別為和，則這個直角三角形的外接圓的半徑為_____________．
【答案】
【分析】先用勾股定理求值直角三角形的斜邊長，再根據直角三角形的外接圓的特征，即可求解．
【詳解】∵一個直角三角形的兩條直角邊長分別為和，
∴直角三角形的斜邊長，
∵直角三角形的外接圓的直徑就是直角三角形的斜邊，
∴這個三角形的外接圓的直徑長為．
∴這個三角形的外接圓的半徑長為．
故答案是：．
【點睛】本題主要考查勾股定理以及直角三角形的外接圓，掌握直角三角形的外接圓的直徑就是直角三角形的斜邊，是解題的關鍵．
13．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考期中）平面直角坐標系中，已知的三個頂點分別為，則的外心的坐標為______．
【答案】
【分析】設的外心坐標為點，由三角形的外心到三個頂點的距離相等列出等量關系式，求出點P坐標，即可求解．
【詳解】解：設的外心坐標為點，則，
，，，
即解得：，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查三角形外心知識以及解直角三角形，掌握三角形的外心到三個頂點的距離相等是解題的關鍵．
14．（2022秋·江蘇淮安·九年級統考期中）如圖，△ABC的三個頂點都在直角坐標系中的格點上，圖中△ABC外接圓的圓心坐標是_______．
【答案】
【分析】設三角形的外心為，然后根據外心的性質可以得到關于x、y的方程組，解方程組即可得解．
【詳解】解：設三角形的外心為，由題意可得：
，
則，
解方程可得：，
故答案為．
【點睛】本題考查圓的綜合應用，熟練掌握三角形外接圓的性質、二元一次方程組的解法是解題關鍵．
15．（2022·江蘇無錫·無錫市天一實驗學校校考模擬預測）已知在中，，，則的外接圓的半徑是______ ．
【答案】
【分析】通過作輔助線，可將求外接圓的半徑轉化為求的斜邊長，再利用等腰三角形的性質即可．
【詳解】解：如圖，作，垂足為D，則O一定在上，
∴，
設，
即，
解得．
故答案為：．
【點睛】此題主要考查等腰三角形外接圓半徑的求法，正確利用勾股定理以及等腰三角形的性質是解題關鍵．
16．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統考期中）小明在與同學的嬉鬧中把校服劃壞了，劃壞的圖形恰好是一個直角三角形，這個直角三角形的兩條邊長分別是5和12，媽媽打算用一個圓形圖案把它蓋住縫補好，則媽媽用的圓形圖案所在圓的半徑最小值為___________．
【答案】6或6.5
【分析】由題意得，此圓形為直角三角形的外接圓，直角三角形的外接圓圓心是斜邊的中點，那么半徑為斜邊的一般，分兩種情況：①12為斜邊長；②5和12為兩條直角邊長，由勾股定理求得直角三角形的斜邊長，進而可求得外接圓的半徑．
【詳解】解：由勾股定理可知：
①當直角三角形的斜邊長為：12；
因此這個直角三角形的外接圓半徑為6，
②當兩條直角邊長為5和12，則直角三角形的斜邊長為：；
因此這個直角三角形的外接圓半徑為6.5
綜上所述：這個外接圓的半徑為6或6.5
故答案為：6或6.5
【點睛】本題考查了直角三角形的外接圓半徑和勾股定理，解題關鍵是理解直角三角形的外接圓是以斜邊中點為圓心，斜邊長的一半為半徑的圓．
17．（2021秋·江蘇鹽城·九年級統考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點為，點為，點為．用一個圓面去覆蓋，能夠完全覆蓋這個三角形的最小圓面的半徑是______．
【答案】
【分析】由題意可得，該圓為外接圓，根據垂徑定理確定外接圓的圓心，即可求解．
【詳解】解：由題意可得：完全覆蓋這個三角形的最小圓為外接圓，
作線段的垂直平分線，如圖，
可得外接圓的圓心坐標為，
半徑
故答案為：
【點睛】此題考查了三角形的外接圓，涉及了垂徑定理，解題的關鍵是確定外接圓的圓心．
18．（2020秋·江蘇南通·九年級南通田家炳中學校考期中）若點O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底邊BC＝4，則△ABC的面積為_____．
【答案】8﹣4或8+4
【分析】分兩種情形討論：①當圓心O在△ABC內部時．②當點O在△ABC外時．分別求解即可．
【詳解】解：由題意可得，
當△ABC為△A1BC時，連接OB、OC，
∵點O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底邊BC＝4，OB＝OC，
∴△OBC為等邊三角形，OB＝OC＝BC＝4，OA1⊥BC于點D，
