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第01講 一元二次方程
理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意義，會(huì)把一元二次方程化為一般形式；
一、一元二次方程的有關(guān)概念
1．一元二次方程的概念：
　　通過化簡后，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
要點(diǎn)詮釋：
識(shí)別一元二次方程必須抓住三個(gè)條件：（1）整式方程；（2）含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個(gè)條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
　　一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，都能化成形如，這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次項(xiàng)，是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．
要點(diǎn)詮釋：
　　(1)只有當(dāng)時(shí)，方程才是一元二次方程；
　　(2)在求各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)時(shí)注意不要漏掉前面的性質(zhì)符號(hào).
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
4.一元二次方程根的重要結(jié)論
（1）若a+b+c=0,則一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一個(gè)根，則a+b+c=0.
（2）若a-b+c=0,則一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一個(gè)根，則a-b+c=0.
（3）若一元二次方程有一個(gè)根x=0，則c=0；反之也成立，若c=0，則一元二次方程必有一根為0.
類型一、關(guān)于一元二次方程的判定
例1．判定下列方程是不是一元二次方程:
　　(1)； 　(2)．
【答案】（1）是；（2）不是.
【解析】(1)整理原方程，得
　　 　　　，
　　 　　　所以 ．
　　 　　　其中，二次項(xiàng)的系數(shù)，所以原方程是一元二次方程．
　　　　(2)整理原方程，得
　　 　　　，
　　 　　　所以 ．
　　 　　　其中，二次項(xiàng)的系數(shù)為，所以原方程不是一元二次方程．
【總結(jié)升華】識(shí)別一元二次方程必須抓住三個(gè)條件：（1）整式方程；（2）含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個(gè)條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
例2.判定下列方程是否關(guān)于x的一元二次方程：
　　(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a； 　　(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．
【答案與解析】
(1)經(jīng)整理，得它的一般形式
　　　　　 (a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，
　　　　　 其中，由于對任何實(shí)數(shù)a都有a2≥0，于是都有a2+2＞0，由此可知a2+2≠0，所以可以判定：
　　　　　 對任何實(shí)數(shù)a，它都是一個(gè)一元二次方程．
　　　　(2)經(jīng)整理，得它的一般形式
　　　　　 (m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，
　　　　　 其中，當(dāng)m≠1且m≠-1時(shí)，有m2-1≠0，它是一個(gè)一元二次方程；當(dāng)m=1時(shí)方程不存在，
　　　　　 當(dāng)m=-1時(shí)，方程化為4x=0，它們都不是一元二次方程．
【總結(jié)升華】對于含有參數(shù)的一元二次方程，要十分注意二次項(xiàng)系數(shù)的取值范圍，在作為一元二次方程進(jìn)行研究討論時(shí)，必須確定對參數(shù)的限制條件．如在第(2)題，對參數(shù)的限定條件是m≠±1．
　　例如，一個(gè)關(guān)于x的方程，若整理為(m-4)x2+mx-3=0的形式，僅當(dāng)m-4≠0，即m≠4時(shí)，才是一元二次方程(顯然，當(dāng)m=4時(shí)，它只是一個(gè)一元一次方程4x-3=0)．又如，當(dāng)我們說：“關(guān)于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”時(shí)，實(shí)際上就給出了條件“a-1≠0”，也就是存在一個(gè)條件“a≠1”．由于這個(gè)條件沒有直接注明，而是隱含在其他的條件之中，所以稱它為“隱含條件”．
【變式】判斷下列各式哪些是一元二次方程．
①；②；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ；⑦ ．
【答案】②③⑥.
