資源簡介

八年級數學《暑假作業 新課程無憂銜接》（蘇科版）
考點05反比例函數【暑假作業】
一、單選題
1．如圖，的頂點A是雙曲線上的動點，過點A作軸交雙曲線于點C，頂點B在y軸上，下列說法正確的是（ ）
A．的周長存在最大值 B．的面積存在最小值
C．的周長始終不變 D．的面積始終不變
【答案】D
【分析】設點，由題意易得，，，然后問題可求解．
【詳解】
解：設點，
∵軸，
∴，
∴的高即為點A的橫坐標，
∴，故D選項正確，B選項錯誤；
由兩點距離公式可得，，
∴，
∴的周長由a、b的值決定，故A、C錯誤；
故選D．
【點睛】考查反比例函數與幾何的綜合
2．如圖，雙曲線y＝（x＞0）經過矩形OABC的頂點B．雙曲線y＝（x＞0）交AB，BC于點E、F，且與矩形的對角線OB交于點D．連接EF，若OD：OB＝2：3．則△BEF的面積為（　?。?br/>A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】
設D（2m，2n），根據題意A（3m，0），C（0，3n），B（3m，3n），即可得出9＝3m 3n，k＝2m 2n＝4mn，解得mn＝1，由E（3m， n），F（m，3n），求得BE、BF，然后根據三角形面積公式得到S△BEF＝BE BF＝mn＝．
【詳解】
解：設D（2m，2n），
∵OD：OB＝2：3，
∴A（3m，0），C（0，3n），
∴B（3m，3n），
∵雙曲線y＝（x＞0）經過矩形OABC的頂點B，
∴9＝3m 3n，
∴mn＝1，
∵雙曲線y＝（x＞0）經過點D，
∴k＝4mn，
∴雙曲線y＝（x＞0），
∴E（3m，n），F（m，3n），
∴BE＝3n﹣n＝n，BF＝3m﹣m＝m，
∴S△BEF＝BE BF＝mn＝，
故選：C．
【點睛】考查反比例函數的性質，熟悉掌握反比例函數的性質、數形結合是解題的關鍵．
3．為了響應“綠水青山就是金山銀山”的號召，建設生態文明，某工廠自2019年1月開始限產進行治污改造，其月利潤y（萬元）與月份x之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數圖象的一部分，治污完成后是一次函數圖象的一部分，下列選項錯誤的是（　?。?br/>A．4月份的利潤為50萬元
B．治污改造完成后每月利潤比前一個月增加30萬元
C．治污改造完成前后共有3個月的利潤低于100萬元
D．8月份該廠利潤達到200萬元
【答案】D
【分析】直接利用已知點求出一次函數與反比例函數的解析式進而分別分析得出答案．
【詳解】
解：A、設反比例函數的解析式為y=，
把（1，200）代入得，k=200，
∴反比例函數的解析式為：y=，
當x=4時，y=50，
∴4月份的利潤為50萬元，故此選項正確，不合題意；
B、治污改造完成后，從4月到6月，利潤從50萬到110萬，故每月利潤比前一個月增加30萬元，故此選項正確，不合題意；
C、當y=100時，則100=，
解得：x=2，
則只有3月，4月，5月共3個月的利潤低于100萬元，故此選項正確，不符合題意．
D、設一次函數解析式為：y=kx+b，
則，
解得：，
故一次函數解析式為：y=30x-70，
故y=200時，200=30x-70，
解得：x=9，
則治污改造完成后的第5個月，即9月份該廠利潤達到200萬元，故此選項不正確，符合題意．
故選：C．
【點睛】考查了一次函數與反比函數的應用，正確得出函數解析是解題關鍵．
4．在反比例函數y＝的每一條曲線上，y都隨著x的增大而減小，則k的值可以是（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】利用反比例函數的增減性，y隨x的增大而減小，則求解不等式1-k>0即可．
【詳解】
∵反比例函數y=1 kx圖象的每一條曲線上，y隨x的增大而減小，
∴1 k>0，
解得k<1.
