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北師大版2025年七年級下冊第6章《變量之間的關系》單元練習
一、選擇題
1．司機王師傅在加油站加油，如圖是所用的加油機上的數據顯示牌，則其中的常量是（ ）
A．金額 B．數量 C．單價 D．金額和數量
2．已知高鐵的速度是300千米/時，則高鐵行駛的路程S（千米）和時間t（時）之間的關系是．在此變化過程中，變量是（ ）
A．速度、時間 B．路程、時間
C．速度、路程 D．速度、路程、時間
3．某商品的售價x（元）與銷量y（件）之間存在如下關系，估計當售價x為137元時，銷量y可能為（ ）
售價x/元 90 100 110 120 130 140
銷量y/件 90 80 70 60 50 40
A．33件 B．43件 C．53件 D．63件
4．已知一個長方形的周長為，相鄰兩邊分別為，則y與x之間的關系式為（　　）
A． B． C． D．
5．某水庫的水位高度y（米）與時間x（小時）滿足關系式：，則下列說法錯誤的是（ ）
A．時間是自變量，水位高度是因變量
B．y是變量，它的值與x有關
C．當時，
D．當時，
6．小亮飯后散步，從家中走20分鐘到一個離家900米的報亭看10分鐘的報紙后，用15分鐘返回家中，下列圖形中表示小亮離家的時間與離家的距離之間關系的是（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，這是一家游泳池的橫斷面示意圖，分深水區和淺水區，現游泳池剛清理消毒完畢，需要以固定的流量向游泳池注水，下面能大致表示水的最大深度h和時間t之間的關系是（ ）
A． B． C． D．
8．如圖①，在長方形中，動點從點出發，沿的方向運動至點處停止，設點運動的路程為，三角形的面積為，如果關于的圖象如圖②所示，則長方形的面積是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
9．節約用水已成為大家的共識．每月的用水量（噸）、支付的水費（元）、每噸水的價格（元），這三個量中的常量是 ．
10．汽車由地駛往相距的地，它的平均速度是，則汽車距地路程與行駛時間的關系式為 ．
11．一空水池現需注滿水，水池深4.9m，現以不變的流量注水，數據如下表．可以推斷注滿水池所需的時間是 ．
水的深度 0.7 1.4 2.1 2.8
注水時間 0.5 1 1.5 2
12．某車間的甲、乙兩名工人分別同時生產同一種零件，每天完成規定工作量后即停止生產．開工兩小時后，甲停下升級設備，乙每小時生產零件個數增加4個，他們一天生產零件的個數y與生產時間t（時）的關系如圖所示，根據圖象，下列結論正確的是 （填序號）．①乙升級設備用了2小時；②一天中甲乙生產量最多相差6個；③圖中的，；③甲比乙提前1小時完成工作．
三、解答題
13．寫出下列各個過程中的變量與常量：
(1)我國第一顆人造地球衛星繞地球1周需內衛星繞地球的周數為N，；
(2)長方形的長為2，它的面積S與寬a的關系式為．
14．某電動車廠2022年各月份生產電動車的數量情況如表：
時間/月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月產量/萬輛 8 8.5 9 10 11 12 10 9.5 9 10 10 10.5
(1)在上述過程中，指出自變量和關于自變量的函數；
(2)哪個月份電動車的產量最高？哪個月份電動車的產量最低？
15．下面的圖象記錄了某地1月份某一天的溫度情況，請你仔細觀察圖象后回答下面的問題．
(1)圖中反映了哪兩個變量之間的關系？其中，哪個是自變量，哪個是因變量？
(2)你能描述氣溫隨時間的變化而變化的情況嗎？
16．在一次實驗中，小強把一根彈簧的上端固定，在其下端懸掛物體．下面是他測得的彈簧的長度y與所掛物體的質量x的一組對應值：
所掛物體的質量 0 1 2 3 4 5
彈簧的長度 20 22 24 26 28 30
(1)上表反映了哪兩個變量之間的關系？
(2)不掛重物時，彈簧長是多少？
17．小英在家里整理內務時發現：把一些相同規格的塑料凳子整齊地疊放在水平地面上，這摞塑料凳子的高度隨著凳子的數量變化有一定的關系．于是小英對凳子的高度進行測量，具體變化的情況如下表所示：
凳子的數量個
高度
(1)上述兩個變量之間的關系中，哪個是自變量？哪個是因變量？
(2)用（）表示這摞凳子的高度，（個）表示這摞凳子的數量，請寫出與之間的函數關系式；
(3)當這摞凳子的高度為時，求這摞凳子的數量．
18．如圖，圓柱形容器B底部固定圓柱形容器A，兩容器頂部開口，壁厚不計．容器A底面積為，底部有一小孔與容器B連通．第一次從某一時刻開始向容器B均勻注水，容器A中水位高度注水隨時間變化圖像如右圖．
