資源簡介

蘇科版新九年級暑期成果評價卷
測試范圍：一元二次方程、對稱圖形——圓
一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
1．（3分）已知下列方程：①x2﹣2＝；②x＝0；③＝x﹣3；④x2﹣4＝3x；⑤x﹣1；⑥x﹣y＝6，其中一元二次方程有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
2．（3分）已知點P在半徑為5cm的圓內，則點P到圓心的距離可以是（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
3．（3分）把方程“2x2+3x﹣1＝0”轉化為“（x+p）2＝q”的形式，則（　　）
A．， B．，
C．， D．，
4．（3分）若A，B，C是⊙O上三點，∠ABC＝150°，AC＝6，則⊙O的半徑是（　　）
A． B． C．6 D．
5．（3分）將方程2x2＝3x﹣5化成一般形式（二次項系數為正）后，它的一次項系數與常數項分別是（　　）
A．3，﹣5 B．﹣3，﹣5 C．﹣3，5 D．3，5
6．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，PB，PC分別與⊙O相切于點B，C，過點C作AB的垂線，垂足為E，交⊙O于點D．若CD＝PB＝2，則BE長為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（3分）中國男子籃球職業聯賽（簡稱：CBA），分常規賽和季后賽兩個階段進行，采用主客場賽制（也就是參賽的每兩個隊之間都進行兩場比賽）．2022﹣2023CBA常規賽共要賽240場，則參加比賽的隊共有（　　）
A．80個 B．120個 C．15個 D．16個
8．（3分）閱讀圖中的材料，解答下面的問題：已知⊙O是一個正十二邊形的外接圓，該正十二邊形的半徑為1，如果用它的面積來近似估計⊙O的面積，則⊙O的面積約是（　　）
A．3 B．3.1 C．3.14 D．π
二．填空題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
9．（3分）若關于x的方程x2+mx﹣n＝0有一個根是3，則3m﹣n的值是　 　．
10．（3分）如圖，圓錐母線長BC＝18cm，若底面圓的半徑OB＝4cm，則側面展開扇形圖的圓心角為　 　．
11．（3分）如圖，點A、B、C、D、E在⊙O上，弧AB度數為32°，則∠E+∠C＝　 　．
12．（3分）關于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一個根是2，則m的值為　 　．
13．（3分）我國古代數學經典著作《九章算術》，中記載了一個這樣的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺四寸，問徑幾何？”意思是：有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小．用鋸去鋸這木材，鋸口深DE＝1寸，鋸道長AB＝14寸（1尺＝10寸）．則這根圓形木材的直徑是　 　寸．
14．（3分）某工廠生產一款零件的成本為500元，經過兩年的技術創新，現在生產這款零件的成本為405元，求該款零件成本平均每年的下降率是多少？設該款零件成本平均每年的下降率為x，可列方程為 　 　．
15．（3分）已知△ABC的周長為20，△ABC的內切圓與邊AB相切于點D，AD＝4，那么BC＝　 　．
16．（3分）對于實數a，b，定義運算“*”：．例如4*2，因為4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的兩個根，則x1*x2＝　 　．
17．（3分）在平面直角坐標系xOy中，以點（3，4）為圓心，4為半徑的圓與x軸所在直線的位置關系是 　 　．
18．（3分）如圖，在等腰直角△ABC中，斜邊AB的長度為8，以AC為直徑作圓，點P為半圓上的動點，連接BP，取BP的中點M，則CM的最小值為 　 　．
三．解答題（共10小題，滿分96分）
19．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣16＝0； （2）2（x﹣1）2＝3x﹣3．
20．（8分）已知，如圖，A、B、C、D是⊙O上的點，∠AOB＝∠COD．求證：AC＝BD．
21．（8分）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天能售出20件，每件盈利40元．經調查發現：如果這種襯衫的售價每降低1元時，平均每天能多售出2件．設每件襯衫降價x元．
（1）降價后，每件襯衫的利潤為　 　元，銷量為　 　件；（用含x的式子表示）
