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第06講實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（7種題型）
1.能運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題. （重點(diǎn)）
2.正確分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系并建立一元二次方程模型.（難點(diǎn)）
知識(shí)點(diǎn)1：列一元二次方程解應(yīng)用題
1.利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.
2.解決應(yīng)用題的一般步驟：
審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；
設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；
列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；
驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義）
答(寫(xiě)出答案，切忌答非所問(wèn)).
要點(diǎn)詮釋： 列方程解實(shí)際問(wèn)題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：
一是整體地、系統(tǒng)地審題；
二是把握問(wèn)題中的等量關(guān)系；
三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.
知識(shí)點(diǎn)2：常見(jiàn)相關(guān)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系及表示方法
題型1：增長(zhǎng)率問(wèn)題
列一元二次方程解決增長(zhǎng)(降低)率問(wèn)題時(shí)，要理清原來(lái)數(shù)、后來(lái)數(shù)、增長(zhǎng)率或降低率，以及增長(zhǎng)或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)或降低兩次.
(1)增長(zhǎng)率問(wèn)題：
平均增長(zhǎng)率公式為 (a為原來(lái)數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量.)
(2)降低率問(wèn)題：
平均降低率公式為 (a為原來(lái)數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)
題型2：面積問(wèn)題
此類問(wèn)題屬于幾何圖形的應(yīng)用問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.
題型3：比賽統(tǒng)計(jì)問(wèn)題
比賽問(wèn)題：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是分清單循環(huán)和雙循環(huán) ．
題型4：傳播問(wèn)題
傳播問(wèn)題：
，a表示傳染前的人數(shù)，x表示每輪每人傳染的人數(shù)，n表示傳染的輪數(shù)或天數(shù)，A表示最終的人數(shù)．
題型5：銷售利潤(rùn)問(wèn)題
利息問(wèn)題
(1)概念：
　　本金：顧客存入銀行的錢叫本金.
　　利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.
　　本息和：本金和利息的和叫本息和.
　　期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫期數(shù).
　　利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.
(2)公式:
　　利息=本金×利率×期數(shù)
　　利息稅=利息×稅率
　　本金×(1+利率×期數(shù))=本息和
　　本金×[1+利率×期數(shù)×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時(shí))
利潤(rùn)(銷售)問(wèn)題
　　利潤(rùn)(銷售)問(wèn)題中常用的等量關(guān)系：
　　利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)
　　總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)×總件數(shù)
　　
題型1：增長(zhǎng)率問(wèn)題
例1．（2022 南通）李師傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若從1月到3月，每月盈利的平均增長(zhǎng)率都相同，則這個(gè)平均增長(zhǎng)率是（　　）
A．10.5% B．10% C．20% D．21%
例2．（2021 鹽城）勞動(dòng)教育已納入人才培養(yǎng)全過(guò)程，某學(xué)校加大投入，建設(shè)校園農(nóng)場(chǎng)，該農(nóng)場(chǎng)一種作物的產(chǎn)量?jī)赡陜?nèi)從300千克增加到363千克．設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率為x，則可列方程為 　 　．
題型2：面積問(wèn)題
例3．（2020 南通）1275年，我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個(gè)問(wèn)題：直田積八百六十四步，只云闊不及長(zhǎng)一十二步．問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步．意思是：矩形面積864平方步，寬比長(zhǎng)少12步，問(wèn)寬和長(zhǎng)各幾步．若設(shè)長(zhǎng)為x步，則可列方程為　 　．
例4．（2022秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)無(wú)錫市東林中學(xué)校考期中）如圖，長(zhǎng)方形花圃面積為，它的一邊利用已有的圍墻（圍墻足夠長(zhǎng)），另外三邊所圍的柵欄的總長(zhǎng)度是．處開(kāi)一門(mén)，寬度為．設(shè)的長(zhǎng)度是，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
例5．（2022 泰州）如圖，在長(zhǎng)為50m、寬為38m的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應(yīng)為多少？
題型3：比賽統(tǒng)計(jì)問(wèn)題
例6．（2021秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)宜興市樹(shù)人中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）一次足球聯(lián)賽實(shí)行單循環(huán)比賽（每?jī)芍蜿?duì)之間都比賽一場(chǎng)），計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽，設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)了x支球隊(duì)參加聯(lián)賽，則下列方程中符合題意的是（　　）
A． B．
C． D．
例7．（2023秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）為了迎接第二十二屆世界杯足球賽，卡塔爾某地區(qū)舉行了足球邀請(qǐng)賽，規(guī)定參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間比賽一場(chǎng)，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽．設(shè)比賽組織者邀請(qǐng)了個(gè)隊(duì)參賽，則下列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
例8．（2023·江蘇泰州·九年級(jí)校考期末）九年級(jí)舉行班級(jí)足球賽，先把所有班通過(guò)抽簽平均分成A，B兩組，在每一組中進(jìn)行單循環(huán)的小組賽（每?jī)蓚€(gè)班之間比賽一場(chǎng)），再?gòu)拿拷M的前4名選出進(jìn)行比賽，最后進(jìn)行決賽得出名次；若A組共進(jìn)行了21場(chǎng)小組賽，則九年級(jí)共有______個(gè)班．
題型4：傳播問(wèn)題
例9．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）美國(guó)有一人感染新冠肺炎，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有100個(gè)人感染，那么每輪傳染中，平均一個(gè)人感染x人，可列方程為_(kāi)___________________．
例10．（2022秋·江蘇連云港·九年級(jí)階段練習(xí)）新冠肺炎傳染性很強(qiáng)，曾有2人同時(shí)患上新冠肺炎，并且每人每天平均傳染x人，若經(jīng)過(guò)兩天傳染后就有128人患上了新冠肺炎，則x的值為 ___________．
題型5：銷售利潤(rùn)問(wèn)題
例11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）某工廠生產(chǎn)的某種零件按供需要求分為8個(gè)檔次．若生產(chǎn)第一檔次（最低檔次）的產(chǎn)品，一天可生產(chǎn)件，每件的利潤(rùn)為元，每提高一個(gè)檔次，每件的利潤(rùn)增加3元，每天的產(chǎn)量將減少2件．請(qǐng)解答下列問(wèn)題，設(shè)產(chǎn)品的檔次（每天只生產(chǎn)一個(gè)檔次的產(chǎn)品）為x，若該產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為元，求這天生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次x的值．
例12．（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某商場(chǎng)“國(guó)慶”期間銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)采取了降價(jià)措施，假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價(jià)每降1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．
(1)如果襯衫的單價(jià)降了15元，求降價(jià)后商場(chǎng)銷售這批襯衫每天盈利多少元；
(2)如果降價(jià)后商場(chǎng)銷售這批襯衫每天盈利1200元，那么襯衫的單價(jià)降了多少元？
例13．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）今年超市以每件25元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批商品，當(dāng)商品售價(jià)為40元時(shí)，三月份銷售256件，四、五月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)上漲，在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，五月份的銷售量達(dá)到400件．
(1)求四、五這兩個(gè)月銷售量的月平均增長(zhǎng)百分率．
(2)經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，六月份的銷售量將與五月份持平，現(xiàn)商場(chǎng)為了減少庫(kù)存，采用降價(jià)促銷方式，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價(jià)1元，月銷量增加5件，當(dāng)商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)六月份可獲利4250元？
題型6：圖表信息題
