資源簡介

2024-2025學年高二下學期期中考數學試卷
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.
1．已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】，則.
故選:C.
2. 下列求導運算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【詳解】，故A錯誤；
，故B錯誤；
，故C正確；
，故D錯誤.
故選：C.
3. 已知向量，，若，則（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【詳解】因為，所以存在實數，使得，即，
所以，解得，，
所以.
故選：B.
4．若函數在上單調遞增，則實數的最大值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【詳解】，求導得，
由在上單調遞增，得，
又當，，則，
又時，在上單調遞增，
所以實數的最大值為2.
故選：D．
5. 如圖，在三棱柱中，G是與的交點，若，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由空間向量線性運算即可求解.
【詳解】因為為三棱柱，所以，
.
故選：.
6．若隨機變量服從二項分布，且，則（ ）
A．39 B．50 C．63 D．68
【答案】C
【詳解】隨機變量服從二項分布，且，
，
，
，
．
故選：C．
7. 如圖，在長方體中，，，P，M分別為線段BC，的中點，Q，N分別為線段，AD上的動點，若，則線段QN的長度的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【詳解】如圖，以D為原點，DA，DC，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
因為P，M分別為BC，的中點，所以，，
因為Q，N分別為線段，AD上的動點﹐
所以可設，，
所以，.
由，得，即，即，
由，
得，
當時，.
故選：D.
8．已知函數（）有三個不同的零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】令，可得，
構建，
若函數有三個不同零點，即與有三個不同交點，
因為，
令，解得；令，解得或；
可知在內單調遞減，在內單調遞增，
則有極小值，極大值，
且當趨近于，趨近于；當趨近于，趨近于0，
可得圖象，如圖所示：
由函數圖象可得.
故選：A.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 定義在上的可導函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A. -2是函數的極大值點，-1是函數的極小值點
B. 0是函數的極小值點
C. 函數的單調遞增區間是
D. 函數的單調遞減區間是
【答案】BC
【詳解】由題意可得，當時，，
當時，，
所以函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，
所以0是函數的極小值點，所以B，C正確，A，D錯誤.
故選：BC
10．下列說法中，正確的有（ ）
A．若隨機變量的數學期望，則
B．若隨機變量的方差，則
C．將一枚正方體骰子拋擲5次，記1點向上的次數為，則服從兩點分布
D．從7男3女共10名學生中隨機選取5名學生，記選出女生的人數為，則服從超幾何分布
【答案】ABD
【知識點】利用二項分布求分布列、均值的性質、方差的性質、超幾何分布的分布列
【分析】根據離散型隨機變量的均值與方差的性質公式，以及二項分布與超幾何分布的概念，可得答案.
【詳解】對于A，因為，所以，故A正確；
對于B，因為，所以，故B正確；
對于C，根據二項分布的概念可知隨機變量服從，故C錯誤；
對于D，根據超幾何分布的概念可知隨機變量服從超幾何分布，故D正確．
故選：ABD．
11．在棱長為2的正方體中為CD的中點，是的中點，是側面內的一動點（不包含四個頂點），則下列結論正確的是（ ）
A．點到平面的距離為 B．三棱錐體積是定值，定值為1
C．存在點，使得平面 D．存在點，使得且
【答案】ACD
【知識點】錐體體積的有關計算、空間位置關系的向量證明、點到平面距離的向量求法
【分析】以為原點建立空間直角坐標系，求出平面的法向量結合點到平面距離判斷A,應用等體積結合三棱錐體積公式計算判斷B,設點的坐標，應用線面平行的向量關系及線線垂直的向量關系分別計算求解判斷C,D.
【詳解】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，
，，
設平面的法向量，則，取，得，
所以點到平面的距離為，A選項正確；
，B選項錯誤；
設，，，則，，
則
設平面的法向量，則，取，得，
當，即時，平面,C選項正確；
因為，
則，，
則所以，當時滿足得且，D選項正確；
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．已知向量的夾角的余弦值為，則 .
【答案】
【知識點】求空間向量的數量積
【分析】先根據數量積的定義可得，結合數量積的運算律分析求解.
【詳解】由題意可得，
所以．
故答案為：.
13．已知，則 .
【答案】
【分析】利用對立事件的概率公式得到，結合全概率公式求出答案.
【詳解】，
故，
.
故答案為：
14．函數的最小值為______.
【答案】1
【分析】由解析式知定義域為，討論、、，并結合導數研究的單調性，即可求最小值.
【詳解】由題設知：定義域為，
∴當時，，此時單調遞減；
當時，，有，此時單調遞減；
當時，，有，此時單調遞增；
又在各分段的界點處連續，
∴綜上有：時，單調遞減，時，單調遞增；
∴
故答案為：1.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.
