資源簡介

2024-2025學年上海市華東師范大學附屬東昌中學高二年級下學期
5月月數學試卷
2025.5
一 填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.
1.將三組數據繪制成如圖的折線圖，則這三組數據中，__________組數據的方差最小.
2.已知隨機變量服從正念分布，若，則__________.
3.雙曲線的右焦點到漸近線的距離為__________.
4.今天是星期三，經過7天后還是星期三，那么經過天后是星期__________.
5.如圖所示，弧長為，半徑為1的扇形（及其內部）繞所在的直線旋轉一周，所形成的幾何體的表面積為__________.
6.甲 乙 丙 丁 戊 戌6名同學相約到電影院觀看電影《哪吒2》，恰好買到了六張連號且在同一排的電影票，若甲不坐在6個人的兩端，乙和丙相鄰，則不同的排列方式種數為__________.（用數字作答）
7.滿足定義域為且值域為的函數共有__________個
8.__________.（用數字作答）
9.某小組有學生10人，則該小組中至少有兩個出生的月份相同的概率為__________.（答案精確到0.001）
10.小玲 小強兩人組成“星隊”參加投籃比賽，每輪比賽由兩人在罰球區各投1球.已知小玲 小強每輪投中的概率分別為，每輪比賽中兩人是否投中互不影響，各輪比賽之間也互不影響，則“星隊”在兩輪比賽中共投中3球的概率為__________.
11.在的展開式中，若展開式中有且僅有項的系數最大，則的取值范圍是__________.
12.為了回饋長期以來的顧客群體，某健身房在五周年慶活動期間設計出了一種游戲活動，顧客需投擲一枚骰子三次，若三次投擲的數字都是奇數，則該顧客獲得該健身房的免費團操券5張，且有2次終極抽獎機會（2次抽獎結果互不影響）；若三次投擲的數字之和是6，12或18，則該顧客獲得該健身房的免費團操券5張，且有1次終極抽獎機會；其余情況顧客均獲得該健身房的免費團操券3張，不具有終極擬獎機會，已知每次在終極抽獎活動中的獎品和對應的概率如下表所示.
獎品 一個健身背包 一盒蛋白粉
概率
則一位參加游戲活動的顧客獲得蛋白粉的概率為__________.
二 選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13 14題每題4分，第15 16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.
13.從自動打包機包裝的食鹽中，隨機抽取20袋，測得各袋的質量分別為（單位：）：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根據頻率分布估計總體分布的原理，該自動包裝機包裝的袋裝食鹽質量在之間的概率約為（ ）
A.0.1 B.0.15 C.0.25 D.0.5
14.從101個人進行一次抽樣時，先采用抽簽法從中剔除1個人，再在剩余的100個人中采用隨機數表法抽取10個人，那么下列說法正確的是（ ）
A.這是一種科學的抽樣方法
B.這種抽樣方法對于被剔除的個體是不公平的，因為他們失去了被抽到的機會
C.由于采用了兩步進行抽樣，所以無法判斷每個人被抽點的可能性是多少
D.每個人被抽到的可能性不相等
15.設離散型隨機變量的分布列如表，若離散型隨機變量滿足，則下列結論錯誤的是（ ）
0 1 2 3 4
0.1 0.4 0.2 0.2
A. B.
C. D.
16.一只小蟲從數軸上的原點出發爬行，若一次爬行過程中，小蟲等概率地向前或向后爬行1個單位，設爬行次后小蟲所在位置對應的數為隨機變量，則下列說法錯誤的是（ ）
A. B.
C. D.
三 解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟
17.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）
如圖，圓柱中，是底面圓上的一條直徑，分別是底面圓周上的一點，，且點不與兩點重合.
（1）證明：平面平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.
18.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）
某生物研究小組準備探究某種蜻蜓的翼長分布規律，隨機捕捉20只該種蜻蜓，測量他們的翼長（翼長為整數）并繪制成如下的莖葉圖和一部分頻率分布直方圖，其中莖葉圖中有一處數字看不清（用表示），但已知莖葉圖中每一行的數據都按照從小到大的順序排列且無相同的數據，頻率分布直方圖每個分組含左端點不含右端點.
（1）求的值；
（2）根據莖葉圖將頻率分布直方圖補充完整；
（3）分別根據莖葉圖和頻率分布直方圖計算蜻蜓翼長的中位數，并分析哪個中位數可以更準確地反應蜻蜓翼長的總體情況.
