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重難點06 兩圓一中垂構造等腰三角形模型
1.識別幾何模型。
2.利用“兩圓一中垂構造等腰三角形”模型解決問題
分類討論:
若AB=AC,則點C在以點A 為圓心,線段AB的長為半徑的圓上;
若BA=BC,則點C在以點B為圓心,線段AB的長為半徑的圓上;
若CA=CB,則點C在線段AB的垂直平分線PQ上以上簡稱“兩圓一中垂”
“兩圓一中垂”上的點能構成等腰三角形,但是要除去原有的點A,B,還要除去因共線無法構成三角形的點MN以及線段AB中點E(共除去5個點)需要注意細節
一．選擇題（共5小題）
1．（2021 無棣縣二模）如圖，點A的坐標是（2，2），若點P在x軸上，且△APO是等腰三角形，則點P的坐標不可能是（　?。?br/>A．（2，0） B．（4，0） C．（﹣，0） D．（3，0）
2．（2022 建湖縣一模）如圖，每個小方格的邊長為1，A，B兩點都在小方格的頂點上，點C也是圖中小方格的頂點，并且△ABC是等腰三角形，那么點C的個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022 青島二模）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（1，），M為x軸上一點，且使得△MOA為等腰三角形，則滿足條件的點M的個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2020 武漢模擬）平面直角坐標系中，A（3，3）、B（0，5）．若在坐標軸上取點C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
5．（2020 龍崗區模擬）平面直角坐標系中，已知A（1，2）、B（3，0）．若在坐標軸上取點C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數是（　?。?br/>A．5 B．6 C．7 D．8
二．解答題（共1小題）
6．（2022 開州區模擬）如圖，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，D是BC的中點，E為AC邊上任意一點，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF，連接EF，交AB于點G．
（1）如圖1，若AB＝6，AE＝，求ED的長；
（2）如圖2，點G恰好是EF的中點，連接BF，求證：CD＝BF；
（3）如圖3，若AB＝4，連接CF，當CF+BF取得最小值時．請直接寫出S△CEF的值．
一．選擇題（共5小題）
1．已知直線y＝﹣x+3與坐標軸分別交于點A，B，點P在拋物線y＝﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP為等腰三角形的點P的個數有（　　）
A．8個 B．4個 C．5個 D．6個
2．如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的P點有（　　）
A．2個 B．4個 C．6個 D．8個
3．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（3，3），B（0，5），若在坐標軸上找一點C，使得△ABC是等腰三角形，則這樣的點C有（　?。?br/>A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
4．平面直角坐標系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐標軸上取點C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點P共有（　?。?br/>A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
二．填空題（共1小題）
6．如圖，已知點A（1，2）是反比例函數y＝圖象上的一點，連接AO并延長交雙曲線的另一分支于點B，點P是x軸上一動點；若△PAB是等腰三角形，則點P的坐標是 　 ?。?br/>21世紀教育網(www.21cnjy.com)
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)重難點06 兩圓一中垂構造等腰三角形模型
1.識別幾何模型。
2.利用“兩圓一中垂構造等腰三角形”模型解決問題
分類討論:
若AB=AC,則點C在以點A 為圓心,線段AB的長為半徑的圓上;
若BA=BC,則點C在以點B為圓心,線段AB的長為半徑的圓上;
若CA=CB,則點C在線段AB的垂直平分線PQ上以上簡稱“兩圓一中垂”
“兩圓一中垂”上的點能構成等腰三角形,但是要除去原有的點A,B,還要除去因共線無法構成三角形的點MN以及線段AB中點E(共除去5個點)需要注意細節