∴CD＝2，
∴OD＝＝2，
∴A1D＝4﹣2，
∴△ABC的面積＝×4×（4﹣2）＝8﹣4，
當△ABC為△A2BC時，連接OB、OC，
A2D＝4+2
同理可得，△ABC的面積＝8+4，
故答案為：8﹣4或8+4．
【點睛】本題考查三角形的外接圓與外心、等腰三角形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，注意一題多解，屬于中考常考題型．
三、解答題
19．（2022秋·江蘇鎮江·九年級統考期中）（1）請借助網格和一把無刻度直尺找出△ABC的外心點O；
（2）設每個小方格的邊長為1，求出外接圓⊙O的面積．
【答案】（1）見解析；（2）10π
【分析】（1）根據三角形的外心是三邊垂直平分線的交點作出點O；
（2）根據勾股定理求出圓的半徑，根據圓的面積公式計算，得到答案．
【詳解】解：（1）如圖所示，點O即為所求；
（2）連接OB，
由勾股定理得：OB＝，
∴外接圓⊙O的面積為：π×（）2＝10π．
【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握三角形的外心的概念、熟記圓的面積公式是解題的關鍵．
20．（2022秋·江蘇無錫·九年級江蘇省錫山高級中學實驗學校校考期中）請用無刻度的直尺和圓規作圖，不寫做法，保留作圖痕跡，標上相應字母．
(1)已知，作，使圓心P到、邊的距離相等，且經過A、B兩點．
(2)如圖，四邊形是直角梯形，作，使與邊都相切．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）作線段的垂直平分線，再作的角平分線交于P，再以P為圓心，以為半徑作圓即可；
（2）分別作的角平分線，二者交于P，過點P作于E，以P為圓心，以為半徑畫圓即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）解：如圖所示，即為所求；
【點睛】本題主要考查了尺規作圖—作角平分線，作線段垂直平分線，作圓，熟知相關作圖方法是解題的關鍵．
21．（2023·江蘇宿遷·統考一模）已知，點D是的邊上一點．
(1)如圖甲，，垂足為E，平分交邊于點F，交邊于點O，求證：；
(2)如圖乙，交邊于點E，平分交邊于點O，，垂足為點F，求；
(3)如圖丙，在線段上找一點O作，使經過點D且與相切．（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，寫出作法過程，不證明）
【答案】(1)見解析；
(2)見解析；
(3)見解析．
【分析】（1）由，易證，由“兩直線平行，內錯角相等”得到，結合角平分線得到，最后依據“等角對等邊”可證明；
（2）由題意易得，由平分線得到，易證得；
（3）過點D作交邊于點E，點E作平分交邊于點O，點O作，垂足為點F，以點O為圓心，為半徑作圓，為所求．
【詳解】（1）證明：如圖甲，
，，
，
，
平分，
，
，
；
（2）證明：如圖乙，
，，
，
平分，
，
在與中，
，
；
（3）如圖，過點D作交邊于點E，點E作平分交邊于點O，點O作，垂足為點F，以點O為圓心，為半徑作圓，
與相切，
由（2）可知，
，
經過點D，
即為所求．
【點睛】本題考查了垂直的定義、角平分線的性質、平行線的判定和性質、等角對等邊、全等三角形的證明和性質、尺規作圖；解題的關鍵是熟練掌握相關性質及尺規作圖方法．
22．（2023秋·江蘇連云港·九年級統考期中）如圖，在平面直角坐標系中，、、．
(1)在圖中畫出經過、、三點的圓弧所在圓的圓心的位置；
(2)坐標原點與有何位置關系？并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)點在內部，理由見解析
【分析】（1）根據圓心必在圓內任意一條弦的垂直平分線上，只需要作出的垂直平分線，二者的交點即為點M；
（2）利用勾股定理求出的長即可得到答案；
【詳解】（1）解：如圖所示，點M即為所求；
（2）解：點在內部，理由如下：
由（1）得點M的坐標為，
∴，
∵，
∴點在內部；
【點睛】本題主要考查了確定圓的圓心位置，勾股定理，點與圓的位置關系，正確求出圓心的位置是解題的關鍵．
23．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）如圖，，是的高，，相交于點是的中點，是的外接圓．
(1)點是否在以點M為圓心得同一個圓上？請說明理由．
(2)若，，求外接圓的半徑長．
【答案】(1)點在以點M為圓心得同一個圓上，理由見解析
(2)外接圓的半徑長是5