（2）為了擴大銷售，盡快減少庫存，商場決定采取降價措施．但需要平均每天盈利1200元，求每件襯衫應降價多少元？
22．（8分）如圖，直角坐標系中，有一條圓心角為90°的圓弧，且該圓弧經過網格點A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）．
（1）該圓弧所在圓的圓心M坐標為 　 　．
（2）求扇形AMC的面積．
23．（10分）已知關于x的一元二次方程x2+（3﹣k）x+2﹣k＝0．
（1）求證：此方程總有兩個實數根；
（2）若此方程恰有一個根大于1，求k的取值范圍．
24．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，且CD⊥AB垂足為M，∠CAB的平分線AE交⊙O于點E，過點E作EF⊥AC交AC的延長線于點F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若CD＝24，＝，求EF的長．
25．（10分）某日王老師佩戴運動手環進行快走鍛煉，兩次鍛煉后數據如下表．與第一次鍛煉相比，王老師第二次鍛煉步數增長的百分率是其平均步長減少的百分率的3倍．設王老師第二次鍛煉時平均步長減少的百分率為x（0＜x＜0.5）．
注：1．步數×平均步長＝距離．
2．運動手環，其功能一般會包括計步、運動距離和速度、能量消耗、心率測量、睡眠監測、久坐提醒等
項目 第一次鍛煉 第二次鍛煉
步數（步） 10000 ①　 　
平均步長（米/步） 0.6 ②　 　
距離（米） 6000 7020
（1）根據題意完成表格填空；
（2）求x；
（3）王老師發現好友中步數排名第一為24000步，因此在兩次鍛煉結束后又走了500米，使得總步數恰好為24000步，求王老師這500米的平均步長．
26．（10分）如圖，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分線，A是射線OM上一點，OA＝8cm．動點P從點A出發，以1cm/s的速度沿AO水平向左做勻速運動，與此同時，動點Q從點O出發，也以1cm/s的速度沿ON豎直向上做勻速運動．連接PQ，交OT于點B．經過O、P、Q三點作圓，交OT于點C，連接PC、QC．設運動時間為t（s），其中0＜t＜8．
（1）求OP+OQ的值；
（2）求四邊形OPCQ的面積．
27．（12分）我們在解決數學問題時，經常采用“轉化”（或“化歸”）的思想方法，即把待解決的問題，通過轉化歸結到一類已解決或比較容易解決的問題．
譬如，求解一元二次方程，通常把它轉化為兩個一元一次方程來解；求解分式方程，通常把它轉化為整式方程來解，只是因為分式方程“去分母”時可能產生增根，所以解分式方程必須檢驗．
請你運用上述把“未知”轉化為“已知”的數學思想，解決下列問題．
（1）解方程：x3+x2﹣2x＝0；
（2）解方程：＝x；
（3）如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD＝8m，寬AB＝3m，小華把一根長為10m的繩子的一端固定在點B，沿草坪邊沿BA、AD走到點P處，把長繩PB段拉直并固定在點P，然后沿草坪邊沿PD、DC走到點C處，把長繩剩下的一段拉直，長繩的另一端恰好落在點C．求AP的長．
28．（12分）如圖1，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于G，點C是的中點，點F是的中點，BC與EF交于點H：
（1）求證：FB＝FH；
（2）如圖2，當點G為半徑OA的中點時．求的值；
（3）如圖3，當＝　 　時．弦EF恰好經過圓心O．
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測試范圍：一元二次方程、對稱圖形——圓
一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
1．（3分）已知下列方程：①x2﹣2＝；②x＝0；③＝x﹣3；④x2﹣4＝3x；⑤x﹣1；⑥x﹣y＝6，其中一元二次方程有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【分析】根據一元二次方程的定義，可以找出③④是一元二次方程，進而可得出其中一元二次方程有2個．
【解答】解：①方程x2﹣2＝是分式方程，不符合題意；
②方程x＝0是一元一次方程，不符合題意；
③方程＝x﹣3是一元二次方程，符合題意；
④方程x2﹣4＝3x是一元二次方程，符合題意；
⑤x﹣1不是方程，不符合題意；
⑥方程x﹣y＝6是二元一次方程，不符合題意．
∴是一元二次方程的有③④，即其中一元二次方程有2個．
故選：A．
【點評】本題考查了一元二次方程的定義，牢記“只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程”是解題的關鍵．
