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第03講 一元二次方程的解法（公式法3種題型）
1.了解求根公式的推導過程.（難點）
2.掌握用公式法解一元二次方程.(重點）
3.理解并會用判別式求一元二次方程的根.
4.會用判別式判斷一元二次方程的根的情況
一、公式引入
一元二次方程（），可用配方法進行求解：
得：．
對上面這個方程進行討論：因為，所以
當時，
利用開平方法，得：， 即：
當時，
這時，在實數范圍內，x取任何值都不能使方程左右兩邊的值相等，所以原方程沒有實數根．
二、求根公式
一元二次方程（），當時，有兩個實數根：
，
這就是一元二次方程（）的求根公式．
三、用公式法解一元二次方程一般步驟
把一元二次方程化成一般形式（）；
確定a、b、c的值；
求出的值（或代數式）；
若，則把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，則方程無解．
根的判別式
1.一元二次方程根的判別式：我們把叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“”表示，記作．
2.一元二次方程，
當時，方程有兩個不相等的實數根；
當時，方程有兩個相等的實數根；
當時，方程沒有實數根．
五、根的判別式的應用
（1）不解方程判定方程根的情況；
（2）根據參數系數的性質確定根的范圍；
（3）解與根有關的證明題．
題型1根的判別式
例1.選擇：
下列關于的一元二次方程中，有兩個不相等的實數根的方程是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
不解方程，判別方程的根的情況是（ ）
（A）有兩個相等的實數根 （B）有兩個不相等的實數根
（C）只有一個實數根 （D）沒有實數根
方程的根的情況是( )
（A）有兩個相等實根 （B）有兩個不等實根
（C）沒有實根 （D）無法確定
一元二次方程的根的情況為（ ）
（A）有兩個不相等的實數根 （B）有兩個相等的實數根
（C）只有一個實數根 （D）沒有實數根
【答案】（1）D；（2）D；（3）B；（4）A．【答案】【答案】
【解析】（1）A：，，，，方程無實根；
B：，，，，方程有兩個相等實根；
C：，，，，方程無實根；
D：，，，，方程有兩不等實根實根，故選D；
（2），，，，方程無實根，故選D；
（3），，，，方程有兩不等實根，故選B；
（4），，，，方程有兩個相等實根，故選A．
【總結】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，先列出方程中的、、，再代值計算，根據與0的大小關系確定方程根的情況，注意、異號時則必有兩不等實根．
例2.不解方程，判別下列方程的根的情況：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）方程有兩不等實根；（2）方程無實數根；（3）方程有兩相等實根；
（4）方程有兩不等實根．【答案】【答案】
【解析】（1），，，，方程有兩不等實根；
，，，，方程無實數根；
，，，，方程有兩相等實根；
（4），，，，方程有兩不等實根．
【總結】考查一元二次方程根的判別式判定方程根的情況，先將方程整理成一般形式，列出方程中的、、，再代值計算，根據與0的大小關系確定方程根的情況，注意、異號時則必有兩不等實根．
題型2用公式法解一元二次方程
例3．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考期中）用公式法解方程：．
【答案】
【分析】根據公式法解一元二次方程即可求解．
【詳解】解：，
∴，，
∴，
解得：．
【點睛】本題考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式是解題的關鍵．
例4．用公式法解下列方程：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），則，則，
∴；
（2），則，則，∴．
【總結】本題主要考查一元二次方程求根公式的運用．
例5.用公式法解下列方程：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），則，則，
∴原方程的解為：；
，則，則，
∴原方程的解為：．
【總結】本題主要考查一元二次方程求根公式的運用．
題型3根的判別式的應用
例6．（2022秋·江蘇揚州·九年級校聯考期中）關于的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個實數根；
(2)若方程有一個根不小于7，求的取值范圍．
【答案】(1)見解析．
(2)．
【分析】（1）計算根的判別式的值，利用配方法得到，根據非負數的性質得到，然后根據判別式的意義得到結論；
（2）利用求根公式得到，．根據題意得到，即可求得k的取值范圍．
【詳解】（1）解：
，
∴方程總有實數根；
（2）解：∵，
∴，
解方程得：，，
由于方程有一個根不小于7，
∴，
解得：．
【點睛】本題考查的是根的判別式及一元二次方程的解的定義，在解答（2）時得到方程的兩個根是解題的關鍵．
例7．（2023·江蘇蘇州·統考一模）已知關于的一元二次方程．
(1)若該方程有一個根是，求的值；
(2)求證：無論取什么值，該方程總有兩個實數根．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）直接把代入到原方程中得到關于m的方程，解方程即可得到答案；
（2）根據一元二次方程根的判別式進行求解即可．
【詳解】（1）解：∵關于的一元二次方程的一個根為，
∴，
∴；
（2）證明：由題意得，，