【解析】①不是方程；④ 不是整式方程；⑤ 含有2個(gè)未知數(shù)，不是一元方程；⑦ 化簡后沒有二次項(xiàng)，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定義．
類型二、一元二次方程的一般形式、各項(xiàng)系數(shù)的確定
例3.把下列方程中的各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，并求出各項(xiàng)的系數(shù)：
　　(1)-3x2-4x+2=0； (2)．
【答案與解析】
(1)兩邊都乘-1，就得到方程
　　　 3x2+4x-2=0．
　　　 各項(xiàng)的系數(shù)分別是： a=3，b=4，c=-2．
　　(2)兩邊同乘-12，得到整數(shù)系數(shù)方程
　　　 6x2-20x+9=0．
　　　各項(xiàng)的系數(shù)分別是：．
【總結(jié)升華】一般地，常根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)的一元二次方程調(diào)整為二次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)的一元二次方程；把分?jǐn)?shù)系數(shù)的一元二次方程調(diào)整為整數(shù)系數(shù)的一元二次方程．值得注意的是，確定各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，不應(yīng)忘記系數(shù)的符號(hào)，如(1)題中c=-2不能寫為c=2，(2)題中不能寫為．
例4. 已知關(guān)于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各項(xiàng)的系數(shù)，并指出參數(shù)m的取值范圍．
【答案與解析】
將原方程整理為一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，
　　　　由于已知條件已指出它是一個(gè)一元二次方程，所以存在一個(gè)隱含條件
　　　　m2-8≠0，即 m≠±．
　　　　可知它的各項(xiàng)系數(shù)分別是
　　　　a=m2-8(m≠±)，b=-(3m-1)，c=m3-1．
　　　　參數(shù)m的取值范圍是不等于±的一切實(shí)數(shù)．
【總結(jié)升華】在含參數(shù)的方程中，要認(rèn)定哪個(gè)字母表示未知數(shù)，哪個(gè)字母是參數(shù)，才能正確處理有關(guān)的問題．
【變式1】將下列方程化為一元二次方程一般形式，并指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：
（1）； （2）．
【答案】（1），二次項(xiàng)系數(shù)是3、一次項(xiàng)系數(shù)是-5、常數(shù)項(xiàng)是2.
（2）化為二次項(xiàng)系數(shù)是a、一次項(xiàng)系數(shù)是1、常數(shù)項(xiàng)
是-a-2.
【變式2】關(guān)于x的方程的一次項(xiàng)系數(shù)是-1，則a .
【答案】原方程化簡為x2-ax+1=0,則-a=-1,a=1.
類型三、一元二次方程的解（根）
例5.若0是關(guān)于的方程的解，求實(shí)數(shù)的值，并討論此方程解的情況．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程解的性質(zhì)，直接求出的值，根據(jù)若是一元二次方程時(shí)，注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0，再利用根的判別式求出即可．
【答案與解析】
解：∵0是關(guān)于的方程的解，
∴
∴
①當(dāng)
∴
∴原方程為：
∴此方程有兩個(gè)不相等的根．
解得：
②當(dāng)
∴
∴
【總結(jié)升華】此題主要考查了一元二次方程的解以及根的判別式，熟練記憶根的判別式公式是解決問題的關(guān)鍵．
例6.已知關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常數(shù)項(xiàng)為0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．
【答案與解析】
解：（1）∵關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常數(shù)項(xiàng)為0，
∴m2﹣3m+2=0，
解得：m1=1，m2=2，
∴m的值為1或2；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得出：
x2+5x=0
x（x+5）=0，
解得：x1=0，x2=﹣5．
當(dāng)m=1時(shí)，5x=0，
解得x=0．
【總結(jié)升華】此題是一元一次方程與一元二次方程的解法的小綜合，注意本題中說的是“方程”，而不是“一元二次方程”．
【變式】（1）x=1是的根，則a= .
（2）已知關(guān)于x的一元二次方程 有一個(gè)根是0，求m的值.
【答案】（1）當(dāng)x=1時(shí)，1-a+7=0,解得a=8.
