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第07講 圓與對稱性（5種題型）
1.在探索過程中認識圓，理解圓的本質屬性；
2.了解圓及其有關概念，理解弦、弧、半圓、優弧、劣弧、同心圓、等圓、等弧等與圓有關的概念，理解
概念之間的區別和聯系；
一．圓的認識
（1）圓的定義
定義①：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．
定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．
（2）與圓有關的概念
弦、直徑、半徑、弧、半圓、優弧、劣弧、等圓、等弧等．
連接圓上任意兩點的線段叫弦，經過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優弧，小于半圓的弧叫做劣弧．
（3）圓的基本性質：①軸對稱性．②中心對稱性．
二．點與圓的位置關系
（1）點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：
①點P在圓外 d＞r
②點P在圓上 d＝r
①點P在圓內 d＜r
（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．
（3）符號“ ”讀作“等價于”，它表示從符號“ ”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．
三．垂徑定理
（1）垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．
（2）垂徑定理的推論
推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．
推論2：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．
推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．
四．垂徑定理的應用
垂徑定理的應用很廣泛，常見的有：
（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．
（2）垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．
這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數方法解決幾何問題即幾何代數解的數學思想方法一定要掌握．
五．圓心角、弧、弦的關系
（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．
說明：同一條弦對應兩條弧，其中一條是優弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優弧或劣弧．
（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關系
三者關系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉不變性，即：圓繞其圓心旋轉任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．
（4）在具體應用上述定理解決問題時，可根據需要，選擇其有關部分．
一．圓的認識（共3小題）
1．（2022秋 邗江區校級月考）已知⊙O的半徑是3cm，則⊙O中最長的弦長是（　　）
A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm
【分析】利用圓的直徑為圓中最長的弦求解．
【解答】解：∵圓的直徑為圓中最長的弦，
∴⊙O中最長的弦長為2×3＝6（cm）．
故選：B．
【點評】本題考查了圓的認識：熟練掌握與圓有關的概念（ 弦、直徑、半徑、弧、半圓、優弧、劣弧、等圓、等弧等）．
2．（2022秋 江陰市校級月考）下列說法錯誤的是（　　）
A．直徑是圓中最長的弦
B．半徑相等的兩個半圓是等弧
C．面積相等的兩個圓是等圓
D．半圓是圓中最長的弧
【分析】利用圓的有關定義和性質分別判斷后即可確定正確的選項．
【解答】解：A、直徑是圓中最長的弦，說法正確，不符合題意；
B、半徑相等的兩個半圓是等弧，說法正確，不符合題意；
C、面積相等的兩個圓是等圓，說法正確，不符合題意；
D、由于半圓小于優弧，所以半圓是圓中最長的弧說法錯誤，符合題意．
故選：D．
【點評】考查了圓的有關概念，解題的關鍵是了解圓的有關定義及性質，難度不大．
3．（2022秋 啟東市校級月考）畫圓時圓規兩腳間可叉開的距離是圓的（　　）
A．直徑 B．半徑 C．周長 D．面積
【分析】畫圓時，圓規兩腳分開的距離，即圓的半徑，據此解答即可．
【解答】解：畫圓時圓規兩腳間可叉開的距離是圓的半徑．
故選：B．
【點評】本題主要考查了圓的認識，認識平面圖形，解答本題關鍵是抓住圓規畫圓的方法．
二．點與圓的位置關系（共6小題）
4．（2022秋 連云港期中）已知⊙O的半徑為3，點P在⊙O外，則OP的長可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由⊙O的半徑及點P在⊙O外，可得出OP的長大于3，再對照四個選項即可得出結論．
【解答】解：∵⊙O的半徑為3，點P在⊙O外，
∴OP的長大于3．
故選：D．
【點評】本題考查了點與圓的位置關系，牢記“①點P在圓外 d＞r；②點P在圓上 d＝r；③點P在圓內 d＜r”是解題的關鍵．
5．（2021秋 無錫期末）已知⊙O的半徑為4，OA＝5，則點A在（　　）
A．⊙O內 B．⊙O上 C．⊙O外 D．無法確定
【分析】根據點與圓的位置關系的判定方法進行判斷．
【解答】解：∵⊙O的半徑為4，OA＝5，
∴OA＞半徑，
∴點A在⊙O外．
故選：C．
【點評】本題考查了點與圓的位置關系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．
6．（2022秋 江陰市校級月考）已知⊙O的半徑是4，OA＝3，則點A與⊙O的位置關系是（　　）
A．點A在圓內 B．點A在圓上 C．點A在圓外 D．無法確定
【分析】根據⊙O的半徑r＝4，且點A到圓心O的距離d＝3知d＜r，據此可得答案．
【解答】解：∵⊙O的半徑r＝4，且點A到圓心O的距離d＝3，
∴d＜r，
∴點A在⊙O內，
故選：A．
【點評】本題主要考查點與圓的位置關系，點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外 d＞r；②點P在圓上 d＝r；③點P在圓內 d＜r．
7．（2022秋 如皋市期中）在數軸上，點A所表示的實數為4，點B所表示的實數為b，⊙A的半徑為2，要使點B在⊙A內時，實數b的取值范圍是（　　）
A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6
【分析】首先確定AB的取值范圍，然后根據點A所表示的實數寫出a的取值范圍，即可得到正確選項．
【解答】解：∵⊙A的半徑為2，若點B在⊙A內，
∴AB＜2，
∵點A所表示的實數為4，
∴2＜b＜6，
故選：D．
【點評】本題考查了點與圓的位置關系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．
8．（2022秋 梁溪區校級期中）已知⊙O的半徑是4，點P到圓心O的距離d為方程x2﹣4x﹣5＝0的一個根，則點P與⊙O的位置關系為（　　）
A．點P在⊙O內 B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O外 D．不能確定
【分析】求出方程的根，再根據點到圓心的距離與半徑的大小關系判斷位置關系即可．
【解答】解：x2﹣4x﹣5＝0的根為x1＝5，x2＝﹣1＜0（舍去），
于是點P到圓心O的距離d＝5，而半徑r＝4，
∴d＞r，
所以點P在⊙O的外部，
故選：C．
【點評】本題考查點與圓的位置關系，解一元二次方程，求出方程的根是解決問題的前提，掌握點到圓心的距離與半徑的大小是判斷點與圓位置關系的關鍵．
9．（2022秋 東臺市期中）如圖，點A，B的坐標分別為A（3，0）、B（0，3），點C為坐標平面內的一點，且BC＝2，點M為線段AC的中點，連接OM，則OM的最大值為（　　）
A． B． C． D．2
【分析】作點A關于點O的對稱點A'根據中位線的性質得到OM＝A′C，求出A'C的最大值即可．
【解答】解：如圖，作點A關于點O的對稱點A'（﹣3，0），
則點O是AA'的中點，
又∵點M是AC的中點，
∴OM是△AA'C的中位線，
∴OM＝A′C，
∴當A'C最大時，OM最大，
∵點C為坐標平面內的一點，且BC＝2，
∴點C在以B為圓心，2為半徑的⊙B上運動，
∴當A'C經過圓心B時，A′C最大，即點C在圖中C'位置．
A'C'＝AB+BC'＝3+2．
∴OM的最大值＝+1．
故選：A．
【點評】本題考查了坐標和圖形的性質，三角形的中位線定理等知識，確定OM為最大值時點C的位置是解題的關鍵．
三．垂徑定理（共4小題）
10．（2022秋 錫山區校級月考）如圖，在⊙O中，OC⊥AB于點C，若⊙O的半徑為10，AB＝16，則OC的長為 　6　．
【分析】連接OA，利用垂徑定理，勾股定理求解即可．
【解答】解：如圖，連接OA．
∵OC⊥AB，
∴AC＝CB＝AB＝8，
∵OA＝10，∠ACO＝90°，
∴OC＝＝＝6，
故答案為：6．
【點評】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關鍵．
11．（2022秋 惠山區期中）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，若AB＝10，CD＝8，則圖中陰影部分的面積為 　20　．
【分析】利用垂徑定理，得出CH＝DH＝4，由OC＝OD得出Rt△COH≌Rt△DOH，進而得出圖中陰影部分的面積為S△ABD，即可得出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，CD＝8，
∴CH＝DH＝4，
∵OC＝OD，
∴Rt△COH≌Rt△DOH（HL），
∴S△COH＝S△DOH，
故圖中陰影部分的面積為：S△ABD＝AB DH＝×10×4＝20．
故答案為：20．
【點評】此題主要考查了垂徑定理，得出圖中陰影部分的面積為：S△ABD是解題關鍵．
12．（2022秋 高郵市期中）如圖，已知⊙O的直徑為26，弦AB＝24，動點P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若點M、N分別是弦AB、PQ的中點，則線段MN的取值范圍是（　　）
