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第04講一元二次方程的解法（因式分解法6種題型）
1.理解用因式分解法解方程的依據.
2.會用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重點）
3.會根據方程的特點選用恰當的方法解一元二次方程.（難點）
（1）用因式分解法解一元二次方程的步驟
①將方程右邊化為0；
　 　②將方程左邊分解為兩個一次式的積；
　　 ③令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；
　　 ④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.
（2）常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要點詮釋：
（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結構特點：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次因式的積；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據：兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時除以含有未知數的代數式.
例1．（2023秋·江蘇·九年級統考期末）一元二次方程的根為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
【答案】B
【分析】根據因式分解法解一元二次方程即可求解．
【詳解】解：
∴或，
解得：或，
故選：B．
【點睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．
例2．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統考期中）如果滿足一元二次方程，則代數式的值是______．
【答案】或
【分析】解一元二次方程，求出根，代入計算即可．
【詳解】解：一元二次方程的解為，，
∴或，
故答案為：或．
【點睛】本題主要考查一元二次方程的解，代入求值，掌握解一元二次方程，代入求值，有理數運算法則是解題的關鍵．
題型1利用提公因式法
例3.方程：的較小的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】提公因式，得：，
整理得：，
∴，
∵ ，故選擇D．
【總結】本題考查了因式分解法解一元二次方程．
例4.解關于的方程（因式分解方法）：
（1）； （2）．
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1） （2）
① ②
∴；
②
∴．
【總結】本題考查了因式分解法解一元二次方程．
題型2利用平方差公式
例5.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．
【答案與解析】
(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，
∴ 2x-2＝0或2x+8＝0，
∴ x1＝1，x2＝-4．
例6.解關于的一元二次方程：．
【答案】．
【解析】移項，得：，
，
，
，
，
解得：．
【總結】本題考查了一元二次方程的解法，當系數比較大時，要注意尋找規律進行變型求解．
題型3利用完全平方公式
例7.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；
【答案與解析】
(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，
(2x+1+2)2＝0． 即，
∴ ．
題型4十字相乘法因式分解
例8．（2022秋·江蘇揚州·九年級統考期中）若關于的一元二次方程的常數項為，則______．
【答案】
【分析】直接利用常數項為0，得出關于m的方程，解方程求出m的值，再根據一元二次方程的定義進而得出答案．
【詳解】解：∵常數項為0，
∴，
解得：或2，
又∵，即，
∴．
【點睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，解一元二次方程以及一元二次方程的定義，正確解方程是解題關鍵．
例9．（2022秋·江蘇南京·九年級校考期中）已知一元二次方程的兩個根分別是的兩邊長，則第3條邊長___________．
【答案】或4/4或
【分析】先解方程求出一元二次方程的兩個根是3和5，再分兩種情況：當3和5都是直角邊時；當5是斜邊長時；分別利用勾股定理計算出第三邊長即可．
【詳解】解∶，
解得，
當3和5都是直角邊時，第三邊長為∶；
當5是斜邊長時，第三邊長為：．
故答案為∶或4．
【點睛】此題主要考查了解一元二次方程-因式分解法，勾股定理，解決本題的關鍵是當已知條件中沒有明確哪是斜邊時，要注意討論，一些學生往往忽略這一點，造成丟解．
例10．（2022春·江蘇淮安·九年級校考階段練習）已知等腰三角形兩邊長分別是方程兩根，求此等腰三角形的周長_____．
【答案】11或13/13或11
【分析】先利用因式分解法解得到，，然后分類討論：當腰為3，底邊為5或當腰為5，底邊為3，再分別計算三角形的周長．
【詳解】解：，
，
所以，，
當腰為3，底邊為5時，三角形的周長；
