資源簡介

新九年級暑期素養測評卷
測評時間：90分鐘 滿分：100分 考生姓名：
一、選擇題（8×2=16）
1．一元二次方程，用配方法變形可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查配方法解一元二次方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關鍵．利用配方法將原方程變形即可．
【詳解】解：
配方得：，
即，
故選：C
2．如圖，在中，點D在邊上，點E在邊上，且，則下列結論中不正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵；若是兩個三角形中兩組角對應相等，那么這兩個三角形相似，根據此判定作判斷即可．
【詳解】解：∵，，
∴．故A正確；
∵，，
∴．故B正確；
∵，，
∴．故D正確；
沒有條件可證，故C錯誤．
故選：C
3．如圖，在中，，，則的長是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質，勾股定理．正確作出輔助線是解題關鍵．過點A作于點D．由等腰三角形三線合一的性質得出．根據，可求出，最后根據勾股定理可求出，即得出．
【詳解】解：如圖，過點A作于點D．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴．
故選B．
4．已知，是方程的兩個根，則的值為（ ）
A． B． C．2024 D．2025
【答案】A
【分析】本題考查了一元二次方程根的定義，一元二次方程根與系數的關系，掌握以上知識是解題的關鍵．
根據一元二次方程的解得出，根據一元二次方程根與系數的關系得出，代入代數式即可求解．
【詳解】解：∵、是方程的兩個實數根，
∴，，
即，
∴
，
故選：A．
5．如果在高為2米，坡度為的樓梯上鋪地毯，那么地毯長度至少需要（ ）
A．2米 B．6米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】本題考查了用平移的性質解決實際問題及坡比的應用，根據題意畫出對應的幾何圖，注意地毯長度為，而不是，即可求解．
【詳解】解：如圖所示：
由題意得：在中，，
∴，
∴，
故選：B．
6．如圖，點，，在上，，過點作的切線交的延長線于點，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了圓周角定理，切線的性質，三角形內角和定理的應用，解題關鍵是掌握圓周角定理及切線性質求得及的值，根據圓周角定理“一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”，得到，再根據“圓的切線垂直于過切點的半徑”，可證得，再利用三角形內角和定理，即可求得的值．
【詳解】解：，，在上，，
，
過點作的切線交的延長線于點，
，
，
，
故選：D．
7．如圖，正方形ABCD的頂點B在x軸上， 點A，點C在反比例函數，若直線BC的函數表達式為，則反比例函數表達式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解方程求得，，得到，，過作軸于，過作軸于，根據正方形的性質得到，，根據全等三角形的性質得到，，根據相似三角形的性質得到，設，，根據反比例函數圖象上點的坐標特征即可得到結論．
【詳解】解：在中，令，則，
令，則，
，，
，，
過作軸于，過作軸于，
四邊形是正方形，
，，
，
，
在與中，
，
，
，，
，，
，
∴，
，
設，，
，，
，，
點，點在反比例函數圖象上，
，
，（不合題意舍去），
，
，
∴；
故選：D．
【點睛】本題考查了反比例函數的綜合題，待定系數法求反比例函數的解析式，一次函數的性質，全等三角形的判定和性質，正方形的性質，相似三角形的判定和性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．
8．如圖，半徑為2，圓心角為的扇形的弧上有一動點P，從點P作于點H，設的三個內角平分線交于點M，當點P在弧上從點A運動到點B時，點M所經過的路徑長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了弧長的計算公式：，其中表示弧長，表示弧所對的圓心角的度數．同時考查了三角形內心的性質、三角形全等的判定與性質、圓周角定理和圓的內接四邊形的性質．如圖，連接，由的內心為M，可得到，并且易證，得到，所以點M在以為弦，并且所對的圓周角為的一段劣弧上；過、M、三點作，如圖，連，，在優弧取點，連接，，可得，得，，然后利用弧長公式計算弧的長即可．