A．7≤MN≤17 B．14≤MN≤34 C．7＜MN＜17 D．6≤MN≤16
【分析】連接OM、ON、OA、OP，由垂徑定理得OM⊥AB，ON⊥PQ，AM＝AB＝12，PN＝PQ＝5，由勾股定理得OM＝5，ON＝12，當AB∥PQ時，M、O、N三點共線，當AB、PQ位于O的同側時，線段MN的長度最短＝ON﹣OM＝7，當AB、PQ位于O的兩側時，線段EF的長度最長＝OM+ON＝17，便可得出結論．
【解答】解：連接OM、ON、OA、OP，如圖所示：
∵⊙O的直徑為26，
∴OA＝OP＝13，
∵點M、N分別是弦AB、PQ的中點，AB＝24，PQ＝10，
∴OM⊥AB，ON⊥PQ，AM＝AB＝12，PN＝PQ＝5，
∴OM＝＝5，ON＝＝12，
當AB∥PQ時，M、O、N三點共線，
當AB、PQ位于O的同側時，線段MN的長度最短＝ON﹣OM＝12﹣5＝7，
當AB、PQ位于O的兩側時，線段MN的長度最長＝ON+OM＝12+5＝17，
∴線段MN的長度的取值范圍是7≤MN≤17，
故選：A．
【點評】本題考查了垂徑定理、勾股定理以及線段的最值問題，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．
13．（2022秋 大豐區月考）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，若BE＝CD＝8，則⊙O的半徑的長是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】連接OC，設⊙O的半徑為R，則OE＝8﹣R，根據垂徑定理得出CE＝DE＝4，根據勾股定理得出OC2＝CE2+OE2，代入后求出R即可．
【解答】解：連接OC，
設⊙O的半徑為R，則OE＝8﹣R，
∵CD⊥AB，AB過圓心O，CD＝8，
∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，
由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，
R2＝42+（8﹣R）2，
解得：R＝5，
即⊙O的半徑長是5，
故選：A．
【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題的關鍵．
四．垂徑定理的應用（共4小題）
14．（2022秋 如皋市校級月考）興隆蔬菜基地建圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB＝16m，半徑OA＝10m，高度CD為 　4　m．
【分析】根據圖可知OC⊥AB，由垂徑定理可知∠ADO＝90°，AD＝AB＝8，在Rt△AOD中，利用勾股定理可求OD，進而可求CD．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠ADO＝90°，AD＝AB＝8，
在Rt△AOD中，OD2＝OA2﹣AD2，
∴OD＝＝6，
∴CD＝10﹣6＝4（m）．
故答案是4．
【點評】本題考查了垂徑定理、勾股定理，解題的關鍵是先求出OD．
15．（2022秋 江寧區校級月考）如圖是一個隧道的橫截圖，它的形狀是以點O為圓心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中點，EM經過圓心O交⊙O于點E，若CD＝4m，EM＝6m，則⊙O的半徑為 　　m．
【分析】因為M是⊙O弦CD的中點，根據垂徑定理，EM⊥CD，則CM＝DM＝2，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，進而可求得半徑OC．
【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中點，
根據垂徑定理：EM⊥CD，
又CD＝4則有：CM＝CD＝2m，
設圓的半徑是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
所以圓的半徑長是m．
故答案為：．
【點評】此題主要考查了垂徑定理的應用，解決與弦有關的問題時，往往需構造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，若設圓的半徑為r，弦長為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r2＝d2+（）2成立，知道這三個量中的任意兩個，就可以求出另外一個．
16．（2022 鐘樓區校級模擬）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長為4米，⊙O半徑長為3米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（　　）
A．1米 B．2米 C．米 D．米
【分析】連接OC，OC交AB于D，由垂徑定理得AD＝BD＝AB＝2（米），再由勾股定理得OD＝（米），然后求出CD的長即可．
【解答】解：連接OC，OC交AB于D，
由題意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2（米），∠ADO＝90°，
∴OD＝＝＝（米），
∴CD＝OC﹣OD＝（3﹣）米，
即點C到弦AB所在直線的距離是（3﹣）米，
故選：C．
【點評】本題考查了垂徑定理的應用和勾股定理的應用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．
17．（2022秋 泰州月考）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；
（2）當洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時，是否要采取緊急措施？
【分析】（1）連接OA，利用r表示出OD的長，在Rt△AOD中根據勾股定理求出r的值即可；
（2）連接OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的長，進而可得出A′B′的長，據此可得出結論．
【解答】解：（1）連接OA，
由題意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）連接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）．
∴A′B′＝32（米）．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取緊急措施．
【點評】本題考查的是垂徑定理的應用，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關鍵．
五．圓心角、弧、弦的關系（共5小題）
18．（2022秋 溧水區期中）如圖，C是的中點，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，則所在圓的半徑為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．10
【分析】由垂徑定理，勾股定理，可以求解．
【解答】解：設所在圓的圓心為點O，⊙O的半徑為r，連接OD，OA，
∵CD⊥AB，點C是中點，
∴O，D，C三點共線，AD＝BD＝4，
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
∴r＝5，
故選：B．
【點評】本題考查勾股定理，垂徑定理，關鍵是定出圓心，構造直角三角形，應用勾股定理列出關于半徑的方程．
19．（2022秋 淮陰區月考）如圖，A、B、C、D是⊙O上四點，且AD＝CB，求證：AB＝CD．
【分析】根據圓心角、弧、弦之間的關系得出即可．
【解答】證明：∵AD＝CB，
∴＝，
∴+＝+，
即＝，
∴AB＝CD．
【點評】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關系，能根據定理求出＝是解此題的關鍵．
20．（2022秋 吳江區校級月考）如圖，⊙O在△ABC三邊上截得的弦長相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，則∠BOC＝（　　）
A．100° B．110° C．115° D．120°
【分析】過點O作OP⊥AB于點P，OQ⊥AC于點Q，OK⊥BC于點K，由于DE＝FG＝MN，所以弦的弦心距也相等，所以OB、OC是角平分線，可求出∠POQ，進而可求出∠BOC．
【解答】解：如圖，過點O作OP⊥AB于點P，OQ⊥AC于點Q，OK⊥BC于點K，
∴∠APO＝∠AQO＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠POQ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∵DE＝FG＝MN，
∴OP＝OK＝OQ，
∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，
∴∠BOC＝＝115°．
故選：C．
【點評】本題主要考查垂徑定理，解題關鍵是構造出輔助線——弦心距．
21．（2022秋 玄武區期末）如圖，在⊙O中，AB＝AC．
（1）若∠BOC＝100°，則的度數為 　130　°；
（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半徑．
【分析】（1）根據圓周角、弧、弦間的關系可以得到AB＝AC，結合等腰三角形的性質解答；
（2）連接AO，延長AO交BC于D，則AD⊥BC，構造直角三角形，通過勾股定理求得該圓的半徑即可．
【解答】解：（1）∵在⊙O中，∠BOC＝100°，
∴∠BAC＝50°，
∵＝，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴＝130°，
故答案為：130；
（2）連接AO，延長AO交BC于D，則AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝5，
∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝＝12；
在直角△OBD中，由勾股定理，得OB2＝（12﹣OB）2+52，
解得OB＝，即⊙O的半徑是．
【點評】考查了圓周角、弧、弦的關系，在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．
22．（2022秋 吳江區校級月考）已知⊙O的半徑為2，弦，弦，則∠BOC的度數為 　150°或30°　．
