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重難點(diǎn)07兩垂一圓構(gòu)造直角三角形模型
1.識(shí)別幾何模型。
2.利用“兩垂一圓構(gòu)造直角三角形”模型解決問題
平面內(nèi)有兩點(diǎn)A，B，再找一點(diǎn)C，使得ABC 為直角三角形
分類討論:
若∠A=90°,則點(diǎn)C在過點(diǎn)A 且垂直于AB 的直線上(除點(diǎn)A外);
若∠B=90°,則點(diǎn)C在過點(diǎn)B且垂直于AB的直線上(除點(diǎn)B外);
若∠C=90°,則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上(除點(diǎn)A,B外).
以上簡稱“兩垂一圓”.
“兩垂一圓”上的點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形,但要除去A,B兩點(diǎn).
一．選擇題（共12小題）
1．已知點(diǎn)A（﹣4，0），B（2，0）．若點(diǎn)C在一次函數(shù)的圖象上，且△ABC是直角三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根據(jù)已知可求得直線與兩軸的交點(diǎn)，分別過點(diǎn)B作垂線，可得出符合題意的點(diǎn)C．
【解答】解：由題意知，直線y＝x+2與x軸的交點(diǎn)為（﹣4，0），與y軸的交點(diǎn)為
（0，2），如圖：
過點(diǎn)B作BC垂直于直線于點(diǎn)C，作C′B⊥AB垂足為B，
故共有2個(gè)點(diǎn)能與點(diǎn)A，點(diǎn)B組成直角三角形．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知一次函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．
2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（﹣1，2）、B（7，8）．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為直角三角形，則滿足條件的C點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】過點(diǎn)A作AB的垂線，交x軸于點(diǎn)C1，交y軸于點(diǎn)C2；過點(diǎn)B作AB的垂線，交x軸于點(diǎn)C3，交y軸于點(diǎn)C4；根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，以AB為直徑作圓，根據(jù)A和B的坐標(biāo)求出AB的長度，即為圓的直徑，可得出半徑的長，進(jìn)而判斷得出圓與x軸相離，可得出圓與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，與y軸交于2點(diǎn)．所以滿足條件的點(diǎn)共有7個(gè)．
【解答】解：分三種情況考慮：當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過A作AC⊥AB，交x軸于點(diǎn)C1，交y軸于點(diǎn)C2，此時(shí)滿足題意的點(diǎn)為C1，C2；
當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過B作BC⊥AB，交x軸于點(diǎn)C3，交y軸于點(diǎn)C4，此時(shí)滿足題意的點(diǎn)為C3，C4；
當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，以AB為直徑作圓，由A（﹣1，2），B（7，8），可得此圓與x軸相切，
則此圓與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，與y軸有2個(gè)交點(diǎn)，分別為C5，C6，C7．
綜上，所有滿足題意的C有7個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理，勾股定理，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想．注意：若△ABC是直角三角形，則它的任意一個(gè)頂點(diǎn)都有可能為直角頂點(diǎn)．
3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，6），點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，若△ABC為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)C共有（　　）
A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)
【分析】過點(diǎn)A作AB的垂線，交x軸于點(diǎn)C1，交y軸于點(diǎn)C2；過點(diǎn)B作AB的垂線，交x軸于點(diǎn)C3，交y軸于點(diǎn)C4；根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，以AB為直徑作圓，根據(jù)A和B的坐標(biāo)求出AB的長度，即為圓的直徑，可得出半徑的長，進(jìn)而判斷得出圓與x軸相離，可得出圓與y軸交于2點(diǎn)．所以滿足條件的點(diǎn)共有6個(gè)．
【解答】解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：
分三種情況考慮：當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過A作AC⊥AB，交x軸于點(diǎn)C1，交y軸于點(diǎn)C2，此時(shí)滿足題意的點(diǎn)為C1，C2；
當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過B作BC⊥⊥AB，交x軸于點(diǎn)C3，交y軸于點(diǎn)C4，此時(shí)滿足題意的點(diǎn)為C3，C4；
當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，以AB為直徑作圓，由A（﹣1，2），B（2，6），得到AB＝5，可得此圓與x軸相離，