【詳解】解：如圖，連接，
的內心為M，
，，
，
∵，
∴，
，
又，為公共邊，
而，
，
，
所以點M在以為弦，并且所對的圓周角為的一段劣弧上；
過、M、三點作，如圖，連接，，在優弧取點，連接，，
，
，
，
∵，
，
弧的長，
所以內心M所經過的路徑長為．
故選：B．
二、填空題（8×2=16分）
9．如圖，與位似，點O為位似中心，已知，則 ．
【答案】/
【分析】本題考查位似圖形的性質，根據相似比等于位似比，即可得出結果．
【詳解】解：∵，
∴，
∵與位似，點O為位似中心，
∴；
故答案為：．
10．如圖，圓錐的母線與底面半徑的夾角為，，則圓錐側面展開扇形的圓心角是 ．
【答案】216
【分析】本題主要考查了圓錐的計算及解直角三角形．根據的正切，設出及的長，再根據圓錐底面圓的周長與側面展開扇形的弧長相等即可解決問題．
【詳解】解：在中，
，
則令，，
．
令圓錐側面展開扇形的圓心角度數為，
則，
解得，
所以圓錐側面展開扇形的圓心角是．
故答案為：216．
11．《九章算術》中“勾股”章有一題：已知矩形門的高比寬多尺，門的對角線長尺，那么門的高和寬各是多少？如果設門的寬為尺，根據題意，那么可列方程 ．
【答案】
【分析】本題考查的知識點是勾股定理的實際應用、一元二次方程的應用，解題關鍵是熟練掌握勾股定理的應用．
由題意根據勾股定理的實際應用列一元二次方程即可．
【詳解】解：依題得：門的寬為尺，高為尺，
門為矩形，
有，
即．
故答案為：．
12．若關于x的方程有兩個不相等的整數根，則正整數m的值是 ．
【答案】1
【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握含參因式分解的方法；根據因式分解，求出方程的兩根，再根據是整數，且求解即可；
【詳解】關于x的方程有兩個不相等的整數根，
，，
解得，
m是正整數，方程有兩個不相等的整數根，
是整數，且，
，
故答案為：1；
13．如圖，是的弦，連接，，是所對的圓周角，則與的和的度數是 ．

【答案】/90度
【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．根據圓周角定理可得，結合三角形內角和定理，可證明，再根據等腰三角形的性質可知，由此即得答案．
【詳解】是所對的圓周角，是所對的圓心角，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
14．如圖，從地面上的點A看一山坡上的電線桿，測得桿頂端點P的仰角是，測得桿底端點Q的仰角是，．則點A到山坡底部點C的距離為 m．（結果保留根號）
【答案】
【分析】本題考查解直角三角形的應用，設，在中，求得 ，在中，求得，由列方程求解即可．
【詳解】解：設，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，解得，
故答案為：．
15．如圖，正方形內接于，點，在上，點，分別在和邊上，且邊上的高，，則正方形的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，正方形的性質，線段的和與差等知識．解題的關鍵是根據比例表示出相應線段列方程．根據三角形相似，找到對應線段成比例列方程求解即可．
【詳解】解：設正方形的邊長為，則，
∵四邊形是正方形，
，
，
，
，
， ，，，
解得：，
正方形的面積為
故答案為：
16．將邊長為1的正六邊形折疊成三角形后（如圖1）用剪刀剪下一個角，展開后得到如圖2所示的圖形，圖2中虛線為折疊時產生的折痕，折痕，且，若剪完后所得陰影圖形的面積為原正六邊形面積的，則的值為 ，的值為 ．

【答案】
【分析】本題考查的是正多邊形和圓、翻折變換、勾股定理，由折疊的性質知，6個小三角形均為完全相同的三角形，陰影面積與正六邊形面積的，則每個小三角形（如）面積占一個小正三角形（如）的，過點G作于點R，過點O作于點T，然后根據三角形面積公式及勾股定理可得方程，通過解方程可得答案．
【詳解】解：由折疊的性質知，6個小三角形均為完全相同的三角形，陰影面積與正六邊形面積的，則每個小三角形（如）面積占一個小正三角形（如）的．
過點G作于點R，過點O作于點T，

∵
∴
∴
由勾股定理得，
又正六邊形的邊長為1，
∴
∴
∴，
∴，
，
∴，
解得或（舍），
∵，
∴；
∴，，
∴，，
∴，即，
解得（負值舍去），
∴，
故答案為：；．
三、解答題（共64分）
17．計算：；
【答案】2
【分析】本題考查了實數的混合運算，涉及特殊三角形函數值，負整數指數冪，絕對值的運算，根據負整數指數冪，絕對值的運算，特殊三角形函數值，計算各項，再算加減法即可．