【分析】（1）連接，根據垂直定義可得，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質可得，，從而可得，即可解答；
（2）連接并延長交于點G，連接并延長交于點H，連接，根據三角形的高是交于一點的可得，再根據直徑所對的圓周角是直角可得，從而可得，，然后利用平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，從而可得，最后在中，利用勾股定理進行計算即可解答．
【詳解】（1）解：點在以點M為圓心的同一個圓上．
理由：連接，
∵是的高，相交于點F，
∴，，
∴．
∵M是的中點，
∴，，
∴，
∴點在以點M為圓心的同一個圓上；
（2）解：連接并延長交于點G，連接并延長交于點H，連接，
∵是的高，相交于點F，
∴，．
∵是的直徑，
∴，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
在中，，
∴，
∴外接圓的半徑長為5．
【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，直角三角形斜邊上的中線，點與圓的位置關系，確定圓的條件，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
24．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學校考一模）已知是直線l和雙曲線的交點．
(1)求m的值．
(2)若直線l分別和x軸、y軸交于E、F兩點，且點A是的外心，試確定直線l的解析式．
(3)在雙曲線上另取一點B，過B作軸于K，試問：在y軸上是否存在點P，使得？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）直接把點坐標代入可計算出；
（2）由于為直角三角形，點是的外心，根據直角三角形外心為斜邊的中點得到點，為的中點，再根據線段中點的坐標公式得到點坐標為，點坐標為，然后利用待定系數法確定的解析式；
（3）根據反比例函數的比例系數的幾何意義得到，設，利用三角形面積公式得到，然后求出即可得到點坐標．
【詳解】（1）解：把代入得，
解得；
（2）為直角三角形，點是的外心，
點，為的中點，
點坐標為，點坐標為，
設直線的解析式為，
把，代入得，
解得，
直線的解析式為；
（3）存在．理由如下：
連接，設，
，
，
，
或
滿足條件的點坐標為或．
【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：反比例函數與一次函數圖象的交點坐標滿足兩函數的解析式．也考查了待定系數法求函數解析式以及反比例函數的比例系數的幾何意義．
25．（2022秋·江蘇常州·九年級統考期中）閱讀下列材料：
已知實數m，n滿足 ，試求的值．
解：設，則原方程變為，整理得，，所以，因為，所以,上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化．根據以上閱讀材料內容，解決下列問題，并寫出解答過程．
(1)已知實數x、y滿足 ，求值；
(2)已知的三邊為a、b、c（c為斜邊），且a、b滿足，外接圓的半徑．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設，解一元二次方程得到 ，根據，得到，即可得到答案；
（2）設，解一元二次方程得到，根據勾股定理求出c，即可得到答案．
【詳解】（1）解：設，
則原方程變形為，
整理得：，
解得，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：設，
則原方程變形為 ，
整理得，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
∴外接圓的半徑 ．
【點睛】本題考查的是三角形的外心、一元二次方程的解法，掌握換元法解一元二次方程的一般步驟是解題的關鍵．
26．（2023·江蘇宿遷·統考三模）尺規作圖蘊含豐富的推理，還體現逆向思維，請嘗試用無刻度的直尺和圓規完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．

(1)【圓的作圖】點P是中邊上的一點，在圖1中作，使它與的兩邊相切，點P是其中一個切點；
(2)點P是中邊上的一點，在圖2中作，使它滿足以下條件：
①圓心O在上；②經過點P；③與邊相切；