例14．（2022秋·廣東陽(yáng)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）烏克蘭危機(jī)發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動(dòng)，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬(wàn)里歸途》正是“外交為民”的真實(shí)寫(xiě)照，如表是該影片票房的部分?jǐn)?shù)據(jù)，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計(jì)收入）
影片《萬(wàn)里歸途》的部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)
發(fā)布日期 10月8日 10月11日 10月12日
發(fā)布次數(shù) 第1次 第2次 第3次
票房 10億元 12.1億元
(1)平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率是多少？
(2)在（1）的條件下，若票價(jià)每張40元，求10月11日賣出多少?gòu)堧娪捌?br/>例15．（江蘇南京·九年級(jí)階段練習(xí)）某商店購(gòu)進(jìn)800個(gè)旅游紀(jì)念品，進(jìn)價(jià)為每個(gè)50元，第一周以每個(gè)80元的價(jià)格售出200個(gè)，第二周若按每個(gè)80元的價(jià)格銷售仍可售出200個(gè)，但商店為了適當(dāng)增加銷量，決定降價(jià)銷售（根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出10個(gè)，但售價(jià)不得低于進(jìn)價(jià)），單價(jià)降低x元銷售銷售一周后，商店對(duì)剩余旅游紀(jì)念品以及清倉(cāng)處理，以每個(gè)40元的價(jià)格全部售出，如果這批旅游紀(jì)念品共獲利9000元．
（1）填表（結(jié)果需化簡(jiǎn)）
時(shí)間 第一周 第二周 清倉(cāng)時(shí)
單價(jià)（元） 80 40
銷售量（件） 200
（2）求第二周每個(gè)旅游紀(jì)念品的銷售價(jià)格為多少元？
題型7：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
例16．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，cm，cm，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以cm/s的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（　　）
A．s B．2s C．10s D．10s或2s
例17．（2022秋·江蘇常州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)O及點(diǎn)、作矩形OABC，的平分線交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線OD方向移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，求當(dāng)t為多少秒時(shí)，為直角三角形．
一、單選題
1．（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)校考期中）如圖，某小區(qū)計(jì)劃在一塊長(zhǎng)為，寬為的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為，若設(shè)道路的寬為，則所列的方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·江蘇常州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在一塊相鄰兩邊長(zhǎng)分別為、的矩形綠地內(nèi)，開(kāi)辟一個(gè)矩形的花圃，使四周的綠地等寬，且花圃的面積與四周綠地的面積相等．設(shè)四周綠地的寬是，根據(jù)題意，可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校聯(lián)考期末）某網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)年的新注冊(cè)用戶數(shù)為萬(wàn)，年的新注冊(cè)用戶數(shù)為萬(wàn)，設(shè)新注冊(cè)用戶數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為x（），根據(jù)題意所列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，用長(zhǎng)為的柵欄圍成一個(gè)面積為的矩形花圃．為方便進(jìn)出，在邊上留有一個(gè)寬的小門(mén)．設(shè)的長(zhǎng)為，根據(jù)題意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
5．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）為建設(shè)美麗句容，改造老舊小區(qū)，我市年投入資金萬(wàn)元，年投入資金萬(wàn)元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長(zhǎng)率相同．求我市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率____．
6．（2023秋·江蘇徐州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）《田畝比類乘除捷法》中記載了一道題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長(zhǎng)一十二步，問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步．”譯文：一個(gè)矩形的面積為864平方步，寬比長(zhǎng)少12步，問(wèn)寬和長(zhǎng)各多少步 設(shè)矩形的寬為步，由題意，可列方程為_(kāi)___________．
7．（2021秋·江蘇常州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知一個(gè)數(shù)的平方減去30的差等于這個(gè)數(shù)本身，則這個(gè)數(shù)為 ___．
8．（2021秋·江蘇蘇州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）某商品進(jìn)貨價(jià)為每件10元，售價(jià)每件30元時(shí)平均每天可以售出20件，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件降低2元，那么平均每天多售出4件，若想每天盈利450元，設(shè)每件應(yīng)降價(jià)x元，可列出方程為_(kāi)_________________．
三、解答題
9．（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某商品每件進(jìn)價(jià)為30元，當(dāng)銷售單價(jià)為50元時(shí)，每天可以銷售60件．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)每提高1元，日銷售量將會(huì)減少2件，物價(jià)部門(mén)規(guī)定該商品銷售單價(jià)不能高于65元，設(shè)該商品的銷售單價(jià)為（元），日銷售量為（件）．
(1)與的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______；
(2)要使日銷售利潤(rùn)為800元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？
10．（2023·江蘇徐州·校考一模）“民以食為天，食以糧為先”，糧食安全事關(guān)國(guó)計(jì)民生．為了確保糧食安全，優(yōu)選品種，某農(nóng)業(yè)科技公司對(duì)原有小麥進(jìn)行改良種植研究，在保持種植面積不變的情況下，今年小麥平均畝產(chǎn)量在去年的基礎(chǔ)上增加了，每千克售價(jià)也在去年的基礎(chǔ)上上漲了，全部售出后總收入將增加．
(1)求a的值；
(2)如果明年的種植面積仍然不變，預(yù)計(jì)明年小麥平均畝產(chǎn)量將在今年的基礎(chǔ)上增加，每千克售價(jià)將在今年的基礎(chǔ)上上漲，求全部售出后明年的總收入將在今年的基礎(chǔ)上增加的百分?jǐn)?shù)．
11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”寓意敦厚、健康、活潑、可愛(ài)，象征著冬奧會(huì)運(yùn)動(dòng)員強(qiáng)壯的身體、堅(jiān)韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神．為滿足市場(chǎng)需求，某超市購(gòu)進(jìn)一批吉祥物“冰墩墩”，進(jìn)價(jià)為每個(gè)15元，第一天以每個(gè)25元的價(jià)格售出30個(gè)，為了讓更多的消費(fèi)者擁有“冰墩墩”，從第二天起降價(jià)銷售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出3個(gè)．設(shè)銷售單價(jià)定為x元．
(1)超市從第二天起日銷售量增加 個(gè)，每個(gè)“冰墩墩”盈利 元（用含x的代數(shù)式表示）；
(2)針對(duì)這種“冰墩墩”的銷售情況，該商店要保證每天盈利273元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么“冰墩墩”的銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？
12．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某商店銷售甲、乙兩種商品，甲的成本為5元，乙的成本為7元．甲現(xiàn)在的售價(jià)為10元，每天賣出30個(gè)；售價(jià)每提高1元，每天少賣出2個(gè)．乙現(xiàn)在的售價(jià)為14元，每天賣出6個(gè)；售價(jià)每降低1元，每天多賣出4個(gè)．假定甲、乙兩種商品每天賣出的數(shù)量和不變（和為36袋），且售價(jià)均為整數(shù)．
(1)當(dāng)甲的售價(jià)提高x元，乙的售價(jià)為 元；（用含x的代數(shù)式表示）
(2)當(dāng)甲的售價(jià)提高多少元時(shí)，銷售這兩種商品當(dāng)天的總利潤(rùn)是268元？
13．（2021秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考期中）如圖，在中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)．
(1)如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長(zhǎng)度等于？
(2)在（1）中，面積能否等于？請(qǐng)說(shuō)明理由．
14．（2022秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某校為表彰“學(xué)生節(jié)”中表現(xiàn)優(yōu)異的學(xué)生，計(jì)劃購(gòu)買古典詩(shī)詞和散文兩類圖書(shū)作為獎(jiǎng)品．已知古典詩(shī)詞類圖書(shū)每本60元，散文類圖書(shū)每本40元．為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，商家決定對(duì)古典詩(shī)詞類圖書(shū)推出銷售優(yōu)惠活動(dòng)，但是散文類圖書(shū)售價(jià)不變．若購(gòu)買古典詩(shī)詞類圖書(shū)不超過(guò)40本時(shí)，均按每本60元價(jià)格銷售；超過(guò)40本時(shí)，每增加2本，單價(jià)降低1元．
(1)如果購(gòu)買古典詩(shī)詞類圖書(shū)46本，則每本古典詩(shī)詞類圖書(shū)的單價(jià)是______元；