（2）由題意得
一、單選題
1．（2022秋·江蘇徐州·九年級校考期末）下列關(guān)于的方程中，一定是一元二次方程的為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，該方程不是關(guān)于x的一元二次方程，故A不符合題意；
B、方程整理后不含有二次項(xiàng)，該方程不是關(guān)于x的一元二次方程，故B不符合題意；
C、該方程屬于分式方程，不是關(guān)于x的一元二次方程，故C不符合題意；
D、符合一元二次方程的定義，故D符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．
2．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）根據(jù)關(guān)于的一元二次方程，可列表如下：則方程的正數(shù)解滿足（ ）
A．解的整數(shù)部分是，十分位是 B．解的整數(shù)部分是，十分位是
C．解的整數(shù)部分是，十分位是 D．解的整數(shù)部分是，十分位是
【答案】B
【分析】通過觀察表格可得時(shí)，，即可求解．
【詳解】解：由表格可知，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴時(shí)，，
∴解的整數(shù)部分是，十分位是．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，通過觀察所給的信息，確定一元二次方程解的范圍是解題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·江蘇徐州·九年級?？计谀╆P(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是0，則a的值是（　　）
A． B．1 C．1或 D．或0
【答案】A
【分析】根據(jù)方程是一元二次方程，可得，將代入解析式，求出的值即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是0，
∴，，
∴；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解．熟練掌握一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為0，使等式成立的未知數(shù)的值是方程的解，是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
4．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的方程的一個(gè)根為3，則m的值為_______．
【答案】
【分析】根據(jù)題意把3代入方程，得到關(guān)于m的方程，解方程即可得．
【詳解】解：依題意得，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟練掌握一元二次方程根的定義是解題關(guān)鍵．
5．（2023春·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）若m是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值為________．
【答案】2022
【分析】根據(jù)m是方程的一個(gè)根，得到，進(jìn)而得到，代入代數(shù)式計(jì)算即可得解．
【詳解】解：∵m是方程的一個(gè)根，
∴，
∴，
∴；
故答案為：2022．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解，熟練掌握方程的解是使方程成立的未知數(shù)的值，是解題的關(guān)鍵．
6．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的方程是一元二次方程，則a的值為______．
【答案】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出且，再求出即可．
【詳解】解：∵關(guān)于的方程是一元二次方程，
∴且，
解得：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義和絕對值，能根據(jù)一元二次方程的定義得出且是解此題的關(guān)鍵．
三、解答題
7．（2023秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）先化簡再求值：，其中a是方程的根．
【答案】，．
【分析】先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的分式的減法，再把除法化為乘法運(yùn)算，約分后可得結(jié)果，再把化為，再整體代入計(jì)算即可．
【詳解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的化簡求值，一元二次方程的解的含義，掌握“分式的混合運(yùn)算以及整體代入法求值”是解本題的關(guān)鍵．
8．（2022秋·江蘇·九年級期中）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，稱兩個(gè)不同的點(diǎn)P（m，n）和Q（－n，－m）為“反換點(diǎn)”．如：點(diǎn)（一2，1）和（一1，2）是一對“反換點(diǎn)”．
(1)下列函數(shù)：①y＝﹣x＋2；②y＝﹣；③y＝﹣2x2，其中圖象上至少存在一對“反換點(diǎn)”的是 　 ?。ㄖ惶钚蛱?hào)）；
(2)直線y＝x﹣3與反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P，點(diǎn)P和點(diǎn)Q為一對“反換點(diǎn)”若S△OPQ＝6，求k的值；
(3)拋物線y＝﹣x2﹣4x上是否存在一對“反換點(diǎn)”？如果存在，請求出這一對“反換點(diǎn)”所連線段的中點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)②③
(2)
(3)
【分析】（1）設(shè)兩個(gè)不同的點(diǎn)P（m，n）和Q（－n，－m）是一對 “反換點(diǎn)”；①假設(shè)圖象上存在“反換點(diǎn)”，將P（m，n），Q（－n，－m）坐標(biāo)分別代入解析式，計(jì)算兩等式是否有解，若有解，則圖象存在反換點(diǎn)；
（2）設(shè)，則，其中，由題意得，求出的值，進(jìn)而得到點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入中計(jì)算求解即可；
（3）假設(shè)圖象上存在“反換點(diǎn)”，則有，①+②式得，有即，將代入①中求解的值，的值，進(jìn)而得到的點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)即可．
（1）
解：設(shè)兩個(gè)不同的點(diǎn)P（m，n）和Q（－n，－m）是一對 “反換點(diǎn)”，且即
①假設(shè)圖象上存在“反換點(diǎn)”，
