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蘇教版高中數學必修第二冊-12 章末演練-同步練習
[A　基礎達標]
1．在復平面內，若表示復數z＝m2－1＋i的點在第四象限，則實數m的取值范圍是(　　)
A．　　　　　　
B．
C．∪
D．
2．已知x，y∈R，i＝y－i，則(　　)
A．x＋y＝0　 B．x－y＝0
C．xy＝2 D．xy＝－2
3．在復平面內，復數2i，3對應的點分別為A，B.若C為線段AB上的點，且＝，則點C對應的復數是(　　)
A．1＋i B．＋i
C．1＋i D．＋i
4．設z＝－2i，則|z|＝(　　)
A．0 B．1
C． D．3
5．復數z1＝cos x－isin x，z2＝sin x－icos x，則＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
6．若3a＋2bi＝i4＋i3(a，b∈R)則復數z＝a＋bi的虛部為________．
7．若復數z與其共軛復數滿足＝，z＋＝2，則z＋＝________．
8．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)，是實數，那么復數z的實部與虛部滿足的關系式為________．
9．如圖所示，平行四邊形OABC，頂點O，A，C分別表示0，3＋2i，－2＋4i，試求：
(1)，所表示的復數；
(2)對角線所表示的復數；
(3)B點對應的復數．
10．已知z1，z2為虛數，且滿足＝5，z2＝3＋4i.
(1)若z1z2是純虛數，求z1；
(2)在(1)的條件下，求證：為純虛數．
[B　能力提升]
11．(多選)已知復數z滿足z2＝－7－24i，在復平面內，復數z對應的點可能在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
12．(多選)復數z滿足·z＋3i＝2，則下列說法正確的是(　　)
A．z的實部為－3 B．z的虛部為2
C．＝3－2i D．|z|＝
13．把復數z1與z2對應的向量，分別按逆時針方向旋轉和后，重合于向量且模相等，已知z2＝－1－i，則復數z1的代數式和它的輻角主值分別是(　　)
A．－－i， B．－＋i，
C．－－i， D．－＋i，
[C　拓展探究]
14．設復數z滿足|z|＝1，使得關于x的方程zx2＋2x＋2＝0有實根，則這樣的復數z的和為________．
15．某同學在解題中發現，以下三個式子的值都等于同一個常數. ①；②；③.(i是虛數單位)
(1)從三個式子中選擇一個，求出這個常數；
(2)根據三個式子的結構特征及(1)的計算結果，將該同學的發現推廣為一個復數恒等式，并證明你的結論．
參考答案
[A　基礎達標]
1．解析：選A．因為表示復數z＝m2－1＋i的點在第四象限，所以解得m<－1.
故選A．
2．解析：選A．因為(3＋xi)i＝y－(x－1)i，所以－x＋3i＝y－(x－1)i，則－x＝y，3＝1－x，
即x＝－2，y＝2，所以x＋y＝0，xy＝－4.故選A．
3．解析：選B．兩個復數對應的點分別為A，B，設點C的坐標為，
則由＝，得C為AB的中點，故C的坐標為，則點C對應的復數是＋i.
故選B．
4．解析：選B．z＝－2i＝－2i＝－2i＝－i，|z|＝1.
5．解析：選D．復數z1＝cos x－isin x，z2＝sin x－icos x，則z1z2＝cos x sin x－cos x sin x＋i＝－i，則|z1z2|＝1，故選D．
6．解析：因為3a＋2bi＝i4＋i3，所以3a＋2bi＝1－i，則a＝，b＝－，
所以z＝－i，虛部為－.故答案為－.
答案：－
7．解析：設z＝a＋bi，則＝a－bi，又|z|＝，z＋＝2，所以
因此z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋a－bi＝2a＝2.
故答案為2.
答案：2
8．解析：＝＝＝＋i.因為是實數，所以＝0，即a－b＝0.故答案為a－b＝0.
答案：a－b＝0
9．解：(1)＝－，所以所表示的復數為－3－2i.
因為＝，所以所表示的復數為－3－2i.
(2)＝－，所以所表示的復數為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)＝＋，所以所表示的復數為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B點對應的復數為1＋6i.
10．解：(1)設z1＝a＋bi，
則z1z2＝＝3a＋4ai＋3bi－4b＝＋i，
因為|z1|＝5，z1z2是純虛數，
所以解得或
因此z1＝4＋3i或z1＝－4－3i.
(2)證明：若z1＝4＋3i，則＝＝＝＝i是純虛數；
若z1＝－4－3i，則＝＝＝＝－3i也是純虛數；綜上，為純虛數．
[B　能力提升]
11．解析：選BD．設復數z＝a＋bi，則z2＝a2＋2abi－b2＝－7－24i，
由復數相等得解得或
因此z＝3－4i或z＝－3＋4i，所以對應的點為或，因此復數z對應的點可能在第二或第四象限．故選BD．
12．解析：選AD．由·z＋3i＝2知，·z＝2－3i，即z＝·＝＝＝－3－2i，所以z的實部為－3，A正確；z的虛部為－2，B錯誤；＝－3＋2i，C錯誤；|z|＝＝，D正確；故選AD．
13．解析：選B．由題可知z1＝z2，
則z1＝·＝－2，
所以z1＝＝＝＝－＋i，
可知z1對應的坐標為，則它的輻角主值為.故選B．
[C　拓展探究]
14．解析：設z＝a＋bi(a，b∈R且a2＋b2＝1)，
則原方程zx2＋2x＋2＝0變為＋i＝0，
所以ax2＋2ax＋2＝0，①且bx2－2bx＝0.②
(1)若b＝0，則a2＝1解得a＝±1，當a＝1時①無實數解，舍去；
從而a＝－1，此時x＝－1±，故z＝－1滿足條件；
(2)若b≠0，由②知，x＝0或x＝2，顯然x＝0不滿足，故x＝2，代入①得a＝－，b＝±，所以z＝－±i，
綜上滿足條件的所有復數的和為－1＋＋＝－.　
答案：－
15．解：(1)＝＝＝i；
＝＝＝i；
＝＝＝i.
(2)根據三個式子的結構特征及(1)的計算結果，可以得到：
＝i(a，b∈R且a，b不同時為零).
下面進行證明：
要證明＝i，
只需證a＋bi＝i(b－ai)，
只需證a＋bi＝a＋bi，
因為上式成立，所以＝i成立．

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