資源簡介

限時練習：80min 完成時間： 月 日 天氣：
暑假作業04 平行四邊形的判定與性質
知識點01 平行四邊形的定義
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
知識點02 平行四邊形的性質
（1）對邊平行且相等；（2）對角相等；鄰角互補；（3）對角線互相平分；（4）中心對稱圖形.
知識點03平行四邊形的面積
知識點04 平行四邊形的判定
邊：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
角：（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
邊與角：（5）一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；
對角線：（6）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
知識點05 三角形的中位線定理
1）三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段稱為中位線（三角形中有3條中位線）
2）三角形中位線定理：如下圖，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，即若點D、E分別為AB、AC的中點，則DE//BC且DE=BC。
題型一 添一個條件成為平行四邊形
1．如圖所示，在四邊形中，，要使四邊形成為平行四邊形還需要條件（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，在四邊形中，已知，若要判定四邊形為平行四邊形，在不添加輔助線的前提下只添加一個條件，則這個條件可以為 ．
3．已知四邊形中，，，相交于點，將兩端延長，使，連結，，，，添加下列條件之一①，②，③，使四邊形為平行四邊形．

(1)你添加的條件是：______；（填序號）
(2)添加條件后求證四邊形ABCD為平行四邊形．
題型二 利用平行四邊形的性質求角度
1、如圖，在中，，于點E，若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
2．在平行四邊形中，，則 度．
3．已知，中，，，，為垂足，
(1)求的長；
(2)若，，求的度數．
題型三 利用平行四邊形的性質求長度
1．如圖，平行四邊形的對角線，相交于點 O，于點 C，，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，的周長為，對角線與相交于點O，交于E，連接．則的周長為 ．
3．如圖，在平行四邊形中，平分，交于點F，平分，交于點E．

(1)求證：；
(2)若，平行四邊形的周長為44，求的長．
題型四 利用平行四邊形的性質求面積
1．如圖，在中，對角線，相交于點，，，，則的面積是（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，在中，，，，則的面積 ．
3．如圖，在四邊形中，．
(1)求的長；
(2)求四邊形的面積．
題型五 平行四邊形的存在性問題
1．如圖，在四邊形ABCD中，，AD＝5cm，BC＝10cm，點P從點A出發，以1cm/s的速度向D運動，同時，點Q從點C以相同的速度向B運動．當點P運動到點D時，點Q隨之停止運動．若設運動的時間為t秒，以點A、B、C、D、P、Q任意四個點為頂點的四邊形中同時存在兩個平行四邊形，則t的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如圖，在四邊形中，，點從點出發，以的速度向點運動，點從點出發，以的速度向運動，兩點同時出發，當點運動到點時，點也隨之停止運動。若設運動的時間為秒，當 時，在、、、、、六點中，恰好存在四點可以組成平行四邊形．

3．如圖，在同一平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線與直線交于點P．
(1)求P點的坐標．
(2)設直線與直線在第一象限內的圖象為G，若直線與圖象G只有兩個交點，請寫出m的取值范圍．
(3)在平面內是否存在一點Q，使得以點O，A，B，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在請直接寫出Q點的坐標，若不存在請說明理由．
題型六 反證法
1．在下列說法中：①三角形至少有兩個銳角，②三角形最多有一個鈍角，③三角形至少有一個內角的度數不少于．其中正確的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
2．我們可以用反證法來證明“在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于”．下面寫出了證明該問題過程中的四個步驟：①這與“三角形的內角和等于”這個定理矛盾．②所以在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于．③假設三角形沒有一個內角小于或等于，即三個內角都大于．④則三角形的三個內角的和大于．這四個步驟正確的順序是 .
3．用反證法證明：的三個內角中至少有一個角不大于．
題型七 與三角形中位線有關的求解問題
1．如圖，中，，是的中位線，點在上，且．若，，則長為（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
2．如圖，在中，點E是的中點，平分，且于點D．若，，則的長為 ．

3．如圖，在四邊形中，，，分別是，的中點，且，連接．

(1)求的度數；
(2)若，比長，求的長．
題型八 三角形中位線的實際應用
1．如圖，、兩地被池塘隔開，在沒有任何測量工具的情況下，小強通過下面的方法估測出、間的距離：先在外選一點，然后步測出、的中點、，并且步測出長，由此知道長．若步測長為，則，間的距離是（ ）