(3)【不可及點的作圖】如圖3，從墻邊上引兩條不平行的射線（交點在墻的另一側，畫不到），作這兩條射線所形成角的平分線．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）根據尺規作圖角平分線、垂直平分線作出結果；
（2）根據尺規作圖角平分線、垂直平分線、已知線段作出結果，有多種不同做法．
（3）根據尺規作圖作角平分線、作垂直平分線、作已知線段、作垂線作出結果，有多種不同做法．
【詳解】（1）解：

①過點作，垂足為點；
②作的平分線 交于點；
③以點為圓心，長為半徑作圓；
則⊙為所求的圖形．
（2）
法1：①過點作的垂線交于點，
②在上截取，
③作交于點
（或作的平分線交于點）；
④以點為圓心，長為半徑作圓；
則⊙為所求的圖形．

法2：①過點作，垂足為點；
②作的平分線交于點；
③作的垂直平分線交于點；
（或過點作交于點；或作交于點）；
④以點為圓心，長為半徑作圓；
則⊙為所求的圖形．

法3：①反向延長射線，過點作，垂足為點；
②作的平分線；
③過點作，交于點；
④作的垂直平分線交于點；
（或過點作交于點）；
⑤以點為圓心，長為半徑作圓；
則⊙為所求的圖形．

法4：①在上任取一點（除外），作，垂足為點；
②以點為圓心，長為半徑作⊙，交于點；
③過點作，交于點；
④過點作，交于點；
⑤以點為圓心，長為半徑作圓；
則⊙為所求的圖形．

法5：①在上任取一點（除外），作，垂足為點；
②以點為圓心，長為半徑作⊙交于點；
③連接，并延長交于點；
④過點作交于點；
⑤以點為圓心，長為半徑作圓；
則⊙為所求的圖形．

（3）法1：①在上任取一點（除外），在上任取一點（除外），連接；
②作的平分線，作的平分線，兩平分線交于點；
③同樣方法，得點；
④作直線；則直線為所求的圖形．

法2：①在上任取一點（除外），在上任取一點（除外），連接；
②作的平分線，作的平分線，兩平分線交于點；
③作的平分線，作的平分線，兩平分線交于點；
④作直線；則直線為所求的圖形．

法3：①在上任取一點（除外），在上任取一點（除外），連接；
②作的平分線，作的平分線，兩平分線交于點；
③過點作，垂足為點；
④過點作，垂足為點；
⑤作的平分線；
則直線為所求的圖形．

法4：①在上任取一點（除外），過點作；
②作的平分線，交于點；
③作線段的垂直平分線；則直線為所求的圖形．

法5：①在上任取一點（除外），在上任取一點（除外）；
②過點作，垂足為點；過點作，垂足為點；與交于點；
③作的平分線交于點，射線反向延長線交于點；
④作線段平分線；則直線為所求的圖形．

法6: ①在上任取一點（除外），過點作，垂足為點；
②過點作，垂足為點；
③作的平分線交于點；
④作線段的垂直平分線；
則直線為所求的圖形．

法7: ①在上任取兩點、（除外），以點為圓心，長為半徑作⊙；
②過點作，交⊙于點；
③連接并延長交于點；
④作線段的垂直平分線；

則直線為所求的圖形．
【點睛】本題考查了尺規作圖作角平分線、作垂直平分線、作已知線段、作垂線，其中熟練運用作圖方法并保留作圖痕跡是解題關鍵．
一．選擇題
1．經過不在同一直線上的三個點可以作圓的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．無數
【分析】不在同一直線上的三點確定一個圓．
【解答】解：經過不在同一直線上的三點確定一個圓．
故選：A．
【點評】本題考查的是圓的確定，過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數個圓，過兩點也能畫無數個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．
2．下列說法正確的個數有（　　）
①平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧；
②在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧也相等；
③等弧所對的圓心角相等；
④過三點可以畫一個圓．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根據垂徑定理，圓心角、弧、弦的關系以及確定圓的條件進行逐個判斷即可．
【解答】解：①平分弦（弦不是直徑）的直徑，平分這條弦所對的弧，說法錯誤；
②在等圓中，如果弦相等，但它們所對的弧不一定相等，說法錯誤；
③等弧所對的圓心角相等，說法正確；
④過不在同一直線上的三點可以畫一個圓，說法錯誤．
綜上所述，正確的說法有1個．
故選：A．
【點評】本題考查的是垂徑定理，圓心角、弧、弦的關系及確定圓的條件，在解答此類問題時要注意只有在同圓或等圓中，等弧所對的圓心角、弦、弦心距都分別相等．