【分析】分類討論：①當點B和點C在AO兩側時，過點O作OP⊥AB于點P，作OQ⊥AC于點Q，根據垂徑定理可求出，，再根據勾股定理可求出，OQ＝1，從而得出AP＝OP，，即得出∠PAO＝45°，∠QAO＝30°，進而可求出∠BAC＝75°，最后由圓周角定理即可求出∠BOC的大小；
②當點B和點C在AO同側時，過點O作OM⊥AB于點M，作ON⊥AC于點N，同理可求出∠BAC＝15°，再由圓周角定理即可求出∠BOC的大小．
【解答】解：分類討論：①當點B和點C在AO兩側時，過點O作OP⊥AB于點P，作OQ⊥AC于點Q，如圖，
∴．
∵OA＝2，
∴，
∴AP＝OP，
∴∠PAO＝45°．
∵，OA＝2，
∴，
∴，
∴∠QAO＝30°，
∴∠BAC＝∠PAO+∠QAO＝75°
∴∠BOC＝2∠BAC＝150°；
②當點B和點C在AO同側時，過點O作OM⊥AB于點M，作ON⊥AC于點N，如圖，
由①同理可得：∠MAO＝45°，∠NAO＝30°，
∴∠BAC＝∠MAO﹣∠NAO＝15°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝30°．
綜上可知∠BOC的度數為150°或30°．
故答案為：150°或30°．
【點評】本題考查垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質，含30°角的直角三角形的性質．正確的作出圖形和輔助線并利用分類討論的思想是解題關鍵．
一．選擇題（共10小題）
1．（2022秋 邗江區期中）已知⊙O的半徑為2，則⊙O中最長的弦長（　　）
A．2 B． C．4 D．
【分析】利用圓的直徑為圓中最長的弦求解．
【解答】解：∵圓的直徑為圓中最長的弦，
∴⊙O中最長的弦長為2×2＝4．
故選：C．
【點評】本題考查了圓的認識：熟練掌握與圓有關的概念（ 弦、直徑、半徑、弧、半圓、優弧、劣弧、等圓、等弧等）．
2．（2022秋 無錫期末）已知⊙O的半徑為5cm，當線段OA＝5cm時，則點A在（　　）
A．⊙O內 B．⊙O上 C．⊙O外 D．無法確定
【分析】點在圓上，則d＝r；點在圓外，d＞r；點在圓內，d＜r（d即點到圓心的距離，r即圓的半徑）．
【解答】解：∵⊙O的半徑為5cm，OA＝5cm，
∴點A在⊙O上．
故選：B．
【點評】本題考查了點與圓的位置關系，判斷點與圓的位置關系，也就是比較點與圓心的距離和半徑的大小關系．
3．（2023 沛縣模擬）如圖．AB是⊙O的直徑，∠D＝40°，則∠BOC＝（　　）
A．80° B．100° C．120° D．140°
【分析】根據圓周角定理即可求出∠BOC．
【解答】解：∵∠D＝40°，
∴∠BOC＝2∠D＝80°．
故選：A．
【點評】本題考查圓周角定理，鄰補角定義等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
4．（2022秋 姑蘇區校級期中）已知⊙O的半徑為2，點P是⊙O內一點，且OP＝，過P作互相垂直的兩條弦AC、BD，則四邊形ABCD面積的最大值為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】設出OE＝x，利用勾股定理表示出AC，BD，用對角線互相垂直的四邊形的面積的計算方法建立面積和OE的函數關系式，即可得出結論．
【解答】解：如圖：
連接OA、OD，作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，
∵AC⊥BD，
∴四邊形OEPF為矩形，
∵OA＝OD＝2，OP＝，
設OE為x（x＞0），
根據勾股定理得，OF＝EP＝＝，
在Rt△AOE中，AE＝＝
∴AC＝2AE＝2，
同理得，BD＝2DF＝2＝2，
又∵任意對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的，
∴S四邊形ABCD＝AC×BD＝×2×2＝2＝2
當x2＝即：x＝時，四邊形ABCD的面積最大，等于2＝5．
故選：B．
【點評】此題是一道綜合性較強的題，融合了方程思想、數形結合思想．勾股定理，對角線互相垂直的四邊形的面積的計算方法，表示出AC，BD是解本題的關鍵．
5．（2023 鹽都區一模）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，OC⊥AB于點C，則OC的長為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由于OC⊥AB于點C，所以由垂徑定理可得，在Rt△ABC中，由勾股定理即可得到答案．
【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8，
∴，
在Rt△ABC中，OA＝5，AC＝4，
由勾股定理可得：．
故選：C．
【點評】本題考查了垂徑定理，熟練運用垂徑定理并結合勾股定理是解答本題的關鍵．
6．（2022秋 亭湖區校級期末）如圖是一個圓柱形的玻璃水杯，將其橫放，截面是個半徑為5cm的圓，杯內水面AB＝8cm，則水深CD是（　　）
A．cm B．cm C．2cm D．3cm
【分析】連接OA、OC，先由垂徑定理可得AC長，再由勾股定理得OC長，從而求出CD長．
【解答】解：如圖，連接OA、OC，
則OC⊥AB，
∴AC＝AB＝4（cm），
在Rt△OAC中，OC＝＝＝3（cm），
∴CD＝5﹣3＝2（cm）．
故選：C．
【點評】本題考查了垂徑定理的應用和勾股定理，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．
7．（2022秋 海陵區校級期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點D是的中點，過點D作DE⊥AB于點E，延長DE交⊙O于點F．若，AE＝2，則⊙O的直徑長為（　　）
A． B．8 C．10 D．
【分析】連接OF，首先證明，設OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理構建方程即可解決問題．
【解答】解：如圖，連接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE＝EF，，
∵點D是弧AC的中點，
∴，
∴，
∴，
∴，
設OA＝OF＝x，
在Rt△OEF中，則有，
解得x＝4，
∴AB＝2x＝8．
故選：B．
【點評】本題考查勾股定理，垂徑定理，弧，弦之間的關系等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考常考題型．
8．（2022秋 啟東市校級月考）下列說法中，不正確的是（　　）
A．過圓心的弦是圓的直徑
B．等弧的長度一定相等
C．周長相等的兩個圓是等圓
D．直徑是弦，半圓不是弧
【分析】對于A，直徑是通過圓心且兩個端點都在圓上的線段，即可進行判斷；
對于B，能重合的弧叫等弧，即可進行判斷；
對于C和D，分別根據等圓，直徑，半圓的知識，也可進行判斷．
【解答】解：A．直徑是通過圓心且兩個端點都在圓上的線段，故正確；
B．能重合的弧叫等弧，長度相等，故正確；
C．周長相等的圓其半徑也相等，為等圓，故正確．
D．直徑是弦，半圓是弧，故錯誤．
故選：D．
【點評】本題考查圓的認識，解題的關鍵是掌握弦，弧等知識，靈活運用所學知識解決問題．
9．（2022秋 邳州市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以點A為圓心，r為半徑作圓，當點C在⊙A內且點B在⊙A外時，r的值可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由勾股定理求出AC的長度，再由點C在⊙A內且點B在⊙A外求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝3，
∵點C在⊙A內且點B在⊙A外，
∴3＜r＜5，
故選：B．
【點評】本題考查點與圓的位置關系，解題關鍵是掌握勾股定理．
10．（2022秋 邗江區校級期末）已知圓O的半徑為5，同一平面內有一點P，且OP＝4，則點P與圓O的關系是（　　）
A．點P在圓內 B．點P在圓外 C．點P在圓上 D．無法確定
【分析】根據題意：OP＝4＜r，進行判斷即可．
【解答】解：設圓的半徑為r，
由題意得：OP＝4＜r＝5，
∴點P與圓O的關系是：點P在圓內．
故選：A．
【點評】本題考查點與圓的位置關系．熟練掌握利用點到圓心的距離與半徑的大小關系，來判斷點與圓的位置關系是解題的關鍵．
二．填空題（共8小題）
11．（2022秋 興化市期末）若⊙O的半徑為5，OA＝4，則點A與⊙O的位置關系是：點A在⊙O　內　．（填“內、上、外”）
【分析】要確定點與圓的位置關系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關系；利用d＞r時，點在圓外；當d＝r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內判斷出即可．
【解答】解：∵⊙O的半徑為5，OA＝4，
∴d＜r，
∴點A與⊙O的位置關系是：點A在⊙O內，
故答案為：內．
【點評】此題主要考查了對點與圓的位置關系的判斷．關鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d＞r時，點在圓外；當d＝r時，點在圓上，當d＜r時，點在圓內．
12．（2022秋 興化市校級期末）一個圓的半徑是15cm，點P在圓上，那么P點到該圓圓心的距離為 　15　cm．
【分析】圓上點到圓心的距離等于圓的半徑，由此即可求解．
【解答】解：根據題意，點P在圓上，圓的半徑是15cm，
∴P點到該圓圓心的距離為15cm，
故答案為：15．
【點評】本題主要考查的點與圓的位置關系，當點在圓外，點到圓心的距離大于半徑；當點在圓上，點到圓心的距離等于半徑；當點在圓內，點到圓心的距離小于半徑，解題的關鍵是看點到圓心的距離與圓半徑的關系．
13．（2023 邳州市一模）如圖，某同學準備用一根內半徑為5cm的塑料管裁一個引水槽，使槽口寬度AB為8cm，則槽的深度CD為 　2　cm．
【分析】根據垂徑定理得到，再利用勾股定理即可求出答案．
【解答】解：如圖，由題意可知，OA＝5cm，OC⊥AB，則cm，
在Rt△ADO中，由勾股定理得，
OD＝＝3（cm），
∴CD＝OC﹣OD
＝5﹣3
＝2（cm）．
故答案為2．
【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理、勾股定理是正確解答的前提．
14．（2023 鼓樓區模擬）如圖所示，小區內有個圓形花壇O，點C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，則這個花壇的半徑為 　20　．
