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第13練 用反比例函數解決問題
用反比例函數解決實際問題的一般步驟：
①定：審題確定出問題中的兩個變量，并用字母表示出來。
②求：用待定系數法或列方程法求出函數解析式，并求出自變量的取值范圍。
③解：利用反比例函數的圖象及其性質去分析問題、解決問題，得到數學結論。
④答寫出實際問題的答案。
【點撥】求反比例函數解析式的兩種方法：
①待定系數法：若題目中已知是反比例函數，則設其解析式為 然后將x，y的值代入，求出k值即可。
②列方程法：若題目中不知是什么函數，通常列出關于兩個變量x，y的方程，變形即可得到函數解析式。
1．下面各組變量的關系中，成正比例關系的有（ ）
A．人的身高與年齡
B．汽車從甲地到乙地，所用時間與行駛速度
C．正方形的面積與它的邊長
D．圓的周長與它的半徑
【答案】D
【解析】解：、人的身高與年齡不成比例，故此選項不符合題意；、汽車從甲地到乙地，所用時間與行駛速度成反比例關系，故此選項不符合題意；、正方形的面積與它的邊長的平方成正比例，故此選項不符合題意；、圓的周長與它的半徑成正比例關系，故此選項符合題意；故選：D。
2．為了建設生態文明，某工廠自2020年1月開始限產并進行治污改造，其月利潤y（萬元）與月份x之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數圖象的一部分，治污完成后是一次函數圖象的部分，下列選項錯誤的是（ ）
A．4月份的利潤為50萬元
B．治污改造完成后每月利潤比前一個月增加30萬元
C．9月份該廠利潤達到200萬元
D．治污改造完成前后共有4個月的利潤低于100萬元
【答案】D
【解析】解：A、設反比例函數的解析式為，
把代入得，，
反比例函數的解析式為：，
當時，，
月份的利潤為50萬元，正確，不合題意；B、治污改造完成后，從4月到6月，利潤從50萬到110萬，故每月利潤比前一個月增加30萬元，正確，不合題意；C、設一次函數解析式為：，
則，
解得：，
故一次函數解析式為：，
故時，，
解得：，
則治污改造完成后的第5個月，即9月份該廠利潤達到200萬元，正確，不合題意．
D、當時，則，
解得：，
則只有3月，4月，5月共3個月的利潤低于100萬元，不正確，符合題意．
故選：D．
3．某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓是氣體體積的反比例函數，其圖象如圖所示，當氣球內氣壓大于時，氣球將爆炸，為了安全，該氣球內氣體體積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：設P與V的函數關系式為，
則，得k=40，
故函數關系式為，
∵當氣球內氣壓大于120Kpa時，氣球將爆炸，
∴，
解得：，
∴該氣球內氣體體積V（cm3）的取值范圍是：，故選B．
4．某藥品研究所開發一種抗新冠肺炎的新藥，經大量動物實驗，首次用于臨床人體實驗，測得成人服藥后血液中藥物濃度（微克/毫升）與服藥時間小時之間的函數關系如圖所示（當時，與成反比），若血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續時間不低于6．5小時，則稱藥物治療有效．根據圖象信息計算并判斷下列選項錯誤的是（ ）
A．當血液中藥物濃度上升時，與之間的函數關系式是．
B．當血液中藥物濃度下降時，與之間的函數關系式是．
C．血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續時間為5個小時．
D．這種抗菌新藥不可以作為有效藥物投入生產．
【答案】C
【解析】由圖象可知，當0≤x≤4時，y與x成正比例關系，設y＝kx．
由圖象可知，當x＝4時，y＝8，
∴4k＝8，解得：k＝2；∴y＝2x（0≤x≤4）．
又由題意可知：當4≤x≤10時，y與x成反比，設y＝．
由圖象可知，當x＝4時，y＝8，
∴m＝4×8＝32；∴（4≤x≤10）．
即：血液中藥物濃度上升時y＝2x（0≤x≤4）；血液中藥物濃度下降下（4≤x≤10）；故A,B正確
（2）血液中藥物濃度不低于4微克/毫升即：y≥4．
∴2x≥4且≥4，
解得：x≥2且x≤8；∴2≤x≤8，即持續時間為6小時．
∵不低于6.5小時為有效．
∴抗菌新藥不能作為有效藥物投入生產．
故D正確，C錯誤，
故選C．