【詳解】解：
．
18．解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關鍵是：
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可；
（3）原方程系數化為1后，利用直接開平方法求解即可；
（4）原方程化簡后，利用十字相乘法因式分解求解即可．
【詳解】（1）解：，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，；
（4）解：原方程化簡為，
∴，
解得，．
19．如圖，在由邊長為個單位長度的小正方形組成的網格中，已知點均為網格線的交點．
(1)以點為位似中心，在網格中畫出的位似圖形使原圖形與新圖形的相似比為；
(2)把向上平移個單位長度后得到，請畫出；
(3)的面積為______．
【答案】(1)畫圖見解析；
(2)畫圖見解析；
(3)．
【分析】（）根據畫位似圖形的一般步驟畫圖即可；
（）將的每一個頂點都向上平移個單位，再連接各頂點即可；
（）利用割補法求解即可；
本題考查了位似，平移作圖，解題的關鍵是熟練掌握位似圖形的畫法，平移圖形的畫法．
【詳解】（1）如圖，
∴如圖所示，就是所求作的三角形；
（2）如圖，的每一個頂點都向上平移個單位，再連接各頂點，
∴如圖所示，就是所求作的三角形；
（3）解：的面積=，
故答案為：．
20．如圖，在四邊形中，，，O是的中點，的延長線交于點E，．
(1)求證：；
(2)若，求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線性質，根據直角三角形斜邊上的中線性質求出是解題的關鍵．
（1）根據直角三角形的性質及等腰三角形的性質求出，等量代換得出，結合平行線的性質求出，根據等腰三角形的判定即可得解；
（2）根據等腰三角形的性質得出，根據“兩角對應相等的兩個三角形相似”求出，根據相似三角形的性質即可得解．
【詳解】（1）證明：∵是的中點，
，
，
又，
，
，
，
，
；
（2）如圖，連接，
∵是的中點，
，
，
，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
∵是的中點，
，
，
．
21．四邊形內接于是延長線上一點，．
(1)求證：是的切線：
(2)若，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接并延長交于點，連接，則，由，可得，根據直徑所對的圓周角是直角可推出，進而得到，即可求解；
（2）由（1）可得，結合，可得，，，再根據勾股定理求出，最后根據，即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖，連接并延長交于點，連接，則．
是的直徑，
，
，
，
即，
又是半徑
是的切線；
（2）解：
．
【點睛】本題考查圓的綜合應用，涉及圓周角定理、切線性質、扇形面積的計算，熟練掌握圓周角定理、切線性質是解題的關鍵．
22．如圖：已知直線，及同側兩點．用直尺與圓規作圖．
(1)在圖（1）中作出點，使（保留作圖痕跡）；
(2)在圖（2）中作出點，使（保留作圖痕跡，簡要說明畫法）
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）以點M為圓心，以適當長度為半徑畫弧，交于C，D兩點，然后分別以點C，D為圓心，以長度為半徑畫弧，兩弧交于點Q，連接交于點P，即為所求；
（2）首先作出點N關于的對稱點E，連接，作出的垂直平分線，連接兩弧的交點交于點F，以點E為圓心為半徑畫圓，以點F為圓心，以為半徑畫圓，兩圓交于點G，連接交于點Q，即為所求．
【詳解】（1）如圖所示，點P即為所求；
∵點Q和點M關于對稱
∴
∵
∴；
（2）如圖所示，點Q即為所求；
∵點N和點E關于對稱
∴
∵是直徑
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∵
∴．
【點睛】此題考查了復雜作圖，切線的性質，圓周角定理，全等三角形的性質，軸對稱性質等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．
23．某校數學實踐小組利用所學數學知識測量某塔的高度．下面是兩個方案及測量數據：
方案一：借助太陽光線，測量：標桿長，影長，塔影長．
方案二：測量：距離，仰角，仰角．
請你選擇一個方案，求出塔的高度．（參考數據：，，，，，）
【答案】塔的高度為52米
