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第05講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（5種題型）
1.探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.（重點(diǎn)）
2.不解方程利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.（難點(diǎn)）
韋達(dá)定理：如果是一元二次方程 的兩個(gè)根,由解方程中的公式法得, ．
那么可推得這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．
題型1：求根與系數(shù)關(guān)系
例1．（2023春·江蘇南京·九年級(jí)專題練習(xí)）若，是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得的值．
【詳解】解：一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得
．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，，，牢記公式是解題的關(guān)鍵．
例2．（2023秋·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若一元二次方程的兩個(gè)根為、，則是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】利用兩根之積等于即可解決問題．
【詳解】
解：一元二次方程的兩個(gè)根為、，
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，牢記“兩根之和等于，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵．
題型2：利用根與系數(shù)的關(guān)系式求代數(shù)式的值
例3．（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）一元二次方程的兩個(gè)根為， 則___________．
【答案】/
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出和的值，然后代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，
∴，，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，若，為方程的兩個(gè)根，則，與系數(shù)的關(guān)系式：，．
例4．（2023春·江蘇南京·九年級(jí)專題練習(xí)）若m，n分別是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系得到，m＋n＝4，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
【詳解】解：∵m，n分別是一元二次方程的兩個(gè)根，
∴，m＋n＝4，
∴，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，若，是一元二次方程（a≠0）的兩根時(shí)，，，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
例5.已知是方程的兩根，求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）．
【解析】解：由韋達(dá)定理，得：，．
原式=；
原式
；
原式=；
原式．
【總結(jié)】本題考查韋達(dá)定理，的靈活應(yīng)用．
例6.已知的值．
【答案】．
【解析】由，可得：，整理得：，
又由于，所以可知、是方程的兩根，
由韋達(dá)定理，可得：．
【總結(jié)】本題考查韋達(dá)定理，的靈活應(yīng)用，而且還考查了一元二次方程的根的靈活應(yīng)用，要注意觀察．
例7.已知是方程：的兩根，求代數(shù)式的值．
【答案】．
【解析】由題及韋達(dá)定理可得：，，得：．
===
==．
【總結(jié)】本題考查韋達(dá)定理，的靈活應(yīng)用，運(yùn)用了降次等的思想方法．
題型3：已知含字母的一元二次方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及字母的值
例8．（2023春·江蘇徐州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根是______．
【答案】
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．
【詳解】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為，
則
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根，，，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
例9.若方程：的一個(gè)根為，則k=________；另一個(gè)根為________．
【答案】；．
【解析】將代入方程，可得：，再由韋達(dá)定理可得：，得另一根為．
【總結(jié)】本題考查韋達(dá)定理，的應(yīng)用．
題型4：有關(guān)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的創(chuàng)新題
例10.已知一個(gè)直角三角形的兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)恰好是方程：兩個(gè)根，求這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)．
【答案】．
【解析】解：設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)為，，，且是斜邊長(zhǎng)，由題知，，，
由勾股定理，可得：，所以，
所以直角三角形的周長(zhǎng)．
【總結(jié)】本題考查韋達(dá)定理，的靈活應(yīng)用，并且考查了直角三角形的性質(zhì)，即勾股定理的應(yīng)用．
例11．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州中學(xué)校考開學(xué)考試）已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2，求的值．
【答案】（1）見詳解；（2）
【分析】（1）由題意及一元二次方程根的判別式可直接進(jìn)行求證；
（2）設(shè)關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根為，然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，進(jìn)而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．
【詳解】（1）證明：由題意得：，
∴，
∵，
∴，
∴該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）解：設(shè)關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根為，則有：，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
例12．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍，那么稱這樣的方程為“三倍根方程”．例如，方程的兩個(gè)根是1和3，則這個(gè)方程就是“三倍根方程”．
(1)下列方程是三倍根方程的是___________；
① ② ③
(2)若關(guān)于x的方程是“三倍根方程”，則c=___________；
(3)若是關(guān)于x的“三倍根方程”，求代數(shù)式的值．
【答案】(1)③
(2)
(3)
【分析】（1）分別求出①②③三個(gè)方程的根，然后根據(jù)題中所給定義可進(jìn)行求解；
（2）設(shè)關(guān)于x的方程的兩個(gè)根為，然后根據(jù)“三倍根方程”可令，進(jìn)而根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及方差的解可進(jìn)行求解；