A． B． C． D．
2．如圖，把兩根鋼條的一個端點連在一起，點C，D分別是的中點，若，則該工件內槽寬的長為 cm．
3．如圖，A、B兩地被建筑物阻隔，為測量A、B兩地的距離，連接、，分別取、的中點、．若的長為，求A、B兩地的距離．
1．在四邊形中，對角線與交于點，下列各組條件，其中不能判定四邊形是平行四邊形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
2．在平行四邊形中，平分，若，，則長是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
3．如圖，平行四邊形的對角線與相交于點O，，若，則的長是（　　）
A． B． C． D．
4．在中，，平分交于點E，平分交于點F，且，則的長為（ ）
A．4 B．6 C．6或8 D．4或6
5．如圖，的周長為，與相交于點，交于，則的周長為（　　）

A． B． C． D．
6．如圖，在中，平分交于點E，若，則的周長是 ．
7．如圖，E是平行四邊形內任一點，若，則圖中陰影部分的面積是 ．

8．在平而直角坐標系中，點A，C的坐標分別是，若以點A、B、C、O為頂點的四邊形為平行四邊形，則頂點B的坐標是 ．
9．如圖，平行四邊形的對角線，相交于點，交于點，連接．若的周長為10cm，則平行四邊形的周長為 cm．
10．在中，點D，E分別是上的點，且，點F是延長線上一點，連接．添加下列條件：①；②；③；④．能使四邊形是平行四邊形的是 （填上所有符合要求的條件的序號）．
11．如圖，四邊形中，，．求證：四邊形為平行四邊形．
12．如圖，四邊形中，，，垂足分別為點．
(1)請你只添加一個條件(不另加輔助線)，使得四邊形為平行四邊形，你添加的條件是 ．
(2)添加了條件后，請證明四邊形為平行四邊形．
13．如圖，點O為的對角線的中點，經過點O的直線分別交和于點E，F，交和的延長線于點G，H．

(1)求證：；
(2)若，，求的長．
14．如圖，平行四邊形，對角線交于點O，點E在上，點F在上，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，求的長．
15．如圖，在中，點是對角線的中點．某數學學習小組要在上找兩點，使四邊形為平行四邊形，現總結出甲、乙兩種方案如下：
甲方案 乙方案
分別取的中點E，F 作于點E，于點F
請回答下列問題：
(1)以上方案能得到四邊形為平行四邊形的是______，選擇其中一種并證明，若不能，請說明理由；
(2)若，，求的面積．
1．（2021·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在平行四邊形中，將沿著所在的直線翻折得到，交于點，連接，若，，，則的長是（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，的頂點、分別在直線，上，，若，，則 ．
3．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，在中，，若，則的度數是 ．
4．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，在中，．利用尺規在、上分別截取、，使；分別以、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；作射線交于點．若，則的長為 ．
5．（2021·江蘇揚州·中考真題）如圖，在中，點E在上，且平分，若，，則的面積為 ．

6．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，四邊形的兩條對角線，互相垂直，，，則的最小值是 ．

7．（2022·江蘇鎮江·中考真題）如圖，在和中，，、、分別為、、的中點，若，則 ．
8．（2022·江蘇揚州·中考真題）“做數學”可以幫助我們積累數學活動經驗．如圖，已知三角形紙片，第1次折疊使點落在邊上的點處，折痕交于點；第2次折疊使點落在點處，折痕交于點．若，則 ．
9．（2023·江蘇鎮江·中考真題）如圖，B是AC的中點，點D，E在同側，，．
(1)求證：≌．
(2)連接，求證：四邊形是平行四邊形．
10．（2023·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在中，，，．

(1)求出對角線的長；
(2)尺規作圖：將四邊形沿著經過點的某條直線翻折，使點落在邊上的點處，請作出折痕．（不寫作法，保留作圖痕跡）
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暑假作業04 平行四邊形的判定與性質
知識點01 平行四邊形的定義
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
知識點02 平行四邊形的性質
（1）對邊平行且相等；（2）對角相等；鄰角互補；（3）對角線互相平分；（4）中心對稱圖形.
知識點03平行四邊形的面積
知識點04 平行四邊形的判定
邊：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
角：（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
邊與角：（5）一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；
對角線：（6）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
知識點05 三角形的中位線定理
1）三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段稱為中位線（三角形中有3條中位線）
2）三角形中位線定理：如下圖，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，即若點D、E分別為AB、AC的中點，則DE//BC且DE=BC。
題型一 添一個條件成為平行四邊形
1．如圖所示，在四邊形中，，要使四邊形成為平行四邊形還需要條件（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查對平行四邊形判定的理解和掌握，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵；根據平行四邊形的判定逐一判斷即可．
【詳解】A、，不能判定四邊形是平行四邊形，還可能是等腰梯形，故本選項不符合題意；
B、，推出，不能判定四邊形是平行四邊形，故本選項不符合題意；
C、，，能判定四邊形是平行四邊形，故本選項符合題意；
D、，推出，不能判定四邊形是平行四邊形，故本選項不符合題意；
故選：C．
2．如圖，在四邊形中，已知，若要判定四邊形為平行四邊形，在不添加輔助線的前提下只添加一個條件，則這個條件可以為 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．
由平行四邊形的判定方法即可得出結論．
【詳解】解：∵，
∴四邊形是平行四邊形，
故答案為：（答案不唯一）．
3．已知四邊形中，，，相交于點，將兩端延長，使，連結，，，，添加下列條件之一①，②，③，使四邊形為平行四邊形．

