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蘇教版高中數學必修第二冊-12.1 復數的概念
同步練習
[A　基礎達標]
1．以－3＋i的虛部為實部，以3i＋i2的實部為虛部的復數是(　　)
A．1－i　　 B．1＋i
C．－3＋3i D．3＋3i
2．若復數z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)是純虛數，則　(　　)
A．a＝0或a＝2
B．a＝0
C．a≠1且a≠2
D．a≠1或a≠2
3．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，則復數x＋yi＝(　　)
A．－2＋i B．2＋i
C．1－2i D．1＋2i
4．下列四個復數中，實部大于虛部的是(　　)
A．1＋2i B．1＋i
C．i2－2i D．2i
5．下列命題：
①若z＝a＋bi，則僅當a＝0且b≠0時，z為純虛數；
②若z＋z＝0，則z1＝z2＝0；
③若實數a與ai對應，則實數集與純虛數集可建立一一對應關系．
其中正確命題的個數是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
6．設i為虛數單位，若2＋ai＝b－3i(a，b∈R)，則a＋bi＝________．
7．下列命題中，真命題的個數是________．
①實數集與虛數集的交集是{0}；
②若x2＋y2＝0且x，y∈C，則x＝y＝0；
③若z＝1－2i，則復數z的虛部是2.
8．設z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)是虛數，則m的取值范圍是________．
9．已知復數z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.
(1)若復數z是實數，求實數m的值；
(2)若復數z是虛數，求實數m的取值范圍；
(3)若復數z是純虛數，求實數m的值；
(4)若復數z是0，求實數m的值．
10．已知a是實數，b是純虛數，且滿足ai－b＝3＋bi，求a2＋b2的值．
[B　能力提升]
11．“復數4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是純虛數”是“a＝－2”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
12．(多選)已知i為虛數單位，下列命題中正確的是(　　)
A．若a≠0，則ai是純虛數
B．虛部為－的虛數有無數個
C．實數集在復數集中的補集是虛數集
D．兩個復數相等的一個必要條件是它們的實部相等
13．已知sin θ＋icos θ＝－i，θ∈[0，2π]，則θ＝________．
[C　拓展探究]
14．已知復數z＝m2＋3m＋1＋(m2＋5m＋6)i<0(m∈R)，則m的值為________．
15．實數m為何值時，復數z＝＋i是：
(1)純虛數？
(2)等于3＋6i
(3)復數z≤0
參考答案
[A　基礎達標]
1．解析：選A．－3＋i的虛部為1，3i＋i2＝－1＋3i的實部為－1，故所求復數為1－i.
2．解析：選B．因為復數z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是純虛數，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.
3．解析：選B．由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，則由題意得1＋xi＝y＋2i，根據復數相等的充要條件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.
4．解析：選C．復數1＋2i的實部為1，虛部為2，實部小于虛部；
復數1＋i的實部與虛部相等，都是1；
復數i2－2i＝－1－2i的實部為－1，虛部為－2，實部大于虛部；
復數2i的實部為0，虛部為2，實部小于虛部．
故選C．
5．解析：選A．在①中未對z＝a＋bi中a，b的取值加以限制，故①錯誤；在②中將虛數的平方與實數的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，則z＋z＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②錯誤；在③中忽視0·i＝0，故③也是錯誤的．故選A．
6．解析：由2＋ai＝b－3i，得a＝－3，b＝2，則a＋bi＝－3＋2i，故答案為－3＋2i.
答案：－3＋2i
7．解析：①實數集與虛數集的交集是空集，所以①是假命題；②當x＝1，y＝i時，x2＋y2＝0同樣成立，所以②是假命題；③復數z的虛部是－2，所以③是假命題．故真命題的個數為0.
答案：0
8．解析：因為z為虛數，所以log(3－m)≠0，
故解得－1答案：(－1，2)∪(2，3)
9．解：(1)當m2－2m－15＝0時，復數z為實數，
所以m＝5或m＝－3.
(2)當m2－2m－15≠0時，復數z為虛數．
所以m≠5且m≠－3.
所以實數m的取值范圍為{m|m≠5且m≠－3}．
(3)當時，復數z是純虛數，所以m＝－2.
(4)當時，復數z是0，所以m＝－3.
10．解：設b＝xi，x∈R且x≠0，則ai－xi＝3＋xi2，即(a－x)i＝3－x，
所以解方程組，得那么a2＋b2＝32＋(3i)2＝0.
[B　能力提升]
11．解析：選B．因為1－a＋a2＝＋＞0，所以若復數4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是純虛數，則4－a2＝0，即a＝±2；當a＝－2時，4－a2＋(1－a＋a2)i＝7i為純虛數，故選B．
12．解析：選BCD．對于A，若a＝i，則ai＝i2＝－1，不是純虛數，故A錯誤；對于B，虛部為－的虛數可以表示為m－i(m∈R)，有無數個，故B正確；根據復數的分類，判斷C正確；兩個復數相等一定能推出實部相等，必要性成立，但兩個復數的實部相等推不出兩個復數相等，充分性不成立，故D正確．故選BCD．
13．解析：因為sin θ＋icos θ＝－i，故
又θ∈[0，2π]，故θ＝.
故答案為.
答案：
[C　拓展探究]
14．解析：因為z<0，所以z∈R，
所以m2＋5m＋6＝0，
解得m＝－2或m＝－3.
當m＝－3時，z＝1>0，不符合題意，舍去；
當m＝－2時，z＝－1<0，符合題意．
故m的值為－2.
答案：－2
15．解：(1)由題意可得解得m＝3.
(2)由復數相等可得解得m＝6.
(3)解得m＝5.

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