資源簡介

第02講 一元二次方程的解法（直接開平方法、配方法3種題型）
1.會把一元二次方程降次轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.
2.運(yùn)用開平方法解形如x2=p或（x+n) 2=p (p≥0)的方程.
3.理解配方的基本過程，會運(yùn)用配方法解一元二次方程.
4.經(jīng)歷探索利用配方法解一元二次方程的過程，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
知識點(diǎn)1：直接開平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等號左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)．
②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．
③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．
知識點(diǎn)2：配方法
（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步驟：
①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；
③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；
④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；
⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解．
要點(diǎn)詮釋：
（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；
（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.
（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．
知識點(diǎn)3：配方法的應(yīng)用
1．用于比較大小：
在比較大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項(xiàng)或添項(xiàng)、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值時(shí)的應(yīng)用，將原式化成一個(gè)完全平方式后可求出最值．
4．用于證明：
“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用．
要點(diǎn)詮釋：
“配方法”在初中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，是恒等變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧，是挖掘題目當(dāng)中隱含條件的有力工具，同學(xué)們一定要把它學(xué)好．
題型1：用直接開平方法解一元二次方程
例1．（2022秋 江都區(qū)校級期末）方程x2＝4的解是（　　）
A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4
例2．（2022秋 江都區(qū)期中）解方程：
（1）4x2＝49； （2）（2x﹣1）2﹣25＝0．
例3.解關(guān)于的方程：．
例4.解關(guān)于的方程：．
例5.解關(guān)于的方程：．
例6.解關(guān)于的方程：．
例7.解關(guān)于的方程： ．
例8.解關(guān)于的方程：．
題型2：用配方法解一元二次方程
例9．（2022秋 秦淮區(qū)期末）解方程：x2﹣6x+4＝0（用配方法）
例10.用配方法解方程：．
例11.用配方法解方程：．
例12.用配方法解方程：．
例13.用配方法解方程：．
題型3：配方法的應(yīng)用
例14．（2023春 梁溪區(qū)校級期中）在求解代數(shù)式2a2﹣12a+22的最值（最大值或最小值）時(shí)，老師給出以下解法：解：原式＝2（a2﹣6a）+22＝2（a2﹣6a+9）﹣18+22＝2（a﹣3）2+4，∵無論a取何值，2（a﹣3）2≥0，∴代數(shù)式2（a﹣3）2+4≥4，即當(dāng)a＝3時(shí)，代數(shù)式2a2﹣12a+22有最小值為4．仿照上述思路，則代數(shù)式﹣3a2+6a﹣8的最值為（　　）
A．最大值﹣5 B．最小值﹣8 C．最大值﹣11 D．最小值﹣5
例15．（2023春 吳江區(qū)期中）我們可以將一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多項(xiàng)式變形為a（x+m）2+n的形式，例如x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9，我們把這樣的變形叫做多項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．已知關(guān)于a，b的代數(shù)式滿足a2+b2+2a﹣4b+5＝0，請你利用配方法求a+b的值．
例16．（2023春 吳中區(qū)期中）閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，∴n＝4，m＝4．
根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：
（1）已知x2+4xy+5y2+6y+9＝0，求x﹣y的值．
（2）已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求邊c的值．
例17.已知△ABC的一邊長為4，另外兩邊長是關(guān)于x的方程的兩根，當(dāng)k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形？
一、單選題
1．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
2．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）一元二次方程，經(jīng)過配方可變形為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)滿足，則代數(shù)式的最小值等于（ ）
A．1 B． C． D．無法確定
4．（2023·江蘇蘇州·一模）已知關(guān)于x的一元二次方程（m，h，k均為常數(shù)且）的解是，，則關(guān)于x的一元二次方程的解是（　　）
A．， B．， C．， D．，
5．（2022秋·江蘇無錫·九年級無錫市江南中學(xué)校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，若已知點(diǎn)，則下列結(jié)論一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）用配方法解方程時(shí)，原方程應(yīng)變形為（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
7．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程配方為，則k的值是______．
8．（2022秋·江蘇南京·九年級南京市科利華中學(xué)校考期中）用配方法解方程，方程可變形為，則_________，__________．
9．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期中）新定義，若關(guān)于的一元二次方程：與，稱為“同類方程”．如與是“同類方程”．現(xiàn)有關(guān)于的一元二次方程：與是“同類方程”．那么代數(shù)式能取的最大值是_________．
