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數學答案
選擇題（每題3分）
1.D 2B. 3.C 4.A 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C
填空題（11-14題每題3分，15-18題每題4分，共28分．）
11.8.945×1010 12.-2ab(a+2)(a-2) 13. 8 14. m<4且m≠3
15.1.5 16. -1 17. 18.
19.(1)原式=-1-（2-）+-1+9 2分
=5+2 4分
(2)解：原式＝
＝
＝
＝， 6分
∵a﹣1≠0且a+1≠0，
∴a=0
當a＝0時，原式＝＝﹣1 8分
20.解：（1）依題意，總人數：10÷20%＝50（人）；
A等級對應的扇形圓心角：×360°＝108°； 1分
(2)B等級的人數：50﹣15﹣10﹣4＝21（人）；
補全條形圖如圖： 3分
(3)“國家反炸中心APP”問卷調查得分不低于60分的人數：
×8000＝5760（人）； 5分
(4)依題意，列出樹狀圖：
共有12種等可能的結果，滿足選取的為1男1女的結果有6種，
則選取的為1男1女的概率：＝． 8分
21.（1）證明：連接BD，OD，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，
在Rt△BDC中，點E是BC的中點，∴，
又∵OB＝OD，OE＝OE，∴△OBE≌△ODE（SSS），
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∵D在⊙O上 ∴DE是⊙O的切線． 4分
（2）解：由（1）中結論，得BC＝2DE＝5，在Rt△BDC中，，
∵∠A+∠C＝90°，∠A+∠ABD＝90°，∴∠C＝∠ABD，
又∵∠ADB＝∠BDC＝90°，∴△ADB∽△BDC，∴，
∴ 8分
22.解：過P作 PH⊥AB于H，過C作CQ⊥PH于Q，而 CB⊥AB，
則四邊形 CQHB是矩形，∴QH＝BC，BH＝CQ，
由題意可得：AP＝100米，∠PAH＝60°，∠PCQ＝30°，AB＝80米，
∴PH＝APsin60°＝100×＝50（米），AH＝APcos60°＝50（米）， 4分
∴CQ＝BH＝80﹣50＝30（米），
∴PQ＝CQ tan30°＝10（米），
∴BC＝QH＝50﹣10＝40（米），
答：大樓的高度BC為40米． 8分
23.解：（1）設月平均增長率是x，
由題意得：5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．
答：月平均增長率是20%． 4分
（2）設售價應降低y元，則每件的銷售利潤為（160﹣y﹣100）元，每天的銷售量為（20+2y）件，
依題意得：（160﹣y﹣100）（20+2y）＝2000，
整理得：y2﹣50y+400＝0，
解得：y1＝10，y2＝40．
又∵要盡量減少庫存，∴y＝40．
答：售價應降低40元． 8分
解：（1）將點A、B坐標代入二次函數表達式得：，
解得：，
故拋物線的表達式為：y＝x2+6x+5 3分
（2）令y＝0，則x＝﹣1或﹣5，即點C（﹣1，0）；
過點P作y軸的平行線交BC于點G，將點B、C的坐標代入一次函數表達式并解得：
直線BC的表達式為：y＝x+1 4分
設點G（t，t+1），則點P（t，t2+6t+5），
S△PBC＝PG（xC﹣xB）＝（t+1﹣t2﹣6t﹣5）＝﹣t2﹣t﹣6，
∵＜0，∴S△PBC有最大值，當t＝﹣時，其最大值為. 7分
（3）M（-3，）或（-3，） 11分
25.解：（1）AC＝BD； 2分
（2）BD＝AC，理由如下： 3分
∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，
∴DO＝CO，OB＝OA，∠DOC＝∠BOA＝45°，
∴＝，∠DOB＝∠COA，
∴△DOB∽△COA，
∴＝＝，
∴BD＝AC； 7分
（3）如圖，過點A作AH⊥AB，且AH＝AB＝6，連接BH，DH，
∵AH⊥AB，AH＝AB，∴△AHB是等腰直角三角形，
∴BH＝AB＝3，∠ABH＝45°，
∵將CB繞點C逆時針旋轉90°得到CD，
∴CD＝CB，∠DCB＝90°，
∴DB＝BC，∠DBC＝45°，
∴∠ABH＝∠DBC，∴∠ABC＝∠DBH，
又∵＝＝，∴△ABC∽△HBD， 9分
∴＝＝，∴HD＝AC＝，