將P（m，n）代入，則有即
將Q（－n，－m）代入，則有即
與矛盾
∴P（m，n）和Q（－n，－m）不能同時(shí)在圖象上
∴圖象上不存在“反換點(diǎn)”
故①不符合題意；
②假設(shè)圖象上存在“反換點(diǎn)”，
將P（m，n）代入，則有 即
將Q（－n，－m）代入，則有即
與相同
∴P（m，n）和Q（－n，－m）均在圖象上
∴圖象上存在“反換點(diǎn)”
故②符合題意；
③假設(shè)圖象上存在“反換點(diǎn)”，
將P（m，n）代入，則有①
將Q（－n，－m）代入，則有即②
將①代入②中得即
解得或（舍去）
∴存在使P（m，n）和Q（－n，－m）均在圖象上
∴圖象上存在“反換點(diǎn)”
故③符合題意；
故答案為：②③．
（2）
解：設(shè)，則，其中
∴
解得
∴
將代入得
解得
∴的值為．
（3）
解：假設(shè)圖象上存在“反換點(diǎn)”
則有
①+②式得
∴或（舍去）
將代入①中得
解得或
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為；
∴存在“反換點(diǎn)”，線段中點(diǎn)坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，反比例函數(shù)與幾何綜合，解一元二次方程等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于理解題意并用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?br/>一、單選題
1．（2022秋·江蘇連云港·九年級校考階段練習(xí)）一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A．3、2、 B．3、2、3 C．3、、3 D．3、、
【答案】D
【分析】將一元二次方程化為一般形式即可求得結(jié)果．
【詳解】解：將一元二次方程化為一般形式，
得，
二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式以及多項(xiàng)式的有關(guān)概念，解決問題的關(guān)鍵是將一元二次方程化為一般形式．
2．（2022秋·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0，則m＝（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【答案】B
【分析】根據(jù)一元二次方程成立的條件和常數(shù)項(xiàng)為0列出方程組，解方程組即可求解．
【詳解】若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0，
則，
解得，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的含義，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·江蘇南京·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）觀察表格中數(shù)據(jù)，一元二次方程的一個(gè)近似解為（　　?。?br/>x
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可判斷代數(shù)式的值為4.61和4.56時(shí)，對應(yīng)x的值為 1.12和 1.11，觀察原方程可理解為求代數(shù)式的值為4.6時(shí)，對應(yīng)的x的值，由此判斷即可．
【詳解】解：∵x= 1.12時(shí)，；x= 1.11時(shí)，；
∴時(shí)，對應(yīng)x應(yīng)滿足 1.12∴原方程的近似解為： 1.117．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的近似解，理解表格中的數(shù)據(jù)，掌握求近似解的方法是解題關(guān)鍵．
二、填空題
4．（2022秋·江蘇連云港·九年級校考階段練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為______．
【答案】
【分析】利用整體思想設(shè)，得到方程，再根據(jù)即可得到的值，最后得出結(jié)論．
【詳解】解：∵在中，設(shè)
∴
∵有一個(gè)根
∴在中
∴即在中，
∴
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解一元二次方程，利用整體思想解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
5．（2023春·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知m是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值為_________
【答案】
【分析】由方程根的定義得到，整體代入即可得到答案．
【詳解】解：∵m是方程的一個(gè)根，
∴，
∴，
∴．
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的解和代數(shù)式的值，熟練掌握一元二次方程解的定義是解題的關(guān)鍵．
6．（2023春·江蘇南京·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知方程的兩個(gè)根分別是2、1，則______．
【答案】
【分析】把代入得出，整理即可得出答案．
【詳解】解：把代入得：，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握方程解的定義，得出．
三、解答題
7．（2022秋·九年級課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的方程（m﹣）﹣x＝3，試問：
(1)m為何值時(shí)，該方程是關(guān)于x的一元一次方程？
(2)m為何值時(shí)，該方程是關(guān)于x的一元二次方程？
【答案】(1)m＝或或
(2)
【分析】（1）根據(jù)方程中只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是1次的整式方程是一元一次方程，可得答案；
（2）根據(jù)一元二次方程的定義求解，一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件： (1) 未知數(shù)的最高次數(shù)是2； (2) 二次項(xiàng)系數(shù)不為0；由這兩個(gè)條件得到相應(yīng)的關(guān)系式，再求解即可．
【詳解】（1）解：由題意，得m2﹣1＝1，
解得m＝，
當(dāng)m＝時(shí)，該方程是一元一次方程；
m﹣＝0，解得m＝，
當(dāng)m＝時(shí)，該方程是一元一次方程；
m2﹣1＝0，解得m＝±1，
m＝±1時(shí)，該方程是一元一次方程，
綜上，當(dāng)m＝或或±1時(shí)，該方程是關(guān)于x的一元一次方程；