3．下列說法正確的是（　　）
A．一個三角形只有一個外接圓
B．三點確定一個圓
C．長度相等的弧是等弧
D．三角形的外心到三角形三條邊的距離相等
【分析】根據三角形的外接圓、等弧的定義、三角形外心的性質判斷即可．
【解答】解：A、任意三角形都有且只有一個外接圓，正確，本選項符合題意；
B、不共線的三點確定一個圓，原說法錯誤，本選項不符合題意；
C、長度相等的弧不一定是等弧，原說法錯誤，本選項不符合題意；
D、三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，原說法錯誤，本選項不符合題意．
故選：A．
【點評】本題考查了三角形的外接圓、等弧的定義，熟練掌握圓的有關概念是解題的關鍵．
4．小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應該是（　　）
A．第一塊 B．第二塊 C．第三塊 D．第四塊
【分析】要確定圓的大小需知道其半徑．根據垂徑定理知第①塊可確定半徑的大小．
【解答】解：第①塊出現一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，進而可得到半徑的長．
故選：A．
【點評】本題考查了確定圓的條件，解題的關鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點即為該圓的圓心．
5．如圖，已知平面直角坐標系內三點A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P經過點A、B、C，則點P的坐標為（　　）
A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，）
【分析】根據題意可知點P的橫坐標為4，設點P的坐標為（4，y），根據PA＝PC列出關于y的方程，解方程得到答案．
【解答】解：∵⊙P經過點A、B、C，
∴點P在線段AB的垂直平分線上，
∴點P的橫坐標為4，
設點P的坐標為（4，y），
作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，
由題意得，
，
解得，y，
故選：C．
【點評】本題考查的是確定圓的條件，解題的關鍵是理解經過不在同一直線上的三點作圓，圓心是過任意兩點的線段的垂直平分線的交點．
6．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，則點O是△ABC的（　　）
A．三條高線的交點
B．三條邊的垂直平分線的交點
C．三條中線的交點
D．三角形三內角角平分線的交點
【分析】根據三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，進而得出答案．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圓，
∴點O是△ABC的三條邊的垂直平分線的交點．
故選：B．
【點評】此題主要考查了三角形的外接圓與外心，正確把握外心的定義是解題關鍵．
7．已知正三角形的邊長為12，則這個正三角形外接圓的半徑是（　　）
A．2 B． C．3 D．4
【分析】設正△ABC的中心為O，過O點作OD⊥BC，垂足為D，連接OB，把問題轉化到Rt△OBD中求OB即可．
【解答】解：如圖，連接OB，作OD⊥BC，
∵BC＝12，
∴BDBC12＝6，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠OBD＝30°，
∴OB．
故選：D．
【點評】本題考查了正多邊形和圓．關鍵是畫出正三角形及其中心，表示正三角形外接圓的半徑，把問題轉化到直角三角形中求解．
8．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC為直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x軸，M為Rt△ABC的外心．若點A的坐標為（3，4），點M的坐標為（﹣1，1），則點B的坐標為（　　）
A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）
【分析】設C（m，n），利用直角三角形的外心為斜邊的中點，根據線段的中點坐標公式得到﹣1，1，求出m、n得到點C的坐標為（﹣5，﹣2），由于AB⊥x軸，BC∥x軸，從而得到B點坐標．
【解答】解：∵M為Rt△ABC的外心，
∴M點為AC的中點，
設C（m，n），
