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2024-2025學年度第二學期期末考試（練習卷）
高二 數學
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
已知函數 ，則
A． B． C． D．
甲、乙、丙三人參加學業水平測試，已知他們通過測試的概率分別為 ，，，且每人是否通過測試相互獨立，則這三人中至少有一人通過測試的概率為
A． B． C． D．
已知隨機變量 ，若 ，則
A． B． C． D．
如圖，在四面體 中，，，， 為 的中點， 為 的中點，則 可用向量 ，， 表示為
A． B． C． D．
已知函數 的圖象與 軸相切于點 ，則函數 的極小值為
A． B． C． D．
如圖，在正方體 中，棱長為 ，， 分別為 和 上的點，，則 與平面 的位置關系是
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能確定
從 ，，，，，，，， 中不放回地依次取 個數，事件 為“第一次取到的是奇數”， 為“第二次取到的是 的整數倍”，則
A． B． C． D．
已知函數 的圖象上有且僅有四個不同的點關于直線 的對稱點在 的圖象上，則實數 的取值范圍是
A． B． C． D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分.
已知函數 ，下列結論中正確的是
A． 的圖象關于 中心對稱 B． 的圖象關于 對稱
C． 的最大值為 D． 既是奇函數，又是周期函數
甲罐中有 個紅球， 個白球和 個黑球，乙罐中有 個紅球， 個白球和 個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以 ， 和 表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以 表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是
A． B．
C．事件 與事件 相互獨立 D． ，， 是兩兩互斥的事件
如圖，正方體 的棱長為 ，以下結論正確的是
A．異面直線 與 所成的角為
B．直線 與 垂直
C．直線 與 平行
D．三棱錐 的體積為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
已知隨機變量 服從正態分布 ，若 ，則 ．
設函數 ，若 ，，則 ，， 的大小關系是 ．
為推動乒乓球運動的發展，某乒乓球比賽允許不同協會的運動員組隊參加，現有來自甲協會的運動員 名，其中種子選手 名；乙協會的運動員 名，其中種子選手 名．從這 名運動員中隨機選擇 人參加比賽，則事件“選出的 人中恰有 名種子選手，且這 名種子選手來自同一個協會”的概率為 ，設隨機變量 為“選出的 人中種子選手的人數”，則 的數學期望為 ．
解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
（13分）如圖，在四棱錐 中，底面 是邊長為 的正方形，側棱 的長為 ，且 與 ， 的夾角都等于 ， 是 的中點，設 ，，．
(1) 試用 ，， 表示向量 ；
(2) 求 的長．
（15分）小李下班后駕車回家的路線有兩條．路線 經過三個紅綠燈路口，每個路口遇到紅燈的概率都是 ；路線 經過兩個紅綠燈路口，第一個路口遇到紅燈的概率是 ，第二個路口遇到紅燈的概率是 ．假設兩條路線全程綠燈時的駕車回家時長相同，且每個紅綠燈路口是否遇到紅燈相互獨立．
(1) 若小李下班后選擇路線 駕車回家，求至少遇到一個紅燈的概率．
(2) 假設每遇到一個紅燈駕車回家時長就會增加 ，為使小李下班后駕車回家時長的累計增加時間（單位：）的期望最小，小李應選擇哪條路線？請說明理由．
（15分）已知函數 在 處有極值 ．
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）證明：．
（17分）如圖， 且 ，， 且 ， 且 ，，．
(1) 若 為 的中點， 為 的中點，求證：；
(2) 求二面角 的正弦值；
(3) 若點 在線段 上，且直線 與平面 所成的角為 ，求線段 的長．
（17分）某游戲公司對今年新開發的一些游戲進行測評，為了了解玩家對游戲的體驗感，研究人員隨機調查了 名玩家，對他們的游戲體驗感進行測評，并將所得數據統計如圖所示，其中 ．
(1) 求這 名玩家測評分數的平均數；