10．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考期中）已知實(shí)數(shù)、、滿足，則實(shí)數(shù)的最大值為 __．
三、解答題
11．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）解方程：
(1)； (2)．
12．（2023秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期末）解方程：．
13．（2023秋·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期末）解方程：
(1)； (2)．
14．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）（1）數(shù)學(xué)活動小組在研究函數(shù)的圖像時(shí)提出了下列問題：
①函數(shù)的自變量x的取值范圍是 ；
②容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．由此可見，圖像在第 象限；
③閱讀材料：當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值是2．
請仿照上述過程，求出當(dāng)時(shí)，的最大值；
（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值；
（3）如圖，四邊形的對角線，相交于點(diǎn)，、的面積分別為4和9，求四邊形面積的最小值．
一、單選題
1．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考階段練習(xí)）把方程化為的形式后，m的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1
2．（2021秋·江蘇無錫·九年級校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的多項(xiàng)式的最小值為8，則m的值可能為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
3．（2022秋·江蘇蘇州·九年級星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）若，，則A、B的大小關(guān)系為（　　）
A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B
二、填空題
4．（2022·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知多項(xiàng)式A＝x2﹣x+(3)，若無論x取何實(shí)數(shù)，A的值都不是負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是________．
5．（2022秋·江蘇南京·九年級校考階段練習(xí)）方程的根是_____．
6．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知代數(shù)式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，則A____B（填＞，＜或＝）．
7．（2022秋·江蘇·九年級階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)x，y滿足條件2x2﹣6x＋y2＝0，則x2＋y2＋2x的最大值是____．
8．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如果一元二次方程的兩根相差1，那么該方程成為“差1方程”．例如是“差1方程”．若關(guān)于x的方程(a，b是常數(shù)，)是“差1方程”設(shè)，t的最大值為__________．
9．（2022秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a、b，滿足，則代數(shù)式的最小值等于______．
三、解答題
10．（2021秋·江蘇徐州·九年級校考階段練習(xí)）利用我們學(xué)過的完全平方公式及不等式知識能解決代數(shù)式一些問題，觀察下列式子：
①，
∵，
∴．
因此，代數(shù)式有最小值﹣2；
②，
∵，
∴．
因此，代數(shù)式有最大值4；
閱讀上述材料并完成下列問題：
(1)代數(shù)式的最小值為______；
(2)求代數(shù)式的最大值．
11．（2022秋·江蘇無錫·九年級校考階段練習(xí)）王老師提出問題：求代數(shù)式的最小值．要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行解答．
同學(xué)們經(jīng)過探索、交流和討論，最后總結(jié)出如下解答方法；
解：，
，．
當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是1．
的最小值是1．
請你根據(jù)上述方法，解答下列各題：
(1)直接寫出的最小值為　 　．
(2)求代數(shù)式的最小值．
(3)你認(rèn)為代數(shù)式有最大值還是有最小值？求出該最大值或最小值．
(4)若，求的最小值．
12．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）【項(xiàng)目學(xué)習(xí)】“我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式”．
如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法．例如：求當(dāng)a取何值，代數(shù)式有最小值？最小值是多少？
解：
因?yàn)椋裕?br/>因此，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值是．
【問題解決】
利用配方法解決下列問題：
(1)當(dāng)___________時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值為 ___________．
(2)當(dāng)x取何值時(shí)，代數(shù)式有最小值？最小值是多少？
【拓展提高】
(3)當(dāng)x，y何值時(shí)，代數(shù)式取得最小值，最小值為多少？
(4)如圖所示的第一個(gè)長方形邊長分別是、，面積為；如圖所示的第二個(gè)長方形邊長分別是、，面積為，試比較與的大小，并說明理由．
13．（2022秋·江蘇常州·九年級校考階段練習(xí)）閱讀材料：選取二次三項(xiàng)式中的兩項(xiàng)，配成完全平方式的過程叫配方．例如
①選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：；
②選取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：，或
③選取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：
請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：
(1)比照上面的例子，寫出三種不同形式的配方；
(2)已知，求的值
(3)當(dāng)，為何值時(shí)，代數(shù)式取得最小值，最小值為多少？
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1.會把一元二次方程降次轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.