∵點A的坐標為（3，4），點M的坐標為（﹣1，1），
∴﹣1，1，
解得m＝﹣5，n＝﹣2，
∴點C的坐標為（﹣5，﹣2），
∵∠ABC＝90°，AB⊥x軸，
∴BC∥x軸，
∴B點坐標為（3，﹣2）．
故選：B．
【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心；銳角三角形的外心在三角形的內部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．也考查了坐標與圖形性質．
9．如圖，在平面直角坐標系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．則△ABC的外心坐標為（　　）
A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）
【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點，所以在平面直角坐標系中作AB與BC的垂線，兩垂線的交點即為△ABC的外心．
【解答】解：如圖，根據網格點O′即為所求．
∵△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點，
∴EF與MN的交點O′即為所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐標是（﹣2，1）．
故選：D．
【點評】此題考查了三角形的外接圓與外心，坐標與圖形性質．注意三角形的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點．解此題的關鍵是數形結合思想的應用．
10．如圖，在等邊△ABC中，AB＝4，點D為AB的中點，動點E、F分別在AD、BC上，且EF＝2，作△BEF的外接圓⊙O，交AC于點G、H．當動點E從點D向點A運動時，線段GH長度的變化情況為（　　）
A．一直不變 B．一直變大
C．先變小再變大 D．先變大再變小
【分析】由等腰三角形的性質可求ON＝1，FO＝OB＝GO＝OH＝2，則點O在以點B為圓心，2為半徑的圓上運動，由勾股定理可求GH＝2，即可求解．
【解答】解：如圖，連接BO，EO，FO，GO，HO，過點O作ON⊥EF于N，OP⊥GH于P，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠EOF＝120°，
∵OE＝OF，ON⊥EF，
∴∠OEF＝∠OFE＝30°，EN＝FN，
∴OF＝2ON，FNON，
∴ON＝1，FO＝2，
∴OB＝GO＝OH＝2，
∴點O在以點B為圓心，2為半徑的圓上運動，
∵OG＝OH，OP⊥GH，
∴GH＝2PH，
∵PH，
∴GH＝2，
∵動點E從點D向點A運動時，OP的長是先變小再變大，
∴GH的長度是先變大再變小，
故選：D．
【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，等邊三角形的性質，直角三角形的性質，勾股定理，確定點O的運動軌跡是解題的關鍵．
二．填空題
11．（2021秋 東光縣期中）經過兩點可以做 　無數個　個圓，不在同一直線的 　三　個點可以確定一個圓．
【分析】經過兩點可以做無數個個圓，不在同一直線的三個點可以確定一個圓．
【解答】解：經過兩點可以做無數個個圓，不在同一直線的三個點可以確定一個圓．
故答案為：無數個，三．
【點評】本題考查了確定圓的條件及確定直線的條件，屬于基礎題，比較簡單．
12．（2021秋 建鄴區期中）當A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三點可以確定一個圓，則n需要滿足的條件為 　n≠﹣8　．
【分析】能確定一個圓就是不在同一直線上，首先確定直線AB的解析式，然后點C不滿足求得的直線即可．
【解答】解：設直線AB的解析式為y＝kx+b，
∵A（1，2），B（3，﹣3），
∴，
解得：k＝﹣，b＝，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+，
∵點A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三點可以確定一個圓時，
∴點C不在直線AB上，
∴n＝﹣×5+＝﹣8，
∴當點A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三點可以確定一個圓，則n需要滿足的條件為n≠﹣8，
故答案為：n≠﹣8．