19.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）
為了調研某地區學生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，在該地區隨機選取了10所學校進行研究，得到如下數據：
（1）從這10所學校中隨機選取1所，事件表示“該學校參與”自由式滑雪“人數超過40人”，事件N表示“該校參與”單板滑雪“超過30人”，求在事件發生的條件下，事件N發生的概率；
（2）已知參與“自由式滑雪”人數超過40人的學校評定為“基地學校”.現在從這10所學校中隨機選取2所，設“基地學校”的個數為X，求X的分布列和數學期望；
（3）現在有一個“單板滑雪”集訓營，對“滑行 轉彎 停止”這3個動作技巧進行集訓.并專門對這3個動作進行了多輪測試.規定：在一輪測試中，這3個動作中至少有2個動作達到“優秀”，則該輪測試記為“優秀”.在此集訓測試中，李華同學3個動作中每個動作達到“優秀”的概率均為，每個動作互不影響，每輪測試也互不影響.如果李華同學在集訓測試中想獲得“優秀”的次數的均值達到5次，那么至少要進行多少輪測試？（結論不要求證明）
20.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）
已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，且為線段的中點.
（1）求拋物線的標準方程；
（2）求直線的方程；
（3）過點作拋物線的兩條切線，分別交于兩點，求面積的最小值.
21.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）
已知函數，其中.
（1）若函數是偶函數，求；
（2）當時，討論函數在上的零點個數：
（3）若對任意，求的取值范圍.
2024-2025學年上海市華東師范大學附屬東昌中學高二年級下學期
5月月數學試卷
一 填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.
1.B
2.4
3.
4.四
5.
6.144
7.36
8.1024
9.0.996
10.
11.
12.
二 選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13 14題每題4分，第15 16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.
13.B
14.A
15.B
16.B
三 解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.
17.（1）證明：因為是底面圓上的一條直徑，
所以，
因為底面圓，
所以底面圓，
因為底面圓，所以，
因為平畫，所以平畫，
因為平面，所以平面平面.
（2）因為底面圓圓，
所以，
又，又，所以為等邊三角形，
以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
，設，故，
，
，，
設平面的法向量為，
則則，
解得，令，得，故，
設直線與平面所成角的大小為，
則，
直線與平面所成角的正弦值為.
18.（1）區間對應的個體個數為，
對應的3個數據分別為，
必須要大于4且小于6，
.
（2）區間對應的縱坐標分別為：
，
頻率分布直方圖，如圖所示：
（3）根據莖葉圖中位數為，
頻率分布直方圖中，區間的頻率為，
因此中位數為50，
利用莖葉圖計算的中位數更加準確，
因為頻率分布直方圖損失了樣本的部分信息，
數據的分組對數字特征的估計結果也有影響：
而莖葉圖是原始數據，記錄了樣本的全部信息，所以更準確地反應蜻蜓翼長的總體情況.
19.（1）設參與“自由式滑雪”人數超過40人的學校為事件，參與“單板滑雪”超過30人的學校為事件，則，
.
（2）由題知，“基地學校”有4個，則的可能取值為，
所以，
，
所以的分布列為
0 1 2
所以.
（3）因為李華同學次測試達到優秀的概率，
則設李華同學測試獲得優秀的次數為，則，
因為，解得，
因為，所以至少要進行8輪測試.
20.（1）因為拋物線的焦點為，
所以，解得，
則拋物線的方程為.
（2）易知直線的斜率存在，
設
因為兩點均在拋物線上，
所以，
此時，
因為線段的中點為，
所以，
所以，
則直線的方程為，
即.
（3）設拋物線切線方程為，
聯立.，消去并整理得，
此時，
解得，
由書達定理得，
設直線的方程為，
聯立，
解得，
同理得，
所以，
因為點點到直線的距離，
所以，
設，
因為，
所以，
當時，單調遞減：
當時，單調遞增，
所以.則.
21.（1）因為函數是偶函數，所以.
即，
即，
所以，
所以恒成立，即，
因為，
得.
（2）當吋，，
又恒成立，故在上單調遞增，
又，故存在，使得，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，又時，，
故在上有2個零點.
（3）原命題等價于，
當時，，
當時，則的圖像需在似圖像上.方考慮臨界情況，兩者剛好相切時，
設切點為，則有
，
所以，
又，故.

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