（3）先把一元二次方程進(jìn)行因式分解變形，然后根據(jù)“三倍根方程”的關(guān)系可進(jìn)行求解．
【詳解】（1）解：由可得：，不滿足“三倍根方程”的定義；由可得：，不滿足“三倍根方程”的定義；由可得：，滿足“三倍根方程”的定義；
故答案為③；
（2）解：設(shè)關(guān)于x的方程的兩個(gè)根為，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知：，，
令，則有，
∴，，
∴；
（3）解：由可得：，
∴，
令，則有：
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及解法，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
一、單選題
1．（2022秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）關(guān)于下列一元二次方程，說(shuō)法正確的是（ ）
A．的兩根之和等于5 B．的兩根之積等于1
C．兩根不可能互為倒數(shù) D．中m=0時(shí)，兩根互為相反數(shù)
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷即可求解．
【詳解】A. 的兩根之和等于，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B. ，即方程的兩根之積等于，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C. ，
∵，，
解得，
∵，兩根之積為，
∴方程兩根之積不可能互為倒數(shù)，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
D. 中時(shí)，即，此方程無(wú)實(shí)根，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根，，．一元二次方程 (為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對(duì)應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．
2．（2022秋·江蘇·九年級(jí)統(tǒng)考期中）關(guān)于的方程的一個(gè)解為，則該方程的另一個(gè)解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．
【詳解】解：利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得：
，
的方程的一個(gè)解為，
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系．
3．（2022秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，則a的值為（ ）
A．或5 B．或 C． D．5
【答案】D
【分析】根據(jù)兩根之和為，以及兩根之間的數(shù)量關(guān)系，求出兩個(gè)根，再根據(jù)兩根之積等于，求出a的值即可．
【詳解】解：設(shè)方程的兩個(gè)根為，，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，即：，
解得：，
∴，
∵，
∴；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握兩根之和等于，兩根之積等于，是解題的關(guān)鍵．
4．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根．則與方程另一個(gè)根分別是（ ）
A．6，5 B．5， C．2，5 D．，5
【答案】A
【分析】根據(jù)：若一元二次方程 兩根分別為，則有： ， 代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.
【詳解】解：設(shè)方程的另一根為 ，由根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，
解得：
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵要理解一元二次方程的兩根之和只與二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)有關(guān)，兩根之積只與二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)有關(guān)，從而快速計(jì)算結(jié)果.
5．（2022·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校校考二模）方程的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．兩個(gè)正根 B．兩個(gè)負(fù)根 C．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根 D．無(wú)實(shí)數(shù)根
【答案】C
【分析】先把方程化為，再根據(jù)可得方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
【詳解】解：∵（p為常數(shù)），
∴，
∴，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，方程的兩個(gè)根的積為，
∴一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)關(guān)系，注意利用偶次方的非負(fù)性判斷代數(shù)式的符號(hào)是解決問題的關(guān)鍵．
二、填空題
6．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是，則它的另一個(gè)根為______．
【答案】4
【分析】利用根與系數(shù)之間的關(guān)系來(lái)求解．
【詳解】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為，
關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是，
由根與系數(shù)之間的關(guān)系可得
，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系．解題的關(guān)鍵是一元二次方程的兩根如果為、，則有 ，．
7．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知一元二次方程的兩個(gè)根分別是、，則代數(shù)式的值為______．
【答案】
【分析】結(jié)合題意利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得，，代入即可求解．
【詳解】解：一元二次方程的兩個(gè)根分別是、，
，，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值；熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）設(shè)，是方程的兩個(gè)根，且，則m＝______．
【答案】2
【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得，結(jié)合可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵是方程的兩個(gè)根，
∴，
∵，
∴．
故答案為2．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根時(shí)，．
9．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考期末）已知、是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，則值等于________．
【答案】2
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出兩根之和即可求解．
【詳解】解：、是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，
，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：，．