2．（3分）已知點P在半徑為5cm的圓內，則點P到圓心的距離可以是（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【分析】直接根據點與圓的位置關系進行判斷．
【解答】解：∵點P在半徑為5cm的圓內，
∴點P到圓心的距離小于5cm，
所以只有選項A符合，選項B、C、D都不符合；
故選：A．
【點評】本題考查了點與圓的位置關系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．
3．（3分）把方程“2x2+3x﹣1＝0”轉化為“（x+p）2＝q”的形式，則（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【分析】先移項，再將一元二次方程的二次項系數化為1，然后在方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方．
【解答】解：2x2+3x﹣1＝0，
2x2+3x＝1，
x2+x＝，
x2+x+＝+，即（x+）2＝，
則p＝，q＝，
故選：B．
【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．注意方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方．
4．（3分）若A，B，C是⊙O上三點，∠ABC＝150°，AC＝6，則⊙O的半徑是（　　）
A． B． C．6 D．
【分析】⊙O的優弧AC上取一點D，連接AD、CD，連接OA、OC，∠ADC＝180°﹣∠ABC＝30°，根據圓周角定理求得∠AOC＝2∠ADC＝60°，根據等邊三角形的判定定理知△AOB是等邊三角形，所以等邊三角形的三條邊相等，即可求解．
【解答】解：⊙O的優弧AC上取一點D，連接AD、CD，連接OA、OC，
∵∠ABC＝150°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OA＝OC＝AC＝6，
∴⊙O的半徑是6．
故選：C．
【點評】本題考查了圓周角定理和等邊三角形的判定與性質．解答該題時，利用圓周角定理要注意圓心角與圓周角的定義，只有三個點都在圓上所組成的角才稱之為圓周角．
5．（3分）將方程2x2＝3x﹣5化成一般形式（二次項系數為正）后，它的一次項系數與常數項分別是（　　）
A．3，﹣5 B．﹣3，﹣5 C．﹣3，5 D．3，5
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．據此作答．
【解答】解：將方程2x2＝3x﹣5化成一般形式（二次項系數為正）后為2x2﹣3x+5＝0，
它的二次項系數是2，一次項系數是﹣3，常數項是5．
故選：C．
【點評】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，要確定一次項系數和常數項，首先要把方程化成一般形式．
6．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，PB，PC分別與⊙O相切于點B，C，過點C作AB的垂線，垂足為E，交⊙O于點D．若CD＝PB＝2，則BE長為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】作CH⊥PB于H，由垂徑定理得到CE的長，從而求出PH的長，由勾股定理求出CH的長，即可求出BE的長．
【解答】解：作CH⊥PB于H，
∵直徑AB⊥CD于H，
∴CE＝DE＝CD＝，
∵PC，PB分別切⊙O于C，B，
∴PB＝PC＝CD＝2，直徑AB⊥PB，
∴四邊形ECHB是矩形，
∴BH＝CE＝，BE＝CH，
∴PH＝PB﹣BH＝2﹣＝，
∴CH＝＝＝3，
∴BE＝CH＝3．
故選：C．
【點評】本題考查切線的性質，切線長定理，勾股定理，關鍵是通過輔助線構造直角三角形，應用勾股定理求出CH的長．
7．（3分）中國男子籃球職業聯賽（簡稱：CBA），分常規賽和季后賽兩個階段進行，采用主客場賽制（也就是參賽的每兩個隊之間都進行兩場比賽）．2022﹣2023CBA常規賽共要賽240場，則參加比賽的隊共有（　　）
A．80個 B．120個 C．15個 D．16個
【分析】設參加比賽的隊共有x支，由題意：參賽的每兩個隊之間都進行兩場比賽，2022﹣2023CBA常規賽共要賽240場，列出方程，解方程即可．
【解答】解：設參加比賽的隊共有x支，
由題意得：x（x﹣1）＝240，
解得：x1＝16，x2＝﹣15（不合題意舍去），
即參加比賽的隊共有16個，
故選：D．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
8．（3分）閱讀圖中的材料，解答下面的問題：已知⊙O是一個正十二邊形的外接圓，該正十二邊形的半徑為1，如果用它的面積來近似估計⊙O的面積，則⊙O的面積約是（　　）