則此圓與x軸沒有交點(diǎn)，與y軸有2個(gè)交點(diǎn)，分別為C5，C6．
綜上，所有滿足題意的C有6個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理，勾股定理，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想．注意：若△ABC是直角三角形，則它的任意一個(gè)頂點(diǎn)都有可能為直角頂點(diǎn)．
4．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)B（2，0），若點(diǎn)C在一次函數(shù)y＝﹣的圖象上，且△ABC為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)C有（　　）
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【分析】根據(jù)已知可求得直線與兩軸的交點(diǎn)，①分別過點(diǎn)A、點(diǎn)B作垂線，可得出符合題意的點(diǎn)C，②利用圓周角定理，可得出符合條件的兩個(gè)點(diǎn)C．
【解答】解：由題意知，直線y＝﹣x+2與x軸的交點(diǎn)為（4，0），與y軸的交點(diǎn)為（0，2），如圖：
當(dāng)∠A＝90°時(shí)，
過點(diǎn)A作垂線與直線的交點(diǎn)C1（﹣4，4）；
當(dāng)∠B＝90°時(shí)，過點(diǎn)B作垂線與直線的交點(diǎn)C2（2，1）；
當(dāng)∠C＝90°時(shí)，
過AB中點(diǎn)E（﹣1，0），作垂線與直線的交點(diǎn)為F（﹣1，2.5），則EF＝2.5＜3，
所以以3為半徑，以點(diǎn)E為圓心的圓與直線必有兩個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)C3（x，﹣x+2），
則AC2+BC2＝AB2，即（x+4）2+2（﹣x+2）2+（x﹣2）2＝36，
解得x＝±，
當(dāng)x＝時(shí)，y＝﹣+10；
當(dāng)x＝﹣時(shí)，y＝+10．
故C3（，﹣+10），C4（﹣，+10）．
綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：C1（﹣4，4），C2（2，1），C3（，﹣+10），C4（﹣，+10）．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知一次函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．
5．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（3，0），點(diǎn)P在反比例函數(shù)y＝的圖象上．若△PAB為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（　　）
A．2個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)
【分析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），分∠APB＝90°、∠PAB＝90°和∠PBA＝90°三種情況考慮：當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，以AB為直徑作圓，由圓與雙曲線無交點(diǎn)可知此時(shí)點(diǎn)P不存在；當(dāng)∠PAB＝90°時(shí)，可找出x＝﹣3，進(jìn)而可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)∠PBA＝90°時(shí)，可找出x＝3，進(jìn)而可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．綜上即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，以AB為直徑作圓，如圖所示，
∵圓與雙曲線無交點(diǎn)，
∴點(diǎn)P不存在；
當(dāng)∠PAB＝90°時(shí)，x＝﹣3，
y＝＝﹣3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（﹣3，﹣3）；
當(dāng)∠PBA＝90°時(shí)，x＝3，
y＝＝3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3）．
綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P有2個(gè)．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及直角三角形，依照題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上．在格點(diǎn)上確定點(diǎn)C，使△ABC為直角三角形，且面積為4，則這樣的點(diǎn)C的共有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【分析】根據(jù)三角形的面積求出點(diǎn)C到AB的距離，再判斷出點(diǎn)C的位置即可．
【解答】解：點(diǎn)C的位置如圖所示，共有3個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形面積，判斷出AB∥x軸是解題的關(guān)鍵．
7．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣3，0），（3，0），點(diǎn)P在反比例函數(shù)y＝的圖象上，若△PAB為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（　　）
A．2個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)