（2）解：由題意，得m2﹣1＝2且m﹣≠0，
解得m＝﹣，
當(dāng)m＝﹣時(shí)，該方程是關(guān)于x的一元二次方程．
【點(diǎn)睛】本題利用了一元二次方程的概念，只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0 (且a≠0) ，特別要注意a≠0的條件，這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．
8．（2022秋·九年級課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0．
(1)m為何值時(shí)，此方程是一元一次方程？求出該一元一次方程的解；
(2)m為何值時(shí)，此方程是一元二次方程？并寫出這個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．
【答案】(1)m＝1；x＝﹣1
(2)m≠1；二次項(xiàng)系數(shù)為m﹣1，一次項(xiàng)系數(shù)為m﹣2，常數(shù)項(xiàng)為﹣2m+1
【分析】（1）當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為0，一次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，方程為一元一次方程，然后解方程即可；
（2）當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，方程是一元二次方程．
（1）解：若關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元一次方程，則m﹣1＝0且m﹣2≠0，解得m＝1．∴原方程變形為﹣x﹣2+1＝0解得x＝﹣1．
（2）解：當(dāng)m≠1時(shí)，關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元二次方程，此時(shí)該方程的二次項(xiàng)系數(shù)為m﹣1，一次項(xiàng)系數(shù)為m﹣2，常數(shù)項(xiàng)為﹣2m+1．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程、一元一次方程的定義及解一元一次方程，難度不大．掌握一元一次方程及一元二次方程的相關(guān)定義是解決本題的關(guān)鍵．
9．（2022秋·江蘇·九年級階段練習(xí)）（1）若方程是關(guān)于x的一元二次方程，求m的取值范圍．
（2）如果是方程的一個(gè)根，求的值．
【答案】（1）且；（2）9
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義和二次根式有意義的條件進(jìn)行求解即可；
（2）把代入中得到，再由進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：（1）∵方程是關(guān)于x的一元二次方程，
∴，
∴且；
（2）∵是方程的一個(gè)根，
∴，即
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的解，二次根式有意義的條件，完全平方公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握一元二次方程的相關(guān)知識(shí)．
10．（2022秋·江蘇·九年級階段練習(xí)）已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一個(gè)根，求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）的值．
【答案】1
【分析】根據(jù)方程的根的定義，得到m2﹣2m﹣3＝0，化簡得m2﹣2m＝3，再化簡原式得原式=2（m2﹣2m）﹣5，將m2﹣2m＝3代入原式，從而求得原式的值．
【詳解】解：∵m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一個(gè)根，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
∴（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）
＝m2﹣4m+4+m2﹣9
＝2（m2﹣2m）﹣5
＝2×3﹣5＝1．
【點(diǎn)睛】本題考查了方程的根的定義，整式的乘法，掌握相關(guān)定義并進(jìn)行正確的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵，解題中注意整體代入法的運(yùn)用．
11．（2022秋·九年級課時(shí)練習(xí)）定義一種新運(yùn)算“a*b”：當(dāng)a≥b時(shí)，a*b＝a＋3b；當(dāng)a＜b時(shí)，a*b＝a－3b，例如：3*（﹣4）＝3＋（﹣12）＝﹣9，（﹣6）*12＝﹣6－36＝﹣42
(1)x2*（x2﹣2）＝30，則x＝ ；
(2)小明在計(jì)算（﹣3x2＋6x﹣5）*（﹣x2＋2x＋3）隨取了一個(gè)x的值進(jìn)行計(jì)算，得到的結(jié)果是40，小華說小明計(jì)算錯(cuò)了，請你說明小華是如何判斷的．
【答案】(1)±3
(2)見解析
【分析】（1）認(rèn)真閱讀題目，理解新運(yùn)算的定義，然后計(jì)算即可；
（2）先判斷出（﹣3x2＋6x﹣5）與（﹣x2＋2x＋3）大小關(guān)系，然后根據(jù)新運(yùn)算定義計(jì)算．
（1）
解：∵x2*（x2﹣2）＝30，x2≥（x2﹣2）
∴x2＋3（x2－2）＝30，解得x＝±3，
故答案為：±3．
（2）
解：∵（﹣3x2+6x﹣5）－（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+4x﹣8＝﹣2（x﹣1）2﹣6＜0，
∴﹣3x2+6x﹣5＜﹣x2+2x+3，
（﹣3x2+6x﹣5）*（﹣x2+2x+3）＝（﹣3x2+6x﹣5）﹣3（﹣x2+2x+3）＝﹣3x2+6x﹣5+3x2﹣6x﹣9＝﹣14，
∵化簡后的結(jié)果與x取值無關(guān)，
∴不論x取何值，結(jié)果都應(yīng)該等于﹣14，不可能等于40，
∴小華說小明計(jì)算錯(cuò)誤．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程的能力和新定義的應(yīng)用，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
12．（2022秋·九年級課時(shí)練習(xí)）已知方程是關(guān)于的一元二次方程．
（1）求的取值范圍；
（2）若該方程的一次項(xiàng)系數(shù)為，求此方程的根．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）先把方程化為一元二次方程的一般形式，再考慮二次項(xiàng)系數(shù)不為0即可；
（2）把方程化為一般形式后，根據(jù)條件一次項(xiàng)系數(shù)為0列出方程，求出a的值，再代入原方程，解出方程即可.