2.運(yùn)用開平方法解形如x2=p或（x+n) 2=p (p≥0)的方程.
3.理解配方的基本過程，會運(yùn)用配方法解一元二次方程.
4.經(jīng)歷探索利用配方法解一元二次方程的過程，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
知識點(diǎn)1：直接開平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等號左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)．
②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．
③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．
知識點(diǎn)2：配方法
（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步驟：
①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；
③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；
④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；
⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解．
要點(diǎn)詮釋：
（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；
（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.
（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．
知識點(diǎn)3：配方法的應(yīng)用
1．用于比較大小：
在比較大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項(xiàng)或添項(xiàng)、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值時(shí)的應(yīng)用，將原式化成一個(gè)完全平方式后可求出最值．
4．用于證明：
“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用．
要點(diǎn)詮釋：
“配方法”在初中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，是恒等變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧，是挖掘題目當(dāng)中隱含條件的有力工具，同學(xué)們一定要把它學(xué)好．
題型1：用直接開平方法解一元二次方程
例1．（2022秋 江都區(qū)校級期末）方程x2＝4的解是（　　）
A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4
【分析】根據(jù)直接開平方解方程即可．
【解答】解：直接開平方得：x＝±2，
∴方程的解為：x1＝2，x2＝﹣2，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了用直接開平方法解一元二次方程，特別注意：一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)．
例2．（2022秋 江都區(qū)期中）解方程：
（1）4x2＝49； （2）（2x﹣1）2﹣25＝0．
【分析】（1）首先將方程整理為x2＝，再利用平方根的意義直接開方求解即可；
（2）首先將方程整理為（2x﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意義直接開方求解即可．
【解答】解：（1）4x2＝49，
x2＝，
∴，
∴x1＝，x2＝﹣；
（2）（2x﹣1）2﹣25＝0，
（2x﹣1）2＝25，
∴2x﹣1＝±5，
∴x1＝3，x2＝﹣2．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣﹣直接開平方法．用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負(fù)，分開求得方程解”．
例3.解關(guān)于的方程：．
【答案】，．
【解析】整理方程，即得，直接開平方法解方程，得：
即方程兩根為，．
【總結(jié)】直接開平方法解形如方程兩根即為．
例4.解關(guān)于的方程：．
【答案】，．
【解析】整理方程，即得，直接開平方法解方程，得：，
即方程兩根為，．
【總結(jié)】直接開平方法解形如方程兩根即為．
例5.解關(guān)于的方程：．
【答案】，．
【解析】整理方程，即得，直接開平方法解方程，得：， 得或，即方程兩根為，．
【總結(jié)】直接開平方法解形如的方程，將當(dāng)作一個(gè)整體，可得或．
例6.解關(guān)于的方程：．
【答案】，．
【解析】直接開平方法解方程，即得，得或， 即得方程兩根為，．
【總結(jié)】直接開平方法解形如的方程，將兩邊表示底數(shù)的式子當(dāng)作一個(gè)整體，可得或．
例7.解關(guān)于的方程： ．
【答案】，．
【解析】整理方程，即為，直接開平方法解方程，即得
，得或，解得方程兩根 分為，．
【總結(jié)】直接開平方法解形如的方程，將兩邊表示底數(shù)的式子當(dāng)作一個(gè)整體，可得或．
例8.解關(guān)于的方程：．
【答案】，．
【解析】整理方程，即為，直接開平方法解方程，即得， 得：或，解得方程兩根分為，．
【總結(jié)】直接開平方法解形如的方程，將兩邊表示底數(shù)的式子當(dāng)作一個(gè)整體，可得．
題型2：用配方法解一元二次方程
例9．（2022秋 秦淮區(qū)期末）解方程：x2﹣6x+4＝0（用配方法）
【分析】配方法的一般步驟：
（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊；
（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；
（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
【解答】解：由原方程移項(xiàng)，得
x2﹣6x＝﹣4，
等式的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，得
x2﹣6x+9＝﹣4+9，