5．函數y=-kx+k與函數(k≠0)在同一直角坐標系中的大致圖像可能是（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【解析】解：當k＞0時，反比例函數的圖象位于第一、三象限，一次函數的圖象交y軸于正半軸，y隨著x的增大而減小，D選項符合，C選項錯誤；當k＜0時，反比例函數的圖象位于第二、四象限，一次函數的圖象交y軸于負半軸，y隨著x的增大而增大，A、B均錯誤；故選擇：D．
6．某學校對教室采用藥熏消毒，已知藥物燃燒時，室內每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例（如圖），現測得藥物10分鐘燃畢，此時室內空氣中每立方米含藥量為8毫克．研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效時間是（ ）
A．11分鐘 B．12分鐘 C．15分鐘 D．20分鐘
【答案】C
【解析】解：當時，設，
將點代入得：，解得，
則此時，
當時，設，
將點代入得：，
則此時，
綜上，，
當時，，解得，
當時，，解得，
則當時，，
所以此次消毒的有效時間是（分鐘），
故選：C．
7．某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變的條件下，氣球內氣體的氣壓是氣球體積的反比例函數，且當時，．當氣球內的氣壓大于時，氣球將爆炸，為確保氣球不爆炸，氣球的體積應不小于________．
【答案】0.6
【解析】解：設函數解析式為，
∵當時，，
∴，
∴，
∵氣球內的氣壓大于時，氣球將爆炸，
，
解之得，即氣球的體積應不小于，
故答案為：0.6．
8．一定質量的氧氣，它的密度是它的體積的反比例函數．當時，，則ρ與V的函數關系是___________．
【答案】ρ=
【解析】解：設，當V=10m3時，ρ=1.43kg/m3，
所以1.43=，即k=14.3，
所以ρ與V的函數關系式是ρ=，
故答案為：ρ=．
9．矩形的面積為20，則長y與寬x的函數關系式為_____．
【答案】y＝．
【解析】由題意得：xy=20，
∴y=，
故答案為：y=．
10．方方駕駛小汽車勻速從A地行駛到B地，行駛里程為480千米，設小汽車的行駛時間為t（單位：小時），行駛速度為v（單位：千米/小時），且全程速度限定為不超過120千米/小時，方方上午8點駕駛小汽車從A地出發，需在當天12點48分至14點（含12點48分和14點）間到達B地，則小汽車行駛速度v的范圍______________．
【答案】
【解析】解：由題意可得：
，且全程速度限定為不超過120千米小時，
關于的函數表達式為：，，
8點至12點48分時間長為小時，8點至14點時間長為6小時
將代入得；將代入得．
小汽車行駛速度的范圍為：，
故答案為：．
11．你吃過蘭州拉面嗎？實際上在做拉面的過程中就滲透著數學知識：一定體積的面團做成拉面，面條的總長度（cm）是面條粗細橫截面積cm2的反比例函數，當時，
（1）求y與x的函數表達式；
（2）若面條的總長度是6400cm，求面條的橫截面積
【答案】（1）y＝（x＞0）；（2）0.02cm2
【解析】解：（1）設反比例函數圖象設解析式為：y＝，
由圖得，反比例函數上一點坐標為（0.04，3200）代入：y＝，
有3200＝，
解得：k＝128，又題中實際意義需x＞0，
∴y與x的函數表達式為：y＝（x＞0）；（2）令y＝6400得：6400＝，
解得：x＝0.02，
答：面條的橫截面積0.02cm2．
12．某氣球內充滿一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓是氣體體積的反比例函數，其圖象如圖所示．
（1）寫出這個函數的表達式；
（2）當氣體體積為時，氣壓是多少？
（3）當氣球內的氣壓大于時，氣球將爆炸，為了安全考慮，氣體的體積應不小于多少？
【答案】（1）；（2）96；
（3）氣球的體積應不小于
【解析】（1）設與的函數關系式為，
把，代入上式，
解得．
∴與的函數關系式為．
（2）
當時，．
（3）由，得，
∴氣球的體積應不小于．
13．為了預防新冠病毒，某中學對教室進行藥熏消毒，已知藥物燃燒階段，教室內每立方米空氣中的含藥量（mg）與時間（min）成正比例，藥物燃燒完后，（mg）與時間（min）成反比例（如圖所示），現測得藥物10min燃燒完，此時教室內每立方米空氣中的含藥量達到最大，為8mg，根據圖象，解答下列問題：
（1）求藥物燃燒時（mg）與（min）的函數關系式及藥物燃燒完后（mg）與時間（min）的函數關系式，并寫出它們自變量的取值范圍；
（2）據測定，只有當教室內每立方米空氣中的含藥量不低于4 mg，且至少持續作用10分鐘以上，才能完全殺死病毒，請問這次藥熏消毒是否有效？