(2)如果該校共購(gòu)進(jìn)圖書(shū)100本，用去購(gòu)書(shū)款4750元．求該校購(gòu)進(jìn)古典詩(shī)詞類圖書(shū)多少本？
一、單選題
1．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）某農(nóng)機(jī)廠四月份生產(chǎn)零件50萬(wàn)個(gè)，第二季度共生產(chǎn)零件182萬(wàn)個(gè)．設(shè)該廠第二季度平均每月的增長(zhǎng)率為x，那么x滿足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）銅羅中學(xué)組織一次乒乓球賽，比賽采用單循環(huán)制，要求每?jī)申?duì)之間賽一場(chǎng)．若整個(gè)比賽一共賽了45場(chǎng)，則有幾個(gè)球隊(duì)參賽？設(shè)有x個(gè)球隊(duì)參賽，則下列方程中正確的是（　　）
A．x （x+1）=45 B． C．x （x﹣1）=45 D．
二、填空題
3．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）美國(guó)有一人感染新冠肺炎，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有100個(gè)人感染，那么每輪傳染中，平均一個(gè)人感染x人，可列方程為_(kāi)___________________．
4．（2023·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在一塊長(zhǎng)、寬的矩形荒地上，要建造一個(gè)矩形花園，圖中陰影部分是花園，并使花園所占面積為荒地面積的一半，花園外部四周修建寬度相同的小路，求圖中的小路的寬是多少米？設(shè)小路的寬度為，所列方程式是______．
5．（2022秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）小明在計(jì)算某數(shù)的平方時(shí)，將這個(gè)數(shù)的平方誤看成它的2倍，使答案少了35，則這個(gè)數(shù)為_(kāi)________．
6．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，為了擴(kuò)大銷售量，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．若商場(chǎng)平均每天銷售這種襯衫的盈利要達(dá)到1200元，則每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？設(shè)每件襯衫降價(jià)x元，由題意列得方程______．
7．（2022秋·江蘇常州·九年級(jí)常州市第二十四中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)、同時(shí)由、兩點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)在上沿方向以的速度移動(dòng)，點(diǎn)在上沿方向以的速度移動(dòng)，則________秒鐘后，的面積為？
三、解答題
8．（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）2023年3月12日，大豐區(qū)飛達(dá)路初級(jí)中學(xué)開(kāi)展“為校園增添一點(diǎn)綠色”為主題的植樹(shù)活動(dòng)，組織七年級(jí)、八年級(jí)、九年級(jí)分別在12日、13日、14日進(jìn)行植樹(shù)活動(dòng)，七年級(jí)學(xué)生在12日種植了25棵樹(shù)苗，學(xué)生們?cè)诜N植的過(guò)程中聽(tīng)老師講解植樹(shù)綠化的意義，熱情高漲，每天的植樹(shù)增長(zhǎng)率相同，九年級(jí)學(xué)生在14日種植了49棵樹(shù)苗．
(1)求平均每天植樹(shù)的增長(zhǎng)率？
(2)求此次活動(dòng)三個(gè)年級(jí)種植樹(shù)苗的總棵數(shù)？
9．（江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某旅行社一則旅游消息如下：
旅游人數(shù) 收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)
不超過(guò)人 人均收費(fèi)元
超過(guò)人 每增加一人，人均收費(fèi)減少元，但人均收費(fèi)不低于元
(1)甲公司員工分兩批參加該項(xiàng)旅游，分別支付給旅行社元和元，甲公司員工有__________人．
(2)乙公司員工一起參加該項(xiàng)旅游，支付給旅行社元，乙公司員工多少人？
10．（2022春·江蘇蘇州·八年級(jí)校考期末）疫情期間，“大白”成了身穿防護(hù)服的人員的代稱．開(kāi)學(xué)以來(lái)，我校很多老師在繁重的課務(wù)之余承擔(dān)起了核酸檢測(cè)的任務(wù)，化身可敬可愛(ài)的“大白”．據(jù)多日檢測(cè)結(jié)果調(diào)查發(fā)現(xiàn)一個(gè)熟能生巧的現(xiàn)象，當(dāng)每位大白檢測(cè)人數(shù)是人時(shí)，每位同學(xué)人均檢測(cè)時(shí)間是秒，而檢測(cè)人數(shù)每提高人，人均就少耗時(shí)秒（若每位大白的檢測(cè)人數(shù)不超過(guò)人，設(shè)人均少耗時(shí)秒）．
(1)補(bǔ)全下列表格：
檢測(cè)人數(shù)（人）
人均檢測(cè)時(shí)間（秒）
(2)某位大白一節(jié)課（）剛好同時(shí)完成了檢測(cè)任務(wù)，那么他今日檢測(cè)總?cè)藬?shù)為多少人？
11．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形，cm，cm，點(diǎn)P以2cm/s的速度從頂點(diǎn)A出發(fā)沿折線A－B－C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以lcm/s的速度從頂點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)末端停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．
(1)問(wèn)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒，使四邊形的面積是矩形面積的；
(2)問(wèn)兩動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間使得點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為？若存在，求出運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
12．（2023春·江蘇·八年級(jí)姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以的速度向點(diǎn)D移動(dòng)（點(diǎn)P停止移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也停止移動(dòng)）．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）．連接，．
(1)用含t的式子表示線段的長(zhǎng)：__________；__________．
(2)當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離為？
(3)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形的形狀可能為矩形嗎？若可能，求出t的值；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
13．（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)校考階段練習(xí)）某商店分別花20000元和30000元先后兩次以相同的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)某種商品，且第二次的數(shù)量比第一次多500千克．
(1)該商品的進(jìn)價(jià)是多少？
(2)已知該商品每天的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式為：，若想銷售該商品每天獲利2000元，該商店需將商品的售價(jià)定為多少？
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第06講實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（7種題型）
1.能運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題. （重點(diǎn)）
2.正確分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系并建立一元二次方程模型.（難點(diǎn)）
知識(shí)點(diǎn)1：列一元二次方程解應(yīng)用題
1.利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.
2.解決應(yīng)用題的一般步驟：
審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；
設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；
列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；
驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義）
答(寫(xiě)出答案，切忌答非所問(wèn)).
要點(diǎn)詮釋： 列方程解實(shí)際問(wèn)題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：
一是整體地、系統(tǒng)地審題；
二是把握問(wèn)題中的等量關(guān)系；
三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.
知識(shí)點(diǎn)2：常見(jiàn)相關(guān)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系及表示方法
題型1：增長(zhǎng)率問(wèn)題
列一元二次方程解決增長(zhǎng)(降低)率問(wèn)題時(shí)，要理清原來(lái)數(shù)、后來(lái)數(shù)、增長(zhǎng)率或降低率，以及增長(zhǎng)或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)或降低兩次.
(1)增長(zhǎng)率問(wèn)題：
平均增長(zhǎng)率公式為 (a為原來(lái)數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量.)
(2)降低率問(wèn)題：
平均降低率公式為 (a為原來(lái)數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)
題型2：面積問(wèn)題
此類問(wèn)題屬于幾何圖形的應(yīng)用問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.
題型3：比賽統(tǒng)計(jì)問(wèn)題
比賽問(wèn)題：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是分清單循環(huán)和雙循環(huán) ．
題型4：傳播問(wèn)題
傳播問(wèn)題：
，a表示傳染前的人數(shù)，x表示每輪每人傳染的人數(shù)，n表示傳染的輪數(shù)或天數(shù)，A表示最終的人數(shù)．
題型5：銷售利潤(rùn)問(wèn)題
利息問(wèn)題
(1)概念：
　　本金：顧客存入銀行的錢叫本金.
　　利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.
　　本息和：本金和利息的和叫本息和.
　　期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫期數(shù).
　　利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.