當腰為5，底邊為3時，三角形的周長．
故答案為：11或13．
【點睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）．也考查了等腰三角形的定義和三角形三邊的關系．
例11．（2023秋·江蘇無錫·九年級統考期末）三角形兩邊的長為3和4，第三邊長是方程的根，則該三角形的周長是______．
【答案】9
【分析】求出方程的解，根據三角形的三邊關系看是否能組成三角形，再求出三角形的周長即可．
【詳解】解：，
∴，
∴，
∴，
根據三角形的三邊關系定理，能組成三角形，不能組成三角形，
當第三邊的長是2時，周長，
故答案為：9．
【點睛】本題主要考查對三角形的三邊關系定理，解一元二次方程等知識點的理解和掌握，能求出第三邊的長是解此題的關鍵．
題型5：選擇合適的方法解一元二次方程
例12．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校考期中）解方程最適當的方法是（　　）
A．直接開方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法
【答案】D
【分析】方程的兩邊都有因式，分析可知分解因式法最為合適．
【詳解】解：
可化為：
故選：D．
【點睛】本題考查了解一元二次方程——直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟練掌握解一元二次方程時選擇適當的方法是解題的關鍵．
例13.用適當的方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）； （2）；
（3）； （4）．
【解析】（1） （2）
， ② ， ，
解得：； 解得：；
（3）整理得： （4）∵原方程是一元二次方程，
， ，
，
解得：； ，
解得：．
【總結】本題考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰當選擇．
題型6：換元法與因式分解綜合解一元二次方程
例14．（2021秋·江蘇淮安·九年級統考期中）閱讀下面的材料，回答問題：
解方程，這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的解法通常是：
設，那么，于是原方程可變為，解得，．
當時，，；當時，，；
原方程有四個根：，，，．
仿照上面方法，解方程：．
【答案】，．
【分析】設x2+3x=y，則原方程變為y2+4y+3=0，求出y=-1，或y=-3，再分別解方程即可．
【詳解】解：設x2+3x=y，則原方程變為y2+4y+3=0，
∴（y+1）（y+3）=0，
解得y=-1，或y=-3，
當y=-1時，x2+3x=-1，即x2+3x+1=0，解得x=，
當y=-3時，x2+3x=-3，即x2+3x+3=0，因為 =32-4×3<0，所以方程沒有實數根，舍去；
∴原方程有兩個根：，．
【點睛】此題考查了換元法解一元二次方程，正確理解已知中的解題方法并仿照解題是解題的關鍵．
例15．（2022秋·江蘇南京·九年級南師附中樹人學校校考階段練習）閱讀下面的材料，回答問題：
(1)將關于x的一元二次方程+bx+c＝0變形為＝﹣bx﹣c，就可以將x2表示為關于x的一次多項式，從而達到“降次”的目的，我們稱這樣的方法為“降次法”．
已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______．
(2)解方程，這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的解法通常是：設＝y，那么，于是原方程可變為 （1），解得＝1，＝4．
當y＝1時，＝1，∴x＝±1；
當y＝4時，＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四個根．
請你用 （2）中的方法求出方程的實數解．
【答案】(1)2022
(2)，
【分析】（1）根據題目所提供的方法即可求出答案；
（2）根據換元法即可求解．
（1）
解：∵﹣x﹣1＝0，
∴＝x+1，
∴﹣3x+2020
＝
＝﹣x+2021
＝x+1﹣x+2021
＝2022．
故答案為：2022；
（2）
解：設+x＝y，那么，于是原方程可變為，
解得＝﹣2，＝4．
當y＝﹣2時，+x+2＝0，Δ＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴方程無解；
當y＝4時，+x﹣4＝0，
∴x＝；
∴原方程有兩個根：x1＝，x2＝．
【點睛】本題考查了降次法求代數式的值和換元法解一元二次方程，能夠降次是解此題的關鍵．
例16．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統考期中）閱讀下面的材料，解決問題：
解方程，這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的解法通常是：
設，那么，于是原方程可變為，解得，．
當時，，
∴；
當時，，
∴；
∴原方程有四個根：，，，．
請參照例題，解方程．
【答案】；
【分析】仿照例題，設，則，再解一元二次方程即可．
【詳解】解：設，則，
∴原方程可變為，解得，．
當時，，
∴；；
當時，，
∴此方程無解；
∴原方程有兩個根：；．
【點睛】此題考查了解一元二次方程，正確掌握解一元二次方程的解法及理解題意是解題的關鍵．
一、單選題