【答案】（1）（）；（）；（2）消毒有效
【解析】解：（1）設藥物燃燒時與的函數關系式為（），根據題意，得：
，
∴，
∴（ ），
設藥物燃燒完后與的函數關系式為（），根據題意，得：
，
∴，
（ ），
（2）當時，
令，則，
解得 ，
當時，
令，則，
解得 ，
∵當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，
∴持續時間＝．
∴這次藥熏消毒有效．
14．一輛客車從甲地出發前往乙地，平均速度v（千米/小時）與所用時間t（小時）的函數關系如圖所示，其中60≤ν≤120．
（1）求v與t的函數關系式及t的取值范圍；
（2）客車上午8點從甲地出發．客車需在當天14點40分至15點30分（含14點40分與15點30分）間到達乙地，求客車行駛速度v的范圍．
【答案】（1）v與t的函數表達式為v＝（5≤t≤10）；
（2）客車行駛速度v的范圍為80千米/小時≤v≤90千米/小時
【解析】解：（1）設v與t的函數關系式為，將（5，120）代入，
得：120＝，
解得：k＝600，
∴v與t的函數表達式為v＝（5≤t≤10）；（2）當t＝（8點到下午14點40分）時，
v＝＝600÷＝90（千米/小時），
當t＝時，v＝＝600÷＝80（千米/小時），
∴客車行駛速度v的范圍為80千米/小時≤v≤90千米/小時．
15．某氣象研究中心觀測到一場沙塵暴從發生到減弱的全過程．開始一段時間風速平均每小時增加2千米，4小時后，沙塵暴經過開闊荒漠地，風速變為平均每小時增加4千米，然后風速不變，當沙塵暴遇到綠色植被區時，風速（千米/小時）與時間（小時）成反比例函數關系緩慢減弱．
（1）這場沙塵暴的最高風速是__________千米/小時，最高風速維持了__________小時；（2）當時，求出風速（千米/小時）與時間（小時）的函數關系式；
（3）在這次沙塵暴形成的過程中，當風速不超過10千米/小時稱為“安全時刻”，其余時刻為“危險時刻”，那么在沙塵暴整個過程中，求“危險時刻”共有幾小時．
【答案】（1）32，10；（2）；（3）共有59.5小時
【解析】解：（1）0～4時，風速平均每小時增加2千米，所以4時風速為8千米/時；4～10時，風速變為平均每小時增加4千米，10時達到最高風速，為8+6×4=32千米/時，
10～20時，風速不變，最高風速維持時間為2010=10小時；故答案為：32，10．
（2）設，將代入，得：，
解得：．
所以當時，風速（千米/小時）與時間（小時）之間的函數關系為：．
（3）∵4時風速為8千米/時，而4小時后，風速變為平均每小時增加4千米，
∴4.5時風速為10千米/時．
將代入，
得，解得，
（小時）
故在沙塵暴整個過程中，“危險時刻”共有59.5小時．
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用反比例函數解決實際問題的一般步驟：
①定：審題確定出問題中的兩個變量，并用字母表示出來。
②求：用待定系數法或列方程法求出函數解析式，并求出自變量的取值范圍。
③解：利用反比例函數的圖象及其性質去分析問題、解決問題，得到數學結論。
④答寫出實際問題的答案。
【點撥】求反比例函數解析式的兩種方法：
①待定系數法：若題目中已知是反比例函數，則設其解析式為 然后將x，y的值代入，求出k值即可。
②列方程法：若題目中不知是什么函數，通常列出關于兩個變量x，y的方程，變形即可得到函數解析式。
1．下面各組變量的關系中，成正比例關系的有（ ）
A．人的身高與年齡
B．汽車從甲地到乙地，所用時間與行駛速度
C．正方形的面積與它的邊長
D．圓的周長與它的半徑
2．為了建設生態文明，某工廠自2020年1月開始限產并進行治污改造，其月利潤y（萬元）與月份x之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數圖象的一部分，治污完成后是一次函數圖象的部分，下列選項錯誤的是（ ）
A．4月份的利潤為50萬元
B．治污改造完成后每月利潤比前一個月增加30萬元
C．9月份該廠利潤達到200萬元
D．治污改造完成前后共有4個月的利潤低于100萬元
3．某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓是氣體體積的反比例函數，其圖象如圖所示，當氣球內氣壓大于時，氣球將爆炸，為了安全，該氣球內氣體體積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．某藥品研究所開發一種抗新冠肺炎的新藥，經大量動物實驗，首次用于臨床人體實驗，測得成人服藥后血液中藥物濃度（微克/毫升）與服藥時間小時之間的函數關系如圖所示（當時，與成反比），若血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續時間不低于6．5小時，則稱藥物治療有效．根據圖象信息計算并判斷下列選項錯誤的是（ ）