(2)公式:
　　利息=本金×利率×期數(shù)
　　利息稅=利息×稅率
　　本金×(1+利率×期數(shù))=本息和
　　本金×[1+利率×期數(shù)×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時(shí))
利潤(rùn)(銷售)問(wèn)題
　　利潤(rùn)(銷售)問(wèn)題中常用的等量關(guān)系：
　　利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)
　　總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)×總件數(shù)
　　
題型1：增長(zhǎng)率問(wèn)題
例1．（2022 南通）李師傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若從1月到3月，每月盈利的平均增長(zhǎng)率都相同，則這個(gè)平均增長(zhǎng)率是（　　）
A．10.5% B．10% C．20% D．21%
【分析】設(shè)該超市的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)等量關(guān)系：1月份盈利額×（1+增長(zhǎng)率）2＝3月份的盈利額列出方程求解即可．
【解答】解：設(shè)從1月到3月，每月盈利的平均增長(zhǎng)率為x，由題意可得：
3000（1+x）2＝3630，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去），
答：每月盈利的平均增長(zhǎng)率為10%．
故答案為：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，屬于增長(zhǎng)率的問(wèn)題，增長(zhǎng)率＝增長(zhǎng)數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長(zhǎng)的百分率為x，則第一次增長(zhǎng)后為a（1+x）；第二次增長(zhǎng)后為a（1+x）2，即 原數(shù)×（1+增長(zhǎng)百分率）2＝后來(lái)數(shù)．
例2．（2021 鹽城）勞動(dòng)教育已納入人才培養(yǎng)全過(guò)程，某學(xué)校加大投入，建設(shè)校園農(nóng)場(chǎng)，該農(nóng)場(chǎng)一種作物的產(chǎn)量?jī)赡陜?nèi)從300千克增加到363千克．設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率為x，則可列方程為 　 　．
【分析】可先表示出第一年的產(chǎn)量，那么第二年的產(chǎn)量×（1+增長(zhǎng)率）＝363，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．
【解答】解：第一年的產(chǎn)量為300×（1+x），
第二年的產(chǎn)量在第一年產(chǎn)量的基礎(chǔ)上增加x，為300×（1+x）×（1+x），
則列出的方程是300（1+x）2＝363．
故答案是：300（1+x）2＝363．
【點(diǎn)評(píng)】考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過(guò)兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b．
題型2：面積問(wèn)題
例3．（2020 南通）1275年，我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個(gè)問(wèn)題：直田積八百六十四步，只云闊不及長(zhǎng)一十二步．問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步．意思是：矩形面積864平方步，寬比長(zhǎng)少12步，問(wèn)寬和長(zhǎng)各幾步．若設(shè)長(zhǎng)為x步，則可列方程為　 　．
【分析】由長(zhǎng)和寬之間的關(guān)系可得出寬為（x﹣12）步，根據(jù)矩形的面積為864平方步，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：∵長(zhǎng)為x步，寬比長(zhǎng)少12步，
∴寬為（x﹣12）步．
依題意，得：x（x﹣12）＝864．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
例4．（2022秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)無(wú)錫市東林中學(xué)校考期中）如圖，長(zhǎng)方形花圃面積為，它的一邊利用已有的圍墻（圍墻足夠長(zhǎng)），另外三邊所圍的柵欄的總長(zhǎng)度是．處開(kāi)一門(mén)，寬度為．設(shè)的長(zhǎng)度是，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可知，柵欄的總長(zhǎng)度是，門(mén)寬度為，則三邊的總長(zhǎng)度是，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式，列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)的長(zhǎng)度是，則的長(zhǎng)度是，
列出方程為：，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式列出方程．
例5．（2022 泰州）如圖，在長(zhǎng)為50m、寬為38m的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應(yīng)為多少？
【分析】要求路寬，就要設(shè)路寬應(yīng)為x米，根據(jù)題意可知：矩形地面﹣所修路面積＝草坪面積，利用平移更簡(jiǎn)單，依此列出等量關(guān)系解方程即可．
【解答】解：設(shè)路寬應(yīng)為x米
根據(jù)等量關(guān)系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，
解得：x＝4或40，
40不合題意，舍去，
所以x＝4，
答：道路的寬應(yīng)為4米．
【點(diǎn)評(píng)】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．
題型3：比賽統(tǒng)計(jì)問(wèn)題
例6．（2021秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)宜興市樹(shù)人中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）一次足球聯(lián)賽實(shí)行單循環(huán)比賽（每?jī)芍蜿?duì)之間都比賽一場(chǎng)），計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽，設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)了x支球隊(duì)參加聯(lián)賽，則下列方程中符合題意的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)了x支球隊(duì)參加聯(lián)賽，根據(jù)“計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽，”列出方程，即可求解．
【詳解】解：設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)了x支球隊(duì)參加聯(lián)賽，根據(jù)題意得：
．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
例7．（2023秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）為了迎接第二十二屆世界杯足球賽，卡塔爾某地區(qū)舉行了足球邀請(qǐng)賽，規(guī)定參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間比賽一場(chǎng)，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽．設(shè)比賽組織者邀請(qǐng)了個(gè)隊(duì)參賽，則下列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)比賽組織者邀請(qǐng)了個(gè)隊(duì)參賽，由題意可知共比賽場(chǎng)，根據(jù)“規(guī)定參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間比賽一場(chǎng)”列出方程即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，可得．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，正確找到等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
例8．（2023·江蘇泰州·九年級(jí)校考期末）九年級(jí)舉行班級(jí)足球賽，先把所有班通過(guò)抽簽平均分成A，B兩組，在每一組中進(jìn)行單循環(huán)的小組賽（每?jī)蓚€(gè)班之間比賽一場(chǎng)），再?gòu)拿拷M的前4名選出進(jìn)行比賽，最后進(jìn)行決賽得出名次；若A組共進(jìn)行了21場(chǎng)小組賽，則九年級(jí)共有______個(gè)班．
【答案】14
【分析】賽制為單循環(huán)形式（每?jī)砂嘀g都賽一場(chǎng)），設(shè)A組有x個(gè)班，則可得方程，計(jì)算出A組班數(shù)乘以2，即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)A組共有x個(gè)班級(jí)．依題意得：
解得：
∴九年級(jí)共有個(gè)班級(jí)．
故答案為：14．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)比賽場(chǎng)數(shù)與參賽隊(duì)之間的關(guān)系為：比賽場(chǎng)數(shù)=隊(duì)數(shù)（隊(duì)數(shù)），進(jìn)而得出方程是解題關(guān)鍵．
題型4：傳播問(wèn)題
例9．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）美國(guó)有一人感染新冠肺炎，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有100個(gè)人感染，那么每輪傳染中，平均一個(gè)人感染x人，可列方程為_(kāi)___________________．
【答案】
【分析】由每輪傳染中平均一個(gè)人感染人，可得出第一輪傳染有人被傳染，第二輪傳染有人被傳染，結(jié)合經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有100個(gè)人感染，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
【詳解】解：每輪傳染中平均一個(gè)人感染人，
第一輪傳染有人被傳染，第二輪傳染有人被傳染．
依題意得：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
例10．（2022秋·江蘇連云港·九年級(jí)階段練習(xí)）新冠肺炎傳染性很強(qiáng)，曾有2人同時(shí)患上新冠肺炎，并且每人每天平均傳染x人，若經(jīng)過(guò)兩天傳染后就有128人患上了新冠肺炎，則x的值為 ___________．
【答案】7
【分析】根據(jù)“2人同時(shí)患上新冠肺炎，經(jīng)過(guò)兩天傳染后128人患上新冠肺炎”，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【詳解】解：依題意得：，
解得：（不合題意，舍去）．
故答案為：7．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)等量關(guān)系列出方程是關(guān)鍵．
題型5：銷售利潤(rùn)問(wèn)題
例11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）某工廠生產(chǎn)的某種零件按供需要求分為8個(gè)檔次．若生產(chǎn)第一檔次（最低檔次）的產(chǎn)品，一天可生產(chǎn)件，每件的利潤(rùn)為元，每提高一個(gè)檔次，每件的利潤(rùn)增加3元，每天的產(chǎn)量將減少2件．請(qǐng)解答下列問(wèn)題，設(shè)產(chǎn)品的檔次（每天只生產(chǎn)一個(gè)檔次的產(chǎn)品）為x，若該產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為元，求這天生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次x的值．
【答案】這天生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次x的值為6
