資源簡介

第11練 分式方程
（一）分式方程
1.分式方程：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。
2.分式方程的一般方法
解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。
它的一般解法是：
（1）去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母
（2）解所得的整式方程
（3）驗(yàn)根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3.分式方程的特殊解法
換元法：換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用非常廣泛，當(dāng)分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時(shí)，可考慮用換元法。
（二）列方程（組）解應(yīng)用題常見類型題及其等量關(guān)系；
1.工程問題
（1）基本工作量的關(guān)系：工作量=工作效率×工作時(shí)間
（2）常見的等量關(guān)系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作總量
（3）注意：工程問題常把總工程看作“1”，水池注水問題屬于工程問題
2.行程問題
（1）基本量之間的關(guān)系：路程=速度×?xí)r間
（2）常見等量關(guān)系：
相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=全路程
追及問題（設(shè)甲速度快）：
同時(shí)不同地：甲的時(shí)間=乙的時(shí)間；甲走的路程–乙走的路程=原來甲、乙相距路程
同地不同時(shí)：甲的時(shí)間=乙的時(shí)間–時(shí)間差；甲的路程=乙的路程
3.水中航行問題：
順流速度=船在靜水中的速度+水流速度；
逆流速度=船在靜水中的速度–水流速度
4.增長率問題：
常見等量關(guān)系：增長后的量=原來的量+增長的量；增長的量=原來的量×（1+增長率）；
5.數(shù)字問題：
基本量之間的關(guān)系：三位數(shù)=個(gè)位上的數(shù)+十位上的數(shù)×10+百位上的數(shù)×100
（三）列方程解應(yīng)用題的常用方法
1、譯式法：就是將題目中的關(guān)鍵性語言或數(shù)量及各數(shù)量間的關(guān)系譯成代數(shù)式，然后根據(jù)代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系找出等量關(guān)系。
2、線示法：就是用同一直線上的線段表示應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)線段長度的內(nèi)在聯(lián)系，找出等量關(guān)系。
3、列表法：就是把已知條件和所求的未知量納入表格，從而找出各種量之間的關(guān)系。
4、圖示法：就是利用圖表示題中的數(shù)量關(guān)系，它可以使量與量之間的關(guān)系更為直觀，這種方法能幫助我們更好地理解題意。
1．已知方程：
①； ② ③； ④．
這四個(gè)方程中，分式方程的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】根據(jù)定義可知，①②③為分式方程，故選：B．
2．某工程甲單獨(dú)做需x天完成，如果乙單獨(dú)做要比甲多3天．若甲乙合作5天后，余下的由甲獨(dú)做3天也能完成該工程，那么根據(jù)題意可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：∵某工程甲單獨(dú)做需x天完成，如果乙單獨(dú)做要比甲多3天
∴為甲每天能完成的工作量，為乙每天能完成的工作量，即甲乙合作5天的工作量，為甲獨(dú)做3天的工作量，化簡為：．故選：A．
3．若關(guān)于的方程無解，則的值為（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．
【答案】D
【解析】解：，
化簡得：，
當(dāng)分式方程有增根時(shí)，
代入得，
當(dāng)分母為0時(shí)，，
的值為-1或1，
故選：D．
4．若關(guān)于x的方程有增根，則a的值是（ ）．
A．3 B．—3 C．9 D．—9
【答案】A
【解析】解：原方程兩邊同乘以(x 3)得
2(x 3)+a=x，
∵方程有增根，
∴增根為x=3，
將x=3代入得，a=3，
故選：A．
5．若關(guān)于x的分式方程的解為正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：
去分母，得
x+m-3m=3(x-2)解得x=3-m
∵3-m≠2
∴m≠1
又分式方程的解為正實(shí)數(shù)
∴3-m＞0
∴m＜3
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是
故選：A．
6．已知關(guān)于x的分式方程的解為負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是（ ）
A．k≤-12且k≠-3 B．k>-12 C．k<-12且k≠-3 D．k<-12
【答案】D
【解析】方程的兩邊同時(shí)乘以得：
，
∴，
∴，
∴，
∵解為負(fù)數(shù)，
∴，
解得：，故D正確．
故選：D．
7．方程的解是（ ）
A． B． C． D．無解
【答案】D
【解析】解：兩邊同乘，得 ，
去括號，移項(xiàng)并合并同類項(xiàng)，得 ，
系數(shù)化為1，求得 ，
經(jīng)檢驗(yàn)，為原分式方程的增根，原方程無解．