15．（13分）已知函數（），且．
(1)求的解析式；
(2)求函數的圖象在點處的切線方程．
【詳解】（1）由，得，
又，所以，解得，即．
（2）由（1），得，，
所以，即切點為，
又切線的斜率為，
所以函數的圖象在點處的切線方程為，
即．
16．（15分）從甲地到乙地要經過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為．
(1)記表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數，求隨機變量的分布列和數學期望；
(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率．
【詳解】（1）的所以可能取值有，
,
,
,
,
所以的分布列為：
0 1 2 3
故
（2）表示第一輛車遇到的紅燈個數，表示第二輛車遇到的紅燈個數，
則
17．（15分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，
(1)求證：平面；
(2)若與平面所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值.
【詳解】（1）因為四邊形是菱形，則為的中點，
且所以，
又，且平面，
所以平面.
（2）設菱形的邊長為，，，
由（1）知平面，∴與平面所成的角為，
得到，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
所以，
設平面的一個法向量，則，
即，令，則，所以，
設平面的法向量，則，
即，令，則，所以，
設平面與平面的夾角為，
所以
則平面與平面夾角的余弦值為.
18.（17分）某校團委開展知識競賽活動．現有兩組題目放在，兩個箱子中，箱中有6道選擇題和3道論述題，箱中有3道選擇題和2道論述題．參賽選手先在任一箱子中隨機選取一題，作答完后再在此箱子中選取第二題作答，答題結束后將這兩個題目放回原箱子．
(1)若同學甲從箱中抽取了2題，求第2題抽到論述題的概率；
(2)若同學乙從箱中抽取了2題，答題結束后誤將題目放回了箱，接著同學丙從箱中抽取題目作答，求丙取出的第一道題是選擇題的概率．
【詳解】（1）設事件表示“甲第次從箱中取到論述題”，，
則；
（2）設事件為“丙從箱中取出的第一道題是選擇題”，
事件為“乙從箱中取出2道選擇題”，
事件為“乙從箱中取出1道選擇題和1道論述題”，
事件為“乙從箱中取出2道論述題”，
則，，，
則
，
即丙取出的第一道題是選擇題的概率為.
19．（17分）已知函數．
(1)若，求的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點，，則．
【詳解】（1）由題意知函數的定義域為，
解得，解得，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
又，所以，解得，
所以的取值范圍為．
（2）不妨設，則由（）知，，
構造函數，
則，
所以函數在上單調遞增，
所以當時，，即當時，，
所以，
又在上單調遞減，
所以，即．2024-2025學年高二下學期期中考數學試卷
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，
只有一項是符合要求的.
1．已知，則（ ）
A． B． C． D．
2. 下列求導運算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知向量，，若，則（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4．若函數在上單調遞增，則實數的最大值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5. 如圖，在三棱柱中，G是與的交點，若，，，
則（ ）
A. B.
C. D.
6．若隨機變量服從二項分布，且，則（ ）
A．39 B．50 C．63 D．68
7. 如圖，在長方體中，，，P，M分別為線段BC，
的中點，Q，N分別為線段，AD上的動點，若，則線段QN的長度的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
8．已知函數（）有三個不同的零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 定義在上的可導函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
A. -2是函數的極大值點，-1是函數的極小值點
B. 0是函數的極小值點
C. 函數的單調遞增區間是
D. 函數的單調遞減區間是
10．下列說法中，正確的有（ ）
A．若隨機變量的數學期望，則
B．若隨機變量的方差，則
C．將一枚正方體骰子拋擲5次，記1點向上的次數為，則服從兩點分布
D．從7男3女共10名學生中隨機選取5名學生，記選出女生的人數為，則服從超幾何分布
11．在棱長為2的正方體中為CD的中點，是的中點，是側面內的一動點（不包含四個頂點），則下列結論正確的是（ ）
A．點到平面的距離為 B．三棱錐體積是定值，定值為1
C．存在點，使得平面 D．存在點，使得且
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．已知向量的夾角的余弦值為，則 .
13．已知，則 .
14．函數的最小值為______.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.
15．（13分）已知函數（），且．
(1)求的解析式；
(2)求函數的圖象在點處的切線方程．
16．（15分）從甲地到乙地要經過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口
遇到紅燈的概率分別為．
(1)記表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數，求隨機變量的分布列和數學期望；
(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率．
17．（15分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，
(1)求證：平面；
(2)若與平面所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值.
18.（17分）某校團委開展知識競賽活動．現有兩組題目放在，兩個箱子中，箱中有6道選擇題和3道論述題，箱中有3道選擇題和2道論述題．參賽選手先在任一箱子中隨機選取一題，作答完后再在此箱子中選取第二題作答，答題結束后將這兩個題目放回原箱子．
(1)若同學甲從箱中抽取了2題，求第2題抽到論述題的概率；
(2)若同學乙從箱中抽取了2題，答題結束后誤將題目放回了箱，接著同學丙從箱中抽取題目作答，求丙取出的第一道題是選擇題的概率．
19．（17分）已知函數．
(1)若，求的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點，，則．

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