1．（2022秋·江蘇·九年級期中）已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，則另一個方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（ ）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3
C．x1=2，x2=6 D．x1=﹣2，x2=﹣6
【答案】D
【分析】根據已知方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，求出兩個方程的解即可．
【詳解】解：∵方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，
∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0中x+3=1或﹣3，
解得：x=﹣2或﹣6，
即x1=﹣2，x2=﹣6，
故選：D．
【點睛】本題考查了解一元二次方程，換元法解一元二次方程，能根據方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，是解此題的關鍵．
2．（2022秋·江蘇揚州·九年級統考期中）若關于x的一元二次方程的兩根分別為，則關于x的一元二次方程的兩根分別為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】設，則變為，得到一元二次方程的兩根分別為，或者，即可求得答案．
【詳解】解：設，則變為：
，
∵一元二次方程的兩根分別為，
∴一元二次方程的兩根分別為，
∴或者，
解得．
故選：B
【點睛】此題考查了換元法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵．
3．（2023秋·江蘇南京·九年級統考期末）方程的根可以是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用因式分解法求出方程的解即可．
【詳解】解∶方程可化為，
故或，
所以．
故選∶A．
【點睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解法是解本題的關鍵．
4．（2020秋·江蘇蘇州·九年級統考期中）若關于x的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】C
【分析】由題意，設，則，然后結合方程的根是，即可求出答案．
【詳解】解：根據題意，設，
∵，
∴，
∵一元二次方程有一根為，
∴的一個根為，
∴，
∴．
故選：C．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解，解題的關鍵是熟練掌握換元法求一元二次方程的解．
二、填空題
5．（2023秋·江蘇南京·九年級統考期末）已知關于x的一元二次方程的一個根是2，則另一個根的值是_________．
【答案】
【分析】由題意可把代入一元二次方程進行求解a的值，然后再進行求解方程的另一個根．
【詳解】解：由題意把代入一元二次方程得：
，解得：，
∴原方程為，
解方程得：，
∴方程的另一個根為；
故答案為：．
【點睛】本題主要考查一元二次方程的解及其解法，熟練掌握一元二次方程的解及其解法是解題的關鍵．
6．（2022秋·江蘇揚州·九年級校聯考期中）已知，則的值為______．
【答案】1
【分析】設=z，則原方程換元為+6z-7=0，可得=1， =-7，即可求解．
【詳解】解：設=z，則原方程換元為 +6z-7=0，
∴(z-1)(z+7)=0，
解得： =1，=-7，
∵≥0，
∴=1，
故答案為：1．
【點睛】本題考查解一元二次方程及換元法解高次方程，正確掌握換元法是解決本題的關鍵．
三、解答題
7．（2022秋·江蘇蘇州·九年級統考期末）解方程：．
【答案】，
【分析】用因式分解法求得方程的解即可．
【詳解】解：，
∴，
∴或，
解得：，．
【點睛】本題主要考查一元二次方程的解法，解題的關鍵是熟練掌握因式分解法．
8．（2023秋·江蘇南通·九年級統考期末）用適當的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【詳解】（1）解：，
，
，
，
或，
，．
（2），
，，，
，
，
，．
【點睛】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當的方法解一元二次方程是解此題的關鍵，解一元二次方程的方法有：直接開平方法，因式分解法，公式法，配方法等等．
9．（2023秋·江蘇鎮江·九年級統考期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根據直接開平方法解一元二次方程；
（2）根據因式分解法解一元二次方程即可求解．
【詳解】（1）解：，
即，
解得，
解得：，；
（2）解：，
即，
∴，
得，
解得：，．
【點睛】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．
10．（2022秋·江蘇·九年級期中）先閱讀以下材料，再解答問題：
在學習了一元二次方程的解法后，利用課后托管時間，數學興趣小組的同學對一元四次方程x4－5x2＋4＝0的解法進行了如下探究：根據該方程的特點，可以把x2視為一個整體，然后設x2＝y，則x4＝y2，原方程可化為y2－5y＋4＝0. ① 解得y1＝1，y2＝4.