【分析】分類討論：①當(dāng)∠PAB＝90°時(shí)，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣3，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征易得P點(diǎn)有1個(gè)；②當(dāng)∠APB＝90°，設(shè)P（x，），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理可得（x+3）2+（）2+（x﹣3）2+（）2＝36，此時(shí)P點(diǎn)有4個(gè)，③當(dāng)∠PBA＝90°時(shí)，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，此時(shí)P點(diǎn)有1個(gè)．
【解答】解：①當(dāng)∠PAB＝90°時(shí)，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣3，把x＝﹣3代入y＝得y＝﹣，所以此時(shí)P點(diǎn)有1個(gè)；
②當(dāng)∠APB＝90°，設(shè)P（x，），PA2＝（x+3）2+（）2，PB2＝（x﹣3）2+（）2，AB2＝（3+3）2＝36，
因?yàn)镻A2+PB2＝AB2，
所以（x+3）2+（）2+（x﹣3）2+（）2＝36，
整理得x4﹣9x2+4＝0，所以x2＝，或x2＝，
所以此時(shí)P點(diǎn)有4個(gè)，
③當(dāng)∠PBA＝90°時(shí)，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，把x＝3代入y＝得y＝，所以此時(shí)P點(diǎn)有1個(gè)；
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)有6個(gè)．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy＝k．
8．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（11，1），點(diǎn)C到直線AB的距離為5，且△ABC是直角三角形，則滿足條件的C點(diǎn)有（　　）
A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)
【分析】當(dāng)∠A＝90°時(shí)，滿足條件的C點(diǎn)2個(gè)；當(dāng)∠B＝90°時(shí)，滿足條件的C點(diǎn)2個(gè)；當(dāng)∠C＝90°時(shí)，滿足條件的C點(diǎn)2個(gè)．所以共有6個(gè)．
【解答】解：∵點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)相等，
∴AB∥x軸，
∵點(diǎn)C到AB距離為5，AB＝10，
∴點(diǎn)C在平行于AB的兩條直線上．
∴過點(diǎn)A的垂線與那兩條直線有2個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)B的垂線與那兩條直線有2個(gè)交點(diǎn)，以AB為直徑的圓與那兩條直線有只有2個(gè)交點(diǎn)（這兩個(gè)兩點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上）．
∴滿足條件的C點(diǎn)共，6個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】用到的知識(shí)點(diǎn)為：到一條直線距離為某個(gè)定值的直線有兩條．△ABC是直角三角形，它的任意一個(gè)頂點(diǎn)都有可能為直角頂點(diǎn)．
9．在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A（﹣2，2），B（3，2），C是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，若△ABC是直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)共有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．4個(gè) D．6個(gè)
【分析】因?yàn)锳，B的縱坐標(biāo)相等，所以AB∥x軸．因?yàn)镃是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，所以過點(diǎn)A向x軸引垂線，過點(diǎn)B向x軸引垂線，分別可得一點(diǎn)，以AB為直徑作圓可與坐標(biāo)軸交于4點(diǎn)．所以滿足條件的點(diǎn)共有6個(gè)．
【解答】解：∵A，B的縱坐標(biāo)相等，
∴AB∥x軸，AB＝3﹣（﹣2）＝5．
∵C是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A向x軸引垂線，可得一點(diǎn)，過點(diǎn)B向x軸引垂線，可得一點(diǎn)，以AB為直徑作圓可與坐標(biāo)軸交于4點(diǎn)．
∴根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是90°，滿足條件的點(diǎn)共有4個(gè)，為C，D，E，H．加上A、B共6個(gè)．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】用到的知識(shí)點(diǎn)為：若△ABC是直角三角形，則它的任意一個(gè)頂點(diǎn)都有可能為直角頂點(diǎn)．
10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣4，0），B（2，0），若點(diǎn)C在一次函數(shù)y＝﹣x+2的圖象上，且△ABC為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)C有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【分析】根據(jù)已知可求得直線與兩軸的交點(diǎn)，①分別過點(diǎn)A、點(diǎn)B作垂線，可得出符合題意的點(diǎn)C，②利用圓周角定理，可得出符合條件的兩個(gè)點(diǎn)C．
【解答】解：由題意知，直線y＝﹣x+2與x軸的交點(diǎn)為（4，0），與y軸的交點(diǎn)為
（0，2），如圖：
過點(diǎn)A作垂線與直線的交點(diǎn)W（﹣4，4），
過點(diǎn)B作垂線與直線的交點(diǎn)S（2，1），