(1)你添加的條件是：______；（填序號）
(2)添加條件后求證四邊形ABCD為平行四邊形．
【答案】(1)①
(2)見解析．
【分析】（1）根據已知條件可知，再添加即可證明，進而可證得，根據平行四邊形的判定定理，一組對邊平行且相等證明即可；
（2）證明，進而可證得，根據平行四邊形的判定定理，一組對邊平行且相等證明即可．
【詳解】（1）解：添加的條件是①：；
而②，③，根據已有條件無法證明三角形全等，無法判斷四邊形ABCD為平行四邊形，
故答案為：①．
（2）證明：在和中，
∵，
∴
∴
∴
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和三角形全等判定和性質，解題關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理．
題型二 利用平行四邊形的性質求角度
1、如圖，在中，，于點E，若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查的是等腰三角形的性質，平行四邊形的性質，三角形的內角和定理的應用，熟記基本幾何圖形的性質是解本題的關鍵．證明，，由，可得，結合，可得．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：B．
2．在平行四邊形中，，則 度．
【答案】110
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．
根據平行四邊形的對角相等可得答案．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，
，
故答案為：110．
3．已知，中，，，，為垂足，
(1)求的長；
(2)若，，求的度數．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理的應用；
（1）根據已知條件證明，根據全等三角形的性質即可求解；
（2）根據平行四邊形的性質可得，進而根據三角形內角和定理可得，根據直角三角形的兩個銳互余即可求解．
【詳解】（1）解：∵中，，，
∴,
∴
∴
∵
∴；
（2）∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴
又∵
∴
題型三 利用平行四邊形的性質求長度
1．如圖，平行四邊形的對角線，相交于點 O，于點 C，，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是平行四邊形的性質，勾股定理的應用，根據勾股定理先求解，再求解，再結合平行四邊形的性質可得答案．
【詳解】解：∵平行四邊形的對角線相互平分，，
∴，
又∵，故為直角三角形，
∴根據勾股定理可得：，而，
∴，
∴，
∴；
故選：B．
2．如圖，的周長為，對角線與相交于點O，交于E，連接．則的周長為 ．
【答案】/4厘米
【分析】本題主要考查平行四邊形的性質，垂直平分線的性質，掌握以上知識的綜合運用是解題的關鍵．根據平行四邊形的性質可得點是的中點，根據，可得是線段的垂直平分線，可得，，根據的周長為可轉換為，由此即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵的周長為，
∴，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴點是的中點，即，
∵，
∴是線段的垂直平分線，
∴，
∵的周長為，
∴的周長為，
故答案為：．
3．如圖，在平行四邊形中，平分，交于點F，平分，交于點E．