當y＝1時，x2＝1，∴x＝±1；
當y＝4時，x2＝4，∴x＝±2.
∴原方程的解為x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.
請解答問題：
（1）填空：在由原方程得到方程①的過程中，主要利用 法達到了降次的目的，體現了 的數學思想；
（2）仿照以上方法解方程：（x2－x）2＋（x2－x）－6＝0.
【答案】（1）換元，轉化；（2）．
【分析】（1）使用了換元法把四次降為二次，這體現了轉化的數學思想；
（2）設，可將方程轉化為，利用因式分解法求出方程的解，從而可得兩個關于的一元二次方程，再利用因式分解法解方程即可得．
【詳解】解：（1）在由原方程得到方程①的過程中，主要利用換元法達到了降次的目的，體現了轉化的數學思想，
故答案為：換元，轉化；
（2）設，
則原方程可化為，
解得，
當時，，解得，
當時，，即，
此方程根的判別式為，方程沒有實數根，
所以原方程的解為．
【點睛】本題考查了利用換元法解方程，熟練掌握換元法是解題關鍵．
11．（2023秋·江蘇無錫·九年級統考期末）已知：關于x的一元二次方程
(1)求證：方程總有兩個實數根；
(2)當k為整數______時，方程有兩個不相等的正整數根．
【答案】(1)證明見解析
(2)1或2
【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式，即可求解；
（2）利用因式分解法求出方程的解，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴
，
∴方程總有兩個實數根；
（2）解：
∴，
解得：，
∵方程有兩個不相等的正整數根，
∴或2或4，
∵，
∴或2．
故答案為：1或2
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解法是解題的關鍵．
一、單選題
1．（2023春·江蘇宿遷·九年級統考階段練習）方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據解一元二次方程的因式分解法，讓每個因式為0進行求解即可．
【詳解】解：，
或，
，
故選C．
【點睛】本題考查了解一元二次方程得解法，熟練運用因式分解把一元二次方程轉化為一元一次方程是解本題的關鍵．
2．（2023·江蘇南京·九年級專題練習）若關于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2= 5，則關于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】設t=y+1，則原方程可化為at2+bt+c=0，根據關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解為x1=3，x2=-5，得到t1=3，t2=-5，于是得到結論．
【詳解】解：設t=y+1，
則原方程可化為at2+bt+c=0，
∵關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解為x1=3，x2=-5，
∴t1=3，t2=-5，
∴y+1=3或y+1=-5，
解得y1=2，y2=-6．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了換元法解一元二次方程，關鍵是正確找出兩個方程解的關系．
3．（2019秋·江蘇鎮江·九年級校聯考階段練習）若實數滿足方程，那么的值為（ ）
A．或4 B．4 C． D．2或
【答案】B
【分析】設x2＋2x＝y，則原方程化為y（y 2） 8＝0，求出y，即可得出選項．
【詳解】解：設x2＋2x＝y，則原方程化為y（y 2） 8＝0，
解得：y＝4或 2，
當y＝4時，x2＋2x＝4，此時方程有解，
當y＝ 2時，x2＋2x＝ 2，此時方程無解，舍去，
所以x2＋2x＝4．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了運用換元法解一元二次方程，解方程時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．
4．（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯考階段練習）如果分式的值為0，那么x的值是（　　）
A． B． C．或 D．或0
【答案】A
【分析】根據計算即可．
【詳解】∵分式的值為0，
∴，
∴，
∴，
故選A．
【點睛】本題考查了分式的值為零的條件，熟練掌握分子為零且分母不能為零是解題的關鍵．