10．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值為______．
【答案】
【分析】根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到兩根和與兩根積的值，將式子通分代入求解即可得到答案．
【詳解】解：由題意可得，
∵，是一元二次方程的兩個(gè)根，
∴，，
∴
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握，．
11．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于的方程（為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的正根，則的取值范圍是______．
【答案】
【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)得關(guān)系解答即可．
【詳解】由題意得： ，
∴，
∴，
∴，，
∵關(guān)于的方程（為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的正根，
∴，
解得：
∴的取值范圍是：
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）關(guān)于x的方程的兩個(gè)根分別是，則______________．
【答案】/．
【分析】依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即，代入即可求出的值，最后代入計(jì)算即可．
【詳解】解：是方程的兩個(gè)根，
，，
即，，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，二次根式的混合運(yùn)算；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．
13．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）若、為的兩根，則的值為______．
【答案】0
【分析】由已知中α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化求解即可．
【詳解】解：α，β是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
可得，
∴．
∴的值為0．
故答案為：0．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程根與關(guān)系，若α，β是一元二次方程的兩根時(shí)，，．
14．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）設(shè)是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，則_____________．
【答案】3
【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．
【詳解】解∶根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考車了根與系數(shù)的關(guān)系∶若是一元二次方程的兩根時(shí)，．
15．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校仙林分校校考期末）設(shè)、是方程的兩個(gè)根，則___________．
【答案】
【分析】根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，求出兩根之和、兩根之積即可．
【詳解】解：、是方程的兩個(gè)根，
所以，，，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，解題根據(jù)是熟記根與系數(shù)關(guān)系，求出兩根之和、兩根之積．
16．（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)校考期末）若一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，則的值是________．
【答案】4
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可求得．
【詳解】解：一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，
，，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值問題，熟練掌握和運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
三、解答題
17．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的一元二次方程
(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
(2)若該方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為3，求m的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)0或6
【分析】（1）由，可知，，，根據(jù)，證明即可；
（2）由，可得，，由該方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為3，可得，即，，計(jì)算求解即可．
【詳解】（1）證明：，
，，，
∴，
∴該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）解：∵，
∴，，
∵該方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為3，
∴，
∵，
∴，
解得或，
∴m的值為0或6．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
18．（2020秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的方程．
(1)求證：不論m為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)若方程有一個(gè)根是2，求m的值以及方程的另一個(gè)根．
【答案】(1)見解析
(2)m的值為2，另一個(gè)根為0
【分析】（1）先計(jì)算判別式的值得到，然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；
（2）設(shè)方程的另一個(gè)為t，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后解方程組即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴不論m為何值，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：設(shè)方程的另一個(gè)為t，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：，
∴，解得，
∴，
∴m的值為2，另一個(gè)根為0．
【點(diǎn)睛】本題考查了判別式的意義以及根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程的兩根時(shí)，．
一、單選題
1．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）設(shè)一元二次方程的兩根為，，則的值為（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．3
【答案】D
【分析】先利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，，再變形得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
【詳解】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值，若，是一元二次方程的兩根，則，，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·江蘇常州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）若m、n是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為( )