(1)注水速度為 ，容器A高度為 ．
(2)請計算容器B的底面積是多少？
(3)將兩容器水清空，第二次以同樣速度向容器A均勻注水，問將容器A注滿水需要多長時間？
(4)請在右圖將第一次注水過程中容器B水位隨時間變化圖像．
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B C C B D C
1．C
【分析】本題考查了常量和變量．根據在一個變化的過程中，數值發生變化的量稱為變量；數值始終不變的量稱為常量即可求解．
【詳解】解：在金額、數量和單價中，金額和數量是變量，單價是常量．
故選：C．
2．B
【分析】本題考查了函數關系式，常量與變量，弄清變量概念是解題的關鍵．根據變量的定義判斷即可．
【詳解】解：已知高鐵的速度是300千米/時，則高鐵行駛的路程S（千米）和時間t（時）之間的關系是．
在此變化過程中，變量是路程、時間，
故答案為：B．
3．B
【分析】本題考查利用表格表示變量之間的關系，根據表格得到售價每增加10元，銷量減少10件，即可得出結果．
【詳解】解：由表可知：售價每增加10元，銷量減少10件，則售價每增加1元，銷量減少1件，
∵時，，
∴當時，y的值可能為；
故選：B．
4．C
【分析】本題考查用關系式表示變量間的關系，掌握長方形的周長計算公式是解題的關鍵．
根據長方形的周長公式得到x與y的數量關系式，再把y用含x的代數式表示出來即可．
【詳解】解：根據長方形的周長公式，得，
解得，
∴y與x之間的關系式為．
故選：C．
5．C
【分析】本題考查了函數關系式，根據給出的函數關系式結合函數的性質逐一判斷即可求解，熟練掌握函數關系式的意義是解題的關鍵．
【詳解】解：A、時間是自變量，水位高度是因變量，則正確，故不符合題意；
B、y是變量，它的值與x有關，則正確，故不符合題意；
C、當時，即，
解得：，則錯誤，故符合題意；
D、當時，即，則正確，故不符合題意；
故選C．
6．B
【分析】觀察直角坐標系中橫軸和縱軸表示的量，根據題意，前20分鐘，隨時間的增加，路程也增加，看10分鐘報紙期間，路程不變，15分鐘返回家里，時間增加，路程在減小，速度比之前更快．
【詳解】解：A. 從家中走20分鐘到離家900米的報亭看了20分鐘的報紙后，用10分鐘返回家里，故本選項錯誤；
B. 從家中走20分鐘到離家900米的報亭看了10分鐘的報紙后，用15分鐘返回家里，故本選項正確；
C. 從家中走20分鐘到離甲900米的報亭看了0分鐘的報紙后，用15分鐘返回家里，故本選項錯誤；
D. 從家中走20分鐘到離家900米的報亭看了0分鐘的報紙后，用20分鐘返回家里，故本選項錯誤．
故選：B．
【點睛】本題考查利用函數的圖象解決實際問題．正確理解函數圖象橫縱坐標表示的意義，理解問題的過程，就能夠通過圖象得到函數問題的相應解決．
7．D
【分析】本題考查了用圖象表示變量間的關系，解題關鍵是能看懂圖中容器．
先看圖可知，蓄水池的下部分比上部分的體積小，由此判斷進水的快慢，再作出選擇．
【詳解】解：根據題意和圖形的形狀，可知水的最大深度h與時間t之間的關系分為兩段，先快后慢．
故選：D．
8．C
【分析】本題考查了用圖象法表示兩個變量的關系，根據圖象結合圖形得出，，即可得出長方形的面積，采用數形結合的思想是解此題的關鍵．
【詳解】解：由圖形可得，當點在上時，的面積逐漸增大，當點在上時，的面積不變，結合圖象可得，，
∴長方形的面積是，
故選：C．
9．每噸水的價格
【分析】本題主要考查常量和變量，熟記常量和變量的定義是解題的關鍵．根據常量和變量的定義，即可作答．
【詳解】解：常量：每噸水的價格，
變量：每月的用水量、支付的水費．
故答案為：每噸水的價格．
10．
【分析】本題考查了用關系式表示變量間的關系．根據汽車距地路程是總路程與已駛路程的差，求解即可．
【詳解】解：由題意知，，
故答案為：．
11．
【分析】本題主要考查了正比例函數．熟練掌握表格表示變量間的關系，正比例函數的定義，待定系數法求函數解析式，由函數值求自變量的值，是解決此題的關鍵．
設，將數對代入，求得，得到，當時，可求得．
【詳解】設，
將代入，
得，
解得，
∴，
當時，
，
解得，
∴注滿水池所需的時間是．
故答案為：．
12．②④/④②
【分析】本題主要考查了用圖象表示兩個變量的關系，根據圖象即可判斷①；求出升級設備前后甲的生產速度，以及2小時前后乙的生產速度，進而確定a、b、c的值，再分別求出對應時間段甲乙生產量最多相差的個數即可判斷②③；求出乙需要的總時間即可判斷④，進而可得結論．
【詳解】解：甲升級設備用了小時，乙沒有升級設備，故①說法錯誤；
由圖象可知，當時，甲每小時生產個，乙每小時生產個，
∴當，且時，甲乙生產量最多相差個；
當時，乙每小時生產個，則當時，甲乙生產量最多相差個；