5．（2021秋·江蘇宿遷·九年級校考階段練習）若實數滿足方程，則不同的值有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】設，則原方程轉化為關于t的一元二次方程，由因式分解法解該方程即可．
【詳解】設，則原方程轉化為
整理得：
解得：t=4或t=-1
當即時，
，方程有兩個異根；
當即時，
，方程有兩個相同的解；
綜上，不同的x值有3個
故選：C．
【點睛】本題考查了換元法解一元二次方程，解題的關鍵是構造元和設元進行等量代換．
二、填空題
6．（2022秋·江蘇徐州·九年級校考階段練習）關于的方程的根是，，那么關于的方程的根是________；
【答案】，
【分析】令，可得，易得的兩根分別為1和，即的值為1和，求解即可．
【詳解】解：令，可得，
∵關于的方程的根是，，
∴的兩根分別為1和，
即或，
解得：，，
故答案為：，．
【點睛】本題考查換元法解方程，觀察兩個方程之間的聯系，掌握換元法解方程的方法是解題的關鍵．
7．（2022秋·江蘇南京·九年級南師附中樹人學校校考階段練習）若關于x的方程的解是，，則關于y的方程的解是______．
【答案】，
【分析】根據關于x的方程的解是，，令關于y的方程中，即可得到，解這個方程組即可得到答案．
【詳解】解：關于x的方程的解是，，
令，則或，解得，，
故答案為：，．
【點睛】本題考查換元法及一元二次方程解的定義，令關于y的方程中是解決問題的關鍵．
8．（2022秋·江蘇常州·九年級校考階段練習）知道方程的解是，，現給出另一個方程，則它的解是_____．
【答案】，
【分析】令，則方程可轉化為，即，解出，即可得出或，解出即可得出答案．
【詳解】解：令，
∴方程可轉化為，
即，
解得：或，
∴或，
解得：，．
故答案為：，
【點睛】本題考查了用換元法解一元二次方程，熟悉換元法的解題步驟是解本題關鍵．
9．（2022秋·江蘇揚州·九年級校考階段練習）已知實數a、b滿足，則的值為______．
【答案】3
【分析】把看作為一個整體，再利用因式分解法解答，即可求解．
【詳解】解：，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴．
故答案為：3
【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法，利用整體思想解答是解題的關鍵．
10．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）若實數x滿足方程（x2+2x） （x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值為________________．
【答案】4
【分析】設x2+2x＝y，則原方程化為y（y﹣2）﹣8＝0，然后求得y，進而求得x即可．
【詳解】解：設x2+2x＝y，則原方程化為y（y﹣2）﹣8＝0，
解得：y＝4或﹣2，
當y＝4時，x2+2x＝4，此時方程有解，
當y＝﹣2時，x2+2x＝﹣2，此時方程沒有實數根，舍去，
所以x2+2x＝4．
故答案為4．
【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，掌握換元法成為解答本題的關鍵．
三、解答題
11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級濱海縣第一初級中學校聯考階段練習）解某些高次方程或具有一定結構特點方程時，我們可以通過整體換元的方法，把方程轉化為一元二次方程進行求解，從而達到降次或變復雜為簡單的目的．
例如：解方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0，
如果設x2﹣3＝y，∵x2﹣3＝y，∴3﹣x2＝﹣y，用y表示x后代入（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0得：y2+5y+2＝0．
應用：請用換元法解下列各題
（1）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，則x2+y2的值；
（2）解方程：；
（3）已知a2+ab﹣b2＝0（ab≠0），求的值．
【答案】（1）1；（2）；（3）或
【分析】（1）令可得，求解一元二次方程即可；
（2）令，則，原方程可化為，求得，即可求解；
（3）因為所以，方程兩邊同時除以，可得，令，方程可化簡為，求解方程即可．
【詳解】解：（1）令，則，原方程可化為
即，，解得或
又∵
∴
