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啟星中學(xué)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期第二次檢測(cè)
高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試卷
一、單選題（每題5分，共40分）
1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（ ）
A． B． C． D．
2．一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為5，上、下底面的半徑分別為2，5，則圓臺(tái)的體積為（ ）
A． B． C． D．
3．（ ）
A． B． C． D．
4．的值為（ ）
A． B． C． D．
5．設(shè)是平面，m，n是兩條直線，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若與所成的角相等，則
6．在長(zhǎng)方體中，若，，則異面直線，所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角的對(duì)邊分別為，若.則角的大小為（ ）
A． B． C． D．
8．圓錐的表面積為，其內(nèi)切球的表面積為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題（每題6分，共18分）
9．下列基本事實(shí)敘述正確的是（ ）
A．經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面
B．經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面
C．經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面
D．經(jīng)過(guò)一條直線和一個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面
10．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．，
B．
C．若，，則的最小值為1
D．若是關(guān)于x的方程的根，則
11．三棱錐中，平面平面ABC，，，則（ ）
A．
B．三棱錐的外接球的表面積為
C．點(diǎn)A到平面SBC的距離為
D．二面角的正切值為
三、填空題（每題5分，共15分）
12．已知向量．若，則實(shí)數(shù)的值為 ．
13．若，且，則 .
14．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，若，則 ；若為銳角三角形，則的取值范圍是 .
四、解答題
15．已知向量．
（1）若，求x的值；
（2）記，求函數(shù)y＝f（x）的最大值和最小值及對(duì)應(yīng)的x的值．
16．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn).
（1）證明平面;
（2）證明:平面.
17．在中，角的對(duì)邊分別為．
(1)求；
(2)若的面積為邊上的高為1，求的周長(zhǎng)．
18．已知如圖一，在矩形ABCD中，，．將沿BD折起，得到大小為的二面角．
(1)當(dāng)時(shí)，求與平面BCD所成角的正切；
(2)當(dāng)時(shí)，求B到平面的距離；
(3)①當(dāng)，求的值；
②如圖二，在三棱錐中，已知，，，二面角的大小為，試直接寫出利用，，的三角函數(shù)表示的結(jié)論，不需要證明．
19．如圖，在平面四邊形ABCD中，已知，，為等邊三角形，記，.
(1)若，求的面積；
(2)證明：；
(3)若，求的面積的取值范試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)參考答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A C B B B B AB ACD
題號(hào) 11
答案 AD
1．C
【詳解】的共軛復(fù)數(shù).
故選：C.
2．D
【詳解】圓臺(tái)的高為，
圓臺(tái)的體積．
故選：D
3．A
【詳解】.
故選：.
4．C
【詳解】.
故選：C
5．B
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，，則與可能平行、相交或異面.
例如，在正方體中，平面，平面，但與是相交的；平面，平面，但與是平行的.平面，平面，但與是異面的.
所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對(duì)于B選項(xiàng)，若，則存在直線，使.
又因?yàn)椋鶕?jù)直線與平面垂直的性質(zhì)：如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么該直線與平面內(nèi)的任意一條直線垂直，所以.
由于，根據(jù)異面直線所成角的定義可知，所以B選項(xiàng)正確.
對(duì)于C選項(xiàng)，若，，則或.例如，當(dāng)在平面內(nèi)時(shí)，也能滿足且,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對(duì)于D選項(xiàng)，若，與所成的角相等，則與可能平行、相交或異面.
例如，圓錐的母線與底面所成的角都相等，但母線之間可能相交.所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B.
6．B
【詳解】連接、，由題可得，又，
則四邊形為平行四邊形，則，
即，所成角，即為與所成角或其補(bǔ)角，
又由題可得，，
則.
因此，異面直線，所成角的余弦值為.
故選：B.
7．B
【詳解】因?yàn)椋玫剑?br/>又，，則，所以，
又，則，所以，得到，所以，即，
故選：B.
8．B
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，圓錐內(nèi)切球半徑為，
如圖作出圓錐的軸截面，其中設(shè)為外接圓圓心，為切點(diǎn)，為圓錐母線，
連接.
設(shè)，，.
，，，又，
，，
，
則圓錐表面積，圓錐內(nèi)切球表面積，
所求比值為，
令，則，
則，且當(dāng)時(shí)，取得最大值，
故，即的取值范圍是.
故選：B.