(1)求證：；
(2)若，平行四邊形的周長為44，求的長．
【答案】(1)詳見解析
(2)
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，角平分線的性質，等角對等邊，二元一次方程組的應用，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．
（1）由平行線的性質和角平分線的性質可得，，可證；
（2）由題意可得，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴．
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵的周長為44，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴．
題型四 利用平行四邊形的性質求面積
1．如圖，在中，對角線，相交于點，，，，則的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理逆定理等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
由平行四邊形的性質可得，，可得，從而是直角三角形，且，根據計算求解即可．
【詳解】解：∵，，，
∴，，
∵，即，
∴是直角三角形，且，
∴，
故選C．
2．如圖，在中，，，，則的面積 ．
【答案】12
【分析】本題考查了平行四邊形的性質和勾股定理，正確求出的長是解題的關鍵．
根據平行四邊形的性質可得，然后根據垂直的定義可得，再利用勾股定理即可求出，得到，最后利用三角形的面積公式求面積即可．
【詳解】解：∵在中，
∴
∵
∴
在中，
∴
∴．
故答案為：12．
3．如圖，在四邊形中，．
(1)求的長；
(2)求四邊形的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，勾股定理：
（1）利用勾股定理求出，則，據此可證明四邊形是平行四邊形，則；
（2）根據平行四邊形面積計算公式求解即可．
【詳解】（1）解：，
，
在中，由勾股定理得
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
；
（2）解：四邊形是平行四邊形，且．
．
題型五 平行四邊形的存在性問題
1．如圖，在四邊形ABCD中，，AD＝5cm，BC＝10cm，點P從點A出發，以1cm/s的速度向D運動，同時，點Q從點C以相同的速度向B運動．當點P運動到點D時，點Q隨之停止運動．若設運動的時間為t秒，以點A、B、C、D、P、Q任意四個點為頂點的四邊形中同時存在兩個平行四邊形，則t的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根據題意計算AP、PD、BQ、CQ，再根據平行四邊形的判定方法進行逐一判定即可．
【詳解】解：A．t＝2時，AP＝2cm，PD＝3cm，CQ＝2cm，BQ＝8cm，因AD∥BC，此時構成一個平行四邊形APCQ，不符合題意；
B．t＝3時，AP＝3cm，PD＝2cm，CQ＝3cm，BQ＝7cm，因AD∥BC，此時構成一個平行四邊形APCQ，不符合題意；
C．t＝4時，AP＝4cm，PD＝1cm，CQ＝4cm，BQ＝6cm，因AD∥BC，此時只構成一個平行四邊形APCQ，不符合題意．
D．t＝5時，AP＝5cm，CQ＝5cm，BQ＝5cm，則CQ＝BQ＝AD，因AD∥BC，此時有2個平行四邊形：平行四邊形ADCQ和平行四邊形ADQB，符合題意．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，關鍵是熟記平行四邊形的判定方法．
2．如圖，在四邊形中，，點從點出發，以的速度向點運動，點從點出發，以的速度向運動，兩點同時出發，當點運動到點時，點也隨之停止運動。若設運動的時間為秒，當 時，在、、、、、六點中，恰好存在四點可以組成平行四邊形．

【答案】或4或2或3
【分析】如圖，由題意可得：，，則，，再分六種情況討論①當時， ②當，③當時，解得：，④當時，⑤當時，⑥當時，再逐一檢驗即可．
【詳解】解：由題意可得：，，
∵，，
∴，，

當四邊形是平行四邊形時，則，
∴，
解得；
當四邊形是平行四邊形時，則，
∴，
解得：；
當四邊形是平行四邊形時，則，
∴，
解得：；
當四邊形是平行四邊形時，則，
∴時，
解得，不合題意，舍去；
當四邊形是平行四邊形時，則，
∴時，
解得：；
當四邊形是平行四邊形時，則，
∴，
解得：，
綜上所述．當t的值為或4或2或3時，在A、B、C、D、P、Q六點中，恰好存在四點可以組成平行四邊形．