所以，x2+y2的值為1
（2）令，則
原方程可化為
即，解得或
當時，即，
，即
解得
當時，，
判別式，方程無解
綜上所述，的解為
（3）∵
∴，
兩邊同時除可得：
令，可化為，
解得，
∴或
【點睛】此題考查了一元二次方程的求解方法，涉及了完全平方公式，解題的關鍵是掌握一元二次方程的求解方法以及整體代換的思想．
12．（2022·江蘇·九年級專題練習）【閱讀】小明同學遇到這樣一個問題：已知關于x的方程（a、b、m為常數，）的解是，，求方程的解．他用“換元法”解決了這個問題．我們一起來看看小明同學的具體做法．
解：在方程中令，則方程可變形為，
根據關于x的方程的解是，，
可得方程的解是，．
把代入得，，把代入得，，
所以方程的解是，．
【理解】
已知關于x的一元二次方程有兩個實數根m，n．
(1)關于x的方程的兩根分別是______（用含有m、n的代數式表示）；
(2)方程______的兩個根分別是2m，2n．（答案不唯一，寫出一個即可）
(3)【猜想與證明】
雙察下表中每個方程的解的特點：
方程 方程的解 方程 方程的解
， ，
， ，
， ，
…… …… …… ……
猜想：方程的兩個根與方程______的兩個根互為倒數；
(4)仿照小明采用的“換元法”，證明你的猜想．
【答案】(1)m2，n2
(2)ax2+2bx+4c=0
(3)cx2+bx+a=0
(4)見解析
【分析】[理解]（1）令，根據題意可得或，即可求解方程；
（2）由題意可知，，由于方程的兩個根分別是，，則，，即可寫出符合條件的方程；
[猜想與證明]（1）由表格可得：的兩個根與方程，，的兩個根互為倒數；
（2）先將變形為，設，方程可變形為，設方程的解是，，則可得方程的解為，，把代入得，；把代入得，，即可證明．
【詳解】（1）解：[理解]（1）令，
方程可化為，
有兩個實數根，，
或，
或，
或，
故答案為：，；
（2）方程有兩個實數根，，
或，
，，
方程的兩個根分別是，，
，，
方程的兩個根為，，
故答案為：；
（3）[猜想與證明]由表格可得：的兩個根與方程，，的兩個根互為倒數，
故答案為：；
（4）證明：由兩邊同除以，得，
設，方程可變形為，
設方程的解是，，
可得方程的解是，，
把代入得，；把代入得，，
所以方程的解是，，
即方程的兩個根與方程的兩個根互為倒數．
【點睛】本題考查無理方程的解，理解題意，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系，靈活運用換元法解方程是解題的關鍵．
13．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）選擇適當的方法解下列方程：
(1)-2x=99
(2)+3（2x-1）=0
(3)-5（-x）+6=0．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，，，
【分析】（1）根據配方法求解即可；
（2）根據因式分解求解即可；
（3）先令x2-x=y，得到關于y的一元二次方程，然后根據因式分解法求出y，再把y的值代入x2-x=y求解即可．
（1）
解：-2x=99，
∴-2x+1=99+1
∴，
∴，
∴，；
（2）
解：+3（2x-1）=0，
∴，即，
∴或，
∴，；
（3）
解：-5（-x）+6=0，
令，
則原方程為
∴，
∴或，
∴y=2或3
當y=2時，，
∴
∴，
∴x-2=0或x+1=0，
∴，；
當y=3時，，
∴，
∴，
∴，．
綜上所述，，，，．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，能把一元二次方程轉化成一元一次方程是解此題的關鍵．
14．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）閱讀下列“問題”與“提示”后，將解方程的過程補充完整，求出x的值．
【問題】解方程：．
【提示】可以用“換元法”解方程．
解：設（t≥0），則有，
原方程可化為：，
【續解】
【答案】，
【分析】按照題目思路，用因式分解法解，求出t，再代入，解出x，即可求解．
【詳解】解：，
t+2=0或t﹣4=0，
∴（依據，此根舍去），，
當t=4時，，
則，配方得，
解得，，
經檢驗，原方程的解為，．
【點睛】本題主要考查了解一元二次方程的知識，題中涉及換元的思想．注意，原方程涉及二次根式，故所得的解，必須要代入原方程檢驗．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第04講一元二次方程的解法（因式分解法6種題型）
1.理解用因式分解法解方程的依據.