9．AB
【詳解】根據(jù)基本事實(shí)以及推論，易知A，B正確；
對(duì)于C項(xiàng)，若三點(diǎn)共線，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的平面有無(wú)數(shù)多個(gè)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若這個(gè)點(diǎn)在直線外，則確定一個(gè)平面，若這個(gè)點(diǎn)在直線上，可有無(wú)數(shù)平面，故D不正確；
故選：AB
10．ACD
【詳解】對(duì)于A，，設(shè)復(fù)數(shù)，則，，
故，A正確；
對(duì)于B，由于，故，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，設(shè)，由于，則，
故，
由，得，則，
故當(dāng)時(shí)，的最小值為1，C正確；
對(duì)于D，是關(guān)于x的方程的根，
故，即，
故，D正確，
故選：ACD
11．AD
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，，即，
平面平面，平面SAB，所以平面ABC，
又因?yàn)槠矫鍭BC，所以，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br/>所以平面SAB，因?yàn)槠矫鍿AB，
所以.又平面ABC，平面ABC，
所以，即，
所以三棱錐外接球的直徑為SC.因?yàn)椋?br/>所以，
所以三棱錐的外接球的表面積，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)槠矫鍿AB，平面SBC，
所以平面平面SBC，過(guò)點(diǎn)A作，交SB于點(diǎn)G，
根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面SBC，
故點(diǎn)A到平面SBC的距離為AG，由，，
得，則，
則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，，所以∠SBA為二面角的平面角，
在中，，故D正確；
故選：AD.

12．
【詳解】因?yàn)椋?
又，所以，解得.
故答案為：.
13．
【詳解】由，得.
因?yàn)椋裕瑒t，則.
由，得，則，解得.
故答案為：.
14．
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>，
，
，由，
則，即，
代入，可得，則，且，
解得.
由，
①當(dāng)時(shí)，且，若是銳角三角形，則，
所以，不成立；
②當(dāng)時(shí)，且，所以，代入上式，
可得，若是銳角三角形，則，所以，即，
且
，又，
所以.
故答案為：；.
15．（1）（2）時(shí)，取到最大值3； 時(shí)，取到最小值.
【詳解】解：（1）∵向量．
由，
可得：，
即，
∵x∈[0，π]
∴．
（2）由
∵x∈[0，π]，
∴
∴當(dāng)時(shí)，即x＝0時(shí)f（x）max＝3；
當(dāng)，即時(shí)．
16．(1)見詳解；（2）見詳解.
【詳解】(1)記中點(diǎn)為，連，由分別為中點(diǎn)，
所以
又平面 ，平面，
所以平面；
(2) 由底面，
所以，
又 ，，
所以平面，
所以，
由， 為中點(diǎn)，
所以
又，
所以平面.
17．(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>由正弦定理，得，
即，即.
因?yàn)樵谥校?br/>所以.
又因?yàn)椋?
（2）因?yàn)榈拿娣e為，
所以，得.
由，即，
所以.由余弦定理，得，即，
化簡(jiǎn)得，所以，即，
所以的周長(zhǎng)為.
18．(1)
(2)
(3)①②
【詳解】（1）過(guò)作于，連接，如圖，
因?yàn)槎娼堑拇笮椋云矫嫫矫妫?br/>因?yàn)椋矫妗善矫妫矫妫?br/>所以平面，
所以為與平面所成角，
在中，
在中，
在中，，
所以在中，
，
所以,
在中，
即與平面所成角的正切是.
（2）在（1）圖中，，
在中，
所以，
的面積
因?yàn)槠矫妫?br/>所以三棱錐的體積
所以B到平面的距離.
（3）①矩形中找到的對(duì)應(yīng)線段，并設(shè)的延長(zhǎng)線交于，
在中，，
所以
在三棱錐中，如圖，
由，所以為二面角的平面角，
即
在中，
在中，
②
19．(1)
(2)證明見解析
(3)
【詳解】（1）在平面四邊形中，已知，，為等邊三角形，記，
在中，由余弦定理，，
所以，則，所以，
又因?yàn)闉榈冗吶切危?br/>所以，且，
所以，
則的面積為；
（2）在中，由正弦定理可得，
即且，
由于，
故，
由于三角形中，，因此，得證，
（3）在平面四邊形中，已知，，為等邊三角形，，設(shè)，
在中，由余弦定理，，
，
在中，由正弦定理，，即，所以，
結(jié)合
，
又因?yàn)椋裕?br/>所以，
即的面積的取值范圍為．
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

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