A．3 B．3.1 C．3.14 D．π
【分析】設AB為正十二邊形的邊，連接OB，過A作AD⊥OB于D，由正十二邊形的性質得出∠AOB＝30°，由直角三角形的性質得出AD＝OA＝，求出△AOB的面積＝OB AD＝，即可得出答案．
【解答】解：設AB為正十二邊形的邊，連接OB，過A作AD⊥OB于D，如圖所示：
∴∠AOB＝＝30°，
∵AD⊥OB，
∴AD＝OA＝，
∴△AOB的面積＝OB×AD＝×1×＝，
∴正十二邊形的面積＝12×＝3，
∴⊙O的面積≈正十二邊形的面積＝3，
故選：A．
【點評】本題考查了正多邊形和圓、正十二邊形的性質、直角三角形的性質以及三角形面積等知識；熟練掌握正十二邊形的性質是解題的關鍵．
二．填空題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
9．（3分）若關于x的方程x2+mx﹣n＝0有一個根是3，則3m﹣n的值是　﹣9　．
【分析】根據一元二次方程的解的定義得到32+3m﹣n＝0，易得到3m﹣n的值．
【解答】解：依題意得：32+3m﹣n＝0，
整理，得9+3m﹣n＝0．
解得3m﹣n＝﹣9．
故答案是：﹣9．
【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
10．（3分）如圖，圓錐母線長BC＝18cm，若底面圓的半徑OB＝4cm，則側面展開扇形圖的圓心角為　80°　．
【分析】設圓錐的側面展開扇形圖的圓心角為n°，由于圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則根據弧長公式得到2π×4＝，然后解方程即可．
【解答】解：設圓錐的側面展開扇形圖的圓心角為n°，
根據題意得2π×4＝，
解得n＝80，
即圓錐的側面展開扇形圖的圓心角為80°．
故答案為80°．
【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
11．（3分）如圖，點A、B、C、D、E在⊙O上，弧AB度數為32°，則∠E+∠C＝　164°　．
【分析】連接EA，根據圓周角定理求出∠AEB，根據圓內接四邊形的性質得到∠C+∠AED＝180°，計算即可．
【解答】解：如圖，連接EA．
∵弧AB度數為32°，
∴∠AEB＝16°，
∵四邊形ACDE為⊙O的內接四邊形，
∴∠C+∠AED＝180°，
∴∠C+∠BED＝180°﹣16°＝164°，
故答案為：164°．
【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．
12．（3分）關于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一個根是2，則m的值為　﹣　．
【分析】把x＝2代入關于的x方程x2+mx+3＝0，得到關于m的新方程，通過解新方程來求m的值．
【解答】解：∵x＝2是關于的x方程x2+mx+3＝0的一個根，
∴4+2m+3＝0，
解得m＝﹣．
故答案為：﹣．
【點評】本題考查了一元二次方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值．即用這個數代替未知數所得式子仍然成立．
13．（3分）我國古代數學經典著作《九章算術》，中記載了一個這樣的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺四寸，問徑幾何？”意思是：有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小．用鋸去鋸這木材，鋸口深DE＝1寸，鋸道長AB＝14寸（1尺＝10寸）．則這根圓形木材的直徑是　50　寸．
【分析】由題意得OE⊥AB，由垂徑定理可得AD＝BD＝AB＝7寸，設半徑OA＝OE＝r寸，則OD＝r﹣1，在Rt△OAD中，根據勾股定理得出方程，解方程即可解決問題．
【解答】解：由題意可知OE⊥AB，
∵OE為⊙O半徑，AB＝14寸，
∴AD＝BD＝AB＝7寸，
設半徑OA＝OE＝r寸，
∵ED＝1，
∴OD＝r﹣1，
則Rt△OAD中，根據勾股定理可得：（r﹣1）2+72＝r2，
解得：r＝25，
∴木材直徑為2×25＝50（寸）；
故答案為：50．
【點評】本題考查垂徑定理以及勾股定理的應用；熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．
14．（3分）某工廠生產一款零件的成本為500元，經過兩年的技術創新，現在生產這款零件的成本為405元，求該款零件成本平均每年的下降率是多少？設該款零件成本平均每年的下降率為x，可列方程為 　500（1﹣x）2＝405　．
【分析】由等量關系：原來成本價×（1﹣平均每次降低成本的百分數）2＝現在的成本，即可得出答案．
