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第12練 反比例函數的圖像與性質
1.反比例函數的概念
一般地，函數（k是常數，k0）叫做反比例函數。反比例函數的解析式也可以寫成的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實數，函數的取值范圍也是一切非零實數。
2.反比例函數的圖像
反比例函數的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關于原點對稱。由于反比例函數中自變量x0，函數y0，所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。
3.反比例函數的性質
反比例函數
k的符號 k>0 k<0
圖像
性質 ①x的取值范圍是x0， y的取值范圍是y0； ②當k>0時，函數圖像的兩個分支分別 在第一、三象限。在每個象限內，y 隨x 的增大而減小。 ①x的取值范圍是x0， y的取值范圍是y0； ②當k<0時，函數圖像的兩個分支分別 在第二、四象限。在每個象限內，y 隨x 的增大而增大。
4.反比例函數解析式的確定
確定及誒是的方法仍是待定系數法。由于在反比例函數中，只有一個待定系數，因此只需要一對對應值或圖像上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式。
5.反比例函數中反比例系數的幾何意義
如下圖，過反比例函數圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PA，PB，則所得的矩形PMON的面積S=PAPB=。。
1．若反比例函數的圖象經過點，則該函數的圖象不經過的點是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：，故該函數的圖象經過點；
，故該函數的圖象經過點；
，故該函數的圖象經過點；
，故該函數的圖象經不過點．
故選：D．
2．點是反比例函數圖象上一點，則此函數圖象必經過點（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵點（3，4）是反比例函數圖象上一點，
∴m2+2m=3×4=12，A、2×6=12，因此（2，6）在反比例函數的圖象上；B、2×（-6）=-12，因此（2，-6）不在反比例函數的圖象上；C、4×（-3）=-12，因此（4，-3）不在反比例函數的圖象上；D、3×（-4）=-12，因此（3，-4）不在反比例函數的圖象上；故選：A．
3．下列各點中，在反比例函數圖象上的點是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：，，、，點不在反比例函數圖象上，故本選項不合題意；、，點在反比例函數圖象上，故本選項符合題意；、，
點不在反比例函數圖象上，故本選項不合題意；、，點不在反比例函數圖象上，故本選項不合題意．故選：．
4．反比例函數圖像上有三個點，，，其中，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：反比例函數圖像在一三象限，隨的增大而減小，
又點，，，，，在圖像上，且，
點，，，在第三象限，，
點，在第一象限，，
，
故選：B．
5．一次函數y1＝k1x+b和反比例函數y2＝（k1 k2≠0）的圖象如圖所示，若y1＞y2，則x的取值范圍是（ ）
A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．﹣2＜x＜1
C．x＜﹣2或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
【答案】D
【解析】解：由圖可知，當y1＞y2，的取值范圍為x＜﹣2或0＜x＜1．故選D．
6．函數和在同一直角坐標系中的大致圖像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵k<0，
∴函數的圖象在第二、四象限，函數也必經過第二、四象限，
又∵函數過點(-1,0)，
∴的圖象在第二、三、四象限，
故選：B．
7．如圖，在平面直角坐標系中，為正方形的對稱中心，，分別在軸和軸上，雙曲線經過、兩點，則正方形的邊長為（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【解析】解：過點C作CE⊥y軸于E，
設點A的坐標為（m，0），點B的坐標為（0，n），
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=AB，∠ABC=90°，
∴∠EBC+∠ABO=∠ABO+BAO=90°，
∴∠EBC=∠OAB，