2.會用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重點）
3.會根據方程的特點選用恰當的方法解一元二次方程.（難點）
（1）用因式分解法解一元二次方程的步驟
①將方程右邊化為0；
　 　②將方程左邊分解為兩個一次式的積；
　　 ③令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；
　　 ④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.
（2）常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要點詮釋：
（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結構特點：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次因式的積；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據：兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時除以含有未知數的代數式.
例1．（2023秋·江蘇·九年級統考期末）一元二次方程的根為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
例2．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統考期中）如果滿足一元二次方程，則代數式的值是______．
題型1利用提公因式法
例3.方程：的較小的根是（ ）
A． B． C． D．
例4.解關于的方程（因式分解方法）：
（1）； （2）．
題型2利用平方差公式
例5.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．
例6.解關于的一元二次方程：．
題型3利用完全平方公式
例7.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；
題型4十字相乘法因式分解
例8．（2022秋·江蘇揚州·九年級統考期中）若關于的一元二次方程的常數項為，則______．
例9．（2022秋·江蘇南京·九年級校考期中）已知一元二次方程的兩個根分別是的兩邊長，則第3條邊長___________．
例10．（2022春·江蘇淮安·九年級校考階段練習）已知等腰三角形兩邊長分別是方程兩根，求此等腰三角形的周長_____．
例11．（2023秋·江蘇無錫·九年級統考期末）三角形兩邊的長為3和4，第三邊長是方程的根，則該三角形的周長是______．
題型5：選擇合適的方法解一元二次方程
例12．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校考期中）解方程最適當的方法是（　　）
A．直接開方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法
例13.用適當的方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
題型6：換元法與因式分解綜合解一元二次方程
例14．（2021秋·江蘇淮安·九年級統考期中）閱讀下面的材料，回答問題：
解方程，這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的解法通常是：
設，那么，于是原方程可變為，解得，．
當時，，；當時，，；
原方程有四個根：，，，．
仿照上面方法，解方程：．
例15．（2022秋·江蘇南京·九年級南師附中樹人學校校考階段練習）閱讀下面的材料，回答問題：
(1)將關于x的一元二次方程+bx+c＝0變形為＝﹣bx﹣c，就可以將x2表示為關于x的一次多項式，從而達到“降次”的目的，我們稱這樣的方法為“降次法”．
已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______．
(2)解方程，這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的解法通常是：設＝y，那么，于是原方程可變為 （1），解得＝1，＝4．
當y＝1時，＝1，∴x＝±1；
當y＝4時，＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四個根．
請你用 （2）中的方法求出方程的實數解．
例16．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統考期中）閱讀下面的材料，解決問題：
解方程，這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的解法通常是：
設，那么，于是原方程可變為，解得，．
當時，，
∴；
當時，，
∴；
∴原方程有四個根：，，，．
請參照例題，解方程．
一、單選題
1．（2022秋·江蘇·九年級期中）已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，則另一個方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（ ）
A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3
C．x1=2，x2=6 D．x1=﹣2，x2=﹣6
2．（2022秋·江蘇揚州·九年級統考期中）若關于x的一元二次方程的兩根分別為，則關于x的一元二次方程的兩根分別為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·江蘇南京·九年級統考期末）方程的根可以是（）
A． B． C． D．
4．（2020秋·江蘇蘇州·九年級統考期中）若關于x的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
二、填空題
5．（2023秋·江蘇南京·九年級統考期末）已知關于x的一元二次方程的一個根是2，則另一個根的值是_________．
6．（2022秋·江蘇揚州·九年級校聯考期中）已知，則的值為______．
三、解答題
7．（2022秋·江蘇蘇州·九年級統考期末）解方程：．
8．（2023秋·江蘇南通·九年級統考期末）用適當的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
9．（2023秋·江蘇鎮江·九年級統考期末）解方程：
(1)；
(2)．
10．（2022秋·江蘇·九年級期中）先閱讀以下材料，再解答問題：
在學習了一元二次方程的解法后，利用課后托管時間，數學興趣小組的同學對一元四次方程x4－5x2＋4＝0的解法進行了如下探究：根據該方程的特點，可以把x2視為一個整體，然后設x2＝y，則x4＝y2，原方程可化為y2－5y＋4＝0. ① 解得y1＝1，y2＝4.