【詳解】解：化簡，得
．
方程是關(guān)于的一元二次方程，得
，解得，
當(dāng)時(shí)，方程是關(guān)于的一元二次方程；
由一次項(xiàng)系數(shù)為零，得．
則原方程是，即．
因式分解得，
解得，．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的二次項(xiàng)的系數(shù)不能為0，一元二次方程不含一次項(xiàng)時(shí)可選用因式分解法解一元二次方程.
13．（2022秋·九年級課時(shí)練習(xí)）當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．
(1)為一元二次方程；
(2)為一元一次方程．
【答案】(1)m＝3
(2)m＝﹣1或m＝0，m＝2
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義，可得答案；
（2）根據(jù)一元一次方程的定義，可得答案．
（1）
由關(guān)于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5一元二次方程，得
，
解得m＝3．
當(dāng)m＝3時(shí)，關(guān)于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元二次方程．
（2）
由關(guān)于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程，得
m+1＝0或，
解得m＝﹣1或m＝0，m＝2，
當(dāng)m＝﹣1或m＝0，m＝2時(shí)，關(guān)于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第01講 一元二次方程
理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意義，會(huì)把一元二次方程化為一般形式；
一、一元二次方程的有關(guān)概念
1．一元二次方程的概念：
　　通過化簡后，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
要點(diǎn)詮釋：
識(shí)別一元二次方程必須抓住三個(gè)條件：（1）整式方程；（2）含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個(gè)條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
　　一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，都能化成形如，這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次項(xiàng)，是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．
要點(diǎn)詮釋：
　　(1)只有當(dāng)時(shí)，方程才是一元二次方程；
　　(2)在求各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)時(shí)注意不要漏掉前面的性質(zhì)符號(hào).
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
4.一元二次方程根的重要結(jié)論
（1）若a+b+c=0,則一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一個(gè)根，則a+b+c=0.
（2）若a-b+c=0,則一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一個(gè)根，則a-b+c=0.
（3）若一元二次方程有一個(gè)根x=0，則c=0；反之也成立，若c=0，則一元二次方程必有一根為0.
類型一、關(guān)于一元二次方程的判定
例1．判定下列方程是不是一元二次方程:
　　(1)； 　(2)．
例2.判定下列方程是否關(guān)于x的一元二次方程：
　　(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a； 　　(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．
【變式】判斷下列各式哪些是一元二次方程．
①；②；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ；⑦ ．
類型二、一元二次方程的一般形式、各項(xiàng)系數(shù)的確定
例3.把下列方程中的各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，并求出各項(xiàng)的系數(shù)：
　　(1)-3x2-4x+2=0； (2)．
例4. 已知關(guān)于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各項(xiàng)的系數(shù)，并指出參數(shù)m的取值范圍．
【變式1】將下列方程化為一元二次方程一般形式，并指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：
（1）； （2）．
【變式2】關(guān)于x的方程的一次項(xiàng)系數(shù)是-1，則a .
類型三、一元二次方程的解（根）
例5.若0是關(guān)于的方程的解，求實(shí)數(shù)的值，并討論此方程解的情況．
例6.已知關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常數(shù)項(xiàng)為0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．
【變式】（1）x=1是的根，則a= .
（2）已知關(guān)于x的一元二次方程 有一個(gè)根是0，求m的值.
