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2024-2025學(xué)年上海市金山中學(xué)高一年級(jí)下學(xué)期
5月月考數(shù)學(xué)試卷
2025.5
一 填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得0分.
1.已知集合，則__________.
2.代復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則__________.
3.不等式的解集為__________.
4.已知向量與為一組基底，若與平行，則實(shí)數(shù)__________.
5.已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，則__________.
6.若為第二象限角，，則__________.
7.在中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若設(shè)，則可用表示為__________.
8.已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛數(shù)根，且，若向量，則向量的取值范圍為__________.
9.已知函數(shù)和函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)函數(shù)和函數(shù)代區(qū)間上同時(shí)遞增或者同時(shí)遞減時(shí)，把區(qū)間叫做函數(shù)的“不動(dòng)區(qū)間”，若區(qū)間為函數(shù)的“不動(dòng)區(qū)間”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，若和都是公差不為0的等差數(shù)列，公差分別記為，且，則__________.
11.將函數(shù)和直線的所有交點(diǎn)從左到右依次記為，，若點(diǎn)坐標(biāo)為，則__________.
12.已知，且對(duì)任意的恒成立，則的最小值為__________.
二 選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13 14題每題4分，第15 16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.
13.已知為實(shí)數(shù)，則“”是“”得（ ）條件.
A.充分非必要 B.必要非充分
C.充分必要 D.既非充分又非必要
14.將函數(shù)（其中）的圖象向右平移個(gè)單位，若所得圖象與原圖象重合，則不可能等于（ ）
A.0 B.1 C. D.
15.在中，角所對(duì)的邊分別為，，且，則的最小值為（ ）
A.-1 B. C. D.
16.設(shè)等差數(shù)列滿足：且公差，若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，則首項(xiàng)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
三 解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
17.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）
已知復(fù)數(shù)滿足為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)，其中是虛數(shù)單位.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）
函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使得為奇函數(shù)：
（2）若函數(shù)過點(diǎn)，且函數(shù)圖像與軸負(fù)半軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
19.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）
某城市平面示意圖為四邊形（如圖所示），其中內(nèi)的區(qū)域?yàn)榫用駞^(qū)，內(nèi)的區(qū)域?yàn)楣I(yè)區(qū)，為了生產(chǎn)和生活的方便，現(xiàn)需要在線段和線段上分別選一處位置，分別記為點(diǎn)和點(diǎn)，修建一條貫穿兩塊區(qū)域的直線道路，線段與線段交于點(diǎn)，段和段修建道路每公里的費(fèi)用分別為10萬元和20萬元，已知線段長(zhǎng)2公里，線段和線段長(zhǎng)均為6公里，，，設(shè).
（1）求修建道路的總費(fèi)用（單位：萬元）與的關(guān)系式（寫出的范圍）；
（2）求修建道路的總費(fèi)用的最小值.
20.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）
如圖所示，點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，并且滿足，已知.
（1）若實(shí)數(shù)，求證：；
（2）若是的外心，求的值；
（3）如果是的平分線上某點(diǎn)，則當(dāng)達(dá)到最小值時(shí)，求.
21.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）
對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若存在實(shí)數(shù)使得對(duì)任意恒成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì).
（1）判斷函數(shù)與是否具有性質(zhì)，若具有性質(zhì)，請(qǐng)寫出一個(gè)的值，若不具有性質(zhì)，請(qǐng)說明理由；
（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，且當(dāng)時(shí)，，解不等式；
（3）已知函數(shù)，對(duì)任意恒成立，若由“具有性質(zhì)”能推出“恒等于1”，求正整數(shù)的取值的集合.
2024-2025學(xué)年上海市金山中學(xué)高一年級(jí)下學(xué)期
5月月考數(shù)學(xué)試卷
一 填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得0分.
1.
2.5
3.
4.2
5.
6.
7.
8.
9..
10.
11.10
12.
二 選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13 14題每題4分，第15 16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.
13.A
14.D
15.D
16.D
三 解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
17.（1）由，得，
，
再由題意可得：，解得.
（2）由（1）得，，
則
，
則，即.
實(shí)數(shù)的取值范圍是.
18.（1）根據(jù)題意，函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br/>假設(shè)為奇函數(shù)，則，
而，則，此時(shí)無實(shí)數(shù)滿足條件，
所以不存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)為奇函數(shù).
（2）圖像經(jīng)過點(diǎn)，則代入得，解得，
所以，定義域?yàn)?br/>令，則的圖像與軸負(fù)半軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以，即，解得，
若，即是方程的解，
則代入可得，解得或.
由題意得，所以實(shí)數(shù)的取值范轉(zhuǎn)且，即的取值范圍為且.
19.（1）在中，，
在巾，，
由正弦定理可得，即，
.
（2）由（1）可得
，
令，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)取最大值1，
取最小值80，此時(shí)，
所以修道路總費(fèi)用的最小值為80萬元.
20.證明：（1）時(shí)，，
，
.
（2）是的外心，
，
.
（3）是的平分線上某點(diǎn)，
，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最小值，
所以，
.
21.（1）不具有性質(zhì)，理由如下：
對(duì)于任意實(shí)數(shù)，即，
不具有性質(zhì)：
具有性質(zhì)，
若，則
，
的一個(gè)取值為（只要滿足即可）.
（2）由得：，
是以4為周期的周期函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，不等式無解；
當(dāng)時(shí)，，則，
，解得：，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，的解集為，
的解集為.
（3），則只需研究的情況：
①當(dāng)時(shí)，
令H.對(duì)于任意恒成立，
此時(shí)滿足，并具有性質(zhì)，但不恒等于1；
②當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
令且對(duì)于任意恒成立，
此時(shí)滿足，并具有性質(zhì)，但不恒等于1：
③當(dāng)時(shí)，，滿足題意；
④當(dāng)時(shí)，，
，又，
則，滿足題意；
⑤當(dāng)時(shí)，，
，又，
，
則，滿足題意；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，滿足題意的的取值集合為.
滿足題意的正整數(shù)的取值的集合為.

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