故答案為：或4或2或3．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，利用分類討論的思想求解是解本題的關鍵．
3．如圖，在同一平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線與直線交于點P．
(1)求P點的坐標．
(2)設直線與直線在第一象限內的圖象為G，若直線與圖象G只有兩個交點，請寫出m的取值范圍．
(3)在平面內是否存在一點Q，使得以點O，A，B，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在請直接寫出Q點的坐標，若不存在請說明理由．
【答案】(1)點P的坐標為
(2)或．（且）
(3)存在，；；
【分析】（1）聯立二元一次方程組求解即可；
（2）根據圖像判斷即可；
（3）如圖，分別過點A，B，O點作軸，軸，直線的平行線，交點分別為，則點即為所求作的點．
【詳解】（1）解：根據題意，得
解得
∴點P的坐標為．
（2）解：如圖，把y=0代入得，，
解得，，
點A的坐標為（3，0），
由點P的坐標為，
或．（且）
（3）解：存在Q，使得以點O，A，B，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，
如圖，分別過點A，B，O點作軸，軸，直線的平行線，交點分別為，則點即為所求作的點，
點A的坐標為（3，0），點B的坐標為（0，3），
，，
【點睛】本題考查了一次函數與幾何的綜合題，一次函數的交點坐標，一次函數與坐標軸的交點，一次函數與二元一次方程組，一次函數與不等式，正確理解一次函數的相關性質是解本題的關鍵．
題型六 反證法
1．在下列說法中：①三角形至少有兩個銳角，②三角形最多有一個鈍角，③三角形至少有一個內角的度數不少于．其中正確的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】本題考查了三角形內角和定理，反證法，舉反例．根據反證法，可證明①②③正確．
【詳解】解：①若三角形的三個內角至多只有一個銳角，則三個內角中至少有2個鈍角，那么三個內角的和就大于，與三角形三個內角的和等于矛盾，所以說法①正確；
②若三角形的三個內角最少有2個鈍角，那么三個內角的和就大于，與三角形三個內角的和等于矛盾，所以說法②正確；
③若三角形的三個內角都小于，那么三個內角的和就小于，與三角形三個內角的和等于矛盾，所以說法③正確．
故選：D．
2．我們可以用反證法來證明“在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于”．下面寫出了證明該問題過程中的四個步驟：①這與“三角形的內角和等于”這個定理矛盾．②所以在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于．③假設三角形沒有一個內角小于或等于，即三個內角都大于．④則三角形的三個內角的和大于．這四個步驟正確的順序是 .
【答案】③④①②
【分析】
此題主要考查了反證法的步驟，三角形的內角和定理．解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．
【詳解】解：求證：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于．
證明：假設三角形沒有一個內角小于或等于，即三個內角都大于，
則三角形的三個內角的和大于，
這與“三角形的內角和等于”這個定理矛盾，
所以在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于．
則四個步驟正確的順序是③④①②，
故答案為：③④①②．
3．用反證法證明：的三個內角中至少有一個角不大于．
【答案】見解析
【分析】利用三角形的內角和及反證法即可求解
【詳解】證明：假設，，都大于，則，
這與三角形的內角和等于相矛盾，因此假設不成立，
，，中至少有一個角不大于．
【點睛】本題考查了反證法及三角形內角和，熟練掌握反證法是解題的關鍵．
題型七 與三角形中位線有關的求解問題
1．如圖，中，，是的中位線，點在上，且．若，，則長為（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本題考查的是直角三角形斜邊的中線性質、三角形中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半”．先根據勾股定理求出，再根據三角形中位線定理求出的長，再由直角三角形的性質求出的長，進而可得出結論．
【詳解】解：在中，，
，，
，
為中位線，，
．
，，
，
．
故選：A．
2．如圖，在中，點E是的中點，平分，且于點D．若，，則的長為 ．