故選：D
8．如果關(guān)于x的不等式組至少有3個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的和是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】C
【解析】解：解不等式得：，
∴原不等式組的解集為：，
∵原不等式組至少有3個(gè)整數(shù)解，
∴，
解分式方程得：，
∵，
∴，解得：，
∵原分式方程的解是非負(fù)數(shù)，
∴，解得：，
綜上分析，a的范圍是：且，
∴滿足條件的整數(shù)a的和為：2+3+5+6=16，
故選：C．
9．方程＝0的根是__．
【答案】x=﹣2
【解析】解：分式方程，
去分母得：x2﹣4＝0，
解得：x＝2或x＝﹣2，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝2是增根，
則分式方程的解為x＝﹣2．
故答案為：x＝﹣2．
10．開學(xué)在即，由于新冠疫情學(xué)校決定共用6000元分兩次購進(jìn)口罩2200個(gè)免費(fèi)發(fā)放給學(xué)生．若兩次購買口罩的費(fèi)用相同，且第一次購買口罩的單價(jià)是第二次購買口罩單價(jià)的1.2倍，則第二次購買口罩的單價(jià)是_________元．
【答案】
【解析】解：設(shè)第二次購買口罩的單價(jià)是x元，則第一次購買口罩的單價(jià)是1.2x元，
依題意得：
解得：
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意．
故答案為：．
11．用換元法解分式方程時(shí)，如果設(shè)，將原方程化為關(guān)于y的整式方程，那么這個(gè)整式方程是______．
【答案】
【解析】解：設(shè)，則，
原方程化為：，
兩邊同時(shí)乘以y得：，即．
故答案為：．
12．若關(guān)于x的分式方程＝有增根，則實(shí)數(shù)m的值是____．
【答案】6
【解析】解：∵分式方程有增根，
∴x﹣3＝0，
解得x＝3，
原分式方程化為：3﹣2x＝m﹣9，
把x＝3代入3﹣2x＝m﹣9，
得3﹣2×3＝m﹣9，
解得m＝6，
故答案為：6．
13．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)原方程無解；(2)
【分析】(1)去分母得：，
解得：，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
是增根，原方程無解；
(2)去分母得：，
解得：，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
是原方程的解．
14．小明去離家3000米的奧體中心看某明星演唱會(huì)，到奧體中心后，發(fā)現(xiàn)演唱會(huì)門票忘帶了，此時(shí)離演唱會(huì)開始還有30分鐘，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一輛“共享單車”原路趕回奧體中心，已知小明騎車的時(shí)間比跑步的時(shí)間少用了5分鐘，且騎車的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．
(1)求小明跑步的平均速度；
(2)如果小明在家取票和尋找“共享單車”共用了4分鐘，他能否在演唱會(huì)開始前趕到奧體中心？說明理由．
【答案】(1)小明跑步的平均速度為200米/分鐘
(2)小明能在演唱會(huì)開始前趕到奧體中心，見解析
【分析】(1)設(shè)小明跑步的平均速度為x米/分鐘，則小明騎車的平均速度為1.5x米/分鐘，
根據(jù)題意得：，
解得：x＝200．
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝200是原分式方程的解．
答：小明跑步的平均速度為200米/分鐘．
(2)小明跑步到家所需時(shí)間為3000÷200＝15（分鐘），
小明騎車所用時(shí)間為15－5＝10（分鐘），
小明從開始跑步回家到趕回奧體中心所需時(shí)間為15＋10＋4＝29（分鐘），
∵29＜30，
∴小明能在演唱會(huì)開始前趕到奧體中心．
15．某縣為了落實(shí)中央的“強(qiáng)基惠民工程”，計(jì)劃將某村的居民自來水管道進(jìn)行改造．該工程若由甲隊(duì)單獨(dú)施工恰好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成；若乙隊(duì)單獨(dú)施工，則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的3倍．如果由甲、乙隊(duì)先合做15天，那么余下的工程由甲隊(duì)單獨(dú)完成還需10天．
(1)這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是多少天？
(2)已知甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為6500元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為3500元．為了縮短工期以減少對居民用水的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊(duì)合做來完成．則該工程施工費(fèi)用是多少？
【答案】(1)30天；(2)225000元
【分析】解：（1）設(shè)這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是x天，根據(jù)題意得：
，
解得：x＝30．
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝30是原分式方程的解．