即（x﹣3）2＝5，
∴x＝±+3，
∴x1＝+3，x2＝﹣+3．
【點(diǎn)評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用．選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．
例10.用配方法解方程：．
【答案與解析】
解：∵，
∴
∴ ，
∴
∴ ．
【總結(jié)升華】原方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為1，必須先化成1，才能配方．配方時(shí)，方程左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，配成的形式，然后用直接開平方法求解即可．
例11.用配方法解方程：．
【答案】，．
【解析】由，得，即，
所以， 所以原方程的解為：，．
【總結(jié)】本題主要考查用配方法求解一元二次方程的根．
例12.用配方法解方程：．
【答案】，．
【解析】由，得，即，
配方，得：，即，解得：，
所以原方程的解為：，．
【總結(jié)】本題主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后再配方．
例13.用配方法解方程：．
【答案】．
【解析】由，得，即，
所以，所以原方程的解為：．
【總結(jié)】本題主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后再配方．
題型3：配方法的應(yīng)用
例14．（2023春 梁溪區(qū)校級期中）在求解代數(shù)式2a2﹣12a+22的最值（最大值或最小值）時(shí)，老師給出以下解法：解：原式＝2（a2﹣6a）+22＝2（a2﹣6a+9）﹣18+22＝2（a﹣3）2+4，∵無論a取何值，2（a﹣3）2≥0，∴代數(shù)式2（a﹣3）2+4≥4，即當(dāng)a＝3時(shí)，代數(shù)式2a2﹣12a+22有最小值為4．仿照上述思路，則代數(shù)式﹣3a2+6a﹣8的最值為（　　）
A．最大值﹣5 B．最小值﹣8 C．最大值﹣11 D．最小值﹣5
【分析】根據(jù)題意把代數(shù)式﹣3a2+6a﹣8配成﹣3（a﹣1）2﹣5的形式，再利用偶次方的非負(fù)性即可得出最值．
【解答】解：由題意可得：原式＝﹣3（a2﹣2a）﹣8
＝﹣3（a2﹣2a+1）+3﹣8
＝﹣3（a﹣1）2﹣5，
∵無論a取何值，3（a﹣1）2≥0，即﹣3（a﹣1）2≤0，
∴代數(shù)式﹣3（a﹣1）2﹣5≤﹣5，即當(dāng)a＝1時(shí)，代數(shù)式﹣3a2+6a﹣8有最大值﹣5，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題主要是考查了配方法的應(yīng)用以及偶次方的非負(fù)性，解題關(guān)鍵是把代數(shù)式配成﹣3（a﹣1）2﹣5的形式．
例15．（2023春 吳江區(qū)期中）我們可以將一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多項(xiàng)式變形為a（x+m）2+n的形式，例如x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9，我們把這樣的變形叫做多項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．已知關(guān)于a，b的代數(shù)式滿足a2+b2+2a﹣4b+5＝0，請你利用配方法求a+b的值．
【分析】已知等式變形后，利用完全平方公式化簡，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出即可．
【解答】解：已知等式變形得：（a2+2a+1）+（b2﹣4b+4）＝0，
即（a+1）2+（b﹣2）2＝0，
∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴a+1＝0，b﹣2＝0，
解得：a＝﹣1，b＝2，
則a+b＝﹣1+2＝1．
【點(diǎn)評】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
例16．（2023春 吳中區(qū)期中）閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，∴n＝4，m＝4．
根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：
（1）已知x2+4xy+5y2+6y+9＝0，求x﹣y的值．
（2）已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求邊c的值．
【分析】（1）根據(jù)x2+4xy+5y2+6y+9＝0，應(yīng)用因式分解的方法，判斷出（x+2y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值，代入x﹣y計(jì)算即可；
（2）根據(jù)a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，應(yīng)用因式分解的方法，判斷出（a﹣2）2+2（b﹣41）2＝0，求出a、b的值，然后根據(jù)三角形的三條邊的關(guān)系，求出c的值即可．
【解答】解：（1）∵x2+4xy+5y2+6y+9＝0，
∴（x2+4xy+4y2）+（y2+6y+9）＝0，
∴（x+2y）2+（y+3）2＝0，
∴x+2y＝0，y+3＝0，
∴x＝6，y＝﹣3，
∴x﹣y＝6﹣（﹣3）＝9．
（2）∵a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，
∴（a2﹣4a+4）+（2b2﹣4b+2）＝0，
∴（a﹣2）2+2（b﹣1）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝2，b＝1，
∵2﹣1＜c＜2+1，
∴1＜c＜3，
∵c為正整數(shù)，
∴c＝2．
【點(diǎn)評】本題考查配方法的應(yīng)用，以及三角形三條邊的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確配方法、會用配方法解答問題．
例17.已知△ABC的一邊長為4，另外兩邊長是關(guān)于x的方程的兩根，當(dāng)k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形？
【答案】．
【解析】由，得，所以或者．
當(dāng)時(shí)，和，滿足三角形三邊關(guān)系，
當(dāng)時(shí)，和，不滿足三角形三邊關(guān)系．