【答案】//1.5
【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質、三角形中位線得性質，延長交于N，利用證得，求得，，再根據三角形中位線的性質即可求解，熟練掌握全等三角形的判定及性質是解題的關鍵．
【詳解】解：延長交于N，
平分，，
，，
又，
，
，，
，
∵點E是的中點，
，
則是的中位線，
∴，
故答案為：．
3．如圖，在四邊形中，，，分別是，的中點，且，連接．

(1)求的度數；
(2)若，比長，求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】此題考查了三角形的中位線的性質，勾股定理，平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握三角形中位線的性質．
（）先由三角形中位線可得，則可求出，最后利用角度和差即可求解；
（）由題意可設，則，再由勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：∵，分別是，的中點，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（）得：，
在中，
由勾股定理得：，
即，
解得：，即，
∵，分別是，的中點，
∴．
題型八 三角形中位線的實際應用
1．如圖，、兩地被池塘隔開，在沒有任何測量工具的情況下，小強通過下面的方法估測出、間的距離：先在外選一點，然后步測出、的中點、，并且步測出長，由此知道長．若步測長為，則，間的距離是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了三角形中位線定理的運用，由，分別是邊，的中點，首先判定是三角形的中位線，然后根據三角形的中位線定理求得的值即可．
【詳解】解：、分別是、的中點，
是的中位線，
根據三角形的中位線定理，得：．
故選：D．
2．如圖，把兩根鋼條的一個端點連在一起，點C，D分別是的中點，若，則該工件內槽寬的長為 cm．
【答案】6
【分析】本題考查了三角形中位線定理的應用．利用三角形中位線定理“三角形的中位線是第三邊的一半”即可求解．
【詳解】解：∵點分別是的中點，
∴，
∴，
故答案為：6．
3．如圖，A、B兩地被建筑物阻隔，為測量A、B兩地的距離，連接、，分別取、的中點、．若的長為，求A、B兩地的距離．
【答案】
【分析】本題考查的是三角形中位線定理，根據三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半解題即可．
【詳解】點，分別為，的中點，
，
∴
答：、兩地的距離為．
1．在四邊形中，對角線與交于點，下列各組條件，其中不能判定四邊形是平行四邊形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】此題考查了平行四邊形的判定，根據平行四邊形的判定定理逐項判斷即可，熟記平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．
【詳解】解：、∵，，
∴四邊形是平行四邊形．故能判定這個四邊形是平行四邊形；
、∵，，
∴四邊形是平行四邊形．故能判定這個四邊形是平行四邊形；
、由，，不能判定這個四邊形是平行四邊形；
、∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，故能判定這個四邊形是平行四邊形，
故選：．
2．在平行四邊形中，平分，若，，則長是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【分析】本題考查平行四邊形的性質，平行線的性質，等腰三角形的判定等，根據四邊形是平行四邊形可得，，根據平行線的性質可得，結合角平分線的定義可得，進而證明，則．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故選B．
3．如圖，平行四邊形的對角線與相交于點O，，若，則的長是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，含角的直角三角形的性質等知識，利用含角的直角三角形的性質求出，在中利用勾股定理求出，利用平行四邊形求出，，在中利用勾股定理求出，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵平行四邊形的對角線與相交于點O，
∴，，
∴，
∴，
故選：B．
4．在中，，平分交于點E，平分交于點F，且，則的長為（ ）
A．4 B．6 C．6或8 D．4或6
【答案】D
【分析】本題考查平行四邊形的性質及等腰三角形的判定，根據平行加角平分線，得到，均為等腰三角形，分點F在點E的左側和右側，兩種情況進行討論求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
如圖①，當點F在點E的左側時：，
∴；
如圖②，當點F在點E的右側時，，
∴
綜上：或；
故選：D．
5．如圖，的周長為，與相交于點，交于，則的周長為（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由的周長為，即可求得，又由，可得是線段的垂直平分線，即可得，繼而可得的周長等于的長．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，，
的周長為，
，
，，
，
的周長為：．
故選：C．
【點睛】此題考查了平行四邊形的性質與線段垂直平分線的性質．此題難度不大，注意數形結合思想與轉化思想的應用．
6．如圖，在中，平分交于點E，若，則的周長是 ．
【答案】32
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質、等角對等邊、角平分線的定義等知識點，掌握平行四邊形的性質成為解題的關鍵．
根據平行四邊形的性質、角平分線的定義可得，再根據等角對等邊可得，進而求得，最后求周長即可．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
，
∵平分，
∴，
，
∴，
∴平行四邊形的周長為．
故答案為：32．
7．如圖，E是平行四邊形內任一點，若，則圖中陰影部分的面積是 ．

【答案】4
【分析】本題考查了利用平行四邊形性質求解，設兩個陰影部分三角形的底為，高分別為，則為平行四邊形的高，即可得出，進而得出結果．
【詳解】解：設兩個陰影部分三角形的底為，高分別為，則為平行四邊形的高，
．
故答案為：4．
8．在平而直角坐標系中，點A，C的坐標分別是，若以點A、B、C、O為頂點的四邊形為平行四邊形，則頂點B的坐標是 ．
【答案】或或
【分析】本題考查平行四邊形的判定、坐標與圖形性質等知識，熟練掌握平行四邊形的判定，進行分類討論是解題的關鍵．
根據平行四邊形的判定畫出圖形，分三種情況即可得到結論．
【詳解】解：∵點，
以點為頂點的四邊形是平行四邊形，如圖，分三種情況：
當時，
四邊形是平行四邊形，
∴點的坐標是；
當時，四邊形是平行四邊形，
∴點的坐標是；
當時，四邊形是平行四邊形，
∴點的坐標是；
故答案為：或或．
9．如圖，平行四邊形的對角線，相交于點，交于點，連接．若的周長為10cm，則平行四邊形的周長為 cm．
【答案】20
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，線段垂直平分線的性質等知識．根據平行四邊形的性質得到，，進而得到是線段的垂直平分線，，進而求出，從而求出平行四邊形的周長為．
【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
∵，
∴是線段的垂直平分線，
∴，
∵的周長為10cm，
∴，
∴，
∴平行四邊形的周長為．
故答案為：10
10．在中，點D，E分別是上的點，且，點F是延長線上一點，連接．添加下列條件：①；②；③；④．能使四邊形是平行四邊形的是 （填上所有符合要求的條件的序號）．
【答案】①②④
【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，掌握常見的平行四邊形的判定定理成為解題的關鍵．
根據平行四邊形的判定定理逐項判定即可．
【詳解】解：①∵，
∴四邊形為平行四邊形；故選項①符合題意；
②∵，
∴四邊形為平行四邊形；故選項②符合題意；
③由，不能判定四邊形為平行四邊形；故選項③不符合題意；
④∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形；故選項④符合題意；
綜上所述：能使四邊形是平行四邊形的是①②④．
故答案為：①②④．
11．如圖，四邊形中，，．求證：四邊形為平行四邊形．
【答案】見解析
【分析】根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可．
本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關鍵．
【詳解】證明：連接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四邊形為平行四邊形．
12．如圖，四邊形中，，，垂足分別為點．
(1)請你只添加一個條件(不另加輔助線)，使得四邊形為平行四邊形，你添加的條件是 ．
(2)添加了條件后，請證明四邊形為平行四邊形．
【答案】(1)；(答案不唯一)
(2)證明見解析．
【分析】（）根據平行四邊形的判定添加條件即可；
（）證明，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可求證；
本題考查了平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：（）可添加的條件是，
故答案為： (答案不唯一)；
（2）（）證明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形．
13．如圖，點O為的對角線的中點，經過點O的直線分別交和于點E，F，交和的延長線于點G，H．