∴點D的運動軌跡是以H為圓心，為半徑的圓，
∴當D在AH的延長線上時，AD的值最大，最大值為3+． 11分2024—2025 學年第二學期質量檢測
九年級數學試題
一、選擇題：本大題共 10 小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把正確的選項選出來．每 小題選對得 3 分，選錯、不選或選出的答案超過一個均記零分．
1. 、 的算術平方根是( )
A.45 B.-45 C. ±45 D.3、
2.下列計算正確的是( )
A ．a9÷a3 ＝a3 B ． ·、I12 = C ．（a+b）2 ＝a2+b2 D ．2a+4b ＝6ab
3.將一副三角板(∠A＝30°,∠E＝45°)按如圖所示方式擺放，使得 BA∥EF，則∠BME 等于( )
A．75 ° B．90 ° C．105 ° D．115 °
第 3 題圖 第 4 題圖 第 5 題圖
4.由 5個大小相同的小正方體搭成的幾何體如圖所示，它的左視圖是( )
5.中國紋樣源遠流長，其獨特的美感和深厚的文化內涵反映了中華民族的智慧和創造力.下列圖形中 ，任取 一個圖形是中心對稱圖形的概率是( )
(
1
1
3
)A. B. C. D. 1
4 2 4
6.如圖，一次函數 y＝ax+b 與反比例函數y = (k＞0)的圖象交于點 A（1，2），B（ -2， -1）．則關于 x 的 不等式ax+ b＞的解集是( )
(
-2＜x＜0
或
x＞1 D．
) (
-1＜x＜0
或
x＞2
)A．x＜ -2 或 0＜x＜1 B．x＜ -1 或 0＜x＜2 C．
(
第
6
題圖
) (
第
7
題圖
) (
第
8
題圖
)第 10 題圖
7.草鍋蓋，又名蓋頂，是一種以牛筋草、江邊草和斑茅草為原材料進行編織纏繞的傳統草編工藝品．某興趣 小組根據草鍋蓋的特征制作了一個圓錐模型，并用測量工具測量其尺寸，如圖所示， 由圖中的數據可知圓錐 模型的側面積為( )
A ．16πcm2 B ．20πcm2 C ．24πcm2 D ．25πcm2
8.如圖，在△ABC 中，∠B ＝60°, AB ＝2，BC ＝3，以點A 為旋轉中心，將△ABC 按逆時針方向旋轉，得到
△ADE，點 D 恰好落在邊 BC 上，DE 與AC 交于點 F，則 DF 長為( )
1 1 2 3
A ． B ． C ． D．
2 3 3 4
9. 已知二次函數y ＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象經過點（ -1，0），對稱軸為直線 x ＝1，正確的結論是 ( )
A．abc>0 B．多項式 ax2+bx+c 可因式分解為（x+1） （x -3）
C．a-b ＝c D．當 m＞ -4a 時，關于 x 的方程 ax2+bx+c ＝m 無實數根
10.如圖，正方形 ABCD 中，E 為 AD 的中點，DF⊥CE 于 M，交 AC 于點 N，交 AB 于點 F，連接 EN、BM．有如下 結論：①△ADF≌△DCE；②MN＝FN；③CD＝2AF；④S△ADN：SCNFB ＝2：5．其中正確結論的個數為( )
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
二、填空題：本大題共 8 小題，其中 11-14 題每題 3 分，15-18 題每題 4 分，共 28 分．只要求填寫最后結果． 11.2024 年東營市經濟運行穩健向好，市場銷售企穩回暖，全市社會消費品零售總額 894.5 億元，數據“894.5 億”用科學記數法可以表示為 ．
12.因式分解：－2a3b＋8ab= .
13.小明在計算一組數據的方差時，列出的算式如下：S 2 = [2(7 x)2 + 3(8 x)2 + (9 x)2]，根據算式信 息，這組數據的眾數是 ．
14.若關于 x 的分式方程 1 = 的解是正數，則 m 的取值范圍是 ．
15.如圖（1），是中國傳統園林建筑中的月亮門，拱門的上部分是圓的一段?。S著四季更迭，半遮半掩之 間，便將絲絲景致幻化成詩情畫意．圖（2）是月亮門的示意圖，其中 AB＝1.8 米，C為 AB 中點，D為月亮門 最高點，圓心 O在線段 CD上，CD＝2.7 米，月亮門所在圓半徑的長為 米．
第 15 題圖 第 16 題圖 第 17 題圖 第 18 題圖
16. 如圖，在平面直角坐標系中，O（0，0），A（2，1），B（1，2），反比例函數 y＝（k≠0）的圖象經 過□OABC 的頂點 C，則 k= .