∴無論取什么值，該方程總有兩個實數根．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解和根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根；一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數的值．
例8．（2023秋·江蘇揚州·九年級校考期末）關于x的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個實數根；
(2)若方程有一個根小于2，求k的取值范圍．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）計算一元二次方程根的判別式，根據根的判別式進行判斷即可得證；
（2）根據公式法求得方程的解，得出，根據題意列出不等式，解不等式即可求解．
【詳解】（1）證明：關于x的一元二次方程，
∴
∵
，
∴此方程總有兩個實數根；
（2）∵
∵
∴
解得:，
∵方程有一個根小于2，
∴，
解得．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式的關系是解題的關鍵．
一、單選題
1．（2023·江蘇徐州·統考一模）關于一元二次方程根的情況，下列說法中正確的是（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．沒有實數根 D．無法確定
【答案】A
【分析】直接利用一元二次方程根的判別式即可得．
【詳解】解：
其中，，，
∴，
∴方程有兩個不相等的實數根．
故選：A．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關鍵．
2．（2023·江蘇徐州·校考一模）關于x的一元二次方程有實數根，則k的值可以是（　 ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有實數根，
∴，
∴，
∴四個選項中只有A選項符合題意，
故選A．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根．
3．（2023秋·江蘇鹽城·九年級統考期末）若關于x的一元二次方程沒有實數根，則k的值可以是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程無實數根，
∴，
∴，
∴四個選項中，只有A選項符合題意，
故A．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根．
4．（2023春·江蘇鹽城·九年級統考期末）若關于x的一元二次方程沒有實數根，則k的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】A
【分析】根據一元二次方程根的判別式進行求解即可．
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程沒有實數根，
∴，
∴，
∴四個選項中，只有選項A符合題意，
故選A．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根．
5．（2023秋·江蘇·九年級統考期末）若關于x的一元二次方程沒有實數根，則k的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據一元二次方程根的判別式進行判斷即可求解．
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程沒有實數根，
∴，
解得：
故選：C．
【點睛】本題考查了一元二次方程 (為常數)的根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵．當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．
二、填空題
6．（2023·江蘇常州·校考一模）若關于x的一元二次方程有實數根，則實數k的取值范圍是______．
【答案】且
【分析】根據一元二次方程的定義和判別式的性質計算，即可得到答案．
【詳解】∵關于的一元二次方程有實數根，
∴
∴，即且．
故答案為：且．
【點睛】本題考查了一元二次方程的定義和跟的判別式，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的定義和判別式的性質，從而完成求解．
7．（2023·江蘇常州·統考一模）若關于的方程（為常數）有兩個相等的實數根，則______．
【答案】
【分析】先根據方程有兩個相等的實數根得出△，求出的值即可．
【詳解】解：關于的方程為常數）有兩個相等的實數根，
△，解得．
故答案為：．
【點睛】本題考查的是根的判別式，孰知當△時，一元二次方程有兩個相等的實數根是解答此題的關鍵．
8．（2023·江蘇鹽城·校考二模）已知關于的一元二次方程有一個根為1，則的值為________．
【答案】
【分析】將代入方程，解方程即可得到的值．
【詳解】∵關于的一元二次方程有一個根為1，
∴將代入方程，得
，
解得：，
故答案為：
【點睛】本題主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右兩邊相等的未知數的值是解題的關鍵．
9．（2023·江蘇宿遷·模擬預測）關于的方程有實數根，則m的取值范圍是______．
【答案】/
【分析】分當時，當，即時，兩種情況討論求解即可．
【詳解】解：當時，即時，原方程即為，解得，符合題意；
當，即時，
∵關于的方程有實數根，
∴，
解得且；
綜上所述，，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根．
10．（2023·江蘇·模擬預測）請填寫一個常數，使得一元二次方程____________沒有實數根．