【點評】本題考查了確定圓的條件及坐標與圖形的性質，能夠了解確定一個圓時三點不共線是解答本題的關鍵．
13．平面直角坐標系內的三個點A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）　能　確定一個圓（填“能”或“不能”）．
【分析】根據三個點的坐標特征得到它們不共線，于是根據確定圓的條件可判斷它們能確定一個圓．
【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），
∴BC∥x軸，
而點A（1，0）在x軸上，
∴點A、B、C不共線，
∴三個點A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能確定一個圓．
故答案為：能．
【點評】本題考查了確定圓的條件：不在同一直線上的三點確定一個圓．
14．在平面直角坐標系中有A，B，C三點，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．現在要畫一個圓同時經過這三點，則圓心坐標為　（2，0）　．
【分析】根據不在同一直線上的三點能確定一個圓，該圓圓心在三點中任意兩點連線的垂直平分線上，據此及勾股定理可列式求解．
【解答】解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直線上
∴經過點A，B，C可以確定一個圓
∴該圓圓心必在線段AB的垂直平分線上
∴設圓心坐標為M（2，m）
則點M在線段BC的垂直平分線上
∴MB＝MC
由勾股定理得：
∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1
∴m＝0
∴圓心坐標為M（2，0）
故答案為：（2，0）．
【點評】本題考查了確定圓的條件，明確不在同一直線上的三點確定一個圓及圓心在這三條線段的垂直平分線的交點上，是解題的關鍵．
15．如圖，點A、點B是直線l上兩點，AB＝10，點M在直線l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若點P為直線l上一動點，連接MP，則線段MP的最小值是 　4.8　．
【分析】根據垂線段最短可知：當MP⊥AB時，MP有最小值，再利用三角形的面積可列式計算求解MP的最小值．
【解答】解：當MP⊥AB時，MP有最小值，
∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，
∴AB MP＝AM BM，
即10MP＝6×8，
解得MP＝4.8．
故答案為：4.8．
【點評】本題主要考查垂線段最短，三角形的面積，找到MP最小時的P點位置是解題的關鍵．
16．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，C的橫、縱坐標都為整數，過這三個點作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標為 　（2，1）　．
【分析】根據圖形得出A、B、C的坐標，再連接AB，作線段AB和線段BC的垂直平分線MN、EF，兩線交于Q，則Q是圓弧的圓心，最后求出點Q的坐標即可．
【解答】解：從圖形可知：A點的坐標是（0，2），B點的坐標是（1，3），C點的坐標是（3，3），
連接AB，作線段AB和線段BC的垂直平分線MN、EF，兩線交于Q，則Q是圓弧的圓心，如圖，
∴Q點的坐標是（2，1），
故答案為：（2，1）．
【點評】本題考查了確定圓的條件，坐標與圖形性質，垂徑定理等知識點，能找出圓弧的圓心Q的位置是解此題的關鍵．
17．（2022 蘇州二模）如圖，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，D是△ABC內一動點，⊙O為△ACD的外接圓，⊙O交直線BD于點P，交邊BC于點E，若＝，則AD的最小值為 　2﹣6　．
【分析】根據＝得∠ACB＝∠CDP．再由∠ACB＝30°可得到∠BDC＝150°，于是點D在以BC為弦，∠BDC＝150°的圓弧上運動，再由∠BMC＝60°可證明∠ACM＝90°，從而算出AM＝2，再由當A、D、M三點共線時，AD最小，求出此時AD的長即可．
【解答】解：∵＝，
∴∠ACB＝∠CDP．
∵∠ACB＝30°，
∴∠CDP＝30°，
∴∠BDC＝180°﹣30°＝150°，
∴點D在以BC為弦，∠BDC＝150°的圓弧上運動，
如圖，設D點運動的圓弧圓心為M，取優弧BC上一點N，
連接MB，MC，NB，NC，AM，MD，
則∠BNC＝180°﹣∠BDC＝30°，