又∵∠BEC=∠AOB=90°，
∴△BEC≌△AOB（AAS），
∴，，
∴點C的坐標為（n，m+n）
∵點P是正方形ABCD的對稱中心，
∴點P為AC的中點，
∴點P的坐標為（），
∵點C、P都在反比例函數上，
∴，
∴或，
∴，
故選：C．
8．如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO，點B(10，8)，點D在BC邊上，連接AD，把ABD沿AD折疊，使點B恰好落在OC邊上點E處，反比例函數（k≠0）的圖象經過點D，則k的值為（　　）
A．20 B．30 C．40 D．48
【答案】B
【解析】解：∵△ABD沿AD折疊，使點B恰好落在OC邊上點E處，點B（10，8），
∴AE＝AB＝10，DE＝BD，
∵AO＝8，AE＝10，
∴OE＝＝6，CE＝10﹣6＝4，
設點D的坐標是（10，b），
則CD＝b，DE＝8﹣b，
∵CD2+CE2＝DE2，
∴b2+42＝（8﹣b）2，
解得b＝3，
∴點D的坐標是（10，3），
∵反比例函數的圖象經過點D，
∴k＝10×3＝30，
故選：B．
9．如圖，點A是反比例函數圖象上的一點，過點A作AC⊥x軸，垂足為點C，D為AC的中點，若△AOD的面積為1，則k的值為______．
【答案】4
【解析】解：∵AC⊥x軸，垂足為點C，D為AC的中點，若△AOD的面積為1，
∴△AOC的面積為2，
∵S△AOC＝|k|＝2，且反比例函數y＝圖象在第一象限，
∴k＝4，
故答案為：4．
10．一次函數的圖象與反比例函數相交于點和點，若，則x的取值范圍是______．
【答案】或
【解析】解：將點，代入一次函數，得，
解得，∴一次函數解析式為，
∴隨著x的增大而增大，
將點代入反比例函數，得k＝4×2＝8，∴反比例函數解析式為，
∴當時，且y隨x的增大而減小，當時，且y隨x的增大而減小，
∴由圖可知：當時，或．
11．若正比例函數與反比例函數 的圖像沒有交點，則 取值范圍是____________
【答案】或
【解析】解：∵正比例函數與反比例函數 的圖像沒有交點，
∴當正比例函數圖象在一三象限，反比例函數圖象在二四象限時沒有交點，
或當正比例函數圖象在二四象限，反比例函數圖象在一三象限時沒有交點，
∴或，解得：或.
故答案為：或.
12．正比例函數與反比例函數的一個交點為 ，當正比例函數的圖像在反比例函數圖像的上方時，則 的取值范圍是_____________
【答案】或
【解析】解：由正比例函數與反比例函數圖象都經過點，即正比例函數為
反比例函數為
當正比例函數圖象在反比例函數圖象上方時，即＞，解得或．
故答案是或．
13．已知函數，與成正比例，與成反比例，當時，；當時，．求：
(1)y與x的函數關系式；
(2)當時，y的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】(1)根據題意設，，
則，
把x＝4，y＝11；x＝1，代入，得，
，即，
解得，k＝4，m＝3，
則y與x函數關系式為：；
(2)把x＝9代入，得，．
14．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點、在軸的正半軸上，，．對角線，相交于點，反比例函數的圖象經過點，分別與，交于點，．
(1)若，求的值；
(2)連接，若，求的面積．
【答案】(1)28；(2)
【分析】(1)解：∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，而OC＝10，
∴，
∴B（4，0），A（4，8），C（10，0），
∵對角線AC，BD相交于點E，
∴點E為AC的中點，
∴E（7，4），
把E（7，4）代入y＝得k＝7×4＝28；
(2)解：∵，
∴BE＝EC＝5，
∵BF+BE＝11，
∴BF＝6，
設OB＝t，則F（t，6），E（t+3，4），
∵反比例函數y=（x＞0）的圖象經過點E、F，
∴6t＝4（t+3），
解得t＝6，
∴k＝6t＝36，
∴反比例函數解析式為y＝，
當x＝12時，y＝，
∴G（12，3），
∴△CEG的面積＝．
15．如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于，兩點．
(1)已知點的橫坐標為3．
①求反比例函數的表達式；
②不等式的解集是________；
若，則的取值范圍是________．
【答案】(1)①；②或；(2)
【分析】(1)把x＝3代入，
可得，
∴A（3，4），
把（3，4）代入，可得m＝3×4＝12，
∴反比例函數的解析式為；
根據題意可得 ，
解得 或，
∴A(3，4)，B(-3，-4)，
結合圖象可得不等式的解集是或，
故答案為：或
(2)解：根據題意可得 ，解得 或，
∴A(，)，B(，)，
∴，
∵，
∴，解得，
故答案為：.