【分析】設(shè)產(chǎn)品的檔次（每天只生產(chǎn)一個(gè)檔次的產(chǎn)品）為x，則每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為元，一天可生產(chǎn)件，根據(jù)題意得，，進(jìn)行計(jì)算即可得．
【詳解】解：設(shè)產(chǎn)品的檔次（每天只生產(chǎn)一個(gè)檔次的產(chǎn)品）為x，
則每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為元，一天可生產(chǎn)件，
根據(jù)題意得，，
整理得，，
解得，，（不符合題意，舍），
即這天生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次x的值為6．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確的列出一元二次方程．
例12．（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某商場(chǎng)“國(guó)慶”期間銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)采取了降價(jià)措施，假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價(jià)每降1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．
(1)如果襯衫的單價(jià)降了15元，求降價(jià)后商場(chǎng)銷售這批襯衫每天盈利多少元；
(2)如果降價(jià)后商場(chǎng)銷售這批襯衫每天盈利1200元，那么襯衫的單價(jià)降了多少元？
【答案】(1)1250元
(2)20元
【分析】（1）根據(jù)題意“每天可售出20件”和“假設(shè)在一定的范圍內(nèi)，襯衫的單價(jià)每降1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件”，得到答案；
（2）設(shè)襯衫的單價(jià)降了x元．根據(jù)題意等量關(guān)系：降價(jià)后的銷量×每件的利潤(rùn)，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．
【詳解】（1）當(dāng)單價(jià)降了15元時(shí)，盈利為(元)，
答：這批襯衫每天盈利1250元．
（2）設(shè)襯衫的單價(jià)降了x元．由題意得：
，
解得：，，
要盡快減少庫(kù)存，
，
答：襯衫的單價(jià)降了20元．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由題意找到等量關(guān)系并列出方程．
例13．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）今年超市以每件25元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批商品，當(dāng)商品售價(jià)為40元時(shí)，三月份銷售256件，四、五月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)上漲，在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，五月份的銷售量達(dá)到400件．
(1)求四、五這兩個(gè)月銷售量的月平均增長(zhǎng)百分率．
(2)經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，六月份的銷售量將與五月份持平，現(xiàn)商場(chǎng)為了減少庫(kù)存，采用降價(jià)促銷方式，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價(jià)1元，月銷量增加5件，當(dāng)商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)六月份可獲利4250元？
【答案】(1)
(2)5元
【分析】（1）利用平均增長(zhǎng)率的等量關(guān)系：，列式計(jì)算即可；
（2）利用總利潤(rùn)單件利潤(rùn)銷售數(shù)量，列方程求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)平均增長(zhǎng)率為，由題意得：
，
解得：或（舍）；
∴四、五這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)百分率為；
（2）解：設(shè)降價(jià)元，由題意得：
，
整理得：，
解得：或（舍）；
∴當(dāng)商品降價(jià)5元時(shí)，商場(chǎng)六月份可獲利4250元．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意正確的列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
題型6：圖表信息題
例14．（2022秋·廣東陽(yáng)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）烏克蘭危機(jī)發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動(dòng)，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬(wàn)里歸途》正是“外交為民”的真實(shí)寫(xiě)照，如表是該影片票房的部分?jǐn)?shù)據(jù)，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計(jì)收入）
影片《萬(wàn)里歸途》的部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)
發(fā)布日期 10月8日 10月11日 10月12日
發(fā)布次數(shù) 第1次 第2次 第3次
票房 10億元 12.1億元
(1)平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率是多少？
(2)在（1）的條件下，若票價(jià)每張40元，求10月11日賣出多少?gòu)堧娪捌?br/>【答案】(1)10%
(2)2500000張
【分析】（1）設(shè)平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率是，利用第3次累計(jì)票房=第1次累計(jì)票房（1+平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率），即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）利用數(shù)量=總結(jié)單價(jià)，即可求出結(jié)論；
【詳解】（1）解：設(shè)平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率是，
依題意得：，
解得：，（不符合題意，舍去）．
答：平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率是10%．
（2）解：
（張）．
答：10月11日賣出2500000張電影票．
（或（張）．）
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及統(tǒng)計(jì)表，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
例15．（江蘇南京·九年級(jí)階段練習(xí)）某商店購(gòu)進(jìn)800個(gè)旅游紀(jì)念品，進(jìn)價(jià)為每個(gè)50元，第一周以每個(gè)80元的價(jià)格售出200個(gè)，第二周若按每個(gè)80元的價(jià)格銷售仍可售出200個(gè)，但商店為了適當(dāng)增加銷量，決定降價(jià)銷售（根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出10個(gè)，但售價(jià)不得低于進(jìn)價(jià)），單價(jià)降低x元銷售銷售一周后，商店對(duì)剩余旅游紀(jì)念品以及清倉(cāng)處理，以每個(gè)40元的價(jià)格全部售出，如果這批旅游紀(jì)念品共獲利9000元．
（1）填表（結(jié)果需化簡(jiǎn)）
時(shí)間 第一周 第二周 清倉(cāng)時(shí)
單價(jià)（元） 80 40
銷售量（件） 200
（2）求第二周每個(gè)旅游紀(jì)念品的銷售價(jià)格為多少元？
【答案】（1）填表見(jiàn)解析；（2）第二周每個(gè)旅游紀(jì)念品的銷售價(jià)格為70元．
【分析】（1）第二周的單價(jià)=第一周的單價(jià)-降低的價(jià)格，銷售量=200+10×降低的單價(jià)；清倉(cāng)時(shí)的銷售量為：800-第一周的銷售量-第二周的銷售量；
（2）等量關(guān)系為：總售價(jià)-總進(jìn)價(jià)=9000．把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）填表（結(jié)果需化簡(jiǎn)）
時(shí)間 第一周 第二周 清倉(cāng)時(shí)
單價(jià)（元） 80 80-x 40
銷售量（件） 200 200+10x 400-10x
故答案為：80-x，200+10x，400-10x；
（2）80×200+（80-x）（200+10x）+40×(400-10x）-800×50=9000，
x2-20x+100=0，
解得：x1=x2=10，
當(dāng)x=10時(shí)，80-x=70．
答：第二周每個(gè)旅游紀(jì)念品的銷售價(jià)格為70元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了列代數(shù)式以及一元二次方程的應(yīng)用，找出相等關(guān)系列一元二次方程求解是解題的關(guān)鍵．
題型7：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
例16．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，cm，cm，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以cm/s的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（　　）
A．s B．2s C．10s D．10s或2s
【答案】B
【分析】設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts,根據(jù)題意得：,然后根據(jù)勾股定理列方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts,
根據(jù)題意得：,
∴
∵
∴，
∴
解得或（舍去），
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s,
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)．
例17．（2022秋·江蘇常州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)O及點(diǎn)、作矩形OABC，的平分線交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線OD方向移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，求當(dāng)t為多少秒時(shí)，為直角三角形．
【答案】，或
【分析】根據(jù)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)先求出，，，即有，，；再根據(jù)直角三角形的特點(diǎn)，分類三種情況討論即可作答．
【詳解】根據(jù)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)可得：，，
∴，
∵射線OD是的平分線，
∴OD也是第一象限的角平分線，
∵第一象限的角平分線的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等，
∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)射線OD方向移動(dòng)，
∴，
∵，
∴，
∴，
根據(jù)矩形的性質(zhì)易得，
則；；；
當(dāng)為直角三角形時(shí)，
時(shí)，，
解得；(舍去)；
時(shí)，，
解得：，
時(shí)，
解得：(舍去)，
綜上，，或秒時(shí)，為直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間的距離公式，勾股定理以及一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，掌握兩點(diǎn)之間的距離公式，一元二次方程的解法，直角三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
一、單選題