【分析】本題主要考查了相似三角形的應用和解直角三角形的應用，解題的關鍵是熟練掌握三角形函數定義和相似三角形的判定方法．
按照方案一，證明，得出，代入數據求出結果即可；
按照方案二，根據三角函數定義得出，，根據，得出，求出即可．
【詳解】（方案一）解：如圖，
由題意可知，，
，
，
，
即，
解得，
答：塔的高度為52米；
（方案二）解：如圖，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
即．
米
答：塔的高度為52.5米．
24．端午節是中國的傳統四大節日之一，在池州有賽龍舟、吃粽子、懸艾葉、吃綠豆糕等習俗．每年端午節前也是購物的高峰期，2024年端午節前期某超市購進A、B兩種端午節禮盒，其中A種禮盒進貨價為28元/盒，B種禮盒進貨價為22元/盒．（注：利潤＝銷售價－進貨價）
(1)該超市第一次用7200元購進A、B兩種禮盒共300盒，求兩種禮盒分別購進的數量；
(2)端午節臨近時，該超市發現B種禮盒還有大量剩余，已知該禮盒售價為34元/盒，如果按照原價銷售，平均每天可售10盒．經調查發現，每降價1元，平均每天可多售5盒，為了盡快減少庫存，將銷售價定為每盒多少元時，才能使B種禮盒平均每天銷售利潤為240元？
【答案】(1)禮盒購進100盒，種禮盒購進200盒
(2)28元
【分析】本題考查了一元一次方程以及一元二次方程的應用，讀懂題意找出等量或不等關系是解題關鍵．
（1）設禮盒購進盒，則種禮盒購進（300－）盒，根據題意列出一元一次方程求解即可；
（2）設應降價m元，才能使B種禮盒平均每天銷售利潤為240元，根據題意列出一元二次方程求解即可．
【詳解】（1）設禮盒購進盒，則種禮盒購進盒，
依題意得：，
解得：，
．
答：禮盒購進100盒，種禮盒購進200盒；
（2）設應降價m元，才能使B種禮盒平均每天銷售利潤為240元，
依題意得：，
整理得：，
解得：，，
要盡快減少庫存，
應取6，
．
答：B種禮盒銷售價定為每盒28元時，才能使平均每天銷售利潤為240元．
25．在平面直角坐標系中，對于點和，給出如下定義：若在上任取一點，將點繞點T逆時針旋轉得到點Q，稱點Q為點P關于的逆直點．
(1)的半徑為1，
①若點的坐標為，在點，，中，點P關于的逆直點是____________；
②點在直線上運動，若上存在點P關于的逆直點，求點的橫坐標的取值范圍；
(2)的半徑為r，為平面內一條線段，且，點為線段上一動點，是點P關于的逆直點，記d為點Q的縱坐標最大值與最小值的差，當線段在平面上運動時，直接寫出d的取值范圍．
【答案】(1)①，；②或
(2)
【分析】（1）①取點，由、是等腰直角三角形，得到，，進而得到，根據相似三角形的判定定理得到∴，，結合，得到，進而得到結論，到距離為的點，是點P關于的逆直點，根據點到點的距離公式依次計算，即可求解，②設，取點，由，在中，根據三角形三邊關系得到，即：，解不等式，即可求解，
（2）設點繞點T逆時針旋轉得到點Q，點P到達點D時點Q到達點，點P到達點E時點Q到達點，連接，，，，，，由旋轉性質證明，得到，，同理，，，推出點Q在直線上運動，線段，當軸時，，當軸時， ，即可求解．
【詳解】（1）①取點，連接、、、，
∵、是等腰直角三角形，
∴，，
∴，即：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴到距離為的點，是點P關于的逆直點，
，，，
∴，是點P關于的逆直點，
故答案為：，，
②設，取點，連接、、、，
同理①可得：、是等腰直角三角形，，，
在中，，即：，
∴，解得：或，
故答案為：①，；②或，
（2）如圖，設點繞點T逆時針旋轉得到點Q，點P到達點D時點Q到達點，點P到達點E時點Q到達點，連接，，，，，，
由旋轉知，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
同理，，，
∴點Q在直線上運動，線段，
當軸時，，
當軸時，，，
∴d的取值范圍為．
【點睛】此題主要考查了新定義——逆直點．熟練掌握逆直點定義，旋轉性質，等腰直角三角形性質，兩點間距離，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，分類討論，是解題的關鍵．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)新九年級暑期素養測評卷
測評時間：90分鐘 滿分：100分 考生姓名：
一、選擇題（8×2=16）
1．一元二次方程，用配方法變形可得（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，在中，點D在邊上，點E在邊上，且，則下列結論中不正確的是（　?。?br/>A．B． C． D．