【解答】解：設平均每次降低成本的百分數是x．
第一次降價后的價格為：500（1﹣x）元，第二次降價后的價格是：500（1﹣x）（1﹣x）元，
∴500（1﹣x）2＝405，
故答案為：500（1﹣x）2＝405．
【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程．掌握“變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經過兩次變化后的數量關系為a（1±x）2＝b“是解決問題的關鍵．
15．（3分）已知△ABC的周長為20，△ABC的內切圓與邊AB相切于點D，AD＝4，那么BC＝　6　．
【分析】畫圖，設△ABC的內切圓與邊AC、BC分別相切于點E、F，BD＝x，CF＝y，由切線長定理和三角形的周長列出等式2x+2y+8＝20，求得x+y即可．
【解答】解：如圖，
設BD＝x，CF＝y，則BF＝x，CE＝y，
∵△ABC的周長為20，
∴2x+2y+8＝20，
∴x+y＝6，
∴BC＝x+y＝6．
故答案為：6．
【點評】本題考查了三角形的內切圓和切線長定理，是基礎知識比較簡單．
16．（3分）對于實數a，b，定義運算“*”：．例如4*2，因為4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的兩個根，則x1*x2＝　10或6　．
【分析】先求方程x2﹣8x+15＝0的兩個根，再根據所給定義計算答案即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的兩個根，
∴（x﹣5）（x﹣3）＝0，
解得：x＝5或3，
①當x1＝5，x2＝3時，x1*x2＝52﹣5×3＝25﹣15＝10；
②當x1＝3，x2＝5時，x1*x2＝3×5﹣32＝15﹣9＝6．
故x1*x2＝10或6．
故答案為：10或6．
【點評】本題主要考查因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解決新問題，根據已知進行分類討論是解題關鍵．
17．（3分）在平面直角坐標系xOy中，以點（3，4）為圓心，4為半徑的圓與x軸所在直線的位置關系是 　相切　．
【分析】求出圓心到x軸的距離，再根據圓心到直線的距離與半徑的大小關系得出答案．
【解答】解：如圖，
∵點P（3，4），
∴PA＝4，PB＝3，
又∵PA＝r＝4，
∴⊙P與x軸相切，
故答案為：相切．
【點評】本題考查直線與圓的位置的關系，理解圓心到直線的距離與半徑的關系是正確判斷直線與位置關系的基本方法．
18．（3分）如圖，在等腰直角△ABC中，斜邊AB的長度為8，以AC為直徑作圓，點P為半圓上的動點，連接BP，取BP的中點M，則CM的最小值為 　　．
【分析】如圖，連接PA、PC，取AB、BC的中點E、F，連接EF、EM、FM．首先證明∠EMF＝90°，推出點M的軌跡是，即EF為直徑的半圓，圖中紅線部分，求出OM，OC即可解決問題．
【解答】解：如圖，連接PA、PC，取AB、BC的中點E、F，連接EF、EM、FM，取EF的中點O，連接OM，OC，CM．
∵AC是直徑，
∴∠APC＝90°，
∵BE＝EA，BM＝MP，
∴EM∥PA，
同理FM∥PC，
∴∠BME＝∠BPA，∠BMF＝∠BPC，
∴∠BME+∠BMF＝∠BPA+∠BPC＝90°，
∴∠EMF＝90°，
∴點M的軌跡是（EF為直徑的半圓，圖中紅線部分），
∵BC＝AC，∠ACB＝90°，AB＝8，
∴AC＝BC＝4，
∵AE＝EB，BF＝CF＝2，
∴EF＝AC＝2，EF∥AC，
∴∠EFB＝∠EFC＝∠ACB＝90°，OE＝OF＝OM＝，
∴OC＝＝＝，
∵CM≥OC﹣OM，
∴CM≥﹣．
則CM的最小值為．
故答案為：﹣．
【點評】本題考查軌跡、等腰直角三角形的性質、圓的有關知識，解直角三角形等知識，解題的關鍵是正確尋找點M的運動軌跡，屬于填空題中的壓軸題．
三．解答題（共10小題，滿分96分）
19．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣16＝0；
（2）2（x﹣1）2＝3x﹣3．
【分析】（1）利用直接開平方法求解即可；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）x2﹣16＝0，
x2＝16，
x＝±4，
∴x1＝4，x2＝﹣4；
（2）方程整理得：2（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0，
分解因式得：（x﹣1）[2（x﹣1）﹣3]＝0，
所以，x﹣1＝0或2（x﹣1）﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝．