過AB中點(diǎn)E（﹣1，0），作垂線與直線的交點(diǎn)為F（﹣1，2.5），
則EF＝2.5＜3，
所以以3為半徑，以點(diǎn)E為圓心的圓與直線必有兩個(gè)交點(diǎn)
∴共有四個(gè)點(diǎn)能與點(diǎn)A，點(diǎn)B組成直角三角形．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題利用了直角三角形的性質(zhì)和直線與圓的位置求解．
11．如圖，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且△ABC是直角三角形，則滿足條件的C點(diǎn)有（　　）個(gè)．
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】過點(diǎn)A作AB的垂線，交x軸于點(diǎn)C1，交y軸于點(diǎn)C2；過點(diǎn)B作AB的垂線，交x軸于點(diǎn)C3，交y軸于點(diǎn)C4；根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，以AB為直徑作圓，根據(jù)A和B的坐標(biāo)求出AB的長度，即為圓的直徑，可得出半徑的長，進(jìn)而判斷得出圓與y軸相切，可得出圓與y軸有1個(gè)交點(diǎn)，與x軸交于2點(diǎn)．所以滿足條件的點(diǎn)共有7個(gè)．
【解答】解：分三種情況考慮：
①當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過A作AC⊥AB，交x軸于點(diǎn)C1，交y軸于點(diǎn)C2，此時(shí)滿足題意的點(diǎn)為C1，C2；
②當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過B作BC⊥AB，交x軸于點(diǎn)C3，交y軸于點(diǎn)C4，此時(shí)滿足題意的點(diǎn)為C3，C4；
③當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，以AB為直徑作圓，由A（2，6）、B（8，﹣2），可得此圓與y軸相切，
則此圓與y軸有1個(gè)交點(diǎn)，與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，分別為C5，C6，C7．
綜上，所有滿足題意的C有7個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理，直角三角形以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想．注意：若△ABC是直角三角形，則它的任意一個(gè)頂點(diǎn)都有可能為直角頂點(diǎn)．
二．填空題（共3小題）
12．如圖，已知點(diǎn)A（﹣6，0），B（2，0），點(diǎn)C在直線y＝﹣x+3上，則使△ABC是直角三角形的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為 　4　．
【分析】（方法一）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，﹣m+3），利用兩點(diǎn)間的距離公式找出AC2，BC2，AB2的值，分∠BAC＝90°、∠ABC＝90°及∠ACB＝90°三種情況找出m的值（或利用根的判別式確定m解的個(gè)數(shù)）；
（方法二）過點(diǎn)A作AC1⊥x軸，交直線y＝﹣x+3于點(diǎn)C1，此時(shí)∠BAC1＝90°；過點(diǎn)B作BC2⊥x軸，交直線y＝﹣x+3于點(diǎn)C2，此時(shí)∠ABC2＝90°；以AB為直徑作圓，交直線y＝﹣x+3于點(diǎn)C3，C4，此時(shí)∠AC3B＝∠AC4B＝90°．
【解答】解：（方法一）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，﹣m+3），
則AC2＝（m+6）2+（﹣m+3）2＝m2+m+45，BC2＝（m﹣2）2+（﹣m+3）2＝m2﹣m+13，AB2＝（﹣6﹣2）2＝64．
①當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，BC2＝AC2+AB2，
即m2﹣m+13＝m2+m+45+64，
∴m＝﹣6；
②當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，AC2＝BC2+AB2，
即m2+m+45＝m2﹣m+13+64，
∴m＝2；
③當(dāng)∠ACB＝90°時(shí)，AB2＝AC2+BC2，
即64＝m2+m+45+m2﹣m+13，
整理，得：25m2﹣8m﹣48＝0．
∵△＝（﹣8）2﹣4×25×（﹣48）＝4864＞0，
∴關(guān)于m的方程25m2﹣8m﹣48＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，
∴此時(shí)點(diǎn)C有兩個(gè)．
綜上所述：使△ABC是直角三角形的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為4．
故答案為：4．
（方法二）過點(diǎn)A作AC1⊥x軸，交直線y＝﹣x+3于點(diǎn)C1，此時(shí)∠BAC1＝90°；
過點(diǎn)B作BC2⊥x軸，交直線y＝﹣x+3于點(diǎn)C2，此時(shí)∠ABC2＝90°；
以AB為直徑作圓，交直線y＝﹣x+3于點(diǎn)C3，C4，此時(shí)∠AC3B＝∠AC4B＝90°（此處需驗(yàn)證線段AB的中點(diǎn)到直線y＝﹣x+3的距離小于4）；
綜上所述：使△ABC是直角三角形的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為4．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是：（方法一）利用勾股定理，找出關(guān)于m的方程；（方法二）利用數(shù)形結(jié)合，找出點(diǎn)C的位置．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（4，0），B（0，3），以AB為一邊在△AOB外部作等腰直角△ABC．則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 　（7，4）或（3，7）或（）　．