【分析】通過作弦心距，構造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理進行計算即可．
【解答】解：如圖，連接OA，過點O作OD⊥AB，垂足為D，
∵AB是弦，OD⊥AB，AC＝11，BC＝21，
∴AD＝BD＝AB＝16，
∴CD＝AD﹣AC＝5，
∴OD＝
＝
＝12，
∴OA＝
＝
＝20．
故答案為：20．
【點評】本題考查垂徑定理的應用，掌握垂徑定理和勾股定理是解決問題的前提，構造直角三角形是正確解答的關鍵．
15．（2022秋 連云港期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C是BA延長線上一點，點D在⊙O上，且CD＝OE，CD的延長線交⊙O于點E．若∠C＝25°，則∠CEO度數為 　50　°．
【分析】根據CD＝OD求出∠DOC＝∠C＝25°，根據三角形的外角性質求出∠EDO＝∠C+∠DOC＝50°，根據等腰三角形的性質求出∠E＝∠EDO＝50°．
【解答】解：連接OD．
∵CD＝OE，OE＝OD，
∴CD＝OD，
∵∠C＝25°，
∴∠DOC＝∠C＝25°，
∴∠EDO＝∠C+∠DOC＝50°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠EDO＝50°．
故答案為：50．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，三角形的外角性質，圓心角、弧、弦之間的關系等知識點，能求出∠ODE的度數是解此題的關鍵．
16．（2022秋 連云港期末）如圖，在⊙O中，弦AB＝4，點C在AB上移動，連接OC，過點C作CD⊥OC，交⊙O于點D，則CD長的最大值為 　2　．
【分析】根據勾股定理求出CD，利用垂線段最短得到當OC⊥AB時，OC最小，根據垂徑定理計算即可．
【解答】解：∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝＝，
當OC的值最小時，CD的值最大，
OC⊥AB時，OC最小，此時D、B兩點重合，
∴CD＝CB＝AB＝2，
即CD的最大值為2，
故答案為：2．
【點評】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關鍵．
17．（2022秋 秦淮區期末）如圖，在以O為圓心半徑不同的兩個圓中，大圓和小圓的半徑分別為6和4，大圓的弦AB交小圓于點C，D．若AC＝3，則CD的長為 　　．
【分析】由垂徑定理得到CH＝DH，由勾股定理列出關于CH的方程，求出CH長，即可求出CD的長．
【解答】解：作OH⊥AB于H，連接OC，OA，設CH＝x，
∴CH＝DH，AH＝x+3，
∵OH2＝OC2﹣CH2＝OA2﹣AH2，
∴42﹣x2＝62﹣（x+3）2，
∴x＝，
∴CD＝2CH＝．
故答案為：．
【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理，關鍵是掌握垂徑定理，勾股定理．
18．（2023 南京二模）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E．若AB＝4，CE＝6，則⊙O的半徑r為 　　．
【分析】如圖，作輔助線；設⊙O的半徑為r，運用勾股定理列出r2＝22+（6﹣r）2，求出r即可解決問題．
【解答】解：如圖，連接OA．
設⊙O的半徑為r，則OE＝6﹣r．
∵弦AB⊥CD，
∴AE＝BE＝2；
由勾股定理得：r2＝22+（6﹣r）2，
解得：r＝，
故答案為：．
【點評】主要考查了垂徑定理、勾股定理及其應用問題；解題的關鍵是作輔助線，靈活運用勾股定理等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答．
三．解答題（共8小題）
19．（2022秋 如皋市校級月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠D＝90°，AB的中點為O．求證：A，B，C，D四點在以O為圓心的圓上．
【分析】連結OC、OD，由直角三角形斜邊上的中線定理得OA＝OB＝OC＝OD＝AB，則可得出結論．
【解答】證明：連結OC，OD，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB的中點為O，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝AB，
∴A，B，C，D四點在以O為圓心，OA長為半徑的圓上．
【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，圓的定義，是基礎題，熟記性質是解題的關鍵．
20．（2022秋 灌云縣月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E．若∠A＝25°，求∠DCE的度數．
【分析】先利用互余計算出∠B＝65°，再利用半徑相等得到CB＝CD，所以∠CDB＝∠B＝65°，然后利用三角形外角性質計算∠DCE的度數．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝65°，
∵∠CDB＝∠DCE+∠A，
∴∠DCE＝65°﹣25°＝40°．
【點評】本題考查了圓的認識：常常利用半徑相等組成等腰三角形，再利用等腰三角形的性質解決問題．
21．（2022秋 漣水縣校級月考）如圖，AB是⊙O的弦，點C、D在直線AB上，且AC＝BD，連接OC、OD．求證：OC＝OD
【分析】過O點作OH⊥CD于H點，如圖，根據垂徑定理得到AH＝BH，再證明CH＝DH，然后證明△OCH≌△ODH，從而得到OC＝OD．
【解答】證明：過O點作OH⊥CD于H點，如圖，則AH＝BH，
∵AC＝BD，
∴AC+AH＝BD+BH，
即CH＝DH，
在△OCH和△ODH中，
，
∴△OCH≌△ODH（SAS），
∴OC＝OD．
【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了全等三角形的判定與性質．
22．（2022秋 江陰市校級月考）平面直角坐標系中，點A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．
（1）在圖中清晰標出點P的位置；
（2）點P的坐標是 　（6，6）　，⊙P的半徑是 　5　．
【分析】點P的坐標是弦AB，CD的垂直平分線的交點．
【解答】解：（1）弦AB的垂直平分線是y＝6，弦CD的垂直平分線是x＝6，因而交點P的坐標是（6，6）．
（2）點P的坐標是，⊙P的半徑是P的半徑是PA的長，，
故答案為：（6，6），5．
【點評】本題考查了點和圓的位置關系，掌握圓心是圓的垂直平分線的交點，是解決本題的關鍵．
23．（2022秋 海州區校級月考）在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．
（1）若以A為圓心，6cm長為半徑作⊙A（畫圖），則B、C、D與圓的位置關系是什么？
（2）若作⊙A，使B、C、D三點至少有一個點在⊙A內，至少有一點在⊙A外，則⊙A的半徑r的取值范圍是 　6cm＜r＜10cm　．
【分析】（1）根據勾股定理求出AC的長，進而得出點B，C，D與⊙A的位置關系；
（2）利用（1）中所求，即可得出半徑r的取值范圍．
【解答】解：（1）如圖，連接AC，
∵AB＝6cm，AD＝8cm，
∴AC＝10cm，
∵⊙A的半徑為6cm長，
∴點B在⊙A上，點C在⊙A外，點D在⊙A外；
（2）∵以點A為圓心作⊙A，使B，C，D三點中至少有一個點在圓內，且至少有一點在圓外，
∴⊙A的半徑r的取值范圍是6cm＜r＜10cm．
故答案為：6cm＜r＜10cm．
【點評】此題主要考查了點與圓的位置關系，矩形的性質，解決本題要注意點與圓的位置關系，要熟悉勾股定理，及點與圓的位置關系．
24．（2022秋 儀征市校級月考）如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E點，若AB＝10，DE＝2，求CD的長．
【分析】連接OA，由垂徑定理，勾股定理列出關于半徑的方程，即可求解．
【解答】解：連接OA，設⊙O的半徑是r，
∵CD⊥AB，
∴AE＝AB＝5，
∵AO2＝OE2+AE2，
∴r2＝（r﹣2）2+52，
∴r＝，
∴CD＝2r＝．
【點評】本題考查勾股定理，垂徑定理，關鍵是連接OA，構造直角三角形．
25．（2022秋 鼓樓區期中）如圖，一座石橋的主橋拱是圓弧形，某時刻測得水面AB寬度為6米，拱高CD（弧的中點到水面的距離）為1米．
（1）求主橋拱所在圓的半徑；
（2）若水面下降1米，求此時水面的寬度．
【分析】（1）連接OA，OC，設半徑OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣1，在Rt△ACO中，利用勾股定理構建方程求解即可；
（2）根據勾股定理列式可得FG的長，最后由垂徑定理可得結論．
【解答】解：（1）∵點D是的中點，DC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝3，DC經過圓心，
設拱橋的橋拱弧AB所在圓的圓心為O，連接OA，OC，
聯結OA，設半徑OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣1，
在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝（R﹣1）2+32，
解得R＝5．
答：主橋拱所在圓的半徑長為5米；
（2）設OD與EF相交于點G，連接OF，
∵EF∥AB，OD⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴∠OGF＝90°，
在Rt△OGF中，OG＝5﹣1﹣1＝3，OF＝5，
∴FG＝＝4，
∴EF＝2FG＝8，
答：此時水面的寬度為8米．
【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．
26．（2022秋 沭陽縣月考）如圖，CD是⊙O的直徑，點A在DC的延長線上，∠A＝20°，AE交⊙O于點B，且AB＝OC．
（1）求∠AOB的度數．
（2）求∠EOD的度數．
【分析】（1）由AB＝O得到AB＝BO，則∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；
（2）∠1＝∠E，因此∠EOD＝3∠A，即可求出∠EOD．
【解答】解：（1）連OB，如圖，
∵AB＝OC，OB＝OC，
∴AB＝BO，
∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；
（2）∵∠2＝∠A+∠1，
∴∠2＝2∠A，
∵OB＝OE，
∴∠2＝∠E，
∴∠E＝2∠A，
∴∠DOE＝∠A+∠E＝3∠A＝60°．
【點評】本題考查了圓的認識，等腰三角形的性質和三角形外角定理，解題的關鍵是能從圖形中發現每個角之間的關系．
一、單選題
1． 的半徑為，點到圓心的距離為，點與的位置關系是（ ）
A．點在內 B．點在上 C．點在外 D．無法確定
【答案】C
【分析】根據點與圓的位置關系即可得．
【詳解】解：，
點在外，
故選：C．
【點睛】本題考查了點與圓的位置關系，熟練掌握點與圓的位置關系是解題關鍵．
2．如圖，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一點，且OM最小值為4，⊙O的半徑為（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】當OM⊥AB時值最小．根據垂徑定理和勾股定理求解．
【詳解】解：根據直線外一點到直線的線段中，垂線段最短，知：當OM⊥AB時，為最小值4，
連接OA，
根據垂徑定理，得：BM=AB=3，
根據勾股定理，得：OA==5，
即⊙O的半徑為5．
故選：A．
【點睛】本題考查了垂徑定理，主要運用了垂徑定理、勾股定理求得半徑．特別注意能夠分析出OM的最小值．
3．平面內，若⊙O的半徑為3，OP＝2，則點P在（ ）
A．⊙O內 B．⊙O上 C．⊙O外 D．以上都有可能
【答案】A
【分析】要確定點與圓的位置關系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關系；點與圓心的距離d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內．
【詳解】∵OP＜3，
∴點P在⊙O內部．
故選A．
【點睛】此題考查點與圓的位置關系的判斷．解題關鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上，當d＜r時，點在圓內．
4．直角三角形三邊垂直平分線的交點位于三角形的（　　）
A．三角形內 B．三角形外 C．斜邊的中點 D．不能確定
【答案】C
【分析】垂直平分線的交點是三角形外接圓的圓心，由此可得出此交點在斜邊中點．
【詳解】∵直角三角形的外接圓圓心在斜邊中點，
∴直角三角形三邊垂直平分線的交點位于三角形的斜邊中點．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了三角形外接圓的性質，熟練掌握相關概念是解題關鍵.
5．在平面直角坐標系內點A、點B的坐標是分別為（0,3）、（4,3），在坐標軸上找一點C，使是等腰三角形，則符合條件的點C的個數是（ ）
A．5個 B．6個
C．7個 D．8個
【答案】C
【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三種情況（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）討論，通過畫圖就可解決問題．
【詳解】解：如圖：
①若AC＝AB，則以點A為圓心，AB為半徑畫圓，與坐標軸有4個交點；
②若BC＝BA，則以點B為圓心，BA為半徑畫圓，與坐標軸有2個交點（A點除外）；
③若CA＝CB，則點C在AB的垂直平分線上，
∵A（0，3），B（4，3），
∴AB∥x軸，
∴AB的垂直平分線與坐標軸只有1個交點．
綜上所述：符合條件的點C的個數有7個．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定、圓的定義、垂直平分線的性質的逆定理等知識，還考查了動手操作的能力，運用分類討論的思想是解決本題的關鍵．
6．往直徑為的圓柱形容器內裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，則水的最大深度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】過點O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，根據垂徑定理即可求得AD的長，又由⊙O的直徑為，求得OA的長，然后根據勾股定理，即可求得OD的長，進而求得油的最大深度的長．
【詳解】解：過點O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，
由垂徑定理得：，
∵⊙O的直徑為，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴油的最大深度為，
故選：．
【點睛】本題主要考查了垂徑定理的知識．此題難度不大，解題的關鍵是注意輔助線的作法，構造直角三角形，利用勾股定理解決．
7．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，點P為平面內一點且滿足PC⊥PB，則線段PD的最大值為（ ）
A．10 B．8 C．7 D．9
【答案】C
【分析】根據點為平面內一點且滿足，得到點的運動軌跡是以點為圓心，半徑是2的圓，可得當線段過圓心時，的值最大，據此求解即可．
【詳解】解：∵，，三點的坐標為： (0，1)， (0，3)，(0，-1)，
則有：，
又∵點為平面內一點且滿足，則點的運動軌跡是以點為圓心，半徑是2的圓，
如圖示，當線段過圓心時，的值最大，
過點作軸，交軸于點，過點作，交于點，
∵點的坐標是(4，4)，點的坐標是(0，1)，
∴，，
則：
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了圓的基本性質，勾股定理，平面坐標系內的兩點的距離，點的運動等知識點，熟悉相關性質是解題的關鍵．
二、填空題
8．下列說法①直徑是弦；②圓心相同，半徑相同的兩個圓是同心圓；③兩個半圓是等弧；④經過圓內一定點可以作無數條直徑．正確的是______填序號．
【答案】①
【分析】利用圓的有關定義及性質分別判斷后即可確定正確的選項.
【詳解】解：直徑是弦，但弦不是直徑，故① 正確；圓心相同但半徑不同的兩個圓是同心圓，故② 錯誤；若兩個半圓的半徑不等，則這兩個半圓的弧長不相等，故③錯誤；經過圓的圓心可以作無數條的直徑，故④錯誤.綜上，正確的只有①.
故答案為：①
【點睛】本題考查了圓的知識，了解有關圓的定義及性質是解答本題的關鍵，難度不大.
9．如圖，在平面直角坐標系內，以點為圓心，5為半徑作圓，則該圓與軸分別交于點，則三角形的面積為________．
【答案】12
【分析】過P點作PH⊥AB于H點，根據垂徑定理可知：HA=HB，根據勾股定理求出HB，即可求解．
【詳解】解：過P點作PH⊥AB于H點，如下圖所示：
根據垂徑定理可知：HA=HB，
且，∴PH=3，
，
∴AB=2HB=8，
∴，
故答案為：12．
【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，平面直角坐標系等相關知識點，屬于基礎題，熟練掌握垂徑定理及勾股定理是解決本題的關鍵．
10．如圖，的直徑，弦，垂足為，，則的長為______．
【答案】24
【分析】連接，先根據求出的長，再在中，利用勾股定理可得的長，然后利用垂徑定理即可得．
【詳解】解：如圖，連接，
的直徑，
，
，，
，
，
，
故答案為：24．
【點睛】本題考查了勾股定理、垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題關鍵．
11．如圖，⊙O的半徑是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的動點，且1≤OP≤2，則弦AB所對的圓心角的度數是__________．
【答案】
【分析】作OD⊥AB，由1≤OP≤2，證得，求出，根據三角形內角和定理求出答案即可．
【詳解】
解：作OD⊥AB，
∵P是弦AB上的動點，且1≤OP≤2，
∴OD=1，
∵⊙O的半徑是2，
∴，
∵OA=OB，
∴，
∴弦AB所對的圓心角，
故答案為： ．
【點睛】此題考查直角三角形直角邊等于斜邊一半的性質，圓的半徑相等的性質，等腰三角形等邊對等角的性質，三角形內角和定理，熟練掌握各知識點并綜合應用解決問題是解題的關鍵．
12．如圖是一個俱樂部的徽章.徽章的圖案是一個金色的圓圈，中間是一個矩形，矩形中間又有一個藍色的菱形，徽章的直徑為10cm，則徽章內的菱形的邊長為_____cm．
【答案】5
【分析】連接圓心和矩形鄰邊的兩個中點，易得一個矩形，那么菱形的邊長為圓的半徑．
【詳解】如圖，連接圓心和矩形鄰邊的兩個中點，
根據垂徑定理，可得過圓心的這兩條線段，分別垂直于矩形的兩邊，則組成的四邊形是矩形，
因為矩形的對角線相等，
所以徽章內的菱形的邊長等于半徑的長，即5cm．
故答案為：5．
【點睛】此題主要考查垂徑定理、矩形的判定和性質等知識點，難點是作出輔助線，構造出矩形．
13．如圖，AB為的直徑，弦于點H，若，，則OH的長度為__．
【答案】3
【分析】連接OC，由垂徑定理可求出CH的長度，在Rt△OCH中，根據CH和⊙O的半徑，即可由勾股定理求出OH的長．
【詳解】連接OC，
Rt△OCH中，OC=AB=5，CH=CD=4；
由勾股定理，得：OH=；
即線段OH的長為3．
故答案為：3．
【點睛】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理．
14．已知⊙O的半徑為13cm，弦AB的長為10cm，則圓心O到AB的距離為_____cm．
【答案】12
【分析】如圖，作OC⊥AB于C，連接OA，根據垂徑定理得到AC=BC=AB=5，然后利用勾股定理計算OC的長即可．
【詳解】解：如圖，作OC⊥AB于C，連接OA，
則AC＝BC＝AB＝5，
在Rt△OAC中，OC＝＝12，
所以圓心O到AB的距離為12cm．
故答案為：12．
【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．
15．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動．在運動過程中，點B到原點的最大距離是________
【答案】2+2
試題解析：如圖，取CA的中點D，連接OD、BD，
則OD=CD=AC=×4=2，
由勾股定理得，BD=，
所以，點B到原點的最大距離是2+2．
16．已知以點C（a，b）為圓心，半徑為r的圓的標準方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2.例如：以A（2，3）為圓心，半徑為2的圓的標準方程為（x－2）2＋（y－3）2＝4，則以原點為圓心，過點P（1，0）的圓的標準方程為____.