1．（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)校考期中）如圖，某小區(qū)計(jì)劃在一塊長(zhǎng)為，寬為的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為，若設(shè)道路的寬為，則所列的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】六塊矩形空地正好能拼成一個(gè)矩形，設(shè)道路的寬為，根據(jù)草坪的面積是，即可列出方程．
【詳解】解：設(shè)道路的寬為，根據(jù)題意得：，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，解題關(guān)鍵是利用平移把不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，進(jìn)而即可列出方程．
2．（2023秋·江蘇常州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在一塊相鄰兩邊長(zhǎng)分別為、的矩形綠地內(nèi)，開(kāi)辟一個(gè)矩形的花圃，使四周的綠地等寬，且花圃的面積與四周綠地的面積相等．設(shè)四周綠地的寬是，根據(jù)題意，可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用含x的代數(shù)式表示出花圃的面積，再根據(jù)題中所給等量關(guān)系列出等式即可．
【詳解】解：由圖可知，花圃的的長(zhǎng)為，寬為，
花圃的面積與四周綠地的面積相等，
花圃的面積等于整塊土地面積的，
，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查列一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出花圃的面積等于整塊土地面積的．
3．（2023秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校聯(lián)考期末）某網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)年的新注冊(cè)用戶數(shù)為萬(wàn)，年的新注冊(cè)用戶數(shù)為萬(wàn)，設(shè)新注冊(cè)用戶數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為x（），根據(jù)題意所列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)年的新注冊(cè)用戶數(shù)為萬(wàn)列方程即可得到答案；
【詳解】解：由題意可得，
，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程解決增長(zhǎng)率問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系式．
4．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，用長(zhǎng)為的柵欄圍成一個(gè)面積為的矩形花圃．為方便進(jìn)出，在邊上留有一個(gè)寬的小門(mén)．設(shè)的長(zhǎng)為，根據(jù)題意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解：設(shè)的長(zhǎng)為，則，根據(jù)面積為列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)的長(zhǎng)為，則，根據(jù)題意得：
，故B正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題中等量關(guān)系，列出方程．
二、填空題
5．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）為建設(shè)美麗句容，改造老舊小區(qū)，我市年投入資金萬(wàn)元，年投入資金萬(wàn)元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長(zhǎng)率相同．求我市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率____．
【答案】
【分析】設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率為，利用年投入資金金額＝2020年投入資金金額×，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率為，
依題意得：，
解得：，（不合題意，舍去），
∴該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
6．（2023秋·江蘇徐州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）《田畝比類乘除捷法》中記載了一道題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長(zhǎng)一十二步，問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步．”譯文：一個(gè)矩形的面積為864平方步，寬比長(zhǎng)少12步，問(wèn)寬和長(zhǎng)各多少步 設(shè)矩形的寬為步，由題意，可列方程為_(kāi)___________．
【答案】
【分析】由矩形的寬及長(zhǎng)與寬之間的關(guān)系可得出矩形的長(zhǎng)為步，再利用矩形的面積公式即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
【詳解】解：∵矩形的寬為步，且寬比長(zhǎng)少12步，
∴矩形的長(zhǎng)為步．
依題意，得：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
7．（2021秋·江蘇常州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知一個(gè)數(shù)的平方減去30的差等于這個(gè)數(shù)本身，則這個(gè)數(shù)為 ___．
【答案】6或-5
【分析】設(shè)這個(gè)數(shù)為x，根據(jù)題意，列出一元二次方程，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)數(shù)為x，
根據(jù)題意得：x2-30=x，
解得：x=6或x=-5，
故答案是：6或-5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程，根據(jù)題意，列出方程是解題的關(guān)鍵．
8．（2021秋·江蘇蘇州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）某商品進(jìn)貨價(jià)為每件10元，售價(jià)每件30元時(shí)平均每天可以售出20件，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件降低2元，那么平均每天多售出4件，若想每天盈利450元，設(shè)每件應(yīng)降價(jià)x元，可列出方程為_(kāi)_________________．
【答案】（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450
【分析】首先設(shè)每件應(yīng)降價(jià)x元，利用銷售量×每件利潤(rùn)＝450元列出方程．
【詳解】解：設(shè)設(shè)每件應(yīng)降價(jià)x元，則每件定價(jià)為（30﹣x）元，根據(jù)題意，得：
（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450，
故答案是：（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程．關(guān)鍵是弄懂題意，找出題目中的等量關(guān)系，表示出銷售量和每件利潤(rùn)，再列出方程．
三、解答題
9．（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某商品每件進(jìn)價(jià)為30元，當(dāng)銷售單價(jià)為50元時(shí)，每天可以銷售60件．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)每提高1元，日銷售量將會(huì)減少2件，物價(jià)部門(mén)規(guī)定該商品銷售單價(jià)不能高于65元，設(shè)該商品的銷售單價(jià)為（元），日銷售量為（件）．
(1)與的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______；
(2)要使日銷售利潤(rùn)為800元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？
【答案】(1)
(2)40
【分析】（1）由題意易得日銷售量與銷售單價(jià)成反比，得到，即可解得
（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解
【詳解】（1）根據(jù)題意得，，
故與的函數(shù)關(guān)系式為
（2），
解得：，（舍去），
故答案為：40元
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程，熟練掌握一次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵
10．（2023·江蘇徐州·校考一模）“民以食為天，食以糧為先”，糧食安全事關(guān)國(guó)計(jì)民生．為了確保糧食安全，優(yōu)選品種，某農(nóng)業(yè)科技公司對(duì)原有小麥進(jìn)行改良種植研究，在保持種植面積不變的情況下，今年小麥平均畝產(chǎn)量在去年的基礎(chǔ)上增加了，每千克售價(jià)也在去年的基礎(chǔ)上上漲了，全部售出后總收入將增加．
(1)求a的值；
(2)如果明年的種植面積仍然不變，預(yù)計(jì)明年小麥平均畝產(chǎn)量將在今年的基礎(chǔ)上增加，每千克售價(jià)將在今年的基礎(chǔ)上上漲，求全部售出后明年的總收入將在今年的基礎(chǔ)上增加的百分?jǐn)?shù)．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）根據(jù)總收入=畝產(chǎn)量銷售單價(jià)，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，然后解一元二次方程即可得出a的值，再取正值即可；
（2）先求出明年的總收入增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)，再減去1即可求解．
【詳解】（1）解：依題意得：，整理得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
答：a的值為5．
（2）解：，
答：明年的總收入增加的百分?jǐn)?shù)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”寓意敦厚、健康、活潑、可愛(ài)，象征著冬奧會(huì)運(yùn)動(dòng)員強(qiáng)壯的身體、堅(jiān)韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神．為滿足市場(chǎng)需求，某超市購(gòu)進(jìn)一批吉祥物“冰墩墩”，進(jìn)價(jià)為每個(gè)15元，第一天以每個(gè)25元的價(jià)格售出30個(gè)，為了讓更多的消費(fèi)者擁有“冰墩墩”，從第二天起降價(jià)銷售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出3個(gè)．設(shè)銷售單價(jià)定為x元．
(1)超市從第二天起日銷售量增加 個(gè)，每個(gè)“冰墩墩”盈利 元（用含x的代數(shù)式表示）；
(2)針對(duì)這種“冰墩墩”的銷售情況，該商店要保證每天盈利273元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么“冰墩墩”的銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？
【答案】(1)；
(2)“冰墩墩”的銷售單價(jià)應(yīng)定為22元
【分析】（1）根據(jù)題目的條件：?jiǎn)蝺r(jià)每降低1元，可多售出3個(gè)，填空即可；因?yàn)檫M(jìn)價(jià)為每個(gè)15元，所以每件商品盈利元；
（2）由利潤(rùn)等于每件利潤(rùn)乘以銷售數(shù)量，建立方程求出其解，再結(jié)合要使顧客得到實(shí)惠，即舍去大的值即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)銷售單價(jià)定為x元時(shí)，日銷售量增加個(gè)，每個(gè)“冰墩墩”盈利元．
故答案為：；
（2）解：依題意得：．
整理得：，
解得：，，
又∵該商店要保證每天盈利273元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，
∴，