A．當血液中藥物濃度上升時，與之間的函數關系式是．
B．當血液中藥物濃度下降時，與之間的函數關系式是．
C．血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續時間為5個小時．
D．這種抗菌新藥不可以作為有效藥物投入生產．
5．函數y=-kx+k與函數(k≠0)在同一直角坐標系中的大致圖像可能是（ ）
A． B． C．D．
6．某學校對教室采用藥熏消毒，已知藥物燃燒時，室內每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例（如圖），現測得藥物10分鐘燃畢，此時室內空氣中每立方米含藥量為8毫克．研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效時間是（ ）
A．11分鐘 B．12分鐘 C．15分鐘 D．20分鐘
7．某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變的條件下，氣球內氣體的氣壓是氣球體積的反比例函數，且當時，．當氣球內的氣壓大于時，氣球將爆炸，為確保氣球不爆炸，氣球的體積應不小于________．
8．一定質量的氧氣，它的密度是它的體積的反比例函數．當時，，則ρ與V的函數關系是___________．
9．矩形的面積為20，則長y與寬x的函數關系式為_____．
10．方方駕駛小汽車勻速從A地行駛到B地，行駛里程為480千米，設小汽車的行駛時間為t（單位：小時），行駛速度為v（單位：千米/小時），且全程速度限定為不超過120千米/小時，方方上午8點駕駛小汽車從A地出發，需在當天12點48分至14點（含12點48分和14點）間到達B地，則小汽車行駛速度v的范圍______________．
11．你吃過蘭州拉面嗎？實際上在做拉面的過程中就滲透著數學知識：一定體積的面團做成拉面，面條的總長度（cm）是面條粗細橫截面積cm2的反比例函數，當時，
（1）求y與x的函數表達式；
（2）若面條的總長度是6400cm，求面條的橫截面積
12．某氣球內充滿一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓是氣體體積的反比例函數，其圖象如圖所示．
（1）寫出這個函數的表達式；
（2）當氣體體積為時，氣壓是多少？
（3）當氣球內的氣壓大于時，氣球將爆炸，為了安全考慮，氣體的體積應不小于多少？
13．為了預防新冠病毒，某中學對教室進行藥熏消毒，已知藥物燃燒階段，教室內每立方米空氣中的含藥量（mg）與時間（min）成正比例，藥物燃燒完后，（mg）與時間（min）成反比例（如圖所示），現測得藥物10min燃燒完，此時教室內每立方米空氣中的含藥量達到最大，為8mg，根據圖象，解答下列問題：
（1）求藥物燃燒時（mg）與（min）的函數關系式及藥物燃燒完后（mg）與時間（min）的函數關系式，并寫出它們自變量的取值范圍；
（2）據測定，只有當教室內每立方米空氣中的含藥量不低于4 mg，且至少持續作用10分鐘以上，才能完全殺死病毒，請問這次藥熏消毒是否有效？
14．一輛客車從甲地出發前往乙地，平均速度v（千米/小時）與所用時間t（小時）的函數關系如圖所示，其中60≤ν≤120．
（1）求v與t的函數關系式及t的取值范圍；
（2）客車上午8點從甲地出發．客車需在當天14點40分至15點30分（含14點40分與15點30分）間到達乙地，求客車行駛速度v的范圍．
15．某氣象研究中心觀測到一場沙塵暴從發生到減弱的全過程．開始一段時間風速平均每小時增加2千米，4小時后，沙塵暴經過開闊荒漠地，風速變為平均每小時增加4千米，然后風速不變，當沙塵暴遇到綠色植被區時，風速（千米/小時）與時間（小時）成反比例函數關系緩慢減弱．
（1）這場沙塵暴的最高風速是__________千米/小時，最高風速維持了__________小時；（2）當時，求出風速（千米/小時）與時間（小時）的函數關系式；
（3）在這次沙塵暴形成的過程中，當風速不超過10千米/小時稱為“安全時刻”，其余時刻為“危險時刻”，那么在沙塵暴整個過程中，求“危險時刻”共有幾小時．21世紀教育網(www.21cnjy.com)
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