【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，根據不同的方程選擇合適的方法是解題的關鍵．
20．（8分）已知，如圖，A、B、C、D是⊙O上的點，∠AOB＝∠COD．求證：AC＝BD．
【分析】根據圓心角、弧、弦之間的關系定理得到∠AOC＝∠BOD，進而證明結論．
【解答】證明：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝BD．
【點評】本題考查的是圓心角、弧、弦之間的關系定理，在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．
21．（8分）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天能售出20件，每件盈利40元．經調查發現：如果這種襯衫的售價每降低1元時，平均每天能多售出2件．設每件襯衫降價x元．
（1）降價后，每件襯衫的利潤為　（40﹣x）　元，銷量為　（20+2x）　件；（用含x的式子表示）
（2）為了擴大銷售，盡快減少庫存，商場決定采取降價措施．但需要平均每天盈利1200元，求每件襯衫應降價多少元？
【分析】（1）根據“這種襯衫的售價每降低1元時，平均每天能多售出2件”結合每件襯衫的原利潤及降價x元，即可得出降價后每件襯衫的利潤及銷量；
（2）根據總利潤＝每件利潤×銷售數量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結論．
【解答】解：（1）∵每件襯衫降價x元，
∴每件襯衫的利潤為（40﹣x）元，銷量為（20+2x）件．
故答案為：（40﹣x）；（20+2x）．
（2）依題意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，
∴x＝20．
答：每件襯衫應降價20元．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
22．（8分）如圖，直角坐標系中，有一條圓心角為90°的圓弧，且該圓弧經過網格點A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）．
（1）該圓弧所在圓的圓心M坐標為 　（﹣2，0）　．
（2）求扇形AMC的面積．
【分析】（1）根據垂徑定理結合網格的性質可得答案；
（2）借助網格求出半徑，再利用弧長公式進行計算即可．
【解答】解：（1）由垂徑定理可知，圓心是AB、BC中垂線的交點，
由網格可得該點M（﹣2，0），
故答案為：（﹣2，0）；
（2）∵扇形的半徑r＝，
∵∠AMC＝90°，
∴S扇形AMC＝
＝
＝5π．
【點評】本題考查弧長的計算、垂徑定理，掌握垂徑定理以及網格特征是確定圓心坐標的關鍵，求出弧所在圓的半徑和相應圓心角度數是求弧長的前提．
23．（10分）已知關于x的一元二次方程x2+（3﹣k）x+2﹣k＝0．
（1）求證：此方程總有兩個實數根；
（2）若此方程恰有一個根大于1，求k的取值范圍．
【分析】（1）先計算判別式的值，利用非負數的性質判斷Δ≥0，然后根據判別式的意義得到結論．
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝﹣1，x2＝k﹣2，根據方程有一根大于1，即可得出關于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍．
【解答】（1）證明：∵Δ＝（3﹣k）2﹣4×（2﹣k）
＝k2﹣2k+1
＝（k﹣1）2≥0，
∴方程總有兩個實數根．
（2）解：∵x2+（3﹣k）x+2﹣k＝（x+1）（x+2﹣k）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝k﹣2．
∵方程有一個根大于1，
∴k﹣2＞1，解得：k＞3，
∴k的取值范圍為k＞3．
【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．也考查了解一元二次方程以及解不等式．
24．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，且CD⊥AB垂足為M，∠CAB的平分線AE交⊙O于點E，過點E作EF⊥AC交AC的延長線于點F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若CD＝24，＝，求EF的長．
【分析】（1）根據角平分線的定義得到∠EAF＝∠EAB，求得∠EAF＝∠AEO，根據平行線的性質得到OE⊥EF，根據切線的判定定理即可得到結論；
（2）根據垂徑定理得到CM＝CD＝12設AM＝4x，BM＝9x，根據相似三角形的性質得到AM＝8，BM＝18，根據勾股定理得到BC＝＝6，設OE與BC交于H，于是得到結論．