【答案】x2＋y2＝1
【詳解】因為原點為圓心,過點P（1,0）的圓即是以（0,0）半徑為1的圓,則標準方程為: （x－0）2＋（y－0）2＝1,即x2＋y2＝1,故答案為: x2＋y2＝1.
17．）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，P是直線AB上的動點（不與點B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B/CP，連接B/A，B/A長度的最小值是m，B/A長度的最大值是n，則m+n的值等于______.
【答案】16
【分析】先判斷出長度的最大值與長度的最小值相應的位置，然后進一步計算即可.
【詳解】
如圖，以C點為圓心，BC長為半徑畫圓，交AC于N點，延長AC交圓于M點，
∵點P是直線AB上的動點，△BCP沿CP所在的直線翻折得到△，
∴點B落在以點C為圓心，BC為半徑的圓上，
∴CM=CN=BC=6，
∵圓外一點到圓上的點的距離最大和最小的點是圓外一點過圓心的直線與圓的交點，
∴長度的最小值m=AN=AC-CN=8-6=2，
且長度的最大值n=AM=AC+CM=8+6=14，
∴m+n=16，
所以答案為16.
【點睛】本題主要考查了三角形動點問題與圓的綜合運用，熟練掌握相關概念是解題關鍵.
18．如圖，在平面直角坐標系中，，，以點為圓心，長為半徑畫弧，交軸的負半軸于點，則點的坐標為__________．
【答案】
【分析】根據勾股定理求出AB的長，由AB=AC即可求出C點坐標．
【詳解】解：∵A(8，0)，B(0，6)，
∴OA=8，OB=6，
∴，
∴AC=AB=10，
∴點C的橫坐標為：8-10=-2，縱坐標為：0，
∴點C的坐標為(-2，0)，
故答案為(-2，0)．
【點睛】本題考查了勾股定理、同圓半徑相等和坐標與圖形性質的應用， 解此題的關鍵是求出OC的長， 注意： 在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
19．如圖，在矩形紙片ABCD中，邊AB=12，AD=5，點P為DC邊上的動點（點P不與點D，C重合，將紙片沿AP折疊，則CD′的最小值為___．
【答案】8
【分析】先分析出點的運動軌跡是以A為圓心，5為半徑的圓弧，要求的最小值，只要求出點C到圓心的距離再減去半徑即可．
【詳解】解：∵折疊，
∴，
∴點的運動軌跡就是以A為圓心，5為半徑的圓弧，
∵，，
∴由勾股定理得，
∴．
故答案是：8．
【點睛】本題考查矩形與折疊，線段最值的求解，解題的關鍵是分析出動點的軌跡，再根據點到圓上一點最短距離的求解方法進行求解．
三、解答題
20．已知四邊形ABCD為菱形，點E、F、G、H分別為各邊中點，判斷E、F、G、H四點是否在同一個圓上，如果在同一圓上，找到圓心，并證明四點共圓；如果不在，說明理由．
【答案】點E、F、G、H四點是以AC，BD的交點O為圓心的同一個圓上，證明見解析.
【分析】根據菱形的對角線互相垂直，以及直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，得出E、F、G、H到O點距離都等于定長即可.
【詳解】解：如圖，
連接AC，BD相交于點O，連接OE，OF，OG，OH，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，
∵點E是AB的中點，
∴OE＝AB，
同理：OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，
∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴點E、F、G、H四點是以AC，BD的交點O為圓心的同一個圓上．
【點睛】本題主要考查了四點共圓的條件，用到了菱形的性質及直角三角形斜邊中線的性質，熟練掌握其性質是解題的關鍵.
21．如圖，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以點C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點D，求弦BD的長
【答案】2
【分析】作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中利用30度性質即可求出BE，再根據垂徑定理可以求出BD.
【詳解】解：如圖，作CE⊥AB于E．
∵∠B=180°-∠A-∠ACB
=180°-20°-130°
=30°，
在Rt△BCE中，
∵∠CEB=90°，∠B=30°，BC=2，
∴CE=BC=1，BE=CE=，
∵CE⊥BD，
∴DE=EB，
∴BD=2EB=2.
【點睛】本題考查垂徑定理、三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是根據垂徑定理添加輔助線，記住直角三角形30度角性質，屬于基礎題，中考常考題型.
22．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，求線段AE的長．
【答案】2
【分析】連接OC，利用直徑AB=10，則OC=OA=5，再由CD⊥AB，根據垂徑定理得CE=DE=CD=4，然后利用勾股定理計算出OE，再利用AE=OA-OE進行計算即可．
【詳解】連接OC，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，AB＝10，
∴OC＝OA＝5，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝×8＝4，
在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，
∴OE＝＝3，
∴AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2．
【點睛】本題考查了垂徑定理，掌握垂徑定理及勾股定理是關鍵．
23．（1）發現：如圖1，點A為一動點，點B和點C 為兩個定點，且BC=a，AB=b.（a>b）
填空：當點A位于______時，線段AC的長取得最小值，且最小值為______(用含a，b的式子表示)
（2）應用：點A為線段BC外一動點，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE.
①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；
②直接寫出線段BE長的最小值.
③如圖3所示，分別以AB，AC為邊，作正方形ADEB和正方形ACFG，連接CD，BG.圖中線段CD，BG的關系是____________，線段BG 的最大值是__________.
【答案】（1）線段BC上， a-b；（2）①BE=CD，證明見解析；②2；③相等且垂直，.
【分析】（1）根據點A為一動點，且BC=a，AB=b，可得當點A位于線段CB上時，線段AC的長取得最小值，且最小值為BC-AB=a-b；
（2）①根據等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，可得△CAD≌△EAB（SAS），根據全等三角形的性質可得CD=BE；
②BE的最小值即CD的最小值，當D在線段BC上時最小;
③當D點在CB的延長線上時，BG取得最大值.
【詳解】(1)如圖1，∵點A為一動點，且BC=a，AB=b，
∴當點A位于線段CB上時，線段AC的長取得最小值，且最小值為BC-AB=a-b.
故答案為在線段CB上，a-b；
(2)①CD=BE.
理由：如圖2，∵等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠CAD=∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB(SAS)，
∴CD=BE；
②BE的最小值即CD的最小值，當D在線段BC上時CD最小;此時BE=CD=BC-AB=3-1=2.
③易證△BAG≌△CAD，所以BG=CD，當D點在CB的延長線上時，BG取得最大值.最大值等于BD＋BC=．
【點睛】本題考查了最短路徑的問題，明確何時取得最短路徑是解題的關鍵.