所以時(shí)，△ABC是等腰三角形
【總結(jié)】先配方然后用分類討論的方法解決問題．
一、單選題
1．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】D
【分析】根據(jù)直接開方法求解即可．
【詳解】解：，
直接開方得：，，
故選：D．
【點(diǎn)睛】題目主要考查利用直接開方法解一元二次方程，熟練掌握此方法是解題關(guān)鍵．
2．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）一元二次方程，經(jīng)過配方可變形為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方程移項(xiàng)，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，利用完全平方公式化簡得到結(jié)果，即可作出判斷．
【詳解】解：方程移項(xiàng)得：，
配方得：，即．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程——配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)滿足，則代數(shù)式的最小值等于（ ）
A．1 B． C． D．無法確定
【答案】C
【分析】由已知得，代入代數(shù)式即得變形為，再配方，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，代入代數(shù)式即得，得
，
，
，
∵，
∴，
∴的最小值等于，
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查配方法的應(yīng)用，通過變形將代數(shù)式化成是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·江蘇蘇州·一模）已知關(guān)于x的一元二次方程（m，h，k均為常數(shù)且）的解是，，則關(guān)于x的一元二次方程的解是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】把看作關(guān)于的一元二次方程，則或，然后解兩個(gè)一次方程即可．
【詳解】解：方程、，均為常數(shù)且的解是，，
對于關(guān)于的一元二次方程的解，
即或，
即，，
關(guān)于的一元二次方程的解是，．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程直接開平方法：形如或的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．
5．（2022秋·江蘇無錫·九年級無錫市江南中學(xué)校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，若已知點(diǎn)，則下列結(jié)論一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】勾股定理可得： ，再利用配方法求解的最小值，再求解 的最小值，從而可得答案．
【詳解】由勾股定理可得：
當(dāng)時(shí)， 有最小值2
∴的最小值為
所以A不符合題意，B，C，D都有可能，符合題意
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，利用平方根解方程，掌握“配方法的應(yīng)用”是解本題的關(guān)鍵．
6．（2022秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）用配方法解方程時(shí)，原方程應(yīng)變形為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】將方程常數(shù)項(xiàng)移到等號右邊，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再利用完全平方公式變形即可得到結(jié)果
【詳解】解：方程整理得：，
配方得：，即．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了用配方法解一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式．
二、填空題
7．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程配方為，則k的值是______．
【答案】１
【分析】將原方程變形成與相同的形式，即可求解．
【詳解】解：
∴
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解題步驟是解本題的關(guān)鍵．
8．（2022秋·江蘇南京·九年級南京市科利華中學(xué)校考期中）用配方法解方程，方程可變形為，則_________，__________．
【答案】 5 34
【分析】利用配方法解答，即可求解．
【詳解】解：，
∴，
∴，
即，
∴，．
故答案為：5，34
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程——配方法，熟練掌握利用配方法解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
9．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期中）新定義，若關(guān)于的一元二次方程：與，稱為“同類方程”．如與是“同類方程”．現(xiàn)有關(guān)于的一元二次方程：與是“同類方程”．那么代數(shù)式能取的最大值是_________．
【答案】
【分析】根據(jù)“同類方程”的定義，可得出a，b的值，從而解得代數(shù)式的最大值．
【詳解】∵與是“同類方程”，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為2023．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，解二元一次方程組，理解“同類方程”的定義是解答本題的關(guān)鍵．
10．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考期中）已知實(shí)數(shù)、、滿足，則實(shí)數(shù)的最大值為 __．
【答案】2022
【分析】仔細(xì)觀察等式左側(cè)，先將多項(xiàng)式進(jìn)行分組，再利用配方法化簡其形式，最后根據(jù)平方的非負(fù)性確定的最大值.