A．4 B．2 C．0 D．-1
【答案】C
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及方程的解的定義即可求解．
【詳解】∵m、n是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，，
∴，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程根的定義．
3．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)校考階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程的一個(gè)根是，則另一個(gè)根是（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
【答案】D
【分析】根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得出兩根之積為，進(jìn)而可以求出另一個(gè)根．
【詳解】解：關(guān)于x的方程的一個(gè)根是，
根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可知，兩根之積為，
則另一個(gè)根為，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，解題關(guān)鍵是利用根與系數(shù)關(guān)系求出兩根之積為．
4．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若和是關(guān)于x的方程的兩根，且，則b的值是（ ）
A．－3 B．3 C．－5 D．5
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，代入得到關(guān)于b的方程，求出b的值即可．
【詳解】解：∵和是關(guān)于x的方程的兩根，
∴，
∴
∴
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握兩根之和為-，兩根之積為是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）設(shè)x1，x2是方程x2＋5x﹣6＝0的兩個(gè)根，則x12＋x22的值是（ ）
A．5 B．13 C．35 D．37
【答案】D
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以得到x1+x2=-5，x1x2=-6，然后利用將代數(shù)式的值代入，計(jì)算x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2的值．
【詳解】解：根據(jù)題意得x1+x2=-5，x1x2=-6，
x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=25+12=37．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，，．
6．（2022秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校考階段練習(xí)）直角三角形兩直角邊是方程的兩根，則它的斜邊為（ ）
A．8 B．7 C．6 D．
【答案】C
【分析】設(shè)直角三角形的斜邊為，兩直角邊分別為與．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系可得，．再根據(jù)勾股定理即可求．
【詳解】解：設(shè)直角三角形的斜邊為，兩直角邊分別為與，
直角三角形兩直角邊是方程的兩根，
，，
根據(jù)勾股定理可得：，
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
7．（2020秋·江蘇連云港·九年級(jí)校考階段練習(xí)）兩根均為負(fù)數(shù)的一元二次方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】因?yàn)閮筛鶠樨?fù)數(shù)，所以兩實(shí)數(shù)根的和小于零，兩根之積大于零．解題時(shí)檢驗(yàn)兩根之和是否小于零，及兩根之積是否大于零．
【詳解】解：A.，，兩根均為正數(shù)；
B.，，兩根為一正一負(fù)；
C.，，兩根均為負(fù)數(shù)；
D.，，兩根為一正一負(fù)．
故答案為：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．
二、填空題
8．（2022秋·江蘇連云港·九年級(jí)校考階段練習(xí)）若a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為______．
【答案】0
【分析】由一元二次方程的解的定義可得出，即得出．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出，從而即可求出．
【詳解】∵a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，，
∴，
∴．
故答案為：0．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．掌握方程的解就是使方程成立的未知數(shù)的值和熟記一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：、是解題關(guān)鍵．
9．（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，則的值是___________．
【答案】2024
【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可求，再把，的值整體代入所求代數(shù)式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵方程的兩個(gè)根分別為，
∴，
∴．
故答案是：2024．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為，則．
10．（2023·江蘇南京·九年級(jí)專題練習(xí)）已知、是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是________．
【答案】16
【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
【詳解】解：根據(jù)題意得，
所以．
故答案為：16．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根時(shí)，．
11．（2022春·江蘇南通·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知：m、n是方程的兩根，則_____．
【答案】16
【分析】根據(jù)m、n是方程的兩根，即可得到，，，，從而得到，，代入計(jì)算即可得到答案．
【詳解】解：∵m、n是方程的兩根，
∴，，，，
∴，，
∴，
故答案為：16．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的定義，根與系數(shù)的關(guān)系，熟知一元二次方程根的定義，根與系數(shù)的關(guān)系，并根據(jù)題意將所求代數(shù)式變形是解題關(guān)鍵．
三、解答題
12．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，．
(1)求m的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，求另一個(gè)根的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意得，解不等式即可求解；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，根據(jù)，即可求解．
【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，
解得，
所以m的取值范圍為；
（2）解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
13．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)濱海縣第一初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