【答案】7（答案不唯一）
【分析】設這個常數為a，根據根的判別式求出a的取值范圍即可得到答案．
【詳解】解：設這個常數為a，
∴方程沒有實數根，
∴，
∴，
∴滿足題意，
故答案為：7（答案不唯一）．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根．
11．（2023秋·江蘇無錫·九年級校聯考期末）請填寫一個常數，使得關于x的方程________=0有兩個不相等的實數根．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根據方程的系數結合根的判別式，即可得出關于的不等式，求解即可得出答案．
【詳解】解：，，設常數為，
故答案為：1（答案不唯一）．
【點睛】本題考查了根的判別式，牢記“當時，方程有兩個不相等的實數根”是解題的關鍵．
三、解答題
12．（2022秋·江蘇淮安·九年級統考期末）求證：關于的方程有兩個不相等的實數根．
【答案】見解析
【分析】根據，再判斷出的符號，即可得出結論．
【詳解】解∶，
方程有兩個不相等的實數根．
【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數根；當，方程有兩個相等的實數根；當，方程沒有實數根．
13．（2023·江蘇鹽城·校考一模）已知關于x的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個實數根；
(2)若該方程有一實數根大于4，求a的取值范圍．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據一元二次方程根的判別式進行求解即可；
（2）利用因式分解法解方程求出方程兩個根為，再根據該方程有一實數根大于4進行求解即可．
【詳解】（1）解：∵知關于x的一元二次方程為，
∴，
∴方程總有兩個實數根；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得，
∵該方程有一實數根大于4，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，靈活運用所學知識是解題的關鍵．
14．（2023秋·江蘇南通·九年級統考期末）關于的一元二次方程有兩個不等的實數根．
(1)求的取值范圍；
(2)當取最小整數時，求的值．
【答案】(1)且
(2)，
【分析】（1）由得到關于的不等式，解之得到的范圍，根據一元二次方程的定義求得答案；
（2）由（1）知，還原方程，利用因式分解法求解可得．
【詳解】（1）解：由題意得：，
解得：且；
（2）由（1）知，最小整數為，
此時方程為：，
解得：，．
【點睛】本題主要考查一元二次方程的定義及根的判別式，解題的關鍵是熟練掌握方程的根的情況與判別式的值之間的關系．
15．（2023秋·江蘇揚州·九年級統考期末）已知關于的方程．
(1)若方程有兩個相等的實數根，請求出，的關系；
(2)求證：當時，方程總有兩個實數根．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）根據根的判別式符號進行求解；
（2）根據判別式以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【詳解】（1）由題意得：
方程有兩個相等的實數根，

（2）當
方程始終有兩個實數根
【點睛】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的判別式．
一、單選題
1．（2023春·江蘇南京·九年級南京市竹山中學校考階段練習）一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根
C．沒有實數根 D．無法確定
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．
【詳解】解：由題意得，，
∴原方程有兩個不相等的實數根，
故選B．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根．
2．（2022秋·江蘇宿遷·九年級校考階段練習）關于x的一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．可能有實數根，也可能沒有
C．有兩個相等的實數根 D．沒有實數根
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程為，
∴，
∴關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，
故答案為：A．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根．
3．（2023春·江蘇宿遷·九年級統考階段練習）若關于x的一元二次方程有實數根，則k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據一元二次方程有實數根，可知，求出解即可．
【詳解】∵一元二次方程有實數根，
∴，
即，
解得．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，掌握與一元二次方程的根的關系是解題的關鍵．即當時，一元二次方程有兩個不相等的實數根；當時，一元二次方程有兩個相等的實數根；當時，一元二次方程沒有實數根．
5．（2023春·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是(　　)
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】根據一元二次方程的定義，以及一元二次方程根的判別式得出不等式組，解不等式組即可求解．