一．選擇題（共5小題）
1．（2021 無棣縣二模）如圖，點A的坐標是（2，2），若點P在x軸上，且△APO是等腰三角形，則點P的坐標不可能是（　?。?br/>A．（2，0） B．（4，0） C．（﹣，0） D．（3，0）
【分析】先根據勾股定理求出OA的長，再根據①AP＝PO；②AO＝AP；③AO＝OP分別算出P點坐標即可．
【解答】解：點A的坐標是（2，2），
根據勾股定理可得：OA＝2，
①若AP＝PO，可得：P（2，0），
②若AO＝AP可得：P（4，0），
③若AO＝OP，可得：P（2，0）或（﹣2，0），
∴P（2，0），（4，0），（﹣2，0），
故點P的坐標不可能是：（3，0）．
故選：D．
【點評】此題主要考查了坐標與圖形的性質，等腰三角形的判定，關鍵是掌握等腰三角形的判定：有兩邊相等的三角形是等腰三角形，再分情況討論．
2．（2022 建湖縣一模）如圖，每個小方格的邊長為1，A，B兩點都在小方格的頂點上，點C也是圖中小方格的頂點，并且△ABC是等腰三角形，那么點C的個數為（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根據“兩圓一線”畫圖找點即可．
【解答】解：如圖，C點與P、Q、R重合時，均滿足△ABC是等腰三角形，
故選：C．
【點評】本題考查“兩圓一線”構造等腰三角形的方法，熟練使用兩圓一線的方法是解題關鍵．
3．（2022 青島二模）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（1，），M為x軸上一點，且使得△MOA為等腰三角形，則滿足條件的點M的個數為（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分別以O、A為圓心，以OA長為半徑作圓，與x軸交點即為所求點M，再作線段OA的垂直平分線，與坐標軸的交點也是所求的點M，作出圖形，利用數形結合求解即可．
【解答】解：如圖，滿足條件的點M的個數為2．
故選B．
【點評】本題考查了坐標與圖形的性質及等腰三角形的判定；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應在符合三角形三邊關系的前提下分類討論．
4．（2020 武漢模擬）平面直角坐標系中，A（3，3）、B（0，5）．若在坐標軸上取點C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數是（　?。?br/>A．3 B．4 C．5 D．7
【分析】由于沒有說明△ABC的腰長，故需要分三種情況進行討論，分別是AB＝AC，AB＝BC，AC＝BC，
【解答】解：當AC＝CB時，
作AB的垂直平分線，交x軸于C1，交y軸于點C2
當AB＝AC時，
以點A為圓心，AB為半徑作圓A，交y軸于C3，交x軸于C4、C5，
當AB＝BC時，
以點B為圓心，AB為半徑作圓B，交y軸于點C6、C7
故選：D．
【點評】本題考查等腰三角形的性質，解題的關鍵是根據等腰三角形的性質分三種情況進行討論，本題屬于中等題型．
5．（2020 龍崗區模擬）平面直角坐標系中，已知A（1，2）、B（3，0）．若在坐標軸上取點C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】由點A、B的坐標可得到AB＝2，然后分類討論：若AC＝AB；若BC＝AB；若CA＝CB，確定C點的個數．
【解答】解：∵點A、B的坐標分別為（1，2）、B（3，0）．
∴AB＝2，
①若AC＝AB，以A為圓心，AB為半徑畫弧與坐標軸有3個交點（B點除外），即（﹣1，0）、（0，2+）、（0，2﹣），即滿足△ABC是等腰三角形的C點有3個；
②若BC＝AB，以B為圓心，BA為半徑畫弧與坐標軸有2個交點，即滿足△ABC是等腰三角形的C點有2個；
③若CA＝CB，作AB的垂直平分線與坐標軸有2個交點，即滿足△ABC是等腰三角形的C點有2個．
綜上所述：點C在坐標軸上，△ABC是等腰三角形，符合條件的點C共有7個．
故選：C．
【點評】本題主考查了等腰三角形的判定以及分類討論思想的運用，分三種情況分別討論，注意等腰三角形頂角的頂點在底邊的垂直平分線上．
二．解答題（共1小題）
6．（2022 開州區模擬）如圖，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，D是BC的中點，E為AC邊上任意一點，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF，連接EF，交AB于點G．
（1）如圖1，若AB＝6，AE＝，求ED的長；
（2）如圖2，點G恰好是EF的中點，連接BF，求證：CD＝BF；
（3）如圖3，若AB＝4，連接CF，當CF+BF取得最小值時．請直接寫出S△CEF的值．