16．如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A，C分別在坐標軸上，頂點B的坐標為．過點和的直線分別與AB，BC交于點M，N．
(1)求直線DE的解析式和點M的坐標；
(2)若反比例函數的圖象經過點M，求該反比例函數的解析式，并通過計算判斷點N是否在該函數的圖象上；
(3)若反比例函數的圖象與有公共點，請直接寫出m的取值范圍．
【答案】(1)；M（4，4）；(2)；點N在函數的圖象上；(3)16≤m≤32
【分析】(1)解：設直線DE的解析式為y＝kx＋b（k≠0），
∵點D，E的坐標為（0，6）、（12，0），
∴，
解得，
∴直線DE的解析式為．
∵點M在AB邊上，B（8，4），且四邊形OABC是矩形，
∴點M的縱坐標為4，
又∵點M在直線上，
∴；
∴x＝4；
∴M（4，4）；
(2)解：∵經過點M（4，4），
∴m＝16．
∴．
又∵點N在BC邊上，B（8，4），
∴點N的橫坐標為8．
∵點N在直線上，
∴y＝2；
∴N（8，2）；
∵當x＝8時，，
∴點N在函數的圖象上．
(3)解：當反比例函數y=（x＞0）的圖象通過點M（4，4），N（8，2）時m的值最小，當反比例函數y=（x＞0）的圖象通過點B（8，4）時m的值最大，
∴4=，則m的最小值為16，
4=，則m的最大值為32，
∴16≤m≤32．
17．如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數y＝的圖像經過點A（3，m）與B（6，m﹣6），過點A作AC⊥x軸，垂足為C，連接AB、BC．
（1）求m的值；
（2）求證：△ABC為等腰三角形；
（3）第一象限是否存在D、E，使得D在雙曲線上，且以點B、C、D、E為頂點的四邊形是正方形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）見解析；（3）不存在符合題意的點D，E，理由見解析
【解析】解：（1）反比例函數的圖象經過點與，
且，
，
解得：；
（2）如圖，過作于點，
，
點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，
點縱的坐標為6，
即，
的縱坐標為12，
則，
，
，
垂直平分，
，
為等腰三角形；
（3）不存在，理由如下：
如圖，以為邊在右側作正方形，過作于點，
，，
，
在與中，
，
，
，，
，
，
，，
∴，，
又∵，，，
∴，，
解得：，，
∴點E的坐標為（9，－3），
點在第四象限，不合題意；
如圖，以為對角線作正方形，過點E作x軸的垂線，垂足為點H，過點B作BF⊥EH，垂足為點F，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，
∵BF⊥EH，EH⊥CH，
∴，
∴，
∴，
在與中，
，
，
∴，，
設，，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴點E的坐標為（1.5，4.5），
∵正方形的對角線互相平分，
∴，，
∴，，
∴，，
解得：，，
∴點D的坐標為（7.5，1.5），
∵反比例函數y＝的圖像經過點B（6， 6），
∴k＝6×6＝36，
∵7.5×1.5≠36，1.5×4.5≠36，
∴點D、E均不在反比例函數的圖象上，
∴此時不存在符合題意的點D，E，
如圖，以為邊在左側作正方形，過B作于點F，過E作于點H，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，
∵BF⊥OC，EH⊥OC，
∴，
∴，
∴，
在與中，
，
，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴點E的坐標為（－3，3），
點在第二象限，不合題意，
綜上所述，在第一象限不存在D、E，使得D在雙曲線上，且以點B、C、D、E為頂點的四邊形是正方形．
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1.反比例函數的概念
一般地，函數（k是常數，k0）叫做反比例函數。反比例函數的解析式也可以寫成的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實數，函數的取值范圍也是一切非零實數。
2.反比例函數的圖像
反比例函數的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關于原點對稱。由于反比例函數中自變量x0，函數y0，所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。
3.反比例函數的性質