故選A.
【點睛】考查反比例函數的性質，解題關鍵在于根據其性質求出k的值.
5．如圖，曲線表示溫度T（℃）與時間t（h）之間的函數關系，它是一個反比例函數的圖像的一支．當溫度T≤2℃時，時間t應（ ）
A．不小于h B．不大于h C．不小于h D．不大于h
【答案】C
【分析】本題首先利用待定系數法確定反比例函數解析式，繼而根據題目已知列不等式關系，最后求解不等式解答本題．
【詳解】
假設反比例函數關系式為：（其中為常數且不為零，為正數），
由圖可知點(1,3)在反比例函數上，故將點代入函數可得：，故．
∵，
∴，
解上述不等式得：，即時間不小于．
故選：C．
【點睛】考查反比例函數的性質，待定系數法求比例系數k是解題第一步，后續不等式求解，需要注意如果涉及負數需要變號．
6．下列函數關系中，隨的增大而減小的是（ ）
A．長方形的長一定時，其面積與寬的函數關系
B．高速公路上勻速行駛的汽車，其行駛的路程與行駛時間的函數關系
C．如圖1，在平面直角坐標系中，點、，的面積與點的橫坐標的函數關系
D．如圖2，我市某一天的氣溫（度）與時間（時）的函數關系
【答案】C
【分析】首先要明確各選項的函數關系，再根據函數的性質進行判斷即可.
【詳解】
A. 長方形的長一定時，其面積與寬成正比例關系，此時隨的增大而增大，故選項A不符合題意；
B. 高速公路上勻速行駛的汽車，其行駛的路程與行駛時間成正比例關系，此時隨的增大而增大，故選項B不符合題意；
C. 如圖1，在平面直角坐標系中，點、，的面積與點的橫坐標成反比關系，此時隨的增大而減小，故選項C符合題意；
D. 如圖2，我市某一天的氣溫（度）與時間（時）的函數關系中無法判斷，y與x的關系，故選項D不符合題.
故選：C.
【點睛】考查了函數值與自變量之間的關系，熟練掌握各選項的函數關系是解題的關鍵.
7．一次函數y=ax+b與反比例函數，其中ab＜0，a、b為常數，它們在同一坐標系中的圖象可以是（　?。?br/>A．B．C． D．
【答案】C
【分析】根據一次函數的位置確定a、b的大小，看是否符合ab<0，計算a-b確定符號，確定雙曲線的位置．
【詳解】
A. 由一次函數圖象過一、三象限，得a>0，交y軸負半軸，則b<0，
滿足ab<0，
∴a b>0，
∴反比例函數y= 的圖象過一、三象限，
所以此選項不正確；
B. 由一次函數圖象過二、四象限，得a<0，交y軸正半軸，則b>0，
滿足ab<0，
∴a b<0，
∴反比例函數y=的圖象過二、四象限，
所以此選項不正確；
C. 由一次函數圖象過一、三象限，得a>0，交y軸負半軸，則b<0，
滿足ab<0，
∴a b>0，
∴反比例函數y=的圖象過一、三象限，
所以此選項正確；
D. 由一次函數圖象過二、四象限，得a<0，交y軸負半軸，則b<0，
滿足ab>0，與已知相矛盾
所以此選項不正確；
故選C.