【分析】（1）過點E作EH⊥BC于點H，得∠CHE＝90°，在等腰直角三角形ABC中，求出BC＝6，AC＝，再證明△CHE也是等腰直角三角形，最后在Rt△DHE中，求出DE即可；
（2）過點E作EM∥BF于AB交點M，過點D作DN⊥BC交AC于N，得出△CDN為等腰直角三角形，再證明△BFD≌NED（SAS），△EMG≌△FBG（AAS），最后在等腰Rt△CDN中，求出CD與BF關系；
（3）如圖3﹣1中，取AC的中點T，連接DT，BT，則△BDT是等腰直角三角形．首先證明點F在直線BT上運動，如圖3﹣2中，取AT的中點Q，連接BQ，作FH⊥BQ于點H，CJ⊥BQ于點J，交BT于點R．再證明當點F與R重合時，CF+BF的值最小，即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖，過點E作EH⊥BC于點H，
∴∠CHE＝90°，
在等腰直角三角形ABC中，
∵AB＝6，
∴BC＝6，AC＝，
∵D為BC中點，
∴CD＝BC，
∵AE＝，
∴CE＝AC﹣CE＝，
∵∠C＝45°，
∴△CHE也是等腰直角三角形，
∴CH＝EH＝5，
∴HD＝CH﹣CD＝2，
∴在Rt△DHE中，DE＝＝．
（2）如圖，過點E作EM∥BF于AB交點M，過點D作DN⊥BC交AC于N，
∴△CDN為等腰直角三角形，
∴CD＝ND，
∵BD＝CD，
∴BD＝DN，
∵∠5+∠BDE＝∠6+∠BDE，
∴∠5＝∠6，
在△BFD和△NED中，
，
∴△BFD≌NED（SAS），
∴BF＝EN，∠3＝∠4，
在．△EMG和△FBG中，
，
∴△EMG≌△FBG（AAS），
∴ME＝BF，
∴ME＝EN，
∵∠2+∠3＝45°，
∴∠1+∠4＝45°，
∴∠MEN＝∠1+∠4+∠FED＝90°，
∴∠AEM＝90°，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∴AE＝ME＝BF＝EN，
∴BF＝AN，
∵DN∥BC，D是BC的中點，
∴CN＝AN，
∴BF＝CN，
又∵在等腰Rt△CDN中，CD＝CN，
∴CD＝BF．
（3）如圖3﹣1中，取AC的中點T，連接DT，BT，則△BDT是等腰直角三角形．
∵∠EDF＝∠TDB＝90°，
∴∠BDF＝∠TDE，
∵DB＝DT，DF＝DE，
∴△BDF≌△TDE（SAS），
∴∠DBF＝∠DTE＝135°，
∵∠DBT＝135°，
∴F，B，T共線，
∴點F在直線BT上運動，
如圖3﹣2中，取AT的中點Q，連接BQ，作FH⊥BQ于點H，CJ⊥BQ于點J，交BT于點R．
∵tan∠FBH＝＝＝，
∴FH＝BF，
∴CF+BF＝CF+FH≤CJ，
∴當點F與R重合時，CF+BF的值最小，
∵∠BTQ＝∠CTR＝90°，BT＝CT，∠QBT＝∠RCT，
∴△BTQ≌△CTR（ASA），
∴TR＝QT，
∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC＝AB＝8，
∴AT＝CT＝BT＝4，QT＝RT＝2，
∴BF＝TE＝2，
∴S△CEF＝ CE FT＝×2×2＝2．
【點評】本題考查了幾何變換的綜合應用，解題關鍵是正確作出輔助線，能判定出全等三角形，解直角等腰三角形．
一．選擇題（共5小題）
1．已知直線y＝﹣x+3與坐標軸分別交于點A，B，點P在拋物線y＝﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP為等腰三角形的點P的個數有（　?。?br/>A．8個 B．4個 C．5個 D．6個
【分析】分三種情況考慮：①以點B為圓心，AB長度為半徑作圓可找出兩個點P；②以點A為圓心，AB長度為半徑作圓可找出四個點P；③作線段AB的垂直平分線可找出兩個點P．綜上即可得出結論．
【解答】解：分三種情況考慮：
①以點B為圓心，AB長度為半徑作圓，交拋物線于點P1、P2；
②以點A為圓心，AB長度為半徑作圓，交拋物線于點P3、P4、P5、P6；
③作線段AB的垂直平分線，交拋物線于點P7、P8．
綜上所述：能使△ABP為等腰三角形的點P的個數為8個．
故選：A．
【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征、一次函數圖象上點的坐標特征以及等腰三角形的判定，依照題意畫出圖形，利用數形解決問題是解題的關鍵．
2．如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的P點有（　?。?br/>A．2個 B．4個 C．6個 D．8個
【分析】本題是開放性試題，根據題意，畫出圖形結合求解．
【解答】解：第1個點在AC上，作線段AB的垂直平分線，交AC于點P，則有PA＝PB；
第2個點是以A為圓心，以AB長為半徑截取AP＝AB，交AC延長線上于點P；
第3個點是以A為圓心，以AB長為半徑截取AP＝AB，在上邊于CA延長線上交于點P；
第4個點是以B為圓心，以BA長為半徑截取BP＝BA，與AC的延長線交于點P；
第5個點是以B為圓心，以BA長為半徑截取BP＝BA，與BC在左邊交于點P；