(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析；
(2)．
【分析】（1）根據平行四邊形的性質可得，則．再根據證明，即可得．
（2）根據平行四邊形的性質可得，則．再根據證明，即可得，進而可求得的長．
本題主要考查了平行四邊形的性質及全等三角形的判定和性質，熟練掌握平行四邊形的性質及全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
【詳解】（1）四邊形是平行四邊形，
∥，
，
∵是的中點，
，
又∵，
，
；
（2）四邊形是平行四邊形，
，即，
，
又，，
，
，
．
14．如圖，平行四邊形，對角線交于點O，點E在上，點F在上，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】此題考查平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，熟記各定理是解題的關鍵：
（1）證明，推出，即可得到結論；
（2）利用勾股定理求出，在中，由勾股定理得，由此得到．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
即的長為．
15．如圖，在中，點是對角線的中點．某數學學習小組要在上找兩點，使四邊形為平行四邊形，現總結出甲、乙兩種方案如下：
甲方案 乙方案
分別取的中點E，F 作于點E，于點F
請回答下列問題：
(1)以上方案能得到四邊形為平行四邊形的是______，選擇其中一種并證明，若不能，請說明理由；
(2)若，，求的面積．
【答案】(1)甲、乙兩種方案，證明見解析
(2)48
【分析】本題考查平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定等知識點，熟練地掌握平行四邊形的判定方法和性質是解題的關鍵．
（1）根據題意結合平行四邊形的判定和全等三角形的性質與判定證明即可，甲方案：兩條對角線相互平分的四邊形為平行四邊形；乙方案：一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形；
（2）根據，結合四邊形為平行四邊形的性質可得到，，即，已知，可求得，故．
【詳解】（1）證明：甲方案：如圖，連接，

∵在中，點是對角線的中點，
∴，，
∵，分別為，的中點，
∴，
∴四邊形為平行四邊形；
乙方案：
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形為平行四邊形．
故答案為：甲方案和乙方案；
（2）∵四邊形和四邊形都為平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
答：的面積為．
1．（2021·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在平行四邊形中，將沿著所在的直線翻折得到，交于點，連接，若，，，則的長是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平行四邊形的性質、翻折不變性可得△AEC為等腰直角三角形，根據已知條件可得CE得長，進而得出ED的長，再根據勾股定理可得出；
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形
∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD
由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°，
∴△AEC為等腰直角三角形
∴AE=CE
∴Rt△AE B′≌Rt△CDE
∴EB′=DE
∵在等腰Rt△AEC中，
∴
∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60°
∴∠DCE=30°
∴DE=1
在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1
∴=
故選：B
【點睛】本題考查翻折變換、等腰三角形的性質、勾股定理、平行四邊形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
2．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，的頂點、分別在直線，上，，若，，則 ．
【答案】/32度
【分析】根據平行四邊形的性質得到，再利用平行線的性質得到即可解答．
【詳解】解：過點作，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了平行線的性質，平行四邊形的性質，掌握平行線的性質是解題的關鍵．
3．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，在中，，若，則的度數是 ．
【答案】/40度
【分析】根據平行四邊形對邊平行可得，利用平行線的性質可得，因此利用直角三角形兩個銳角互余求出即可．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質，平行線的性質，三角形內角和定理，難度較小，解題的關鍵是能夠綜合運用上述知識．
4．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，在中，．利用尺規在、上分別截取、，使；分別以、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；作射線交于點．若，則的長為 ．
【答案】
【分析】如圖所示，過點H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，即可證明∠CBH=∠CHB，得到，從而求出HM，CM的長，進而求出BM的長，即可利用勾股定理求出BH的長．
【詳解】解：如圖所示，過點H作HM⊥BC于M，
由作圖方法可知，BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，
∴∠CBH=∠CHB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規作圖，平行四邊形的性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，等腰三角形的性質與判定等等，正確求出CH的長是解題的關鍵．
5．（2021·江蘇揚州·中考真題）如圖，在中，點E在上，且平分，若，，則的面積為 ．