【解答】（1）證明：∵AE平分∠BAF，
∴∠EAF＝∠EAB，
∵OA＝OE，
∴∠EAB＝∠AEO，
∴∠EAF＝∠AEO，
∴OE∥AF，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半徑，
∴EF是⊙O的切線；
（2）解：AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴CM＝CD＝12，
∵＝，
設AM＝4x，BM＝9x，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠BCM＝∠ACM+∠CAM＝90°，
∴∠CAM＝∠BCM，
∴△ACM∽△CBM，
∴＝，
∴CM2＝AM BM，
∴122＝4x 9x，
∴x＝2（負值舍去），
∴AM＝8，BM＝18，
∴BC＝＝6，
設OE與BC交于H，
∵∠F＝∠FEO＝∠FCH＝90°，
∴四邊形CHEF是矩形，
∴∠CHE＝90°，CH＝EF，
∴CH＝EF＝BC＝3，
故EF的長的長為3．
【點評】本題考查了切線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，矩形的判定和性質，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵．
25．（10分）某日王老師佩戴運動手環進行快走鍛煉，兩次鍛煉后數據如下表．與第一次鍛煉相比，王老師第二次鍛煉步數增長的百分率是其平均步長減少的百分率的3倍．設王老師第二次鍛煉時平均步長減少的百分率為x（0＜x＜0.5）．
注：1．步數×平均步長＝距離．
2．運動手環，其功能一般會包括計步、運動距離和速度、能量消耗、心率測量、睡眠監測、久坐提醒等
項目 第一次鍛煉 第二次鍛煉
步數（步） 10000 ①　10000（1+3x）　
平均步長（米/步） 0.6 ②　0.6（1﹣x）　
距離（米） 6000 7020
（1）根據題意完成表格填空；
（2）求x；
（3）王老師發現好友中步數排名第一為24000步，因此在兩次鍛煉結束后又走了500米，使得總步數恰好為24000步，求王老師這500米的平均步長．
【分析】（1）①直接利用王老師第二次鍛煉步數增長的百分率是其平均步長減少的百分率的3倍，得出第二次鍛煉的步數；
②利用王老師第二次鍛煉時平均步長減少的百分率為x，即可表示出第二次鍛煉的平均步長（米/步）；
（2）根據題意表示出第二次鍛煉的總距離，進而得出答案；
（3）根據題意可得兩次鍛煉結束后總步數，進而求出王老師這500米的平均步長．
【解答】解：（1）①根據題意可得：10000（1+3x）；
②第二次鍛煉的平均步長（米/步）為：0.6（1﹣x）；
故答案為：10000（1+3x）；0.6（1﹣x）；
（2）由題意：10000（1+3x）×0.6（1﹣x）＝7020．
解得：x1＝＞0.5（舍去），x2＝0.1．
則x＝0.1，
答：x的值為0.1；
（3）根據題意可得：10000+10000（1+0.1×3）＝23000，
500÷（24000﹣23000）＝0.5（m）．
答：王老師這500米的平均步幅為0.5米．
【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，根據題意正確表示出第二次鍛煉的步數與步長是解題關鍵．
26．（10分）如圖，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分線，A是射線OM上一點，OA＝8cm．動點P從點A出發，以1cm/s的速度沿AO水平向左做勻速運動，與此同時，動點Q從點O出發，也以1cm/s的速度沿ON豎直向上做勻速運動．連接PQ，交OT于點B．經過O、P、Q三點作圓，交OT于點C，連接PC、QC．設運動時間為t（s），其中0＜t＜8．
（1）求OP+OQ的值；
（2）求四邊形OPCQ的面積．
【分析】（1）由題意得出OP＝（8﹣t）cm，OQ＝tcm，則可得出答案；
（2）證明△PCQ是等腰直角三角形．則S△PCQ＝PC QC＝×PQ PQ＝PQ2，在Rt△POQ中，PQ2＝OP2+OQ2＝（8﹣t）2+t2．由四邊形OPCQ的面積S＝S△POQ+S△PCQ可得出答案．
【解答】解：（1）由題意可得，OP＝（8﹣t）cm，OQ＝tcm，
∴OP+OQ＝8﹣t+t＝8（cm）．
（2）∵∠POQ＝90°，
∴PQ是圓的直徑，
∴∠PCQ＝90°，
∵OT是∠MON的平分線，
∴∠QOC＝∠POC＝45°，
∴∠PQC＝∠POC＝45°，
∴△PCQ是等腰直角三角形，
∴S△PCQ＝PC QC＝×PQ PQ＝PQ2，
在Rt△POQ中，PQ2＝OP2+OQ2＝（8﹣t）2+t2，
∴四邊形OPCQ的面積S＝S△POQ+S△PCQ＝OP OQ+PQ2