【分析】分三種情形討論求解即可．當(dāng)AB＝AC，∠BAC＝90°時(shí)，作CE⊥x軸于E．由△AOB≌△CEA（AAS），推出AE＝OB＝3，CE＝OA＝1，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，同法可得，當(dāng)AB＝BC′，∠ABC′＝90°，C′（3，4），當(dāng)AB是等腰直角三角形的斜邊時(shí)，C″是BC的中點(diǎn)，C″（2，2）．
【解答】解：如圖，當(dāng)AB＝AC，∠BAC＝90°時(shí)，作CE⊥x軸于E．
∵∠BAC＝∠AOB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠OAB+∠CAE＝90°，
∴∠ABO＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△AOB≌△CEA（AAS），
∴AE＝OB＝3，CE＝OA＝4，
∴C（7，4），
同法可得，當(dāng)AB＝BC′，∠ABC′＝90°，C′（3，7），
當(dāng)AB是等腰直角三角形的斜邊時(shí)，C″是BC的中點(diǎn)，C″（，），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7，4）或（3，7）或（，）．
故答案為：（7，4）或（3，7）或（，）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．
14．如圖，已知點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（1，2），在y軸正半軸上確定點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為 　（0，3）或（0，1+）　．
【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，過B作BP⊥AB，交y軸于P，過B作BD⊥CP于D，則∠ABP＝90°，BD＝1，依據(jù)△BCP是等腰直角三角形，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，△ABP是直角三角形，依據(jù)C為AB的中點(diǎn)，AB＝2，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：如圖，過B作BP⊥AB，交y軸于P，過B作BD⊥CP于D，則∠ABP＝90°，BD＝1，
∵點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（1，2），
∴直線AB的表達(dá)式為y＝x+1，
令x＝0，則y＝1，
∴C（0，1），即OC＝1＝OA，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°＝∠BCP，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴CP＝2BD＝2，
∴OP＝1+2＝3，
∴P（0，3）；
如圖，當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，△ABP是直角三角形，
∵點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（1，2），點(diǎn)C（0，1），
∴C為AB的中點(diǎn)，AB＝2，
∴CP＝AB＝，
∴OP＝1+，
∴P（0，1+），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3）或（0，1+）．
故答案為：（0，3）或（0，1+）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)和直角三角形的判定．要把所有的情況都考慮進(jìn)去，不要漏掉某種情況．
三．解答題（共1小題）
15．圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙的每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B在小正方形的頂點(diǎn)上．
（1）在圖1中畫出△ABC（點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上），使△ABC為直角三角形，并且面積為4；（畫一個(gè)即可）
（2）在圖1中畫出△ABC（點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上），使△ABC為鈍角三角形，并且面積為4．（畫一個(gè)即可）
【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式可知，做一個(gè)長為4，寬為2的直角三角形即可；
（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)和鈍角三角形的定義做一個(gè)鈍角三角形使它的底為2，高為4即可；
【解答】解：（1）如圖1：
（2）如圖2：
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，熟練掌握并利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵，做這類題時(shí)，注意要嚴(yán)格按要求來做．
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)重難點(diǎn)07兩垂一圓構(gòu)造直角三角形模型
1.識(shí)別幾何模型。
2.利用“兩垂一圓構(gòu)造直角三角形”模型解決問題
平面內(nèi)有兩點(diǎn)A，B，再找一點(diǎn)C，使得ABC 為直角三角形
分類討論:
若∠A=90°,則點(diǎn)C在過點(diǎn)A 且垂直于AB 的直線上(除點(diǎn)A外);
若∠B=90°,則點(diǎn)C在過點(diǎn)B且垂直于AB的直線上(除點(diǎn)B外);
若∠C=90°,則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上(除點(diǎn)A,B外).
以上簡稱“兩垂一圓”.