答：這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是30天．
(2)該工程由甲、乙隊(duì)合做完成，所需時(shí)間為：1÷（天），
則該工程施工費(fèi)用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．
答：該工程的費(fèi)用為225000元．
16．截至2021年，高速公路已經(jīng)貫通云南16個(gè)州市，云南省正全力推進(jìn)縣域高速公路“能通全通” “互聯(lián)互通”工程建設(shè)．已知甲、乙兩地之間國道全長為500，經(jīng)過改修高速公路后，長度減少了100，高速公路通車后，一輛長途汽車在高速公路上行駛的平均速度比在國道上行駛的平均速度快30/，從甲地到乙地，由高速公路所需時(shí)間是由國道所需時(shí)間的一半．求該長途汽車在國道上行駛的平均速度．
【答案】50km/h
【解析】解：設(shè)長途汽車在國道上行駛的平均速度為/，則在高速公路上行駛的平均速度為（+30）/，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是方程的根，且符合實(shí)際，
答：該長途汽車在國道上行駛的平均速度為50/．
17．已知，關(guān)于x的分式方程．
(1)當(dāng)，時(shí)，求分式方程的解；
(2)當(dāng)時(shí)，求b為何值時(shí)分式方程無解；
(3)若，且a、b為正整數(shù)，當(dāng)分式方程的解為整數(shù)時(shí)，求b的值．
【答案】(1)；(2)；(3)3、29、55、185
【分析】(1)解：把a(bǔ)=2，b=1代入原分式方程中，
得：，
方程兩邊同時(shí)乘以，
得：，
解得：，
檢驗(yàn)：把代入，
∴原分式方程的解為：．
(2)解：把a(bǔ)=1代入原分式方程中，
得：，
方程兩邊同時(shí)乘以，
得：，
去括號，得：，
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得：，
①當(dāng)時(shí)，即，原分式方程無解；
②當(dāng)時(shí)，得，
Ⅰ.時(shí)，原分式方程無解，
即時(shí)，
此時(shí)b不存在；
Ⅱ.x=5時(shí)，原分式方程無解，
即時(shí)，
此時(shí)b=5；
綜上所述，時(shí)，分式方程無解．
(3)解：把a(bǔ)=3b代入分式方程中，
得：，
方程兩邊同時(shí)乘以，
得：，
，
解得：，
∵b為正整數(shù)，x為整數(shù)，
∴10+ b必為195的因數(shù)，10+b≥11，
∵195=3×5×13，
∴195的因數(shù)有1、3、5、13、15、39、65、195，
∵1、3、5都小于11，
∴10十b可以取13、15、39、65、195這五個(gè)數(shù)，
對應(yīng)地，方程的解x=3、5、13、15、17，
又x=5為分式方程的增根，故應(yīng)舍去，
對應(yīng)地，b只可以取3、29、55、185，
∴滿足條件的b可取3、29、55、185這四個(gè)數(shù)．
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（一）分式方程
1.分式方程：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。
2.分式方程的一般方法
解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。
它的一般解法是：
（1）去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母
（2）解所得的整式方程
（3）驗(yàn)根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3.分式方程的特殊解法
換元法：換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用非常廣泛，當(dāng)分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時(shí)，可考慮用換元法。
（二）列方程（組）解應(yīng)用題常見類型題及其等量關(guān)系；
1.工程問題
（1）基本工作量的關(guān)系：工作量=工作效率×工作時(shí)間
（2）常見的等量關(guān)系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作總量
（3）注意：工程問題常把總工程看作“1”，水池注水問題屬于工程問題
2.行程問題
（1）基本量之間的關(guān)系：路程=速度×?xí)r間
（2）常見等量關(guān)系：
相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=全路程
追及問題（設(shè)甲速度快）：
同時(shí)不同地：甲的時(shí)間=乙的時(shí)間；甲走的路程–乙走的路程=原來甲、乙相距路程
同地不同時(shí)：甲的時(shí)間=乙的時(shí)間–時(shí)間差；甲的路程=乙的路程
3.水中航行問題：
順流速度=船在靜水中的速度+水流速度；
逆流速度=船在靜水中的速度–水流速度
4.增長率問題：
常見等量關(guān)系：增長后的量=原來的量+增長的量；增長的量=原來的量×（1+增長率）；
5.數(shù)字問題：
基本量之間的關(guān)系：三位數(shù)=個(gè)位上的數(shù)+十位上的數(shù)×10+百位上的數(shù)×100
（三）列方程解應(yīng)用題的常用方法