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，的值最大，
，
，
實(shí)數(shù)的最大值為2022，
故答案為：2022．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法與平方的非負(fù)性，能夠識別多種情況下的配方條件，正確的配方是解題關(guān)鍵.
三、解答題
11．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接開方法解方程即可．
（2）配方法即解方程即可．
【詳解】（1）
（2）
【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的解法，有直接開方法，配方法，因式分解法，公式法等，解題關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)挑選合適的解法．
12．（2023秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期末）解方程：．
【答案】，
【分析】利用配方法解方程即可．
【詳解】解：
，
，
，
，
，
【點(diǎn)睛】本題考查利用配方法解一元二次方程，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．（2023秋·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】(1)利用直接開平方法解此方程，即可求解；
(2)利用配方法解此方程，即可求解．
【詳解】（1）解：由原方程得：
得，
解得，，
所以，原方程的解為，；
（2）解：由原方程得：，
得，，
得，
解得，，
所以，原方程的解為，．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握和運(yùn)用一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．
14．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）（1）數(shù)學(xué)活動小組在研究函數(shù)的圖像時(shí)提出了下列問題：
①函數(shù)的自變量x的取值范圍是 ；
②容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．由此可見，圖像在第 象限；
③閱讀材料：當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值是2．
請仿照上述過程，求出當(dāng)時(shí)，的最大值；
（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值；
（3）如圖，四邊形的對角線，相交于點(diǎn)，、的面積分別為4和9，求四邊形面積的最小值．
【答案】（1）①；②一、三；③當(dāng)時(shí)，的最大值為；（2）最小值為11；（3）25
【分析】（1）①根據(jù)分母不為0即可求解；②根據(jù)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即可判斷；③模仿求解過程，利用配方法即可求解；
（2）將的分子分別除以分母，展開，將含的項(xiàng)用題中所給公式求得最小值，再加上常數(shù)即可；
（3）設(shè)，已知，，則由等高三角形可知：，用含的式子表示出，四邊形的面積用含的代數(shù)式表示出來，再按照題中所給公式求得最小值，加上常數(shù)即可．
【詳解】解：（1）①函數(shù)的自變量x的取值范圍為：；
②容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
由此可見，圖像在第一、三象限；
③當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，的最小值為2；當(dāng)時(shí)，的最大值為．
故答案為：①；②一、三；③當(dāng)時(shí)，的最大值為；
（2）由，
，
，
當(dāng)時(shí)，最小值為11．
（3）設(shè)，已知，
則由等高三角形可知：
四邊形面積
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即四邊形面積的最小值為25．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法在最值問題中的應(yīng)用，同時(shí)本題還考查了分式化簡和等高三角形的性質(zhì)，本題難度中等略大，屬于中檔題．
一、單選題
1．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考階段練習(xí)）把方程化為的形式后，m的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【答案】B
【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
則，即，
∴，n＝1，故B正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握一元二次方程配方法，是解題的關(guān)鍵．
2．（2021秋·江蘇無錫·九年級校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的多項(xiàng)式的最小值為8，則m的值可能為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】利用配方法將進(jìn)行配方，即可得出答案.．
【詳解】解：原式，
當(dāng)x-=0，即x=時(shí)，原式取得最小值9-=8，
整理得：，
解得：m=±2，
則m的值可能為2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的運(yùn)用，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·江蘇蘇州·九年級星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）若，，則A、B的大小關(guān)系為（　　）
A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B
【答案】A
【分析】利用做差法求出，然后利用偶數(shù)次冪的非負(fù)性即可得出，即可得出，從而得出正確選項(xiàng)．
【詳解】解：
∵，，
∴，
∴，即，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，考查了通過做差法判斷式子的大小，熟練掌握配方法是本題的關(guān)鍵所在．
二、填空題