(2)若，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為10，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由題意及一元二次方程根的判別式可直接進(jìn)行求證；
（2）設(shè)關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根為，，然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，再根據(jù)兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為10，可得，由此可解．
【詳解】（1）證明：由題意得：，，，
∴，
∵，
∴，
∴該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）解：設(shè)關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根為，，
則有，，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
14．（2022秋·江蘇連云港·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
(2)若，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷即可；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，整體代入中，解出m的值即可．
【詳解】（1）∵該一元二次方程為，
∴，
∴，
∴該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）∵，
又∵，
∴，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．掌握一元二次方程的根的判別式為，且當(dāng)時(shí)，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，該方程沒有實(shí)數(shù)根．熟記一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：和是解題關(guān)鍵．
15．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4①和關(guān)于x的一元二次方程：（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②（k、m、n均為實(shí)數(shù)），方程①的解為非正數(shù)．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果方程②的解為負(fù)整數(shù)，k﹣m＝2，2k﹣n＝6且k為整數(shù)，求整數(shù)m的值；
（3）當(dāng)方程②有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，滿足（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，且k為正整數(shù)，試判斷|m|≤2是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）k≤2且k≠1；（2）m＝﹣2或﹣3；（3）成立，見解析
【分析】（1）先解出方程①的解，根據(jù)一元二次方程的定義和方程①的根為非正數(shù)，得出k的取值范圍，即可；
（2）先把k＝m+2，n＝2m﹣2代入方程②化簡(jiǎn)，通過(guò)因式分解法，用含m的代數(shù)式表示出一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)方程②的解為負(fù)整數(shù)，m為整數(shù)，即可求出m的值；
（3）根據(jù)（1）中k的取值范圍和k為正整數(shù)得出k＝2，化簡(jiǎn)一元二次方程，并將兩根和與積代入計(jì)算，得出關(guān)于m、n的等式，結(jié)合根的判別式，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）∵關(guān)于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4，
解得：x＝2k﹣4，
∵關(guān)于x的方程2（x﹣k）＝x﹣4的解為非正數(shù)，
∴2k﹣4≤0，解得：k≤2，
∵由一元二次方程②，可知k≠1，
∴k≤2且k≠1；
（2）∵一元二次方程（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0中k﹣m＝2，2k﹣n＝6，
∴k＝m+2，n＝2k﹣6＝2m+4﹣6＝2m﹣2，
∴把k＝m+2，n＝2m﹣2代入原方程得：（m+1）x2+2mx+m﹣1＝0，
因式分解得，[（m+1）x+（m﹣1）]（x+1）＝0，
∴x1＝﹣=，x2＝﹣1，
∵方程②的解為負(fù)整數(shù)，m為整數(shù)，
∴m+1＝﹣1或﹣2，
∴m＝﹣2或﹣3；
（3）|m|≤2成立，理由如下：
由（1）知：k≤2且k≠1，
∵k是正整數(shù)，
∴k＝2，
∵（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，
∴x1+x2＝ ＝﹣2m，x1x2＝ ＝1+n，
∵（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，
∴2m2＝n+5 ①，
△＝（2m）2﹣4（k﹣1）[（3﹣k）+n]＝4m2﹣4（n+1）≥0 ②，
把①代入②得：4m2﹣8m2+16≥0，即m2≤4，
∴|m|≤2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程與一元二次方程，涉及解一元一次方程，一元二次方程以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，熟練掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，是解題的關(guān)鍵．
16．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求分別滿足下列條件的取值范圍：
（1）兩根都小于0；
（2）兩根都大于1；
（3）方程一根大于1，一根小于1．
【答案】（1）-2＜a＜-1；（2）2＜a＜3；（3）a＞3
【分析】由關(guān)于x的方程x2-2ax+a+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，得出△=（-2a）2-4（a+2）＞0，解得a＜-1或a＞2．設(shè)方程x2-2ax+a+2=0的兩根為α，β，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=2a，αβ=a+2，再分別根據(jù)：
（1）由兩根都小于0，得出α+β=2a＜0，αβ=a+2＞0，此求出a的取值范圍；
（2）由兩根都大于1，得出（α-1）（β-1）＞0，且對(duì)稱軸，依此求出a的取值范圍；
（3）由一根大于1，一根小于1，得出（α-1）（β-1）＜0，依此求出a的取值范圍；
【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x2-2ax+a+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
∴△=（-2a）2-4（a+2）＞0，
∴a＜-1或a＞2．
設(shè)方程x2-2ax+a+2=0的兩根為α，β，
α+β=2a，αβ=a+2．
（1）∵兩根都小于0，
∴α+β=2a＜0，αβ=a+2＞0，
解得：-2＜a＜0，
又，a＜0；
∵a＜-1或a＞2，
∴-2＜a＜-1；
（2）∵兩根都大于1，
∴（α-1）（β-1）＞0，
∴αβ-（α+β）+1＞0，
∴a+2-2a＞-1，
∴a＜3，
又，a＞1；
又a＜-1或a＞2，
∴2＜a＜3；
（3））∵一根大于1，一根小于1，
∴（α-1）（β-1）＜0，
∴αβ-（α+β）+1＜0，
∴a+2-2a＜-1，
∴a＞3.
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是要熟記x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=，x1x2=.