答：“冰墩墩”的銷售單價(jià)應(yīng)定為22元．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某商店銷售甲、乙兩種商品，甲的成本為5元，乙的成本為7元．甲現(xiàn)在的售價(jià)為10元，每天賣出30個(gè)；售價(jià)每提高1元，每天少賣出2個(gè)．乙現(xiàn)在的售價(jià)為14元，每天賣出6個(gè)；售價(jià)每降低1元，每天多賣出4個(gè)．假定甲、乙兩種商品每天賣出的數(shù)量和不變（和為36袋），且售價(jià)均為整數(shù)．
(1)當(dāng)甲的售價(jià)提高x元，乙的售價(jià)為 元；（用含x的代數(shù)式表示）
(2)當(dāng)甲的售價(jià)提高多少元時(shí)，銷售這兩種商品當(dāng)天的總利潤(rùn)是268元？
【答案】(1)
(2)甲零食的售價(jià)提高4元時(shí)，銷售這兩種零食當(dāng)天的總利潤(rùn)是268元
【分析】（1）先計(jì)算甲的售價(jià)提高后乙的銷售數(shù)量，再計(jì)算乙的售價(jià)；
（2）設(shè)甲零食的售價(jià)提高x元時(shí)，將兩種商品的利潤(rùn)相加，可得方程，解之即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)甲的售價(jià)提高x元，
乙的售價(jià)為：；
（2）設(shè)甲零食的售價(jià)提高x元時(shí)，銷售這兩種零食當(dāng)天的總利潤(rùn)是268元，
由題意得，，
解得：，（不符合題意，舍去）．
答：甲零食的售價(jià)提高4元時(shí)，銷售這兩種零食當(dāng)天的總利潤(rùn)是268元．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程應(yīng)用，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
13．（2021秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考期中）如圖，在中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)．
(1)如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長(zhǎng)度等于？
(2)在（1）中，面積能否等于？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)3秒
(2)在（1）中，面積不能等于，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后，PQ的長(zhǎng)度等于，利用勾股定理列出方程，求解即可；
（2）由（1）可知，再由三角形面積公式求出面積，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后，PQ的長(zhǎng)度等于．
∵點(diǎn)P的速度為，點(diǎn)Q的速度為，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
解得：（不符合題意，舍去），，
∴3秒后，的長(zhǎng)度為；
（2）在（1）中，面積不能等于，理由如下：
由（1）可知，，
∴，
∴在（1）中，面積不能等于．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
14．（2022秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某校為表彰“學(xué)生節(jié)”中表現(xiàn)優(yōu)異的學(xué)生，計(jì)劃購(gòu)買古典詩(shī)詞和散文兩類圖書(shū)作為獎(jiǎng)品．已知古典詩(shī)詞類圖書(shū)每本60元，散文類圖書(shū)每本40元．為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，商家決定對(duì)古典詩(shī)詞類圖書(shū)推出銷售優(yōu)惠活動(dòng)，但是散文類圖書(shū)售價(jià)不變．若購(gòu)買古典詩(shī)詞類圖書(shū)不超過(guò)40本時(shí)，均按每本60元價(jià)格銷售；超過(guò)40本時(shí)，每增加2本，單價(jià)降低1元．
(1)如果購(gòu)買古典詩(shī)詞類圖書(shū)46本，則每本古典詩(shī)詞類圖書(shū)的單價(jià)是______元；
(2)如果該校共購(gòu)進(jìn)圖書(shū)100本，用去購(gòu)書(shū)款4750元．求該校購(gòu)進(jìn)古典詩(shī)詞類圖書(shū)多少本？
【答案】(1)57
(2)該校購(gòu)進(jìn)古典詩(shī)詞類圖書(shū)50本
【分析】（1）根據(jù)“超過(guò)40本時(shí)，每增加2本，單價(jià)降低1元”即可求解；
（2）該校購(gòu)進(jìn)古典詩(shī)詞類圖書(shū)x本，則購(gòu)買散文類圖書(shū)本，分和兩種情況分別列方程，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意知， 購(gòu)買古典詩(shī)詞類圖書(shū)46本，則每本古典詩(shī)詞類圖書(shū)的單價(jià)是：（元），
故答案為：57；
（2）解：該校購(gòu)進(jìn)古典詩(shī)詞類圖書(shū)x本，則購(gòu)買散文類圖書(shū)本．
若，則，
化簡(jiǎn)得，
解得或（舍去）；
若，則，
解得（舍去）；
綜上可知，該校購(gòu)進(jìn)古典詩(shī)詞類圖書(shū)50本．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵，注意第二問(wèn)需分情況討論．
一、單選題
1．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）某農(nóng)機(jī)廠四月份生產(chǎn)零件50萬(wàn)個(gè)，第二季度共生產(chǎn)零件182萬(wàn)個(gè)．設(shè)該廠第二季度平均每月的增長(zhǎng)率為x，那么x滿足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平均每月的增長(zhǎng)率分別求出該廠五、六月份生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)，再根據(jù)四月份生產(chǎn)零件50萬(wàn)個(gè)，第二季度共生產(chǎn)零件182萬(wàn)個(gè)即可列出方程．
【詳解】解：由題意得：該廠五月份生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)為個(gè)，
六月份生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)為個(gè)，
則可列方程為．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程-增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般形式為，a為起始時(shí)間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時(shí)間的有關(guān)數(shù)量
2．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）銅羅中學(xué)組織一次乒乓球賽，比賽采用單循環(huán)制，要求每?jī)申?duì)之間賽一場(chǎng)．若整個(gè)比賽一共賽了45場(chǎng)，則有幾個(gè)球隊(duì)參賽？設(shè)有x個(gè)球隊(duì)參賽，則下列方程中正確的是（　　）
A．x （x+1）=45 B． C．x （x﹣1）=45 D．
【答案】D
【分析】設(shè)有個(gè)球隊(duì)參賽，那么第一個(gè)球隊(duì)和其他球隊(duì)打場(chǎng)球，第二個(gè)球隊(duì)和其他球隊(duì)打場(chǎng)，以此類推可以知道共打場(chǎng)球，然后根據(jù)計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽即可列出方程求解．
【詳解】解：依題意得，
即．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，和實(shí)際生活結(jié)合比較緊密，準(zhǔn)確找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，從而根據(jù)等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
二、填空題
3．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）美國(guó)有一人感染新冠肺炎，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有100個(gè)人感染，那么每輪傳染中，平均一個(gè)人感染x人，可列方程為_(kāi)___________________．
【答案】
【分析】由每輪傳染中平均一個(gè)人感染人，可得出第一輪傳染有人被傳染，第二輪傳染有人被傳染，結(jié)合經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有100個(gè)人感染，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
【詳解】解：每輪傳染中平均一個(gè)人感染人，
第一輪傳染有人被傳染，第二輪傳染有人被傳染．
依題意得：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在一塊長(zhǎng)、寬的矩形荒地上，要建造一個(gè)矩形花園，圖中陰影部分是花園，并使花園所占面積為荒地面積的一半，花園外部四周修建寬度相同的小路，求圖中的小路的寬是多少米？設(shè)小路的寬度為，所列方程式是______．
【答案】
【分析】根據(jù)小路的寬度，可得出矩形花園的長(zhǎng)為，寬為，結(jié)合矩形花園所占面積為荒地面積的一半，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
【詳解】解：∵小路的寬度為，
∴矩形花園的長(zhǎng)為，寬為．
根據(jù)題意得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）小明在計(jì)算某數(shù)的平方時(shí)，將這個(gè)數(shù)的平方誤看成它的2倍，使答案少了35，則這個(gè)數(shù)為_(kāi)________．
【答案】7或-5/或
【分析】設(shè)這個(gè)數(shù)為x，根據(jù)這個(gè)數(shù)的平方-2×這個(gè)數(shù)=35，列出方程，解方程即可．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)數(shù)為x，根據(jù)題意得：
，
解得：或．
故答案為：7或-5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程，是解題的關(guān)鍵．
6．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，為了擴(kuò)大銷售量，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．若商場(chǎng)平均每天銷售這種襯衫的盈利要達(dá)到1200元，則每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？設(shè)每件襯衫降價(jià)x元，由題意列得方程______．
【答案】
【分析】設(shè)每件襯衫降價(jià)x元，根據(jù)每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件可得銷售量為，則每件襯衫的利潤(rùn)為，根據(jù)銷售量乘以每件襯衫的利潤(rùn)等于1200元，列出一元二次方程即可
【詳解】解：設(shè)每件襯衫降價(jià)x元，根據(jù)題意得，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
7．（2022秋·江蘇常州·九年級(jí)常州市第二十四中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)、同時(shí)由、兩點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)在上沿方向以的速度移動(dòng)，點(diǎn)在上沿方向以的速度移動(dòng)，則________秒鐘后，的面積為？
【答案】或
【分析】設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)x秒鐘后，AP=2xcm，PC=（12-2x）cm，CQ=xcm，此時(shí)△PCQ的面積為：×x（12-2x），令該式=8，由此等量關(guān)系列出方程求出符合題意的值．
【詳解】設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)x秒鐘后,△PCQ的面積為8cm2.
依題意得：×x(12 2x)=8，
解得x=2或x=4.
故答案是：2或4.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握一元二次方程的應(yīng)用.