當y＝1時，x2＝1，∴x＝±1；
當y＝4時，x2＝4，∴x＝±2.
∴原方程的解為x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.
請解答問題：
（1）填空：在由原方程得到方程①的過程中，主要利用 法達到了降次的目的，體現了 的數學思想；
（2）仿照以上方法解方程：（x2－x）2＋（x2－x）－6＝0.
11．（2023秋·江蘇無錫·九年級統考期末）已知：關于x的一元二次方程
(1)求證：方程總有兩個實數根；
(2)當k為整數______時，方程有兩個不相等的正整數根．
一、單選題
1．（2023春·江蘇宿遷·九年級統考階段練習）方程的根是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江蘇南京·九年級專題練習）若關于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2= 5，則關于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2019秋·江蘇鎮江·九年級校聯考階段練習）若實數滿足方程，那么的值為（ ）
A．或4 B．4 C． D．2或
4．（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯考階段練習）如果分式的值為0，那么x的值是（　　）
A． B． C．或 D．或0
5．（2021秋·江蘇宿遷·九年級校考階段練習）若實數滿足方程，則不同的值有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題
6．（2022秋·江蘇徐州·九年級校考階段練習）關于的方程的根是，，那么關于的方程的根是________；
7．（2022秋·江蘇南京·九年級南師附中樹人學校校考階段練習）若關于x的方程的解是，，則關于y的方程的解是______．
8．（2022秋·江蘇常州·九年級校考階段練習）知道方程的解是，，現給出另一個方程，則它的解是_____．
9．（2022秋·江蘇揚州·九年級校考階段練習）已知實數a、b滿足，則的值為______．
10．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）若實數x滿足方程（x2+2x） （x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值為________________．
三、解答題
11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級濱海縣第一初級中學校聯考階段練習）解某些高次方程或具有一定結構特點方程時，我們可以通過整體換元的方法，把方程轉化為一元二次方程進行求解，從而達到降次或變復雜為簡單的目的．
例如：解方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0，
如果設x2﹣3＝y，∵x2﹣3＝y，∴3﹣x2＝﹣y，用y表示x后代入（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0得：y2+5y+2＝0．
應用：請用換元法解下列各題
（1）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，則x2+y2的值；
（2）解方程：；
（3）已知a2+ab﹣b2＝0（ab≠0），求的值．
12．（2022·江蘇·九年級專題練習）【閱讀】小明同學遇到這樣一個問題：已知關于x的方程（a、b、m為常數，）的解是，，求方程的解．他用“換元法”解決了這個問題．我們一起來看看小明同學的具體做法．
解：在方程中令，則方程可變形為，
根據關于x的方程的解是，，
可得方程的解是，．
把代入得，，把代入得，，
所以方程的解是，．
【理解】
已知關于x的一元二次方程有兩個實數根m，n．
(1)關于x的方程的兩根分別是______（用含有m、n的代數式表示）；
(2)方程______的兩個根分別是2m，2n．（答案不唯一，寫出一個即可）
(3)【猜想與證明】
雙察下表中每個方程的解的特點：
方程 方程的解 方程 方程的解
， ，
， ，
， ，
…… …… …… ……
猜想：方程的兩個根與方程______的兩個根互為倒數；
(4)仿照小明采用的“換元法”，證明你的猜想．
13．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）選擇適當的方法解下列方程：
(1)-2x=99
(2)+3（2x-1）=0
(3)-5（-x）+6=0．
14．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）閱讀下列“問題”與“提示”后，將解方程的過程補充完整，求出x的值．
【問題】解方程：．
【提示】可以用“換元法”解方程．
解：設（t≥0），則有，
原方程可化為：，
【續解】
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