反比例函數
k的符號 k>0 k<0
圖像
性質 ①x的取值范圍是x0， y的取值范圍是y0； ②當k>0時，函數圖像的兩個分支分別 在第一、三象限。在每個象限內，y 隨x 的增大而減小。 ①x的取值范圍是x0， y的取值范圍是y0； ②當k<0時，函數圖像的兩個分支分別 在第二、四象限。在每個象限內，y 隨x 的增大而增大。
4.反比例函數解析式的確定
確定及誒是的方法仍是待定系數法。由于在反比例函數中，只有一個待定系數，因此只需要一對對應值或圖像上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式。
5.反比例函數中反比例系數的幾何意義
如下圖，過反比例函數圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PA，PB，則所得的矩形PMON的面積S=PAPB=。。
1．若反比例函數的圖象經過點，則該函數的圖象不經過的點是（ ）
A． B． C． D．
2．點是反比例函數圖象上一點，則此函數圖象必經過點（ ）
A． B． C． D．
3．下列各點中，在反比例函數圖象上的點是（ ）
A． B． C． D．
4．反比例函數圖像上有三個點，，，其中，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
5．一次函數y1＝k1x+b和反比例函數y2＝（k1 k2≠0）的圖象如圖所示，若y1＞y2，則x的取值范圍是（ ）
A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．﹣2＜x＜1
C．x＜﹣2或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
6．函數和在同一直角坐標系中的大致圖像是（ ）
A． B．
C． D．
7．如圖，在平面直角坐標系中，為正方形的對稱中心，，分別在軸和軸上，雙曲線經過、兩點，則正方形的邊長為（ ）
A． B．3 C． D．4
8．如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO，點B(10，8)，點D在BC邊上，連接AD，把ABD沿AD折疊，使點B恰好落在OC邊上點E處，反比例函數（k≠0）的圖象經過點D，則k的值為（　　）
A．20 B．30 C．40 D．48
9．如圖，點A是反比例函數圖象上的一點，過點A作AC⊥x軸，垂足為點C，D為AC的中點，若△AOD的面積為1，則k的值為______．
10．一次函數的圖象與反比例函數相交于點和點，若，則x的取值范圍是______．
11．若正比例函數與反比例函數 的圖像沒有交點，則 取值范圍是____________
12．正比例函數與反比例函數的一個交點為 ，當正比例函數的圖像在反比例函數圖像的上方時，則 的取值范圍是_____________
13．已知函數，與成正比例，與成反比例，當時，；當時，．求：
(1)y與x的函數關系式；
(2)當時，y的值．
14．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點、在軸的正半軸上，，．對角線，相交于點，反比例函數的圖象經過點，分別與，交于點，．
(1)若，求的值；
(2)連接，若，求的面積．
15．如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于，兩點．
(1)已知點的橫坐標為3．
①求反比例函數的表達式；
②不等式的解集是________；
若，則的取值范圍是________．
16．如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A，C分別在坐標軸上，頂點B的坐標為．過點和的直線分別與AB，BC交于點M，N．
(1)求直線DE的解析式和點M的坐標；
(2)若反比例函數的圖象經過點M，求該反比例函數的解析式，并通過計算判斷點N是否在該函數的圖象上；
(3)若反比例函數的圖象與有公共點，請直接寫出m的取值范圍．
17．如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數y＝的圖像經過點A（3，m）與B（6，m﹣6），過點A作AC⊥x軸，垂足為C，連接AB、BC．
（1）求m的值；
（2）求證：△ABC為等腰三角形；
（3）第一象限是否存在D、E，使得D在雙曲線上，且以點B、C、D、E為頂點的四邊形是正方形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
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