“兩垂一圓”上的點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形,但要除去A,B兩點(diǎn).
一．選擇題（共12小題）
1．已知點(diǎn)A（﹣4，0），B（2，0）．若點(diǎn)C在一次函數(shù)的圖象上，且△ABC是直角三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（﹣1，2）、B（7，8）．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為直角三角形，則滿足條件的C點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，6），點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，若△ABC為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)C共有（　　）
A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)
4．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)B（2，0），若點(diǎn)C在一次函數(shù)y＝﹣的圖象上，且△ABC為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)C有（　　）
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
5．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（3，0），點(diǎn)P在反比例函數(shù)y＝的圖象上．若△PAB為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（　　）
A．2個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)
6．如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上．在格點(diǎn)上確定點(diǎn)C，使△ABC為直角三角形，且面積為4，則這樣的點(diǎn)C的共有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
7．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣3，0），（3，0），點(diǎn)P在反比例函數(shù)y＝的圖象上，若△PAB為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（　　）
A．2個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)
8．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（11，1），點(diǎn)C到直線AB的距離為5，且△ABC是直角三角形，則滿足條件的C點(diǎn)有（　　）
A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)
9．在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A（﹣2，2），B（3，2），C是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，若△ABC是直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)共有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．4個(gè) D．6個(gè)
10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣4，0），B（2，0），若點(diǎn)C在一次函數(shù)y＝﹣x+2的圖象上，且△ABC為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)C有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
11．如圖，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且△ABC是直角三角形，則滿足條件的C點(diǎn)有（　　）個(gè)．
A．6 B．7 C．8 D．9
二．填空題（共3小題）
12．如圖，已知點(diǎn)A（﹣6，0），B（2，0），點(diǎn)C在直線y＝﹣x+3上，則使△ABC是直角三角形的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為 　　．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（4，0），B（0，3），以AB為一邊在△AOB外部作等腰直角△ABC．則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 　　 ．
14．如圖，已知點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（1，2），在y軸正半軸上確定點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為 　 　．
三．解答題（共1小題）
15．圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙的每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B在小正方形的頂點(diǎn)上．
（1）在圖1中畫出△ABC（點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上），使△ABC為直角三角形，并且面積為4；（畫一個(gè)即可）
（2）在圖1中畫出△ABC（點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上），使△ABC為鈍角三角形，并且面積為4．（畫一個(gè)即可）
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