【詳解】解：∵關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，
∴且，即，
解得且．
故選：C．
【點睛】本題考查了一元二次方程 (為常數)的根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵．當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．
二、填空題
5．（2023春·江蘇泰州·九年級校聯考階段練習）請填寫一個常數，使得關于的方程__________有兩個相等的實數根．
【答案】1
【分析】設這個常數為a，利用一元二次方程根的判別式得出a的方程，解方程即可得到答案．
【詳解】解：設這個常數為a，
∵要使原方程有兩個相等的實數根，
∴，
∴，
∴滿足題意的常數可以為1，
故答案為：1．
【點睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．
6．（2023春·江蘇泰州·九年級靖江市靖城中學校考階段練習）方程沒有實數根，則m的取值范圍是______．
【答案】/
【分析】根據一元二次方程無實數根得到，代入即可得出答案．
【詳解】方程沒有實數根，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查一元二次方程有無實數根，熟記判別式是解題的關鍵．
三、解答題
7．（2022秋·江蘇連云港·九年級校考階段練習）已知關于x的一元二次方程．
(1)若該方程的一個根為，求a的值及該方程的另一根；
(2)求證：無論a取何實數，該方程都有實數根．
【答案】(1)，該方程的另一根為
(2)證明見解析
【分析】（1）先根據一元二次方程解的定義把代入到中求出a的值，再利用因式分解法解方程即可；
（2）根據一元二次方程根的判別式進行求解即可．
【詳解】（1）解：∵關于x的一元二次方程的一個根為，
∴，
∴，
∴原方程即為，
∴，
解得或，
∴方程的另一個根為；
（2）解：∵關于x的一元二次方程為，
∴，
∴無論a取何實數，該方程都有實數根．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程解的定義，解一元二次方程，一元二次方程判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根．
8．（2023春·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）關于x的一元二次方程有實數根．
(1)求m的取值范圍；
(2)若m為正整數，求出此時方程的根．
【答案】(1)且
(2)，
【分析】（1）由二次項系數非零及根的判別式，可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍；
（2）由（1）的結論，結合m為正整數，可得出m的值，再其代入原方程，解之即可得出結論．
【詳解】（1）解：∵關于x的一元二次方程有實數根，
∴，
解得：且，
∴m的取值范圍為且；
（2）∵且，且m為正整數，
∴，
∴原方程為，
即，
解得：，．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的定義以及因式分解法解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）利用二次項系數非零及根的判別式，找出關于m的一元一次不等式組；（2）代入m的值，求出方程的解．
9．（2022秋·江蘇南京·九年級校考階段練習）已知關于x的方程（m為常數，且）
(1)求證：方程總有實數根；
(2)若該方程有兩個實數根；
①不論m取何實數，該方程總有一個不變的實數根為______；
②若m為整數，且方程的兩個實數根都是整數，求m的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)①；②或
【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式求解即可；
（2）①利用公式法求出方程的兩個實數根即可得到答案；②根據①所求兩實數根，結合m為整數，且方程的兩個實數根都是整數進行求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得
，
∴方程總有實數根；
（2）解：①∵關于x的方程有兩個實數根，
∴，
∴，
∴不論m取何實數，該方程總有一個不變的實數根為，
故答案為：；
②由①得，方程的兩個實數根為，
∵m為整數，且方程的兩個實數根都是整數，
∴為整數，
∴或．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的相關知識是解題的關鍵．
10．（2022秋·江蘇南通·九年級校考階段練習）已知關于x的方程．
(1)證明：不論m為何值時，方程總有實數根；
(2)m為何整數時，方程有兩個不相等的正整數根．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）求出方程根的判別式，利用配方法進行變形，根據平方的非負性證明即可；
（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的兩個根，根據題意求出m的值．
【詳解】（1）（1）證明：
①時，該方程為一元一次方程，有實數根；
②時，該方程為一元二次方程，
，
不論為何值時，，
，
方程總有實數根；
綜上，不論為何值時，方程總有實數根．
（2）解：解方程得，，
，，
方程有兩個不相等的正整數根，為整數，
．
【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式和求根公式的應用，掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系：方程有兩個不相等的實數根；方程有兩個相等的實數根；方程沒有實數根是解題的關鍵．