3．如圖，在中，，，則的長是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
4．已知，是方程的兩個根，則的值為（ ）
A． B． C．2024 D．2025
5．如果在高為2米，坡度為的樓梯上鋪地毯，那么地毯長度至少需要（ ）
A．2米 B．6米 C．米 D．米
6．如圖，點，，在上，，過點作的切線交的延長線于點，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，正方形ABCD的頂點B在x軸上， 點A，點C在反比例函數，若直線BC的函數表達式為，則反比例函數表達式為（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，半徑為2，圓心角為的扇形的弧上有一動點P，從點P作于點H，設的三個內角平分線交于點M，當點P在弧上從點A運動到點B時，點M所經過的路徑長是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（8×2=16分）
9．如圖，與位似，點O為位似中心，已知，則 ．
10．如圖，圓錐的母線與底面半徑的夾角為，，則圓錐側面展開扇形的圓心角是 ．
11．《九章算術》中“勾股”章有一題：已知矩形門的高比寬多尺，門的對角線長尺，那么門的高和寬各是多少？如果設門的寬為尺，根據題意，那么可列方程 ．
12．若關于x的方程有兩個不相等的整數根，則正整數m的值是 ．
13．如圖，是的弦，連接，，是所對的圓周角，則與的和的度數是 ．

14．如圖，從地面上的點A看一山坡上的電線桿，測得桿頂端點P的仰角是，測得桿底端點Q的仰角是，．則點A到山坡底部點C的距離為 m．（結果保留根號）
15．如圖，正方形內接于，點，在上，點，分別在和邊上，且邊上的高，，則正方形的面積為 ．
16．將邊長為1的正六邊形折疊成三角形后（如圖1）用剪刀剪下一個角，展開后得到如圖2所示的圖形，圖2中虛線為折疊時產生的折痕，折痕，且，若剪完后所得陰影圖形的面積為原正六邊形面積的，則的值為 ，的值為 ．

三、解答題（共64分）
17．計算：；
18．解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．如圖，在由邊長為個單位長度的小正方形組成的網格中，已知點均為網格線的交點．
(1)以點為位似中心，在網格中畫出的位似圖形使原圖形與新圖形的相似比為；
(2)把向上平移個單位長度后得到，請畫出；
(3)的面積為______．
20．如圖，在四邊形中，，，O是的中點，的延長線交于點E，．
(1)求證：；
(2)若，求證：．
21．四邊形內接于是延長線上一點，．
(1)求證：是的切線：
(2)若，求圖中陰影部分的面積．
22．如圖：已知直線，及同側兩點．用直尺與圓規作圖．
(1)在圖（1）中作出點，使（保留作圖痕跡）；
(2)在圖（2）中作出點，使（保留作圖痕跡，簡要說明畫法）
23．某校數學實踐小組利用所學數學知識測量某塔的高度．下面是兩個方案及測量數據：
方案一：借助太陽光線，測量：標桿長，影長，塔影長．
方案二：測量：距離，仰角，仰角．
請你選擇一個方案，求出塔的高度．（參考數據：，，，，，）
24．端午節是中國的傳統四大節日之一，在池州有賽龍舟、吃粽子、懸艾葉、吃綠豆糕等習俗．每年端午節前也是購物的高峰期，2024年端午節前期某超市購進A、B兩種端午節禮盒，其中A種禮盒進貨價為28元/盒，B種禮盒進貨價為22元/盒．（注：利潤＝銷售價－進貨價）
(1)該超市第一次用7200元購進A、B兩種禮盒共300盒，求兩種禮盒分別購進的數量；
(2)端午節臨近時，該超市發現B種禮盒還有大量剩余，已知該禮盒售價為34元/盒，如果按照原價銷售，平均每天可售10盒．經調查發現，每降價1元，平均每天可多售5盒，為了盡快減少庫存，將銷售價定為每盒多少元時，才能使B種禮盒平均每天銷售利潤為240元？
25．在平面直角坐標系中，對于點和，給出如下定義：若在上任取一點，將點繞點T逆時針旋轉得到點Q，稱點Q為點P關于的逆直點．
(1)的半徑為1，
①若點的坐標為，在點，，中，點P關于的逆直點是____________；
②點在直線上運動，若上存在點P關于的逆直點，求點的橫坐標的取值范圍；
(2)的半徑為r，為平面內一條線段，且，點為線段上一動點，是點P關于的逆直點，記d為點Q的縱坐標最大值與最小值的差，當線段在平面上運動時，直接寫出d的取值范圍．
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