17．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如果方程x2+px+q=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1， x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：
（1）已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，則=
（2）已知a、b、c滿足a+b+c=0，abc=16，求正數(shù)c的最小值．
（3）結(jié)合二元一次方程組的相關(guān)知識(shí)，解決問題：已知和是關(guān)于x，y的方程組的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得y1y2﹣=2？若存在，求出的k值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）43（2）4（3）存在，當(dāng)k=﹣2時(shí)，
【分析】（1）根據(jù)a，b是x2+15x+5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值．
（2）根據(jù)a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，再根據(jù)c2-4 ≥0，即可求出c的最小值．
（3）運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2=1，x1 x2=k+1，再解y1y2-=2，即可求出k的值．
【詳解】（1）∵a、b是方程x2+15x+5=0的二根，
∴a+b=﹣15，ab=5，
∴===43，
故答案是：43；
（2）∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=﹣c，ab= ，
∴a、b是方程x2+cx+=0的解，
∴c2﹣4 ≥0，c2﹣≥0，
∵c是正數(shù)，
∴c3﹣43≥0，c3≥43 ， c≥4，
∴正數(shù)c的最小值是4．
（3）存在，當(dāng)k=﹣2時(shí)， ．
由x2﹣y+k=0變形得：y=x2+k，
由x﹣y=1變形得：y=x﹣1，把y=x﹣1代入y=x2+k，并整理得：x2﹣x+k+1=0，
由題意思可知，x1 ， x2是方程x2﹣x+k+1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故有：
即：
解得：k=﹣2．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．
18．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀材料，解答問題：
【材料1】
為了解方程，如果我們把看作一個(gè)整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過(guò)運(yùn)算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．
【材料2】
已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，顯然，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知，．
根據(jù)上述材料，解決以下問題：
(1)直接應(yīng)用：
方程的解為 ；
(2)間接應(yīng)用：
已知實(shí)數(shù)，滿足：，且，求的值．
【答案】(1)x1，x2，x3，x4；
(2)．
【分析】（1）利用換元法解方程，設(shè)y＝x2，則原方程可化為y2﹣5y+6＝0，解關(guān)于y的方程得到y(tǒng)1＝2，y2＝3，則x2＝2或x2＝3，然后分別解兩個(gè)元二次方程即可；
（2）根據(jù)已知條件，把a(bǔ)2、b2看作方程2x2﹣7x+1＝0的兩不相等的實(shí)數(shù)根，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解．
【詳解】（1）解：，
設(shè)，則原方程可化為，
解得，，
當(dāng)時(shí)，，解得，，
當(dāng)時(shí)，，解得，，
所以原方程的解為，，，．
故答案為：，，，；
（2）解：實(shí)數(shù)，滿足：，且，
、可看作方程的兩不相等的實(shí)數(shù)根，
，；
∴；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了用“換元法”把高次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，韋達(dá)定理，完全平方公式，其中轉(zhuǎn)化思想是解決問題的關(guān)鍵．
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第05講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（5種題型）
1.探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.（重點(diǎn)）
2.不解方程利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.（難點(diǎn)）
韋達(dá)定理：如果是一元二次方程 的兩個(gè)根,由解方程中的公式法得, ．
那么可推得這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．
題型1：求根與系數(shù)關(guān)系
例1．（2023春·江蘇南京·九年級(jí)專題練習(xí)）若，是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023秋·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若一元二次方程的兩個(gè)根為、，則是（ ）
A．1 B． C．2 D．
題型2：利用根與系數(shù)的關(guān)系式求代數(shù)式的值
例3．（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）一元二次方程的兩個(gè)根為， 則___________．
例4．（2023春·江蘇南京·九年級(jí)專題練習(xí)）若m，n分別是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例5.已知是方程的兩根，求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
例6.已知的值．
例7.已知是方程：的兩根，求代數(shù)式的值．
題型3：已知含字母的一元二次方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及字母的值
例8．（2023春·江蘇徐州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根是______．
例9.若方程：的一個(gè)根為，則k=________；另一個(gè)根為________．
題型4：有關(guān)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的創(chuàng)新題
例10.已知一個(gè)直角三角形的兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)恰好是方程：兩個(gè)根，求這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)．
例11．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州中學(xué)校考開學(xué)考試）已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為2，求的值．
例12．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍，那么稱這樣的方程為“三倍根方程”．例如，方程的兩個(gè)根是1和3，則這個(gè)方程就是“三倍根方程”．
(1)下列方程是三倍根方程的是___________；
① ② ③
(2)若關(guān)于x的方程是“三倍根方程”，則c=___________；
(3)若是關(guān)于x的“三倍根方程”，求代數(shù)式的值．
一、單選題
1．（2022秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）關(guān)于下列一元二次方程，說(shuō)法正確的是（ ）
A．的兩根之和等于5 B．的兩根之積等于1
C．兩根不可能互為倒數(shù) D．中m=0時(shí)，兩根互為相反數(shù)
2．（2022秋·江蘇·九年級(jí)統(tǒng)考期中）關(guān)于的方程的一個(gè)解為，則該方程的另一個(gè)解是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，則a的值為（ ）
A．或5 B．或 C． D．5
4．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根．則與方程另一個(gè)根分別是（ ）
A．6，5 B．5， C．2，5 D．，5
5．（2022·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校校考二模）方程的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．兩個(gè)正根 B．兩個(gè)負(fù)根 C．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根 D．無(wú)實(shí)數(shù)根
二、填空題
6．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是，則它的另一個(gè)根為______．