24．我們知道，直角坐標系是研究“數形結合”的重要工具．請探索研究下列問題：
（1）如圖1，點A的坐標為（-5，1），將點A繞坐標原點（0，0）按順時針方向旋轉90°，得對應點，若反比例函數的圖像經過點，求k的值．
（2）將（1）中的的圖像繞坐標原點（0，0）按順時針方向旋轉45°，如圖2，旋轉后的圖像與x軸相交于點B，若直線x=與旋轉后的圖像交于點C與點D，求△BCD的面積．
（3）在（2）的情況下，半徑為6的M的圓心M在x軸上，如圖3，若要使△BCD完全在M的內部，求M的圓心M橫坐標xm的范圍（直接寫出結果，不必寫詳細的解答過程）．
【答案】（1）5；（2）；（3）
【分析】（1）利用旋轉的性質得到點的坐標，利用待定系數法求出k的值；
（2）設上點E繞原點O順時針方向旋轉45°，得到點B，過點E作EF⊥x軸，設，利用旋轉的性質得到，列得，求出a的值得到OB的長；設CD交x軸于點R，△OCR是由△OMN繞點O順時針方向旋轉45°得到的，得到N（3,3），求出直線MN的解析式，得到M（1,5），利用勾股定理求出CR的長，即可利用三角形面積公式求出答案；
（3）分別計算點M在直線CD左側及右側時的位置，即可得到答案．
【詳解】解：（1）點A的坐標為（-5，1），將點A繞坐標原點（0，0）按順時針方向旋轉90°，得對應點（1,5），
∵反比例函數的圖像經過點，
∴；
（2）設上點E繞原點O順時針方向旋轉45°，得到點B，過點E作EF⊥x軸，
設,
∵，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴；
設CD交x軸于點R，△OCR是由△OMN繞點O順時針方向旋轉45°得到的，
∵ON=OR=，
∴N（3,3），
∵直線ON的解析式為y=x，MN⊥OE，
∴設直線MN的解析式為y=-x+b，將點N的坐標代入，得b=6，
∴直線MN的解析式為y=-x+6，
當時，得（舍去），
∴y=-1+6=5，
∴M（1,5），
∴，
∴，
∴CD=2CR=，
∴△BCD的面積=
（3）當點M在直線CD左側，且M恰好經過點C、D時，連接MC，
∵MC=6，，
∴，
∴；
當點M在直線CD右側，且M恰好經過點B時，連接MC，
∵，，
∴，
此時，點C、D在M內部，，
綜上，M的圓心M橫坐標xm的范圍為．
【點睛】此題考查旋轉的性質，勾股定理，求一次函數的解析式，待定系數法求反比例函數解析式，圓的半徑相等的性質，解題中運用分類思想思考問題，這是一道較難的幾何圖形類綜合題．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第07講 圓與對稱性（5種題型）
1.在探索過程中認識圓，理解圓的本質屬性；
2.了解圓及其有關概念，理解弦、弧、半圓、優弧、劣弧、同心圓、等圓、等弧等與圓有關的概念，理解
概念之間的區別和聯系；
一．圓的認識
（1）圓的定義
定義①：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．
定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．
（2）與圓有關的概念
弦、直徑、半徑、弧、半圓、優弧、劣弧、等圓、等弧等．
連接圓上任意兩點的線段叫弦，經過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優弧，小于半圓的弧叫做劣弧．
（3）圓的基本性質：①軸對稱性．②中心對稱性．
二．點與圓的位置關系
（1）點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：
①點P在圓外 d＞r
②點P在圓上 d＝r
①點P在圓內 d＜r
（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．
（3）符號“ ”讀作“等價于”，它表示從符號“ ”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．
三．垂徑定理
（1）垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．
（2）垂徑定理的推論
推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．
推論2：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．
推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．
四．垂徑定理的應用
垂徑定理的應用很廣泛，常見的有：
（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．
（2）垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．
這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數方法解決幾何問題即幾何代數解的數學思想方法一定要掌握．
五．圓心角、弧、弦的關系
（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．
說明：同一條弦對應兩條弧，其中一條是優弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優弧或劣弧．
（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關系
三者關系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉不變性，即：圓繞其圓心旋轉任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．
（4）在具體應用上述定理解決問題時，可根據需要，選擇其有關部分．
一．圓的認識（共3小題）
1．（2022秋 邗江區校級月考）已知⊙O的半徑是3cm，則⊙O中最長的弦長是（　　）
A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm
2．（2022秋 江陰市校級月考）下列說法錯誤的是（　　）
A．直徑是圓中最長的弦
B．半徑相等的兩個半圓是等弧
C．面積相等的兩個圓是等圓
D．半圓是圓中最長的弧
3．（2022秋 啟東市校級月考）畫圓時圓規兩腳間可叉開的距離是圓的（　　）
A．直徑 B．半徑 C．周長 D．面積
二．點與圓的位置關系（共6小題）
4．（2022秋 連云港期中）已知⊙O的半徑為3，點P在⊙O外，則OP的長可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021秋 無錫期末）已知⊙O的半徑為4，OA＝5，則點A在（　　）
A．⊙O內 B．⊙O上 C．⊙O外 D．無法確定
6．（2022秋 江陰市校級月考）已知⊙O的半徑是4，OA＝3，則點A與⊙O的位置關系是（　　）
A．點A在圓內 B．點A在圓上 C．點A在圓外 D．無法確定
7．（2022秋 如皋市期中）在數軸上，點A所表示的實數為4，點B所表示的實數為b，⊙A的半徑為2，要使點B在⊙A內時，實數b的取值范圍是（　　）
A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6
8．（2022秋 梁溪區校級期中）已知⊙O的半徑是4，點P到圓心O的距離d為方程x2﹣4x﹣5＝0的一個根，則點P與⊙O的位置關系為（　　）
A．點P在⊙O內 B．點P在⊙O上 C．點P在⊙O外 D．不能確定
9．（2022秋 東臺市期中）如圖，點A，B的坐標分別為A（3，0）、B（0，3），點C為坐標平面內的一點，且BC＝2，點M為線段AC的中點，連接OM，則OM的最大值為（　　）
A． B． C． D．2
三．垂徑定理（共4小題）
10．（2022秋 錫山區校級月考）如圖，在⊙O中，OC⊥AB于點C，若⊙O的半徑為10，AB＝16，則OC的長為 　 　．
11．（2022秋 惠山區期中）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，若AB＝10，CD＝8，則圖中陰影部分的面積為 　 　．
12．（2022秋 高郵市期中）如圖，已知⊙O的直徑為26，弦AB＝24，動點P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若點M、N分別是弦AB、PQ的中點，則線段MN的取值范圍是（　　）
A．7≤MN≤17 B．14≤MN≤34 C．7＜MN＜17 D．6≤MN≤16
13．（2022秋 大豐區月考）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，若BE＝CD＝8，則⊙O的半徑的長是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
四．垂徑定理的應用（共4小題）
14．（2022秋 如皋市校級月考）興隆蔬菜基地建圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB＝16m，半徑OA＝10m，高度CD為 　 　m．
15．（2022秋 江寧區校級月考）如圖是一個隧道的橫截圖，它的形狀是以點O為圓心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中點，EM經過圓心O交⊙O于點E，若CD＝4m，EM＝6m，則⊙O的半徑為 　 　m．
16．（2022 鐘樓區校級模擬）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長為4米，⊙O半徑長為3米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（　　）
A．1米 B．2米 C．米 D．米
17．（2022秋 泰州月考）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；
（2）當洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時，是否要采取緊急措施？
五．圓心角、弧、弦的關系（共5小題）
18．（2022秋 溧水區期中）如圖，C是的中點，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，則所在圓的半徑為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．10
19．（2022秋 淮陰區月考）如圖，A、B、C、D是⊙O上四點，且AD＝CB，求證：AB＝CD．
20．（2022秋 吳江區校級月考）如圖，⊙O在△ABC三邊上截得的弦長相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，則∠BOC＝（　　）
A．100° B．110° C．115° D．120°
21．（2022秋 玄武區期末）如圖，在⊙O中，AB＝AC．
（1）若∠BOC＝100°，則的度數為 　 　°；
（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半徑．
22．（2022秋 吳江區校級月考）已知⊙O的半徑為2，弦，弦，則∠BOC的度數為 　 　．
一．選擇題（共10小題）
1．（2022秋 邗江區期中）已知⊙O的半徑為2，則⊙O中最長的弦長（　　）
