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第09練 分式的加減
1.加、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；
2.異分母的分式相加減，先把它們通分成同分母的分式再相加減。
1．已知，在的分子分母同時加2，得分式，此分式的值在原分式的值上有所（ ）
A．增大 B．不變 C．減小 D．無法比較
【答案】A
【解析】解：－
＝
＝
＝
∵
∴，
∴
∴－>0
∴＞
∴分式的值在原分式的值上有所增大；故選：A
2．計算＋等于（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】解：原式=
=1．
故選：B．
3．下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：，故選：D．
4．若，則等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】解：由已知得：，
又∵，
∴，
∴原式，故選：C．
5．已知兩個分式：A＝，B＝，其中x≠3且x≠0，則A與B的關系是（ ）
A．相等 B．互為倒數 C．互為相反數 D．不能確定
【答案】A
【解析】解：，故選A．
6．若，則A，B的值分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
，
∴，
解得：．
故選：A．
7．計算的結果是_________．
【答案】
【解析】解：原式
．
故答案為：．
8．已知，則的值為______．
【答案】8
【解析】解：因為，
所以，
所以，
所以．
故答案為：8．
9．在實數范圍內定義一種運算*，其規則為，根據這個規則________．
【答案】
【解析】解：根據題意得：
故答案為：．
10．若，則分式的值為__________．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，即，
∴
=
=
=
=．
故答案為：．
11．已知＝，且A、B為常數，則A+3B＝_____．
【答案】0
【解析】解：
＝
＝
＝，
∵＝，且A、B為常數，
∴，
∴，
解得：，
∴A+3B＝3+3×(-1)=0，
故答案為：0．
12．已知：，其中a，b，c，d是常數，則a+2b+3c+4d的值為_____．
【答案】0
【解析】解：∵，
＝，
＝，
∴a＝1，b＝﹣3，c＝3，d＝﹣1，
∴a+2b+3c+4d＝1+2×（﹣3）+3×3+4×（﹣1），
＝0，
故答案為0．
13．先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
當a=3時，原式
14．閱讀下列材料：
小銘和小雨在學習過程中有如下一段對話：
小銘：“我知道一般當m≠n時，m2＋n≠m＋n2．可是我見到有這樣一個神奇的等式：（）2＋＝＋（）2（其中a，b為任意實數，且b≠0）．你相信它成立嗎？”
小雨：“我可以先給a，b取幾組特殊值驗證一下看看．”
完成下列任務：
（1）請選擇兩組你喜歡的、合適的a，b的值，分別代入閱讀材料中的等式，寫出代入后得到的具體等式并驗證它們是否成立；
①當a＝2，b＝3時，等式__________（填寫“成立”或“不成立”）；
②當a＝3，b＝5時，等式__________（填寫“成立”或“不成立”）．
（2）對于任意實數a，b（b≠0），通過計算說明（）2＋＝＋（）2是否成立．
【答案】（1）①成立；②成立；（2）成立
【解析】（1）①成立；②成立．
（2）∵左邊＝（）2＋＝＝，
右邊＝＋（）2＝＋＝．
所以等式（）2＋＝＋（）2成立．
15．有這樣一段敘述：“要比較與的大小，可以先求出與的差，再看這個差是正數、負數還是0”．由此可見，要比較兩個代數式的值的大小，只要考查它們的差即可．
問題：甲、乙兩人兩次同時去同一個商店購買水果（假設兩次購水果的單價不同，分別為元，元，），甲每次購水果20千克，乙每次購水果用去20元．
（1）用含，的代數式表示：甲兩次購水果共付 元；乙兩次共購 千克水果；甲兩次購水果的平均單價為 元/千克，乙兩次購水果的平均單價為 元/千克；
（2）現規定：誰購水果的平均單價低，誰購水果的方式就合算，請你判斷甲、乙兩人的購水果方式哪一個更合算？并說明理由．
【答案】（1）（20x＋20y）；（）；；（2）乙購買水果的方式更合算些，理由見解析
【解析】解：（1）甲每次購買水果共需要付款（20x＋20y）元；
乙兩次共購買（）千克的水果；
甲兩次購水果的平均單價Q1＝，乙兩次購水果的平均單價Q2＝40÷（）=；
故答案為：（20x＋20y）；（）；；
（2）乙購買水果的方式更合算些，理由為：
Q1 Q2＝-=，
∵x≠y，x＞0，y＞0，
∴（x y）2＞0，2（x＋y）＞0，
∴＞0，
∴Q1 Q2＞0，即Q1＞Q2，
∴乙購買水果的方式更合算些．
16．計算下列兩式，探索其中的共同規律．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
；
（2）
17．定義：若兩個分式的和為（為正整數），則稱這兩個分式互為“階分式”，例如分式與互為“3階分式”.