4．（2022·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知多項(xiàng)式A＝x2﹣x+(3)，若無論x取何實(shí)數(shù)，A的值都不是負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是________．
【答案】
【分析】根據(jù)配方法可進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵A＝x2﹣x+（3）＝x2﹣x+（3）＝（x）2（3），
若x取任何實(shí)數(shù)，A的值都不是負(fù)數(shù)，
∴（3）≥0，
解得：；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查配方法的應(yīng)用，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·江蘇南京·九年級校考階段練習(xí)）方程的根是_____．
【答案】
【分析】兩邊開方，然后解關(guān)于的一元一次方程．
【詳解】解：由原方程，得．
解得．
故答案是：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程直接開平方法．用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：；，同號且；；，同號且．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負(fù)，分開求得方程解”．
6．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知代數(shù)式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，則A____B（填＞，＜或＝）．
【答案】<
【分析】先求A-B的差，再將差用配方法變形為A﹣B＝﹣（x+2）2﹣2，然后利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)求解．
【詳解】解：A﹣B＝3x2﹣x+1﹣（4x2+3x+7）＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，
∵﹣（x+2）2≤0，
∴﹣（x+2）2﹣2<0，
∴A﹣B<0，
∴A故答案為：<．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的綜合應(yīng)用，配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
7．（2022秋·江蘇·九年級階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)x，y滿足條件2x2﹣6x＋y2＝0，則x2＋y2＋2x的最大值是____．
【答案】15
【分析】先將2x2﹣6x+y2＝0，變形為y2＝﹣2x2+6x，代入所求代數(shù)式并化簡為x2+y2+2x＝﹣（x﹣4）2+16，利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)可得x2+y2+2x≤16，再因?yàn)閥2＝﹣2x2+6x≥0，求得0≤x≤3，即可求解．
【詳解】解：∵2x2﹣6x+y2＝0，
∴y2＝﹣2x2+6x，
∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x＝﹣x2+8x＝﹣（x2﹣8x+16）+16＝﹣（x﹣4）2+16，
∵（x﹣4）2≥0，
∴x2+y2+2x≤16，
∵y2＝﹣2x2+6x≥0，
解得0≤x≤3，
當(dāng)x＝3時(shí)，x2+y2+2x取得最大值為15，
故答案為：15．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法，熟練掌握配方法以及完全平方式的非負(fù)性是解決本題的關(guān)鍵．
8．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如果一元二次方程的兩根相差1，那么該方程成為“差1方程”．例如是“差1方程”．若關(guān)于x的方程(a，b是常數(shù)，)是“差1方程”設(shè)，t的最大值為__________．
【答案】
【分析】根據(jù)新定義得方程的大根與小根的差為1，列出與的關(guān)系式，再由，得與的關(guān)系，從而得出最后結(jié)果．
【詳解】解：由題可得：
∴解方程得，
關(guān)于的方程、是常數(shù)，是“差1方程”，
，
，
，
，
，
時(shí)，的最大值為9．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法以及正確理解“差1方程”的定義．
9．（2022秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a、b，滿足，則代數(shù)式的最小值等于______．
【答案】
【分析】由題意得，代入代數(shù)式可得，故此題的最小值是5．
【詳解】，
，
，
代數(shù)式的最小值等于5，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了代數(shù)式的變形及配方法的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握完全平方公式并正確變形、計(jì)算．
三、解答題
10．（2021秋·江蘇徐州·九年級校考階段練習(xí)）利用我們學(xué)過的完全平方公式及不等式知識能解決代數(shù)式一些問題，觀察下列式子：
①，
∵，
∴．
因此，代數(shù)式有最小值﹣2；
②，
∵，
∴．
因此，代數(shù)式有最大值4；
閱讀上述材料并完成下列問題：
(1)代數(shù)式的最小值為______；
(2)求代數(shù)式的最大值．
【答案】(1)﹣3
(2)當(dāng)a＝﹣3，b＝2時(shí)，代數(shù)式的最大值是3
【分析】（1）通過配方可求出完全平方形式，根據(jù)平方式的非負(fù)性可得結(jié)果；
（2）把配方成完全平方的形式可得結(jié)果．
（1）
解：﹣4x+1＝＝，
∵，
∴，
∴當(dāng)x＝2時(shí)，這個(gè)代數(shù)式﹣4x+1的最小值為﹣3．
故答案為：﹣3；
（2）
＝﹣﹣6a﹣9﹣+4b﹣4+3
＝﹣﹣+3，
∵≥0，≥0，
∴﹣，﹣，
∴＝﹣﹣+3，
∴當(dāng)a＝﹣3，b＝2時(shí)，代數(shù)式的最大值是3．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，用到的知識點(diǎn)是完全平方公式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把給出的式子化成完全平方的形式進(jìn)行解答．
11．（2022秋·江蘇無錫·九年級校考階段練習(xí)）王老師提出問題：求代數(shù)式的最小值．要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行解答．