【點睛】考查反比例函數的圖象，一次函數的圖象，解題關鍵在于確定a、b的大小
8．當k＞0，x＜0時，反比例函數y=的圖象在（　?。?br/>A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根據反比例函數的圖象和性質即可求解．
【詳解】
根據反比例函數的性質，k＞0時，圖象在第一三象限，
又因為x＜0，所以圖象在第三象限．
故選C．
【點睛】考查了反比例函數的性質，掌握k＞0，則其圖象位于一三象限，反之則位于二四象限是解題的關鍵．
9．某長方體的體積為100cm3，長方體的高h(單位：cm)與底面積S的函數關系式為( )
A．h＝ B．h＝ C．h＝100S D．h＝100
【答案】B
【分析】根據等量關系“長方體的高=長方體的體積÷底面積”即可列出關系式．
【詳解】
由題意得：長方體的高h（單位：cm）與底面積S的函數關系式為h=．
故選B．
【點睛】考查了反比例函數在實際生活中的應用，解題的關鍵是找出題中的等量關系．
10．如圖，已知點C為反比例函數y=﹣上一點，過點C向坐標軸引垂線，垂足分別為A，B，那么四邊形AOBC的面積為（　?。?br/>A．﹣6 B．3 C．6 D．12
【答案】C
【分析】過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的矩形的面積S是個定值，即S=|k|．
【詳解】
由于點C為反比例函數y=-上的一點，
則四邊形AOBC的面積S=|k|=6．
故選C．
【點睛】考查了反比例函數y=中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|．
11．如圖，一次函數和反比例函數的圖象交于，，兩點，若，則的取值范圍是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【分析】在圖象上找出一次函數在反比例函數下方時x的范圍，即為所求x的范圍．
【詳解】
解：由一次函數y1=ax+b和反比例函數的圖象交于A（-2，m），B（1，n）兩點，根據圖象可得：當y1＜y2時，x的范圍為-2＜x＜0或x＞1．
故選：D．
【點睛】考查反比例函數與一次函數的交點問題，利用了數形結合的數學思想，數形結合思想是數學中重要的思想方法
12．已知：如圖在直角坐標系中，有菱形OABC，A點的坐標為（10，0），對角線OB、AC相交于D點，雙曲線 x 0經過D點，交AB于E點，且OB AC=160，則點E的坐標為（ ）．
A．（3，8） B．（12，） C．（4，8） D．（12，4）
【答案】B
【分析】
過點B作軸于點，由可求出菱形的面積，由點的坐標可求出的長，根據勾股定理求出的長，故可得出點的坐標，對角線相交于D點可求出點坐標，用待定系數法可求出雙曲線的解析式，與的解析式聯立，即可求出點的坐標.
【詳解】
過點B作軸于點,
,點的坐標
又 菱形的邊長為10，
在中，
又 點是線段的中點，
點的坐標為
又
直線的解析式為
聯立方程可得：
解得： 或，
點的坐標為
故選：B.
【點睛】考查反比例函數與一次函數以及菱形綜合
13．如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像相交于，兩點，其橫坐標分別為2和6，則不等式的解集是____________．
【答案】或
【分析】先將所求的不等式變形為，再利用函數圖象法即可得．
【詳解】
不等式可變形為
求不等式的解集可轉化為求一次函數的圖象位于反比例函數的圖象的下方時，x的取值范圍
由圖象可知，或
即不等式的解集是或
故答案為：或．
【點睛】考查了反比例函數與一次函數的綜合，讀懂題意，掌握函數圖象法是解題關鍵．
14．若點A(m，2)在反比例函數y＝的圖象上，則當函數值y≥－2時，自變量x的取值范圍是____.
【答案】x≤－2或x＞0
【分析】先把點A（m,2）代入解析式得A(2,2),再根據反比例函數的對稱性求出A點關于原點的對稱點A’（-2，-2），再根據函數圖像即可求出函數值y≥－2時自變量的取值.
【詳解】
把點A（m,2）代入y＝，
得A（2,2），
∵點A（2,2）關于原點的對稱點A’為（-2，-2），
故當函數值y≥－2時，自變量x的取值范圍為x≤－2或x＞0.
【點睛】考查反比例函數的圖像，解題的關鍵是利用反比例函數的中心對稱性.