1、譯式法：就是將題目中的關(guān)鍵性語言或數(shù)量及各數(shù)量間的關(guān)系譯成代數(shù)式，然后根據(jù)代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系找出等量關(guān)系。
2、線示法：就是用同一直線上的線段表示應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)線段長度的內(nèi)在聯(lián)系，找出等量關(guān)系。
3、列表法：就是把已知條件和所求的未知量納入表格，從而找出各種量之間的關(guān)系。
4、圖示法：就是利用圖表示題中的數(shù)量關(guān)系，它可以使量與量之間的關(guān)系更為直觀，這種方法能幫助我們更好地理解題意。
1．已知方程：
①； ② ③； ④．
這四個(gè)方程中，分式方程的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．某工程甲單獨(dú)做需x天完成，如果乙單獨(dú)做要比甲多3天．若甲乙合作5天后，余下的由甲獨(dú)做3天也能完成該工程，那么根據(jù)題意可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
3．若關(guān)于的方程無解，則的值為（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．
4．若關(guān)于x的方程有增根，則a的值是（ ）．
A．3 B．—3 C．9 D．—9
5．若關(guān)于x的分式方程的解為正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．已知關(guān)于x的分式方程的解為負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是（ ）
A．k≤-12且k≠-3 B．k>-12 C．k<-12且k≠-3 D．k<-12
7．方程的解是（ ）
A． B． C． D．無解
8．如果關(guān)于x的不等式組至少有3個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的和是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
9．方程＝0的根是__．
10．開學(xué)在即，由于新冠疫情學(xué)校決定共用6000元分兩次購進(jìn)口罩2200個(gè)免費(fèi)發(fā)放給學(xué)生．若兩次購買口罩的費(fèi)用相同，且第一次購買口罩的單價(jià)是第二次購買口罩單價(jià)的1.2倍，則第二次購買口罩的單價(jià)是_________元．
11．用換元法解分式方程時(shí)，如果設(shè)，將原方程化為關(guān)于y的整式方程，那么這個(gè)整式方程是______．
12．若關(guān)于x的分式方程＝有增根，則實(shí)數(shù)m的值是____．
13．解方程：
(1)；
(2)．
14．小明去離家3000米的奧體中心看某明星演唱會(huì)，到奧體中心后，發(fā)現(xiàn)演唱會(huì)門票忘帶了，此時(shí)離演唱會(huì)開始還有30分鐘，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一輛“共享單車”原路趕回奧體中心，已知小明騎車的時(shí)間比跑步的時(shí)間少用了5分鐘，且騎車的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．
(1)求小明跑步的平均速度；
(2)如果小明在家取票和尋找“共享單車”共用了4分鐘，他能否在演唱會(huì)開始前趕到奧體中心？說明理由．
15．某縣為了落實(shí)中央的“強(qiáng)基惠民工程”，計(jì)劃將某村的居民自來水管道進(jìn)行改造．該工程若由甲隊(duì)單獨(dú)施工恰好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成；若乙隊(duì)單獨(dú)施工，則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的3倍．如果由甲、乙隊(duì)先合做15天，那么余下的工程由甲隊(duì)單獨(dú)完成還需10天．
(1)這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是多少天？
(2)已知甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為6500元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為3500元．為了縮短工期以減少對居民用水的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊(duì)合做來完成．則該工程施工費(fèi)用是多少？
16．截至2021年，高速公路已經(jīng)貫通云南16個(gè)州市，云南省正全力推進(jìn)縣域高速公路“能通全通” “互聯(lián)互通”工程建設(shè)．已知甲、乙兩地之間國道全長為500，經(jīng)過改修高速公路后，長度減少了100，高速公路通車后，一輛長途汽車在高速公路上行駛的平均速度比在國道上行駛的平均速度快30/，從甲地到乙地，由高速公路所需時(shí)間是由國道所需時(shí)間的一半．求該長途汽車在國道上行駛的平均速度．
17．已知，關(guān)于x的分式方程．
(1)當(dāng)，時(shí)，求分式方程的解；
(2)當(dāng)時(shí)，求b為何值時(shí)分式方程無解；
(3)若，且a、b為正整數(shù)，當(dāng)分式方程的解為整數(shù)時(shí)，求b的值．
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