三、解答題
8．（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）2023年3月12日，大豐區(qū)飛達(dá)路初級(jí)中學(xué)開(kāi)展“為校園增添一點(diǎn)綠色”為主題的植樹(shù)活動(dòng)，組織七年級(jí)、八年級(jí)、九年級(jí)分別在12日、13日、14日進(jìn)行植樹(shù)活動(dòng)，七年級(jí)學(xué)生在12日種植了25棵樹(shù)苗，學(xué)生們?cè)诜N植的過(guò)程中聽(tīng)老師講解植樹(shù)綠化的意義，熱情高漲，每天的植樹(shù)增長(zhǎng)率相同，九年級(jí)學(xué)生在14日種植了49棵樹(shù)苗．
(1)求平均每天植樹(shù)的增長(zhǎng)率？
(2)求此次活動(dòng)三個(gè)年級(jí)種植樹(shù)苗的總棵數(shù)？
【答案】(1)
(2)棵
【分析】（1）設(shè)平均每天植樹(shù)的增長(zhǎng)率為，利用九年級(jí)學(xué)生在14日植樹(shù)的棵數(shù)七年級(jí)學(xué)生在12日植樹(shù)的棵數(shù)平均每天植樹(shù)的增長(zhǎng)率，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；
（2）將三個(gè)年級(jí)植樹(shù)棵數(shù)相加，即可求出結(jié)論．
【詳解】（1）解：設(shè)平均每天植樹(shù)的增長(zhǎng)率為x，
根據(jù)題意得：，
解得：， (不符合題意，舍去)．
答：平均每天植樹(shù)的增長(zhǎng)率為；
（2）解：根據(jù)題意得：
(棵)．
答：此次活動(dòng)三個(gè)年級(jí)種植樹(shù)苗的總棵數(shù)為棵．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
9．（江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某旅行社一則旅游消息如下：
旅游人數(shù) 收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)
不超過(guò)人 人均收費(fèi)元
超過(guò)人 每增加一人，人均收費(fèi)減少元，但人均收費(fèi)不低于元
(1)甲公司員工分兩批參加該項(xiàng)旅游，分別支付給旅行社元和元，甲公司員工有__________人．
(2)乙公司員工一起參加該項(xiàng)旅游，支付給旅行社元，乙公司員工多少人？
【答案】(1)15；
(2)乙公司人．
【分析】（1）設(shè)甲公司員工有x人，根據(jù)第一次、第二次支付的費(fèi)用和人均收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，判斷出兩次都不超過(guò)10人，直接用總費(fèi)用除以人均收費(fèi)，即可得出答案；
（2）設(shè)乙公司員工人，根據(jù)支付的費(fèi)用先判斷出公司去的人數(shù)超過(guò)了10人，再根據(jù)每增加一人，人均收費(fèi)減少60元，列出方程，求出的值，再根據(jù)人均收費(fèi)不低于1500元，即可得出乙公司去的人數(shù)．
【詳解】（1）解：設(shè)甲公司有人，
，
，
（人）．
故答案為：
（2）設(shè)乙公司人，
，
，，
若，每人費(fèi)用：，不符舍去，
若，每人費(fèi)用：，符合，
答：乙公司人．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意正確列式和列方程是解題的關(guān)鍵．
10．（2022春·江蘇蘇州·八年級(jí)校考期末）疫情期間，“大白”成了身穿防護(hù)服的人員的代稱．開(kāi)學(xué)以來(lái)，我校很多老師在繁重的課務(wù)之余承擔(dān)起了核酸檢測(cè)的任務(wù)，化身可敬可愛(ài)的“大白”．據(jù)多日檢測(cè)結(jié)果調(diào)查發(fā)現(xiàn)一個(gè)熟能生巧的現(xiàn)象，當(dāng)每位大白檢測(cè)人數(shù)是人時(shí)，每位同學(xué)人均檢測(cè)時(shí)間是秒，而檢測(cè)人數(shù)每提高人，人均就少耗時(shí)秒（若每位大白的檢測(cè)人數(shù)不超過(guò)人，設(shè)人均少耗時(shí)秒）．
(1)補(bǔ)全下列表格：
檢測(cè)人數(shù)（人）
人均檢測(cè)時(shí)間（秒）
(2)某位大白一節(jié)課（）剛好同時(shí)完成了檢測(cè)任務(wù)，那么他今日檢測(cè)總?cè)藬?shù)為多少人？
【答案】(1)40，，29，26
(2)他今日檢測(cè)總?cè)藬?shù)為人
【分析】（1）設(shè)檢測(cè)人數(shù)為y，人均檢測(cè)時(shí)間為t（秒），由題意可得出y、t與x之間的函數(shù)關(guān)系式，即可補(bǔ)全表格；
（2）根據(jù)人均檢測(cè)時(shí)間×檢測(cè)人數(shù)＝總檢測(cè)時(shí)間，可得關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：設(shè)檢測(cè)人數(shù)為，人均檢測(cè)時(shí)間為秒，
由題意得：、，
補(bǔ)全表格如下：
檢測(cè)人數(shù)人
人均檢測(cè)時(shí)間秒
（2）解：由題意得，，
解得，，
當(dāng)時(shí)，檢測(cè)總?cè)藬?shù)為人，
每位大白的檢測(cè)人數(shù)不超過(guò)人，
不符合題意，舍去，
當(dāng)時(shí)，檢測(cè)總?cè)藬?shù)為人，
答：他今日檢測(cè)總?cè)藬?shù)為人．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
11．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形，cm，cm，點(diǎn)P以2cm/s的速度從頂點(diǎn)A出發(fā)沿折線A－B－C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以lcm/s的速度從頂點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)末端停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．
(1)問(wèn)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒，使四邊形的面積是矩形面積的；
(2)問(wèn)兩動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間使得點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為？若存在，求出運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)秒
(2)秒或秒
【分析】（1）要使四邊形的面積是矩形面積的，此時(shí)點(diǎn)P應(yīng)在上，才是四邊形．根據(jù)路程=速度時(shí)間，分別用t表示、的長(zhǎng)，再根據(jù)梯形的面積公式列方程求解；
（2）根據(jù)勾股定理列方程即可，注意分情況討論．
【詳解】（1）解：設(shè)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒，使四邊形的面積是矩形面積的
，，
，
解得：
∴兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒，使四邊形的面積是矩形面積的．
（2）設(shè)兩動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)t秒運(yùn)動(dòng)后，使點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為，
①當(dāng)時(shí)，
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，則，即，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
則，，，
∴，
在Rt中，
∵，，，
∴，
∴，
解得（舍），．
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，則，即，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
則，，，
∴，
在Rt中，
∵，，，
∴，
∴，
解得，（舍）．
②當(dāng)時(shí)，則
∵，，
∴，
∴，
在Rt中，
∵，，，
∴
有，
得方程：，
，
此方程無(wú)實(shí)根．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)s或s時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，涉及到一元二次方程和勾股定理的相關(guān)知識(shí)，注意分類討論思想的運(yùn)用．
12．（2023春·江蘇·八年級(jí)姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以的速度向點(diǎn)D移動(dòng)（點(diǎn)P停止移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也停止移動(dòng)）．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）．連接，．
(1)用含t的式子表示線段的長(zhǎng)：__________；__________．
(2)當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離為？
(3)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形的形狀可能為矩形嗎？若可能，求出t的值；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，
(2)、出發(fā)0.6和5.4秒時(shí)，，間的距離是
(3)、出發(fā)3秒時(shí)四邊形為矩形
【分析】（1）根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；
（2）可通過(guò)構(gòu)建直角三角形來(lái)求解．過(guò)作于，如果設(shè)出發(fā)秒后，．那么可根據(jù)路程速度時(shí)間，用未知數(shù)表示出的值，然后在直角三角形中，求出未知數(shù)的值．
（3）利用矩形的性質(zhì)得出當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形求出即可
【詳解】（1）解：由題意得：，
∵，
∴；
故答案為，；
（2）解：設(shè)出發(fā)秒后、兩點(diǎn)間的距離是．
則，，作于，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
解得：或，
答：、出發(fā)0.6和5.4秒時(shí)，，間的距離是；
（3）解：四邊形的形狀有可能為矩形；理由如下：
當(dāng)四邊形為矩形，則，
即，
解得：．
答：當(dāng)、出發(fā)3秒時(shí)四邊形為矩形．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、勾股定理及矩形的性質(zhì)，本題結(jié)合幾何知識(shí)并根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
13．（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)校考階段練習(xí)）某商店分別花20000元和30000元先后兩次以相同的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)某種商品，且第二次的數(shù)量比第一次多500千克．
(1)該商品的進(jìn)價(jià)是多少？
(2)已知該商品每天的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式為：，若想銷售該商品每天獲利2000元，該商店需將商品的售價(jià)定為多少？
【答案】(1)20元
(2)30元或40元
【分析】（1）設(shè)該商品的進(jìn)價(jià)是m元，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合兩次購(gòu)進(jìn)數(shù)量之間的關(guān)系，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）利用銷售該商品每天獲得的利潤(rùn)=每千克的利潤(rùn)×每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）設(shè)該商品的進(jìn)價(jià)是m元，
依題意得：，
解得：．
答：該商品的進(jìn)價(jià)是20元；
（2）依題意得：，
整理得：，
解得：．
答：該商店需將商品的售價(jià)定為30元或40元．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
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