＝t（8﹣t）+[（8﹣t）2+t2]
＝4t﹣t2+t2﹣4t+16
＝16．
∴四邊形OPCQ的面積為16cm2．
【點評】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的性質，三角形的面積等知識，熟練掌握90°的圓周角所對的弦是直徑是解題的關鍵．
27．（12分）我們在解決數學問題時，經常采用“轉化”（或“化歸”）的思想方法，即把待解決的問題，通過轉化歸結到一類已解決或比較容易解決的問題．
譬如，求解一元二次方程，通常把它轉化為兩個一元一次方程來解；求解分式方程，通常把它轉化為整式方程來解，只是因為分式方程“去分母”時可能產生增根，所以解分式方程必須檢驗．
請你運用上述把“未知”轉化為“已知”的數學思想，解決下列問題．
（1）解方程：x3+x2﹣2x＝0；
（2）解方程：＝x；
（3）如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD＝8m，寬AB＝3m，小華把一根長為10m的繩子的一端固定在點B，沿草坪邊沿BA、AD走到點P處，把長繩PB段拉直并固定在點P，然后沿草坪邊沿PD、DC走到點C處，把長繩剩下的一段拉直，長繩的另一端恰好落在點C．求AP的長．
【分析】（1）因式分解多項式，然后得結論；
（2）兩邊平方，把無理方程轉化為整式方程，求解，注意驗根；
（3）設AP的長為xm，根據勾股定理和BP+CP＝10，可列出方程，由于方程含有根號，兩邊平方，把無理方程轉化為整式方程，求解，
【解答】解：（1）x3+x2﹣2x＝0，
x（x2+x﹣2）＝0，
x（x+2）（x﹣1）＝0
所以x＝0或x+2＝0或x﹣1＝0
∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1；
（2）＝x，
方程的兩邊平方，得2x+3＝x2
即x2﹣2x﹣3＝0
（x﹣3）（x+1）＝0
∴x﹣3＝0或x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1，
當x＝﹣1時，＝＝1≠﹣1，
所以﹣1不是原方程的解．
所以方程＝x的解是x＝3；
（3）因為四邊形ABCD是矩形，
所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3m
設AP＝xm，則PD＝（8﹣x）m
因為BP+CP＝10，
BP＝，CP＝∴+＝10
∴＝10﹣，
兩邊平方，得（8﹣x）2+9＝100﹣20+9+x2
整理，得5＝4x+9
兩邊平方并整理，得x2﹣8x+16＝0
即（x﹣4）2＝0
所以x＝4．
經檢驗，x＝4是方程的解．
答：AP的長為4m．
【點評】本題考查了轉化的思想方法，一元二次方程的解法．解無理方程是注意到驗根．解決（3）時，根據勾股定理和繩長，列出方程是關鍵．
28．（12分）如圖1，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于G，點C是的中點，點F是的中點，BC與EF交于點H：
（1）求證：FB＝FH；
（2）如圖2，當點G為半徑OA的中點時．求的值；
（3）如圖3，當＝　2﹣2　時．弦EF恰好經過圓心O．
【分析】（1）連接BE，證明∠FHB＝∠FBH，即可得出結論；
（2）連接AC，OC，OF，證明△OAC是等邊三角形，可得∠CAO＝∠AOC＝60°，設AG＝OG＝x，則OA＝AC＝OB＝2x，可求得FB，CD，則可求出；
（3）設CG＝a，可得OC＝OB＝a，求出BG＝a+a，則結果可求出．
【解答】（1）證明：如圖1，連接BE，
∵點C是的中點，
∴＝，
∴∠ABF＝∠FEB，
∵點F是的中點，
∴＝，
∴∠ABC＝∠CBE，
∴∠ABC+∠ABF＝∠CBE+∠FEB，
即∠FHB＝∠FBH，
∴FB＝FH；
（2）如圖2，連接AC，OC，OF，
∵點G為半徑OA的中點，CD⊥OA，
∴AC＝OC，
∵OA＝OC，
∴AC＝OC＝OA，
∴△OAC是等邊三角形，
∴∠CAO＝∠AOC＝60°，
設AG＝OG＝x，則OA＝AC＝OB＝2x，
∴CG＝＝x，
∴CD＝2CG＝2x，
∵AB是⊙O的直徑，＝，
∴∠F＝∠OBF＝45°，
∴BF＝2x，
∴；
（3）∵＝，
∴∠AOC＝∠COE，
∵點F是的中點，
∴∠F＝∠FBO＝45°，
∴∠FOB＝∠AOE＝90°，
∴∠AOC＝45°，
∵CD⊥AB，
∴∠GCO＝∠OCG＝45°，
∴OC＝CG，
設CG＝a，
∴OC＝OB＝a，
∴BG＝OG+OB＝a+a．
∴，
故答案為：2﹣2．
【點評】本題是圓的綜合題，考查了等腰直角三角形的性質，等邊三角形的判定及性質，勾股定理，圓周角定理，圓的性質等，解題的關鍵是添加輔助線構造基本圖形解題
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