甲升級完成后每天生產個，
當時，由于甲比乙每小時生產得多，故當，甲乙生產量最多相差個，不符合題意；
當時，由于甲比乙每小時生產得多，故當時，甲乙生產量最多個；
綜上所述，一天中甲乙生產量最多相差6個，故②正確；
∵，
∴，故③錯誤；
，，
∴甲比乙提前1小時完成工作，故④說法正確；
∴說法正確的有②④，
故答案為：②④．
13．(1)N和t是變量，114是常量
(2)S和a是變量，2是常量
【分析】本題主要考查了常量與變量，熟練掌握常量與變量的定義是解題的關鍵．
（1）根據在這一變化過程中，是保持不變的量；和是可以取不同數值的量分析判斷即可得解；
（2）根據在這一變化過程中，是保持不變的量；和是可以取不同數值的量分析判斷即可得解．
【詳解】（1）解：和是變量，是常量；
（2）解：和是變量，是常量．
14．(1)自變量是時間，自變量的函數是月產量
(2)6月份電動車的產量最高，1月份電動車的產量最低
【分析】（1）根據函數的定義，可得答案；
（2）根據有理數的大小比較，可得答案．
【詳解】（1）解：自變量是時間，自變量的函數是月產量．
（2）解：由表格得，6月份電動車的產量最高，1月份電動車的產量最低．
【點睛】本題主要考查變量與常量，熟練掌握自變量與函數的定義是解決本題的關鍵．
15．(1)圖象反映的是溫度和時間兩個變量之間的關系，時間是自變量，溫度是因變量
(2)在時，氣溫不斷上升；在時或時，氣溫不斷下降
【分析】本題考查了變量，掌握相關定義是解題關鍵．在一個變化的過程中，數值發生變化的量稱為變量．若一個變量的數值隨著另一個變量的數值的變化而變化，那么我們稱前一個變量為因變量，后一個變量為自變量，據此即可作答．
（1）根據變量的定義作答即可；
（2）根據圖象進行描述即可．
【詳解】（1）解：圖象反映的是溫度和時間兩個變量之間的關系，時間是自變量，溫度是因變量；
（2）解：在時，氣溫不斷上升；在時或時，氣溫不斷下降．
16．(1)反映了彈簧長度y與所掛物體質量x之間的關系
(2)
【分析】此題考查了函數的表示方法，本題需仔細分析表中的數據，進而解決問題．
（1）由表格信息可得兩個變量．
（2）由表中的數據可知，時，，從而可得答案，
【詳解】（1）解：由表格信息可得：上表反映了彈簧長度y與所掛物體質量x之間的關系；
（2）不掛重物時，即，
此時彈簧長．
17．(1)凳子的數量是自變量，高度是因變量
(2)
(3)個
【分析】（）根據表格中列舉的變量即可求解；
（）根據表格中數據變化規律求解即可；
（）根據（）中的函數關系式，把代入求解即可；
本題考查了常量與變量，函數的表示方法，求自變量的值或函數值，理解變量與常量的意義并根據表格中數據的變化規律得出函數關系式是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：通過表格所列舉的變量可知，凳子的數量是自變量，高度是因變量；
（2）解：由表格中兩個變量的變化關系可得，，
即；
（3）解：當時，，
解得，
答：當這摞凳子的高度為時，凳子的數量為個．
18．(1)，
(2)容器B的底面積是
(3)將容器A注滿水需要
(4)見解析
【分析】本題考查從函數圖象獲取信息，用圖象表示函數關系；結合圖形，由函數圖象可得當時，容器A由底部小孔慢慢進水，在時達到容器A頂部，當時，水漫過容器A頂部，容器A高度增速加快，當時容器A裝滿水，直到時容器B裝滿水；
（1）根據在時達到容器A頂部根據時，水漫過容器A頂部，此時水全部進入容器A頂，求注水速度和容器A高度，；
（2）根據時注水總量為，設容器B的底面積是，根據注水總量列方程求解即可；
（3）根據當時，容器A由底部小孔慢慢進水，求出小孔注水速度，再計算將容器A注滿水需要時間即可；
（4）分析不同時間段容器B水位變化情況即可．
【詳解】（1）結合圖形，由函數圖象可得當時，容器A由底部小孔慢慢進水，在時達到容器A頂部，當時，水漫過容器A頂部，容器A高度增速加快，當時容器A裝滿水，直到時容器B裝滿水，
∴當時，水漫過容器A頂部，此時水全部進入容器A頂，這段時間注水量為，容器A高度為，
∴注水速度為
故答案為：，；
（2）時注水總量為，
設容器B的底面積是，
由題意可得：
解得，
∴容器B的底面積是；
（3）當時，容器A高進水量為，
∴小孔注水速度為，
∵將兩容器水清空，第二次以同樣速度向容器A均勻注水，此時水會從小孔流入容器B，
∴將容器A注滿水需要時間為；
（4）當時，水深達到容器A頂部，此時達到容器B水面高度為，
當時，水漫過容器A頂部，所有水都進入容器A中，容器B水面高度不變，
當時容器A裝滿水，容器B水面高度上升，
直到時容器B裝滿水，此時水深，
故函數圖象為：

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