15．如圖，反比例函數y=的圖象經過 ABCD對角線的交點P，已知點A，C，D在坐標軸上，BD⊥DC， ABCD的面積為6，則k=_____．
【答案】-3
【詳解】
分析：由平行四邊形面積轉化為矩形BDOA面積，在得到矩形PDOE面積，應用反比例函數比例系數k的意義即可．
詳解：過點P做PE⊥y軸于點E，
∵四邊形ABCD為平行四邊形
∴AB=CD
又∵BD⊥x軸
∴ABDO為矩形
∴AB=DO
∴S矩形ABDO=S ABCD=6
∵P為對角線交點，PE⊥y軸
∴四邊形PDOE為矩形面積為3
即DO EO=3
∴設P點坐標為（x，y）
k=xy=﹣3
故答案為﹣3
【點睛】考查了反比例函數比例系數k的幾何意義以及平行四邊形的性質．
16．已知：如圖，點、點是反比例函數圖象上的兩點，過點作軸于點．過點作軸于點，連接，交于點，連接當為中點且時，點的坐標為____________．
【答案】，
【分析】
根據三角形中位線定理得到，即可得到，得到，根據直角三角形斜邊中線的性質即可得出，設，則，，利用勾股定理，，利用反比例函數解析式即可求得的值，即可求得的橫坐標，代入反比例函數解析式求得縱坐標．
【詳解】
解：軸于點．軸于點，
，
為中點，
，
，
，
，
，
，
，
，為中點，
是的中點，
，
，
，
設，則，，
利用勾股定理，，
，
，
，
，
，
的橫坐標為，
把代入得，，
的坐標為，，
故答案為，．
【點睛】考查反比例函數圖象上點的坐標特征，三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線的性質，求出的長度是解題的關鍵．
三、解答題
17．如圖，為反比例函數（其中）圖像上的一點，在軸正半軸上有一點，．連接、，且．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）過點作，交反比例函數（其中）的圖像于點，連接交于點．
①求的長；
②求的值．
【答案】（1）；（2）①；②4
【分析】
（1）要求的值，只需要求出的坐標即可，所以過作軸于，由于，所以，利用勾股定理求出的長，得到的坐標，代入到反比例函數解析式中即可解決；
（2）①因為軸，所以的橫坐標為10，由于在反比例函數圖象上，所以可以求出的縱坐標，在直角三角形中，利用勾股定理可以求出的長度；②要求的值，由的長度已知，所以只需要求出或者的長度即可，因為是直線和直線的交點，所以求出直線和直線的解析式，聯立兩個函數解析式，求得的坐標，進而求出線段的長度，即可解決，此題也可以平行線構造相似來解決．
【詳解】
解：（1）過作于，如圖1，
，
，
，
的坐標為，
為反比例函數（其中圖象上的一點，
，
反比例函數的解析式為：；
（2）①，
的坐標為，
軸交反比例函數圖象于點，
的橫坐標為10，
令，則，
，
，
；
②設直線為，代入點的坐標得，
直線的解析式為，
設直線的解析式為，代入點的坐標得，
直線的解析式為，
聯立，
解得，
的坐標為，
，
，
．
【點睛】反比例函數綜合題，注意等腰三角形的性質和勾股定理在求線段時的作用，求線段比可以用直接解析法和相似來轉化．
18．制作一種產品，需先將材料加熱到達60℃后，再進行操作．設該材料溫度為y（℃），從加熱開始計算的時間為x（分鐘）．據了解，設該材料加熱時，溫度y與時間x完成一次函數關系；停止加熱進行操作時，溫度y與時間x成反比例關系（如圖所示）．已知該材料在操作加工前的溫度為15℃，加熱5分鐘后溫度達到60℃．
（1）分別求出將材料加熱和停止加熱進行操作時，y與x的函數關系式；（寫出自變量的取值范圍）
（2）根據工藝要求，當材料的溫度低于15℃時，須停止操作，那么從開始加熱到停止操作，共經歷了多少時間？
【答案】（1）,（＞）；（2）20分鐘．
【分析】
（1）確定兩個函數后，找到函數圖象經過的點的坐標，用待定系數法求得函數的解析式即可；
（2）分別令兩個函數的函數值為15，解得兩個x的值相減即可得到答案．
【詳解】
（1）設加熱過程中一次函數表達式為y=kx+b（k≠0），
該函數圖象經過點（0，15），（5，60），，
解得，
∴一次函數的表達式為 ，
設加熱停止后反比例函數表達式為（a≠0），該函數圖象經過點（5，60），即，
所以反比例函數表達式為
（2）當 y=15時，代入y=9x+15有x=0
當 y=15時，代入有x=20
20-0=20（分鐘）．
答：該材料進行特殊處理所用時間為20分鐘．
【點睛】考查反比例函數的應用
19．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+b(k≠0)與反比例函數(m≠0)的圖象交于點A(3，1)，且過點B(0，-2)．
(1)求反比例函數和一次函數的表達式．
(2)如果點P是x軸上位于直線AB右側的一點，且ΔABP的面積是3，求點P的坐標．
【答案】（1），y=x-2；（2）點P的坐標為(4，0).