（1）分式與 互為“5階分式”；
（2）設正數互為倒數，求證：分式與互為“2階分式”；
（3）若分式與互為“1階分式”（其中為正數），求的值.
【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）
【解析】（1）依題意，所求分式為A，即：，
∴；
（2）∵正數互為倒數
∴，即
∴
∴分式與互為“2階分式”；
（3）由題意得，等式兩邊同乘
化簡得：
即：
∴，即
∴或0
∵為正數
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1.加、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；
2.異分母的分式相加減，先把它們通分成同分母的分式再相加減。
1．已知，在的分子分母同時加2，得分式，此分式的值在原分式的值上有所（ ）
A．增大 B．不變 C．減小 D．無法比較
2．計算＋等于（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
3．下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，則等于（ ）
A． B． C． D．1
5．已知兩個分式：A＝，B＝，其中x≠3且x≠0，則A與B的關系是（ ）
A．相等 B．互為倒數 C．互為相反數 D．不能確定
6．若，則A，B的值分別為（ ）
A． B． C． D．
7．計算的結果是_________．
8．已知，則的值為______．
9．在實數范圍內定義一種運算*，其規則為，根據這個規則________．
10．若，則分式的值為__________．
11．已知＝，且A、B為常數，則A+3B＝_____．
12．已知：，其中a，b，c，d是常數，則a+2b+3c+4d的值為_____．
13．先化簡，再求值：，其中．
14．閱讀下列材料：
小銘和小雨在學習過程中有如下一段對話：
小銘：“我知道一般當m≠n時，m2＋n≠m＋n2．可是我見到有這樣一個神奇的等式：（）2＋＝＋（）2（其中a，b為任意實數，且b≠0）．你相信它成立嗎？”
小雨：“我可以先給a，b取幾組特殊值驗證一下看看．”
完成下列任務：
（1）請選擇兩組你喜歡的、合適的a，b的值，分別代入閱讀材料中的等式，寫出代入后得到的具體等式并驗證它們是否成立；
①當a＝2，b＝3時，等式__________（填寫“成立”或“不成立”）；
②當a＝3，b＝5時，等式__________（填寫“成立”或“不成立”）．
（2）對于任意實數a，b（b≠0），通過計算說明（）2＋＝＋（）2是否成立．
15．有這樣一段敘述：“要比較與的大小，可以先求出與的差，再看這個差是正數、負數還是0”．由此可見，要比較兩個代數式的值的大小，只要考查它們的差即可．
問題：甲、乙兩人兩次同時去同一個商店購買水果（假設兩次購水果的單價不同，分別為元，元，），甲每次購水果20千克，乙每次購水果用去20元．
（1）用含，的代數式表示：甲兩次購水果共付 元；乙兩次共購 千克水果；甲兩次購水果的平均單價為 元/千克，乙兩次購水果的平均單價為 元/千克；
（2）現規定：誰購水果的平均單價低，誰購水果的方式就合算，請你判斷甲、乙兩人的購水果方式哪一個更合算？并說明理由．
16．計算下列兩式，探索其中的共同規律．
（1）；
（2）．
17．定義：若兩個分式的和為（為正整數），則稱這兩個分式互為“階分式”，例如分式與互為“3階分式”.
（1）分式與 互為“5階分式”；
（2）設正數互為倒數，求證：分式與互為“2階分式”；
（3）若分式與互為“1階分式”（其中為正數），求的值.
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