一、單選題
1．（2022秋·江蘇徐州·九年級校考期末）下列關(guān)于的方程中，一定是一元二次方程的為（　?。?br/>A． B． C． D．
2．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）根據(jù)關(guān)于的一元二次方程，可列表如下：則方程的正數(shù)解滿足（ ）
A．解的整數(shù)部分是，十分位是 B．解的整數(shù)部分是，十分位是
C．解的整數(shù)部分是，十分位是 D．解的整數(shù)部分是，十分位是
3．（2022秋·江蘇徐州·九年級校考期末）關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是0，則a的值是（　?。?br/>A． B．1 C．1或 D．或0
二、填空題
4．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的方程的一個(gè)根為3，則m的值為_______．
5．（2023春·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）若m是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值為________．
6．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的方程是一元二次方程，則a的值為______．
三、解答題
7．（2023秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）先化簡再求值：，其中a是方程的根．
8．（2022秋·江蘇·九年級期中）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，稱兩個(gè)不同的點(diǎn)P（m，n）和Q（－n，－m）為“反換點(diǎn)”．如：點(diǎn)（一2，1）和（一1，2）是一對“反換點(diǎn)”．
(1)下列函數(shù)：①y＝﹣x＋2；②y＝﹣；③y＝﹣2x2，其中圖象上至少存在一對“反換點(diǎn)”的是 　 ?。ㄖ惶钚蛱?hào)）；
(2)直線y＝x﹣3與反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P，點(diǎn)P和點(diǎn)Q為一對“反換點(diǎn)”若S△OPQ＝6，求k的值；
(3)拋物線y＝﹣x2﹣4x上是否存在一對“反換點(diǎn)”？如果存在，請求出這一對“反換點(diǎn)”所連線段的中點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
一、單選題
1．（2022秋·江蘇連云港·九年級?？茧A段練習(xí)）一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A．3、2、 B．3、2、3 C．3、、3 D．3、、
2．（2022秋·江蘇無錫·九年級校考階段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0，則m＝（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
3．（2022秋·江蘇南京·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）觀察表格中數(shù)據(jù)，一元二次方程的一個(gè)近似解為（　　?。?br/>x
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A． B． C． D．
二、填空題
4．（2022秋·江蘇連云港·九年級?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為______．
5．（2023春·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知m是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值為_________
6．（2023春·江蘇南京·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知方程的兩個(gè)根分別是2、1，則______．
三、解答題
7．（2022秋·九年級課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的方程（m﹣）﹣x＝3，試問：
(1)m為何值時(shí)，該方程是關(guān)于x的一元一次方程？
(2)m為何值時(shí)，該方程是關(guān)于x的一元二次方程？
8．（2022秋·九年級課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0．
(1)m為何值時(shí)，此方程是一元一次方程？求出該一元一次方程的解；
(2)m為何值時(shí)，此方程是一元二次方程？并寫出這個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．
9．（2022秋·江蘇·九年級階段練習(xí)）（1）若方程是關(guān)于x的一元二次方程，求m的取值范圍．
（2）如果是方程的一個(gè)根，求的值．
10．（2022秋·江蘇·九年級階段練習(xí)）已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一個(gè)根，求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）的值．
11．（2022秋·九年級課時(shí)練習(xí)）定義一種新運(yùn)算“a*b”：當(dāng)a≥b時(shí)，a*b＝a＋3b；當(dāng)a＜b時(shí)，a*b＝a－3b，例如：3*（﹣4）＝3＋（﹣12）＝﹣9，（﹣6）*12＝﹣6－36＝﹣42
(1)x2*（x2﹣2）＝30，則x＝ ；
(2)小明在計(jì)算（﹣3x2＋6x﹣5）*（﹣x2＋2x＋3）隨取了一個(gè)x的值進(jìn)行計(jì)算，得到的結(jié)果是40，小華說小明計(jì)算錯(cuò)了，請你說明小華是如何判斷的．
12．（2022秋·九年級課時(shí)練習(xí)）已知方程是關(guān)于的一元二次方程．
（1）求的取值范圍；
（2）若該方程的一次項(xiàng)系數(shù)為，求此方程的根．
13．（2022秋·九年級課時(shí)練習(xí)）當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．
(1)為一元二次方程；
(2)為一元一次方程．
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