【分析】
(1)利用待定系數法，確定二函數的解析式即可；
(2)運用圖形分割法，利用點P的坐標表示三角形的面積，求解即可.
【詳解】
（1）∵反比例函數（m≠0）的圖象過點A(3，1)，
∴，
∴ m=3，
∴反比例函數的表達式為．
∵一次函數y=kx+b的圖象過點A(3，1)和B(0，-2)，
∴解得
∴一次函數的表達式y=x-2．
(2)如圖，設一次函數y=x-2的圖象與x軸的交點為C，
令y=0，則x-2=0，x=2，
∴點C的坐標為(2，0)．
∵
∴
∴PC=2
∵點P是x軸上位于直線AB右側的一點，
∴點P的坐標為(4，0)．
【點睛】考查了待定系數法確定函數的解析式，交點的意義，用點的坐標表示三角形的面積，熟練使用待定系數法，靈活運用圖形的分割法表示三角形的面積是解題的關鍵.
20．小芳從家騎自行車去學校，所需時間()與騎車速度()之間的反比例函數關系如圖．
(1)小芳家與學校之間的距離是多少？
(2)寫出與的函數表達式；
(3)若小芳點分從家出發，預計到校時間不超過點分，請你用函數的性質說明小芳的騎車速度至少為多少？
【答案】(1)1400；(2)；(3)小芳的騎車速度至少為．
【分析】
（1）直接利用反比例函數圖象上點的坐標得出小芳家與學校之間的距離；
（2）利用待定系數法求出反比例函數解析式；
（3）利用y=8進而得出騎車的速度．
【詳解】
(1)小芳家與學校之間的距離是：()；
(2)設，當時，，
解得：，
故與的函數表達式為：；
(3)當時，，
，在第一象限內隨的增大而減小，
小芳的騎車速度至少為．
【點睛】考查了反比例函數的應用，正確得出函數關系式是解題關鍵．
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考點05反比例函數【暑假作業】
一、單選題
1．如圖，的頂點A是雙曲線上的動點，過點A作軸交雙曲線于點C，頂點B在y軸上，下列說法正確的是（ ）
A．的周長存在最大值 B．的面積存在最小值
C．的周長始終不變 D．的面積始終不變
2．如圖，雙曲線y＝（x＞0）經過矩形OABC的頂點B．雙曲線y＝（x＞0）交AB，BC于點E、F，且與矩形的對角線OB交于點D．連接EF，若OD：OB＝2：3．則△BEF的面積為（　?。?br/>A． B．2 C． D．3
3．為了響應“綠水青山就是金山銀山”的號召，建設生態文明，某工廠自2019年1月開始限產進行治污改造，其月利潤y（萬元）與月份x之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數圖象的一部分，治污完成后是一次函數圖象的一部分，下列選項錯誤的是（　　）
A．4月份的利潤為50萬元
B．治污改造完成后每月利潤比前一個月增加30萬元
C．治污改造完成前后共有3個月的利潤低于100萬元
D．8月份該廠利潤達到200萬元
4．在反比例函數y＝的每一條曲線上，y都隨著x的增大而減小，則k的值可以是（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
5．如圖，曲線表示溫度T（℃）與時間t（h）之間的函數關系，它是一個反比例函數的圖像的一支．當溫度T≤2℃時，時間t應（ ）
A．不小于h B．不大于h C．不小于h D．不大于h
6．下列函數關系中，隨的增大而減小的是（ ）
A．長方形的長一定時，其面積與寬的函數關系
B．高速公路上勻速行駛的汽車，其行駛的路程與行駛時間的函數關系
C．如圖1，在平面直角坐標系中，點、，的面積與點的橫坐標的函數關系