【答案】50
【分析】過點E作EF⊥BC，垂足為F，利用直角三角形的性質求出EF，再根據平行線的性質和角平分線的定義得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四邊形的面積公式計算即可．
【詳解】解：過點E作EF⊥BC，垂足為F，
∵∠EBC=30°，BE=10，
∴EF=BE=5，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC=10，
∴四邊形ABCD的面積===50，
故答案為：50．

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，30度的直角三角形的性質，角平分線的定義，等角對等邊，知識點較多，但難度不大，圖形特征比較明顯，作出輔助線構造直角三角形求出EF的長是解題的關鍵．
6．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，四邊形的兩條對角線，互相垂直，，，則的最小值是 ．

【答案】
【分析】設的交點為，的中點分別是，連接，先證，由此得當最小時，最小，再根據“兩點之間線段最短”得，再證四邊形是矩形，且，根據勾股定理的，進而求得的最小值．
【詳解】解：設的交點為，的中點分別是，連接，
互相垂直，
和為直角三角形，且分別為斜邊，
，
，
當最小時，最小，再根據“兩點之間線段最短”得，
當點在線段上時，最小，最小值為線段的長，
分別為的中點，
是的中位線，
，
同理，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
四邊形是矩形，
在中，，
，
的最小值為，
的最小值為．

故答案為：．
【點睛】此題只要考查了矩形的判定和性質，三角形的性質，三角形的中位線定理，線段的性質，勾股定理等，熟練掌握矩形的判定和性質，三角形的中位線定理，理解直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，兩點之間線段最短是解答此題的關鍵．
7．（2022·江蘇鎮江·中考真題）如圖，在和中，，、、分別為、、的中點，若，則 ．
【答案】1
【分析】由直角三角形斜邊中線的性質得出AB=2DE，再由三角形中位線的性質可得FG的長；
【詳解】解：∵Rt△ABC中，點E是AB的中點，DE=1，
∴AB=2DE=2，
∵點F、G分別是AC、BC中點，
∴，
故答案為：1
【點睛】本題考查了直角三角形的性質及三角形中位線的性質等知識；熟練掌握中位線定理是解題的關鍵．
8．（2022·江蘇揚州·中考真題）“做數學”可以幫助我們積累數學活動經驗．如圖，已知三角形紙片，第1次折疊使點落在邊上的點處，折痕交于點；第2次折疊使點落在點處，折痕交于點．若，則 ．
【答案】6
【分析】根據第一次折疊的性質求得和，由第二次折疊得到，，進而得到，易得MN是的中位線，最后由三角形的中位線求解．
【詳解】解：∵已知三角形紙片，第1次折疊使點落在邊上的點處，折痕交于點，
∴，．
∵第2次折疊使點落在點處，折痕交于點，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴MN是的中位線，
∴，．
∵，，
∴．
故答案為：6．
【點睛】本題主要考查了折疊的性質和三角形中位線的性質，理解折疊的性質，三角形的中位線性質是解答關鍵．
9．（2023·江蘇鎮江·中考真題）如圖，B是AC的中點，點D，E在同側，，．
(1)求證：≌．
(2)連接，求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）由B是的中點得，結合，，根據全等三角形的判定定理“”即可證明≌；
（2）由（1）中≌得，進一步得，再結合，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明．
【詳解】（1）解：∵B是的中點，
∴．
在和中，
∴≌（）．
（2）如圖所示，
∵≌，
∴，
∴．
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法與性質是解題的關鍵．
10．（2023·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在中，，，．

(1)求出對角線的長；
(2)尺規作圖：將四邊形沿著經過點的某條直線翻折，使點落在邊上的點處，請作出折痕．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【答案】(1)
(2)作圖見解析
【分析】（1）連接，過作于，如圖所示，由勾股定理先求出，在中再由勾股定理，；
（2）連接，根據軸對稱性質，過點尺規作圖作線段的垂直平分線即可得到答案．
【詳解】（1）解：連接，過作于，如圖所示：
在中，，，
，
，
，
在中，，，，則；
（2）解：如圖所示：

【點睛】本題考查平行四邊形背景下求線段長，涉及勾股定理、尺規作圖作線段垂直平分線，熟練掌握勾股定理求線段長及中垂線的尺規作圖是解決問題的關鍵．
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