第6個點是以A為圓心，以AB長為半徑截取AP＝AB，與BC在右邊交于點P；
∴符合條件的點P有6個點．
故選：C．
【點評】本題考查了等腰三角形的判定來解決實際問題，其關鍵是根據題意，畫出符合實際條件的圖形，再利用數學知識來求解．
3．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（3，3），B（0，5），若在坐標軸上找一點C，使得△ABC是等腰三角形，則這樣的點C有（　?。?br/>A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
【分析】本題是開放性試題，由題意知A、B是定點，C是動點，所以要分情況討論：以AC、AB為腰、以AC、BC為腰或以BC、AB為腰．則滿足條件的點C可求．
【解答】解：由題意可知：以AC、AB為腰的三角形有3個；
以AC、BC為腰的三角形有2個；
以BC、AB為腰的三角形有2個．
故選：D．
【點評】本題考查了等腰三角形的判定及坐標與圖形的性質；分類別尋找是正確解答本題的關鍵．
4．平面直角坐標系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐標軸上取點C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】由點A、B的坐標可得到AB＝2，然后分類討論：若AC＝AB；若BC＝AB；若CA＝CB，確定C點的個數．
【解答】解：∵點A、B的坐標分別為（2，2）、B（4，0）．
∴AB＝2，
①若AC＝AB，以A為圓心，AB為半徑畫弧與坐標軸有3個交點（含B點），即（0，0）、（4，0）、（0，4），
∵點（0，4）與直線AB共線，
∴滿足△ABC是等腰三角形的C點有1個；
②若BC＝AB，以B為圓心，BA為半徑畫弧與坐標軸有2個交點（A點除外），即滿足△ABC是等腰三角形的C點有2個；
③若CA＝CB，作AB的垂直平分線與坐標軸有兩個交點，即滿足△ABC是等腰三角形的C點有2個；
綜上所述：點C在坐標軸上，△ABC是等腰三角形，符合條件的點C共有5個．
故選：A．
【點評】本題考查了等腰三角形的判定，也考查了通過坐標確定圖形的性質以及分類討論思想的運用．
5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點P共有（　　）
A．4個 B．5個 C．6個 D．7個
【分析】根據等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（簡稱：在同一三角形中，等邊對等角）”分三種情況解答即可．
【解答】解：如圖，
①AB的垂直平分線交AC一點P1（PA＝PB），交直線BC于點P2；
②以A為圓心，AB為半徑畫圓，交AC有二點P3，P4，交BC有一點P2，（此時AB＝AP）；
③以B為圓心，BA為半徑畫圓，交BC有二點P5，P2，交AC有一點P6（此時BP＝BA）．
2+（3﹣1）+（3﹣1）＝6，
∴符合條件的點有六個．
故選：C．
【點評】本題考查了等腰三角形的判定；構造等腰三角形時本著截取相同的線段就能作出等腰三角形來，思考要全面，做到不重不漏．
二．填空題（共1小題）
6．如圖，已知點A（1，2）是反比例函數y＝圖象上的一點，連接AO并延長交雙曲線的另一分支于點B，點P是x軸上一動點；若△PAB是等腰三角形，則點P的坐標是 　（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）　．
【分析】由對稱性可知O為AB的中點，則當△PAB為等腰三角形時只能有PA＝AB或PB＝AB，設P點坐標為（x，0），可分別表示出PA和PB，從而可得到關與x的方程，可求得x，可求得P點坐標．
【解答】解：
∵反比例函數y＝圖象關于原點對稱，
∴A、B兩點關于O對稱，
∴O為AB的中點，且B（﹣1，﹣2），
∴當△PAB為等腰三角形時有PA＝AB或PB＝AB，
設P點坐標為（x，0），
∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），
∴AB＝＝2，PA＝，PB＝，
當PA＝AB時，則有＝2，解得x＝﹣3或5，此時P點坐標為（﹣3，0）或（5，0）；
當PB＝AB時，則有＝2，解得x＝3或﹣5，此時P點坐標為（3，0）或（﹣5，0）；
綜上可知P點的坐標為（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0），
故答案為：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．
【點評】本題主要考查等腰三角形的性質和反比例函數的對稱性，判斷出只有PA＝AB或PB＝AB兩種情況是解題的關鍵，注意方程思想的應用．
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