D．如圖2，我市某一天的氣溫（度）與時間（時）的函數關系
7．一次函數y=ax+b與反比例函數，其中ab＜0，a、b為常數，它們在同一坐標系中的圖象可以是（　?。?br/>A．B．C． D．
8．當k＞0，x＜0時，反比例函數y=的圖象在（　?。?br/>A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．某長方體的體積為100cm3，長方體的高h(單位：cm)與底面積S的函數關系式為( )
A．h＝ B．h＝ C．h＝100S D．h＝100
10．如圖，已知點C為反比例函數y=﹣上一點，過點C向坐標軸引垂線，垂足分別為A，B，那么四邊形AOBC的面積為（　?。?br/>A．﹣6 B．3 C．6 D．12
11．如圖，一次函數和反比例函數的圖象交于，，兩點，若，則的取值范圍是（ ）
A． B．或
C． D．或
12．已知：如圖在直角坐標系中，有菱形OABC，A點的坐標為（10，0），對角線OB、AC相交于D點，雙曲線 x 0經過D點，交AB于E點，且OB AC=160，則點E的坐標為（ ）．
A．（3，8） B．（12，） C．（4，8） D．（12，4）
13．如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像相交于，兩點，其橫坐標分別為2和6，則不等式的解集是____________．
14．若點A(m，2)在反比例函數y＝的圖象上，則當函數值y≥－2時，自變量x的取值范圍是____.
15．如圖，反比例函數y=的圖象經過 ABCD對角線的交點P，已知點A，C，D在坐標軸上，BD⊥DC， ABCD的面積為6，則k=_____．
16．已知：如圖，點、點是反比例函數圖象上的兩點，過點作軸于點．過點作軸于點，連接，交于點，連接當為中點且時，點的坐標為____________．
三、解答題
17．如圖，為反比例函數（其中）圖像上的一點，在軸正半軸上有一點，．連接、，且．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）過點作，交反比例函數（其中）的圖像于點，連接交于點．
①求的長；
②求的值．
18．制作一種產品，需先將材料加熱到達60℃后，再進行操作．設該材料溫度為y（℃），從加熱開始計算的時間為x（分鐘）．據了解，設該材料加熱時，溫度y與時間x完成一次函數關系；停止加熱進行操作時，溫度y與時間x成反比例關系（如圖所示）．已知該材料在操作加工前的溫度為15℃，加熱5分鐘后溫度達到60℃．
（1）分別求出將材料加熱和停止加熱進行操作時，y與x的函數關系式；（寫出自變量的取值范圍）
（2）根據工藝要求，當材料的溫度低于15℃時，須停止操作，那么從開始加熱到停止操作，共經歷了多少時間？
19．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+b(k≠0)與反比例函數(m≠0)的圖象交于點A(3，1)，且過點B(0，-2)．
(1)求反比例函數和一次函數的表達式．
(2)如果點P是x軸上位于直線AB右側的一點，且ΔABP的面積是3，求點P的坐標．
20．小芳從家騎自行車去學校，所需時間()與騎車速度()之間的反比例函數關系如圖．
(1)小芳家與學校之間的距離是多少？
(2)寫出與的函數表達式；
(3)若小芳點分從家出發，預計到校時間不超過點分，請你用函數的性質說明小芳的騎車速度至少為多少？
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