7．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知一元二次方程的兩個(gè)根分別是、，則代數(shù)式的值為______．
8．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）設(shè)，是方程的兩個(gè)根，且，則m＝______．
9．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考期末）已知、是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，則值等于________．
10．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值為______．
11．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于的方程（為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的正根，則的取值范圍是______．
12．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）關(guān)于x的方程的兩個(gè)根分別是，則______________．
13．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）若、為的兩根，則的值為______．
14．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）設(shè)是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，則_____________．
15．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校仙林分校校考期末）設(shè)、是方程的兩個(gè)根，則___________．
16．（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)校考期末）若一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，則的值是________．
三、解答題
17．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的一元二次方程
(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
(2)若該方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為3，求m的值．
18．（2020秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的方程．
(1)求證：不論m為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)若方程有一個(gè)根是2，求m的值以及方程的另一個(gè)根．
一、單選題
1．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）設(shè)一元二次方程的兩根為，，則的值為（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．3
2．（2022秋·江蘇常州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）若m、n是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為( )
A．4 B．2 C．0 D．-1
3．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)校考階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程的一個(gè)根是，則另一個(gè)根是（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
4．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若和是關(guān)于x的方程的兩根，且，則b的值是（ ）
A．－3 B．3 C．－5 D．5
5．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）設(shè)x1，x2是方程x2＋5x﹣6＝0的兩個(gè)根，則x12＋x22的值是（ ）
A．5 B．13 C．35 D．37
6．（2022秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校考階段練習(xí)）直角三角形兩直角邊是方程的兩根，則它的斜邊為（ ）
A．8 B．7 C．6 D．
7．（2020秋·江蘇連云港·九年級(jí)校考階段練習(xí)）兩根均為負(fù)數(shù)的一元二次方程是（　　）
A． B． C． D．
二、填空題
8．（2022秋·江蘇連云港·九年級(jí)校考階段練習(xí)）若a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為______．
9．（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，則的值是___________．
10．（2023·江蘇南京·九年級(jí)專題練習(xí)）已知、是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是________．
11．（2022春·江蘇南通·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知：m、n是方程的兩根，則_____．
三、解答題
12．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，．
(1)求m的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，求另一個(gè)根的值．
13．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)濱海縣第一初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
(2)若，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為10，求的值．
14．（2022秋·江蘇連云港·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
(2)若，求的值．
15．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4①和關(guān)于x的一元二次方程：（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②（k、m、n均為實(shí)數(shù)），方程①的解為非正數(shù)．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果方程②的解為負(fù)整數(shù)，k﹣m＝2，2k﹣n＝6且k為整數(shù)，求整數(shù)m的值；
（3）當(dāng)方程②有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，滿足（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，且k為正整數(shù)，試判斷|m|≤2是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．
16．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求分別滿足下列條件的取值范圍：
（1）兩根都小于0；
（2）兩根都大于1；
（3）方程一根大于1，一根小于1．
17．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如果方程x2+px+q=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1， x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：
（1）已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，則=
（2）已知a、b、c滿足a+b+c=0，abc=16，求正數(shù)c的最小值．
（3）結(jié)合二元一次方程組的相關(guān)知識(shí)，解決問題：已知和是關(guān)于x，y的方程組的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得y1y2﹣=2？若存在，求出的k值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
18．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀材料，解答問題：
【材料1】
為了解方程，如果我們把看作一個(gè)整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過(guò)運(yùn)算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．
【材料2】
已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，顯然，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知，．
根據(jù)上述材料，解決以下問題：
(1)直接應(yīng)用：
方程的解為 ；
(2)間接應(yīng)用：
已知實(shí)數(shù)，滿足：，且，求的值．
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