A．2 B． C．4 D．
2．（2022秋 無錫期末）已知⊙O的半徑為5cm，當線段OA＝5cm時，則點A在（　　）
A．⊙O內 B．⊙O上 C．⊙O外 D．無法確定
3．（2023 沛縣模擬）如圖．AB是⊙O的直徑，∠D＝40°，則∠BOC＝（　　）
A．80° B．100° C．120° D．140°
4．（2022秋 姑蘇區校級期中）已知⊙O的半徑為2，點P是⊙O內一點，且OP＝，過P作互相垂直的兩條弦AC、BD，則四邊形ABCD面積的最大值為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2023 鹽都區一模）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，OC⊥AB于點C，則OC的長為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022秋 亭湖區校級期末）如圖是一個圓柱形的玻璃水杯，將其橫放，截面是個半徑為5cm的圓，杯內水面AB＝8cm，則水深CD是（　　）
A．cm B．cm C．2cm D．3cm
7．（2022秋 海陵區校級期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點D是的中點，過點D作DE⊥AB于點E，延長DE交⊙O于點F．若，AE＝2，則⊙O的直徑長為（　　）
A． B．8 C．10 D．
8．（2022秋 啟東市校級月考）下列說法中，不正確的是（　　）
A．過圓心的弦是圓的直徑
B．等弧的長度一定相等
C．周長相等的兩個圓是等圓
D．直徑是弦，半圓不是弧
9．（2022秋 邳州市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以點A為圓心，r為半徑作圓，當點C在⊙A內且點B在⊙A外時，r的值可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2022秋 邗江區校級期末）已知圓O的半徑為5，同一平面內有一點P，且OP＝4，則點P與圓O的關系是（　　）
A．點P在圓內 B．點P在圓外 C．點P在圓上 D．無法確定
二．填空題（共8小題）
11．（2022秋 興化市期末）若⊙O的半徑為5，OA＝4，則點A與⊙O的位置關系是：點A在⊙O　 　．（填“內、上、外”）
12．（2022秋 興化市校級期末）一個圓的半徑是15cm，點P在圓上，那么P點到該圓圓心的距離為 　 　cm．
13．（2023 邳州市一模）如圖，某同學準備用一根內半徑為5cm的塑料管裁一個引水槽，使槽口寬度AB為8cm，則槽的深度CD為 　 　cm．
14．（2023 鼓樓區模擬）如圖所示，小區內有個圓形花壇O，點C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，則這個花壇的半徑為 　 　．
15．（2022秋 連云港期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C是BA延長線上一點，點D在⊙O上，且CD＝OE，CD的延長線交⊙O于點E．若∠C＝25°，則∠CEO度數為 　 　°．
16．（2022秋 連云港期末）如圖，在⊙O中，弦AB＝4，點C在AB上移動，連接OC，過點C作CD⊥OC，交⊙O于點D，則CD長的最大值為 　 　．
17．（2022秋 秦淮區期末）如圖，在以O為圓心半徑不同的兩個圓中，大圓和小圓的半徑分別為6和4，大圓的弦AB交小圓于點C，D．若AC＝3，則CD的長為 　 　．
18．（2023 南京二模）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E．若AB＝4，CE＝6，則⊙O的半徑r為 　 　．
三．解答題（共8小題）
19．（2022秋 如皋市校級月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠D＝90°，AB的中點為O．求證：A，B，C，D四點在以O為圓心的圓上．
20．（2022秋 灌云縣月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E．若∠A＝25°，求∠DCE的度數．
21．（2022秋 漣水縣校級月考）如圖，AB是⊙O的弦，點C、D在直線AB上，且AC＝BD，連接OC、OD．求證：OC＝OD
22．（2022秋 江陰市校級月考）平面直角坐標系中，點A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．
（1）在圖中清晰標出點P的位置；
（2）點P的坐標是 　 　，⊙P的半徑是 　 　．
23．（2022秋 海州區校級月考）在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．
（1）若以A為圓心，6cm長為半徑作⊙A（畫圖），則B、C、D與圓的位置關系是什么？
（2）若作⊙A，使B、C、D三點至少有一個點在⊙A內，至少有一點在⊙A外，則⊙A的半徑r的取值范圍是 　 　．
24．（2022秋 儀征市校級月考）如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E點，若AB＝10，DE＝2，求CD的長．
25．（2022秋 鼓樓區期中）如圖，一座石橋的主橋拱是圓弧形，某時刻測得水面AB寬度為6米，拱高CD（弧的中點到水面的距離）為1米．
（1）求主橋拱所在圓的半徑；
（2）若水面下降1米，求此時水面的寬度．
26．（2022秋 沭陽縣月考）如圖，CD是⊙O的直徑，點A在DC的延長線上，∠A＝20°，AE交⊙O于點B，且AB＝OC．
（1）求∠AOB的度數．
（2）求∠EOD的度數．
一、單選題
1． 的半徑為，點到圓心的距離為，點與的位置關系是（ ）
A．點在內 B．點在上 C．點在外 D．無法確定
2．如圖，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一點，且OM最小值為4，⊙O的半徑為（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．平面內，若⊙O的半徑為3，OP＝2，則點P在（ ）
A．⊙O內 B．⊙O上 C．⊙O外 D．以上都有可能
4．直角三角形三邊垂直平分線的交點位于三角形的（　　）
A．三角形內 B．三角形外 C．斜邊的中點 D．不能確定
5．在平面直角坐標系內點A、點B的坐標是分別為（0,3）、（4,3），在坐標軸上找一點C，使是等腰三角形，則符合條件的點C的個數是（ ）
A．5個 B．6個
C．7個 D．8個
6．往直徑為的圓柱形容器內裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，則水的最大深度為（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，點P為平面內一點且滿足PC⊥PB，則線段PD的最大值為（ ）
A．10 B．8 C．7 D．9
二、填空題
8．下列說法①直徑是弦；②圓心相同，半徑相同的兩個圓是同心圓；③兩個半圓是等弧；④經過圓內一定點可以作無數條直徑．正確的是______填序號．
9．如圖，在平面直角坐標系內，以點為圓心，5為半徑作圓，則該圓與軸分別交于點，則三角形的面積為________．
10．如圖，的直徑，弦，垂足為，，則的長為______．
11．如圖，⊙O的半徑是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的動點，且1≤OP≤2，則弦AB所對的圓心角的度數是__________．
12．如圖是一個俱樂部的徽章.徽章的圖案是一個金色的圓圈，中間是一個矩形，矩形中間又有一個藍色的菱形，徽章的直徑為10cm，則徽章內的菱形的邊長為_____cm．
13．如圖，AB為的直徑，弦于點H，若，，則OH的長度為__．
14．已知⊙O的半徑為13cm，弦AB的長為10cm，則圓心O到AB的距離為_____cm．
15．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動．在運動過程中，點B到原點的最大距離是________
16．已知以點C（a，b）為圓心，半徑為r的圓的標準方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2.例如：以A（2，3）為圓心，半徑為2的圓的標準方程為（x－2）2＋（y－3）2＝4，則以原點為圓心，過點P（1，0）的圓的標準方程為____.
17．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，P是直線AB上的動點（不與點B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B/CP，連接B/A，B/A長度的最小值是m，B/A長度的最大值是n，則m+n的值等于______.
18．如圖，在平面直角坐標系中，，，以點為圓心，長為半徑畫弧，交軸的負半軸于點，則點的坐標為__________．
19．如圖，在矩形紙片ABCD中，邊AB=12，AD=5，點P為DC邊上的動點（點P不與點D，C重合，將紙片沿AP折疊，則CD′的最小值為___．
三、解答題
20．已知四邊形ABCD為菱形，點E、F、G、H分別為各邊中點，判斷E、F、G、H四點是否在同一個圓上，如果在同一圓上，找到圓心，并證明四點共圓；如果不在，說明理由．
21．如圖，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以點C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點D，求弦BD的長
22．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，求線段AE的長．
23．（1）發現：如圖1，點A為一動點，點B和點C 為兩個定點，且BC=a，AB=b.（a>b）
填空：當點A位于______時，線段AC的長取得最小值，且最小值為______(用含a，b的式子表示)
（2）應用：點A為線段BC外一動點，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE.
①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；
②直接寫出線段BE長的最小值.
③如圖3所示，分別以AB，AC為邊，作正方形ADEB和正方形ACFG，連接CD，BG.圖中線段CD，BG的關系是____________，線段BG 的最大值是__________.
24．我們知道，直角坐標系是研究“數形結合”的重要工具．請探索研究下列問題：
（1）如圖1，點A的坐標為（-5，1），將點A繞坐標原點（0，0）按順時針方向旋轉90°，得對應點，若反比例函數的圖像經過點，求k的值．
（2）將（1）中的的圖像繞坐標原點（0，0）按順時針方向旋轉45°，如圖2，旋轉后的圖像與x軸相交于點B，若直線x=與旋轉后的圖像交于點C與點D，求△BCD的面積．
（3）在（2）的情況下，半徑為6的M的圓心M在x軸上，如圖3，若要使△BCD完全在M的內部，求M的圓心M橫坐標xm的范圍（直接寫出結果，不必寫詳細的解答過程）．
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