17.如圖，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°, ∠A ＝30°, AB ＝3，點 D 是直角邊AC 上的一個動點，連結 BD，以 BD 為邊向外作等邊△BDE，連結 CE，在點 D 運動的過程中，線段 CE 的最小值為 ．
18.如圖，△ABC，∠C＝90°, AC＝BC＝1，在△ABC 中截出一個正方形 A1B1C1D1，使點 A1、D1 分別在AC、 BC 邊上，邊 B1C1 在 AB 邊上；在△BC1D1 在截出第二個正方形 A2B2C2D2，使點 A2 、D2 分別在 BC1 、D1C1 邊上，邊 B2C2 在 BD1 邊上；…；依此方法作下去，則第 2025 個正方形的邊長為 ．
三、解答題：本大題共 7 小題，共 62 分.解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
19.（4 分）（1）計算： 12025 (
0
0
1

2
3
)2 ·、i3 + tan 60 (π 3. 15) + ( )
（4 分）（2）先化簡 ，然后從 -1，0，1 中選一個合適的數作為 a 的值代入求值．
20.（8 分）某市利用各類靈活多樣的宣傳方式、各種宣傳載體，全方位開展“國家反詐中心 APP”宣傳推廣 活動，截至 2023 年底，注冊人數已達 216.39 萬人．某社區工作人員為調查本社區居民對于“國家反詐中心 APP”的了解情況，進行了一次問卷調查，本次問卷調查共設 10 個問題，每題 10 分，問卷調查結束后，根據 問卷結果分為 A：非常了解（80 -100 分）、B：比較了解（60 -79 分）、C：基本了解（40 -59 分）、D：不 太了解（0 -39 分）四個等級并繪制了如下兩幅不完整的統計圖．
根據如圖所示圖標回答下面的問題：
（1）在扇形統計圖中，A等級對應的扇形圓心角為 ；
（2）補全條形統計圖；
（3）若該社區共有居民 8000 人，請你估計對于“國家反炸中心 APP ”問卷調查得分不低于 60 分的人數；
（4）為了更好的開展“國家反詐中心 APP”宣傳推廣工作，社區準備招募兩名宣講人員，現有問卷調查為 A 的 4 人報名，其中男性 1 人，女性 3 人，若從中隨機選取 2 人，求選取的為 1 男 1 女的概率．
21.（8 分）如圖，以 Rt△ABC 的直角邊 AB為直徑作⊙O，交斜邊 AC于點 D， 點 E是 BC 的中點，連接 OE、DE．
（1）求證：DE是⊙O 的切線；
（2）若sinc = ，DE = 2.5，求 AD 的長；
22.（8 分）無人機在生活中被廣泛應用，小哲同學喜歡用無人機進行探索研究，寒假期間，他和小組成員共 六人，一起利用無人機測量了家附近某大樓 BC 的高度，他設計的測量方案如下：
課題 測量大樓的高度
測量工具 無人機
測量圖例
測量方法 小哲和組員共六人，利用無人機測量大樓 BC 的高度，無人機在空中點 P處． （1）首先測量點 P與地面上點 A 的距離； （2）然后，在點 P處測量點 A 的俯角，樓頂點 C 的俯角； （3）測量點 A與大樓 BC 的距離 AB．
測量數據 （1）點 P與地面上點 A 的距離為 100m； （2）在點 P處測量點 A 的俯角為 60°, 樓頂點 C 的俯角為 30°; （3）測量點 A與大樓 BC 的距離 AB為 80m．
說明 點 A，B，C，P在同一水平面內．
請你根據上述信息，求大樓 BC 的高度．（結果保留根號）
23.（8 分）2025 年亞冬會在哈爾濱順利舉行，亞冬會吉祥物“濱濱妮妮”公仔爆紅．據統計公仔在某電商平 臺在 2024 年 10 月份的銷售量是 5 萬件，12 月份的銷售量是 7.2 萬件．
（1）若該平臺 10 月份到 12 月份的月平均增長率都相同，求月平均增長率是多少？
（2）市場調查發現，某一間店鋪公仔的進價為每件 100 元，若售價為每件 160 元，每天能銷售 20 件，售價 每降價 1 元，每天可多售出 2 件，為了推廣宣傳，商家決定降價促銷，同時盡量減少庫存，若使銷售該公仔 每天獲利 2000 元，則售價應降低多少元？
24.（11 分）如圖，已知拋物線 y＝ax2+bx+5 經過 A（ -5，0），B（ -4， -3）兩點， 與 x 軸的另一個交點為 C，頂點為 D，連接 CD．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）點 P 為直線 BC 下方的拋物線上一動點（與點 B、C 不重合），設點 P 的橫坐標為 t， 求△PBC 的面積的最大值；
（3）拋物線上是否存在點 M，使得∠MBC＝150？若存在，直接寫出所有點 M 的坐標；若不存在，請說明理由．
25. （11 分） 【特例感知】
（1）如圖 1，已知△AOB 和△COD 是等邊三角形，直接寫出線段 AC 與 BD 的數量關系是 ； 【類比遷移】
（2）如圖 2，△AOB 和△COD 是等腰直角三角形，∠BAO=∠DCO＝90°, 請寫出線段 AC 與 BD 的數量關系，并 說明理由．
【方法運用】
(3)如圖 3，若 AB＝3，點 C 是線段 AB 外一動點，AC= √3，連接 BC．若將 CB 繞點C 逆時針旋轉 90°得到 CD， 連接 AD，求出 AD 的最大值．

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