11．（2022秋·江蘇泰州·九年級校考階段練習）先化簡，冉求值，其中x滿足．
【答案】，或
【分析】根據分式的混合運算法則化簡后，再求出x的值，代入求值即可．
【詳解】解：
∵，
∴，
∴原式
，
對于來說，
∵，
∴，
∴，
∴當時，原式，
當時，原式．
【點睛】此題考查了分式的化簡求值，解一元二次方程等知識，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
12．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）解下列方程：
【答案】
【分析】先將原方程化為一元二次方程的一般形式，然后用公式法求解即可；
【詳解】解：原方程可化為：
【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的基本解法是解題的關鍵．
13．（2022秋·江蘇無錫·九年級校聯考階段練習）已知關于的方程．
(1)當該方程的一個根為時，求的值及該方程的另一根；
(2)求證：不論取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根．
【答案】(1)，方程的另一根為
(2)見解析
【分析】（1）把代入原方程求得的值，進一步求得方程的另一個根即可；
（2）計算出根的判別式，進一步利用配方法和非負數的性質證得結論即可．
【詳解】（1）解：把代入方程
得
∴，
把代入到原方程得
∴或
故答案為：，方程的另一根為；
（2）證明：∵方程，
∴根的判別式
∵
∴
∴不論取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根．
【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式的性質，對于一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數根；當，方程有兩個相等的實數根；當，方程沒有實數根；熟練掌握一元二次方程根的判別式的性質是解本題的關鍵．
14．（2022秋·江蘇常州·九年級校考階段練習）用指定方法解下列一元二次方程：
(1)（配方法）
(2)（公式法）
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）將常數項移至方程的右邊，然后兩邊都加上一次項系數的一半的平方配方成完全平方后，再開方，即可得出結果；
（2）利用公式法計算即可．
【詳解】（1）解：
移項，得：，
配方，得：，
即，
由此可得：，
，；
（2）解：
，，，
，
方程有兩個不等的實數根，
，
即，．
【點睛】本題考查了解一元二次方程，解本題的關鍵在熟練掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：將二次方程轉化為一次方程，即降次．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)第03講 一元二次方程的解法（公式法3種題型）
1.了解求根公式的推導過程.（難點）
2.掌握用公式法解一元二次方程.(重點）
3.理解并會用判別式求一元二次方程的根.
4.會用判別式判斷一元二次方程的根的情況
一、公式引入
一元二次方程（），可用配方法進行求解：
得：．
對上面這個方程進行討論：因為，所以
當時，
利用開平方法，得：， 即：
當時，
這時，在實數范圍內，x取任何值都不能使方程左右兩邊的值相等，所以原方程沒有實數根．
二、求根公式
一元二次方程（），當時，有兩個實數根：
，
這就是一元二次方程（）的求根公式．
三、用公式法解一元二次方程一般步驟
把一元二次方程化成一般形式（）；
確定a、b、c的值；
求出的值（或代數式）；
若，則把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，則方程無解．
根的判別式
1.一元二次方程根的判別式：我們把叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“”表示，記作．
2.一元二次方程，
當時，方程有兩個不相等的實數根；
當時，方程有兩個相等的實數根；
當時，方程沒有實數根．
五、根的判別式的應用
（1）不解方程判定方程根的情況；
（2）根據參數系數的性質確定根的范圍；
（3）解與根有關的證明題．
題型1根的判別式
例1.選擇：
下列關于的一元二次方程中，有兩個不相等的實數根的方程是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
不解方程，判別方程的根的情況是（ ）
（A）有兩個相等的實數根 （B）有兩個不相等的實數根
（C）只有一個實數根 （D）沒有實數根
方程的根的情況是( )
（A）有兩個相等實根 （B）有兩個不等實根
（C）沒有實根 （D）無法確定
一元二次方程的根的情況為（ ）
（A）有兩個不相等的實數根 （B）有兩個相等的實數根
（C）只有一個實數根 （D）沒有實數根
例2.不解方程，判別下列方程的根的情況：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
題型2用公式法解一元二次方程
例3．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考期中）用公式法解方程：．
例4．用公式法解下列方程：
（1）； （2）．
例5.用公式法解下列方程：
（1）； （2）．
題型3根的判別式的應用
例6．（2022秋·江蘇揚州·九年級校聯考期中）關于的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個實數根；