∴∠BMC＝60°，
∵BM＝CM，
∴△BMC為等邊三角形，
∴∠MCB＝60°，MC＝BC＝6，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACM＝90°，
∴AM＝＝＝2，
∴當A、D、M三點共線時，AD最小，
此時，AD＝AM﹣MD＝2﹣6．
故答案為：2﹣6．
【點評】此題主要考查了圓周角定理、等邊三角形的性質、勾股定理、三角形三邊關系，解決此題的關鍵是證明出∠BDC＝150°，分析出D在以BC為弦，∠BDC＝150°的圓弧上運動．
三．解答題
18．如圖，正三角形ABC內接于⊙O，⊙O的半徑為r，求這個正三角形的周長和面積．
【分析】連接OB、OC，作OD⊥BC于D，則∠ODB＝90°，BD＝CD，∠OBC＝30°，由含30°角的直角三角形的性質得出OD，由勾股定理求出BD，得出BC，△ABC的面積＝3S△OBC，即可得出結果．
【解答】解：如圖所示：
連接OB、OC，作OD⊥BC于D，
則∠ODB＝90°，BD＝CD，∠OBC＝30°，
∴ODOBr，
∴BDr，
∴BC＝2BDr，
即正三角形ABC邊長為r．
∴正三角形ABC周長為．
∴△ABC的面積＝3S△OBC＝3BC×OD＝3rr．
∴正三角形ABC面積為．
【點評】本題考查了等邊三角形的性質、垂徑定理、勾股定理、三角形面積的計算；熟練掌握正三角形和圓的關系，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．
19．如圖，△ABC內接于⊙O；∠A＝30°，過圓心O作OD⊥BC，垂足為D．若⊙O的半徑為6，求OD的長．
【分析】先證△BOC是等邊三角形，可得OB＝OC＝BC＝6，由勾股定理可求解．
【解答】解：如圖，連接OB，OC，
∵∠BOC＝2∠A，∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等邊三角形，
∴OB＝OC＝BC＝6，
∵OD⊥BC，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ODB中，OD3．
【點評】本題考查了三角形的外接圓和外心，等邊三角形的性質，勾股定理等知識，掌握圓周角定理是解題的關鍵．
20．如圖，△ABC內接于⊙O，高AD經過圓心O．
（1）求證：AB＝AC；
（2）若BC＝8，⊙O的半徑為5，求△ABC的面積．
【分析】（1）根據垂徑定理得到，根據圓心角、弧、弦之間的關系定理證明結論；
（2）連接OB，根據垂徑定理求出BD，根據勾股定理求出OD，根據三角形 的面積公式計算，得到答案．
【解答】（1）證明：∵OD⊥BC，
∴，
∴AB＝AC；
（2）解：連接OB，
∵OD⊥BC，BC＝8，
∴BD＝DCBC8＝4，
在Rt△ODB中，OD3，
∴AD＝5+3＝8，
∴S△ABC8×8＝32．
【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓心角、弧、弦之間的關系定理是解題的關鍵．
21．（1）請借助網格和一把無刻度直尺找出△ABC的外心點O；
（2）設每個小方格的邊長為1，求出外接圓⊙O的面積．
【分析】（1）根據三角形的外心是三邊垂直平分線的交點作出點O；
（2）根據勾股定理求出圓的半徑，根據圓的面積公式計算，得到答案．
【解答】解：（1）如圖所示，點O即為所求；
（2）連接OB，
由勾股定理得：OB，
∴外接圓⊙O的面積為：π×（）2＝10π．
【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握三角形的外心的概念、熟記圓的面積公式是解題的關鍵．
22．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD⊥BC于點D，圓心O在AD上，AB＝10，BC＝12，求⊙O的半徑．
【分析】連接OB，根據垂徑定理首先求得BD的長，根據勾股定理求得AD的長，可以設出圓的半徑，在直角三角形OBD中，利用勾股定理即可列方程求得半徑．
【解答】解：如圖，連接OB．
∵AD是△ABC的高．
∴BDBC＝6，
在Rt△ABD中，AD8．
設圓的半徑是R．
則OD＝8﹣R．
在Rt△OBD中，根據勾股定理可以得到：R2＝36+（8﹣R）2，
解得：R．
∴⊙O的半徑為．
【點評】本題考查了三角形的外接圓和外心，垂徑定理以及勾股定理，關鍵是根據勾股定理轉化成方程問題．
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