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2024~2025學年第二學期第二次月考試卷
高一數學
一、選擇題（共9題，每題5分，滿分45分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）
1.已知i為虛數單位，復數滿足，則下列說法正確的是（ ）
A.復數的虛部為 B.復數的共軛復數為
C.復數的模為 D.復數在復平面內對應的點在第二象限
2.某區縣共有在校中小學生15000人，為了解學生對人工智能AI技術認知情況，用分層抽樣的方法從小學、初中、高中三個學段中抽取容量為200的樣本，其中小學段抽取80人，高中段抽取40人，則初中段的學生人數為（ ）
A.3000 B.4000 C.4500 D.6000
3.已知m，n表示兩條不同的直線，表示平面，下列說法正確的是（ ）
A.若，，則 B.若，，則
C.若，，則 D.若，，則
4.如圖，已知等腰直角是一個平面圖形的直觀圖，，斜邊，則這個平面圖形的面積是（ ）
A. B. C.1 D.
5.在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若，，，則角（ ）
A.或 B.或 C. D.
6.某人工智能公司為優化新開發的語言模型，在其模型試用人群中開展滿意度問卷調查，滿意度采用計分制（滿分100分），統計滿意度并繪制成如下頻率分布直方圖，圖中，則下列結論不正確的是（ ）
A.
B.滿意度計分的眾數約為75分
C.滿意度計分的平均分約為79分
D.滿意度計分的第25百分位數約為70分
7.在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，若，則的形狀是（ ）
A.等邊三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
8.在中，點M是上一點，且，P為上一點，向量，則的最小值為（ ）
A.18 B.16 C.12 D.8
9.已知正方體的體積為，則四棱錐.與四棱錐重疊部分的體積是（ ）
A. B. C. D.
二、填空題（共6題，每題5分，滿分30分。）
10.已知i為虛數單位，化簡的結果為_____.
11.若一個圓錐的高和底面直徑相等，且它的體積為，則此圓錐的側面積為_____.
12.已知向量，，，則_____.
13.一組數據從小到大的順序排列為1，2，2，，5，10，其中，已知該組數據的中位數是眾數的倍，則該組數據的標準差為_____.
14.四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，底面，異面直線與所成的角的余弦值為則該四棱錐外接球的表面積為_____.
15.《哪吒2》的玉虛宮，形態由九宮八卦陣演變而來，設計靈感來源于漢代，內飾充滿了中國文化符號。某中學數學實踐小組將玉虛宮輪廓抽象為正八邊形，結合向量知識進行主題探究活動。如圖，正八邊形，邊長為2，，點P在線段上且，則的值為______；若點為線段上的動點，則的最小值為______.
三、解答題（共5題，滿分75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）
16.已知向量，，.
（1）若，求實數的值；
（2）若，①求與的夾角的余弦值；②求在的投影向量的坐標；③求.
17.已知在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若，，，且.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
18.如圖，在直三棱柱中，，，，M、N、P分別是、、的中點.
（1）證明：平面；
（2）求與平面所成角的正弦值；
（3）求點到平面的距離.
19.如圖，四棱錐中，平面，，，，，，，是的中點.
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）在線段上是否存在點Q，使得點D到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
20.已知在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的值；
（3）若，求的最大值.
2024~2025學年第二學期第二次月考
高一數學試卷答案
1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】C 4.【答案】A 5.【答案】B 6.【答案】C
7.【答案】A
【詳解】在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且.
則：，由于：，故：.
由于：，利用正弦定理得：，所以：，故：，
所以：為等邊三角形.故選C.
8.【答案】B
9.【答案】D
【詳解】如圖，
四棱錐與四棱錐重疊部分為五面體，
又該正方體的體積為，即，
解得，則，
所以，得，
又該五面體由一個三棱柱和一個四棱錐組成，如圖，
故該五面體的體積為
.
故選：D
10.【答案】 11.【答案】 12.【答案】5 13.【答案】3 14.【答案】
15.【答案】①. ②.0
【詳解】因為多邊形為正八邊形，
所以，，，，，
，
由正八邊形性質可得，
由已知，
過點作，垂足為，則，
又，，故，
如圖，以點A為原點，，為x，y軸正方向，建立平面直角坐標系，
則，，，，，，
所以，，，
因為，
所以，
又點在線段上，所以，所以，所以，
所以，
因為點為線段上的動點，故可設點的坐標為，
則，，，
所以，且，
因為二次函數的圖象為開口向下，對稱軸為的拋物線，
所以當或時，取最小值，最小值為0，
即當點為線段的端點C或端點D時，取最小值，最小值為0，
故答案為：，0.
16.【答案】解：（1）因為向量，，
若，則，解得或.
（2）因為，所以，
即，解得，
此時，.
①依題得；
②依題，在的投影向量為；
③因為，所以.
17.【小問1詳解】
因為，所以，
由正弦定理可得：，所以，.
【小問2詳解】
由余弦定理可得：，
所以，解得：或，因為，所以.
【小問3詳解】
因為，所以，所以，
，，
所以.
18.【小問1詳解】
在直三棱柱中，則，，兩兩垂直，
如圖，
以為原點建立空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，，
由，則，
由，則，
由且都在平面內，則平面；
【小問2詳解】
設平面的一個法向量，，，
所以，取，則，
所以，
故與平面所成角的正弦值為；
【小問3詳解】
由（1）知平面的一個法向量為，由（2）知，
所以點到平面的距離.
19.【小問1詳解】
取的中點，連接，因為是的中點，所以.
又因為，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以.
又因為平面，平面，所以平面.
【小問2詳解】
平面，且，則，，兩兩垂直，所以建立如圖所示空間直角坐標系，
又因為，，，，是的中點，
所以點的坐標為，，，，
所以平面的法向量為，
設平面的法向量為，
，，
由，，
可得，令，則，所以.
所以，平面與平面所成二面角的余弦值為.
【小問3詳解】
設，且，，
則，，，
設平面的法向量為，
則，可得，
令，所以.
因為點到平面的距離為，所以，解得，
所以存在點，使得點到平面的距離為，此時.
20.【答案】解：（1）∵，∴，
即，即，
由正弦定理得，，，所以.
（2）略
（3），，
又，
所以
令，
所以
當且僅當取等號，所以的最大值為.

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