(2)若方程有一個根不小于7，求的取值范圍．
例7．（2023·江蘇蘇州·統考一模）已知關于的一元二次方程．
(1)若該方程有一個根是，求的值；
(2)求證：無論取什么值，該方程總有兩個實數根．
例8．（2023秋·江蘇揚州·九年級校考期末）關于x的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個實數根；
(2)若方程有一個根小于2，求k的取值范圍．
一、單選題
1．（2023·江蘇徐州·統考一模）關于一元二次方程根的情況，下列說法中正確的是（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．沒有實數根 D．無法確定
2．（2023·江蘇徐州·校考一模）關于x的一元二次方程有實數根，則k的值可以是（　 ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2023秋·江蘇鹽城·九年級統考期末）若關于x的一元二次方程沒有實數根，則k的值可以是（ ）
A． B． C． D．2
4．（2023春·江蘇鹽城·九年級統考期末）若關于x的一元二次方程沒有實數根，則k的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
5．（2023秋·江蘇·九年級統考期末）若關于x的一元二次方程沒有實數根，則k的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
6．（2023·江蘇常州·校考一模）若關于x的一元二次方程有實數根，則實數k的取值范圍是______．
7．（2023·江蘇常州·統考一模）若關于的方程（為常數）有兩個相等的實數根，則______．
8．（2023·江蘇鹽城·校考二模）已知關于的一元二次方程有一個根為1，則的值為________．
9．（2023·江蘇宿遷·模擬預測）關于的方程有實數根，則m的取值范圍是______．
10．（2023·江蘇·模擬預測）請填寫一個常數，使得一元二次方程____________沒有實數根．
11．（2023秋·江蘇無錫·九年級校聯考期末）請填寫一個常數，使得關于x的方程________=0有兩個不相等的實數根．
三、解答題
12．（2022秋·江蘇淮安·九年級統考期末）求證：關于的方程有兩個不相等的實數根．
13．（2023·江蘇鹽城·校考一模）已知關于x的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個實數根；
(2)若該方程有一實數根大于4，求a的取值范圍．
14．（2023秋·江蘇南通·九年級統考期末）關于的一元二次方程有兩個不等的實數根．
(1)求的取值范圍；
(2)當取最小整數時，求的值．
15．（2023秋·江蘇揚州·九年級統考期末）已知關于的方程．
(1)若方程有兩個相等的實數根，請求出，的關系；
(2)求證：當時，方程總有兩個實數根．
一、單選題
1．（2023春·江蘇南京·九年級南京市竹山中學校考階段練習）一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根
C．沒有實數根 D．無法確定
2．（2022秋·江蘇宿遷·九年級校考階段練習）關于x的一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．可能有實數根，也可能沒有
C．有兩個相等的實數根 D．沒有實數根
3．（2023春·江蘇宿遷·九年級統考階段練習）若關于x的一元二次方程有實數根，則k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是(　　)
A． B． C．且 D．且
二、填空題
5．（2023春·江蘇泰州·九年級校聯考階段練習）請填寫一個常數，使得關于的方程__________有兩個相等的實數根．
6．（2023春·江蘇泰州·九年級靖江市靖城中學校考階段練習）方程沒有實數根，則m的取值范圍是______．
三、解答題
7．（2022秋·江蘇連云港·九年級校考階段練習）已知關于x的一元二次方程．
(1)若該方程的一個根為，求a的值及該方程的另一根；
(2)求證：無論a取何實數，該方程都有實數根．
8．（2023春·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）關于x的一元二次方程有實數根．
(1)求m的取值范圍；
(2)若m為正整數，求出此時方程的根．
9．（2022秋·江蘇南京·九年級校考階段練習）已知關于x的方程（m為常數，且）
(1)求證：方程總有實數根；
(2)若該方程有兩個實數根；
①不論m取何實數，該方程總有一個不變的實數根為______；
②若m為整數，且方程的兩個實數根都是整數，求m的值．
10．（2022秋·江蘇南通·九年級校考階段練習）已知關于x的方程．
(1)證明：不論m為何值時，方程總有實數根；
(2)m為何整數時，方程有兩個不相等的正整數根．
11．（2022秋·江蘇泰州·九年級校考階段練習）先化簡，冉求值，其中x滿足．
12．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）解下列方程：
13．（2022秋·江蘇無錫·九年級校聯考階段練習）已知關于的方程．
(1)當該方程的一個根為時，求的值及該方程的另一根；
(2)求證：不論取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根．
14．（2022秋·江蘇常州·九年級校考階段練習）用指定方法解下列一元二次方程：
(1)（配方法）
(2)（公式法）
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