同學(xué)們經(jīng)過探索、交流和討論，最后總結(jié)出如下解答方法；
解：，
，．
當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值是1．
的最小值是1．
請你根據(jù)上述方法，解答下列各題：
(1)直接寫出的最小值為　 　．
(2)求代數(shù)式的最小值．
(3)你認(rèn)為代數(shù)式有最大值還是有最小值？求出該最大值或最小值．
(4)若，求的最小值．
【答案】(1)3
(2)7
(3)有最大值，最大值為8
(4)2
【分析】（1）根據(jù)偶次方的非負(fù)性可求得；
（2）根據(jù)題意用配方法和偶次方的非負(fù)性可直接求得；
（3）根據(jù)題意用配方法和偶次方的非負(fù)性可直接求得；
（4）根據(jù)，用表示出，寫出，先根據(jù)題意用配方法和偶次方的非負(fù)性可求．
【詳解】（1）解：的最小值為3．
故答案為：3；
（2）
，
，
，
當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值為7，
的最小值為7；
（3），
，
，
代數(shù)式有最大值，最大值為8；
（4），
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值為2，
的最小值為2．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用和偶次方為非負(fù)數(shù)，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)⒋鷶?shù)式配成完全平方式的形式．
12．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）【項(xiàng)目學(xué)習(xí)】“我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式”．
如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法．例如：求當(dāng)a取何值，代數(shù)式有最小值？最小值是多少？
解：
因?yàn)椋裕?br/>因此，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值是．
【問題解決】
利用配方法解決下列問題：
(1)當(dāng)___________時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值為 ___________．
(2)當(dāng)x取何值時(shí)，代數(shù)式有最小值？最小值是多少？
【拓展提高】
(3)當(dāng)x，y何值時(shí)，代數(shù)式取得最小值，最小值為多少？
(4)如圖所示的第一個(gè)長方形邊長分別是、，面積為；如圖所示的第二個(gè)長方形邊長分別是、，面積為，試比較與的大小，并說明理由．
【答案】(1)1， ；
(2)時(shí)，4；
(3)，，16；
(4)，見解析．
【分析】（1）仿照文中所給的配方法的思路解答即可；
（2）先提取公因數(shù)2，再利用文中所給的配方法的思路解答即可；
（3）將配方成，即可解答；
（4）求出，利用，得到，即．
【詳解】（1）解：
因?yàn)椋裕?br/>因此，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值是．
故答案為：1；
（2）解：，
因?yàn)椋裕?br/>因此，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值是4．
（3）解：
因?yàn)椋裕?br/>因此，當(dāng)，時(shí)，即，時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值是16．
（4）解：，，
∴，
∵，
∴，即．
【點(diǎn)睛】本題考查配方法，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握配方法的原則．
13．（2022秋·江蘇常州·九年級校考階段練習(xí)）閱讀材料：選取二次三項(xiàng)式中的兩項(xiàng)，配成完全平方式的過程叫配方．例如
①選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：；
②選取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：，或
③選取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：
請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：
(1)比照上面的例子，寫出三種不同形式的配方；
(2)已知，求的值
(3)當(dāng)，為何值時(shí)，代數(shù)式取得最小值，最小值為多少？
【答案】(1)見解析
(2)
(3)當(dāng)，時(shí)，取得最小值，最小值為
【分析】（1）根據(jù)配方的定義，分別選取二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)中的兩項(xiàng)，進(jìn)行配方即可得出三種形式；
（2）首先根據(jù)配方法把變形為，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性，得出，，解出、的值，然后將、的值代入代數(shù)式，計(jì)算即可得出結(jié)果；
（3）首先根據(jù)配方法把代數(shù)式變形為，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性，得出，進(jìn)而得出當(dāng)，時(shí)，取得最小值，再進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）解：第一種形式：選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方，
；
第二種形式：選取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方，
；
或
；
第三種形式：選取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方，
；
（2）解：，
配方，得：，
即，
∵，，
∴，，
解得：，，
∴；
（3）解：
，
∵，
∴，
當(dāng)，時(shí)，取得最小值，
即當(dāng)，時(shí)，取得最小值，最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，根據(jù)配方法的步驟和完全平方公式進(jìn)行配方是解本題的關(guān)鍵．
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