(2) 由于該公司近年來生產的游戲體驗感較差，公司計劃聘請 位游戲專家對游戲進行初測，如果 人中有 人或 人認為游戲需要改進，則公司將回收該款游戲進行改進；若 人中僅 人認為游戲需要改進，則公司將另外聘請 位專家二測，二測時， 人中至少有 人認為游戲需要改進的話，公司將對該款游戲進行回收改進．已知該公司每款游戲被每位專家認為需要改進的概率為 ，且每款游戲之間改進與否相互獨立．
①對該公司的任意一款游戲進行檢測，求該款游戲需要改進的概率；
②每款游戲聘請專家測試的費用均為 元/人，今年所有游戲的研發總費用為 萬元，現對該公司今年研發的 款游戲都進行檢測，假設公司的預算為 萬元，判斷這 款游戲所需的最高費用是否超過預算，并通過計算說明．參考答案
一、單項選擇題（共8題，共40分）
1. 【答案】C
2. 【答案】D
【解析】所求事件的對立事件為“三人均未通過測試”，概率為 ，
故至少一人通過測試的概率為 ．
3. 【答案】A
【解析】由已知 ，
所以 ，
故選：A．
4. 【答案】B
5. 【答案】A
【解析】 ，由題知 ，又 ，聯立兩個方程，解得 ，，
所以 ，，令 ，解得 或 ，經檢驗，知 是函數的極小值點，
所以 ．
6. 【答案】B
【解析】因為正方體棱長為 ，，
所以 ，，
所以
又因為 是平面 的 法向量，
且 ，
所以 ，
所以 ．
7. 【答案】B
8. 【答案】A
【解析】可求得直線 關于直線 的對稱直線為 ，
當 時，，，
當 時，，則當 時，， 單減，當 時，， 單增；
當 時，，，
當 ，，當 時， 單減，當 時， 單增；
根據題意畫出函數大致圖象，如圖：
當 與 相切時，得 ，解得 ；
當 與 相切時，滿足 解得 ，，
結合圖象可知 ，即 ，．
二、多項選擇題（共3題，共18分）
9. 【答案】A；B；D
【解析】對于A，因為 ，
，
所以 ，
可得 的圖象關于 中心對稱，故A正確；
對于B，因為 ，
，
所以 ，
可得 的圖象關于直線 對稱，故B正確；
對于C，化簡得 ，
令 ，，，
因為 的導數 ，
所以當 ， 時，，
函數 為減函數；
當 時，，函數 為增函數．
因此函數 的最大值為 或 ，
結合 ，
可得 的最大值為 ．
由此可得 的最大值為 而不是 ，故C不正確；
對于D，因為 ，所以 是奇函數．
因為 ，
所以 為函數 的一個周期，得 為周期函數．
可得 既是奇函數，又是周期函數，得D正確．
10. 【答案】B；D
【解析】易見 ，， 是兩兩互斥的事件，
．
11. 【答案】A；B；D
【解析】如圖所示，建立空間直角坐標系．
A中，，，，，
所以 ，，
所以 ，
所以異面直線 與 所成的角為 ．
B中，，，
，
所以直線 與 垂直．
C中，，
因為 ，
所以直線 與 垂直，不平行；
D中，三棱錐 的體積 ．
綜上可知，只有C不正確．
故選ABD．
三、填空題（共3題，共15分）
12. 【答案】
【解析】因為隨機變量 服從正態分布 ，
所以正態分布密度曲線關于直線 對稱．
因為 ，
所以 ．
所以 ．
13. 【答案】
14. 【答案】 ；
【解析】記“選出的 人中恰有 名種子選手，且這 名種子選手來自同一個協會”為事件 ，由已知，
有 ，
所以事件 發生的概率為 ．
隨機變量 的所有可能取值為 ，，，．
．
所以隨機變量 的分布列為：隨機變量 的數學期望 ．
四、解答題（共5題，共77分）
15. 【答案】
(1) 因為 是 的中點，
所以 ．
因為 ，，
所以 ，
結合 ，，，
得 ．
(2) 因為 ，，
所以 ，．
因為 ，，
所以 ，．
由（）知 ，
所以
所以 ，即 的長等于 ．
16. 【答案】
(1) 設路線 遇到紅燈的個數的隨機變量為 ，則 ，
所以至少遇到一個紅燈的事件為 ，
由對立事件概率公式，得 ，
所以若小李下班后選擇路線 駕車回家，至少遇到一個紅燈的概率為 ．
(2) 設路線 累計增加時間的隨機變量為 ，則 ，
所以 ，
設路線 第 個路口遇到紅燈為事件 ，則 ，，
設路線 累計增加時間的隨機變量為 ，則 的所有可能取值為 ，，，則
，
，
，
所以 ，
因為 ，
所以為使小李下班后駕車回家時長的累計增加時間的期望最小，小李應選擇路線 ．
17. 【答案】（Ⅰ），，
由已知可得， 即
所以
經檢驗符合題意，
所以
（Ⅱ）原不等式轉化為 ，
設 ，那么 ，
令 ，解得 ，
當 變化時，， 的變化情況如表所示：所以，當 時， 取得最小值，
所以 ，即 ，
所以 ．
18. 【答案】
(1) 依題意，可以建立以 為原點，分別以 ，， 的方向為 軸， 軸， 軸的正方向的空間直角坐標系（如圖），
可得 ，，，，，，，，．
依題意 ，．設 為平面 的法向量，則 即
不妨令 ，可得 ．
又 ，可得 ，
又因為直線 ，
所以 ．
(2) 依題意，可得 ，，．
設 為平面 的法向量，則 即
不妨令 ，可得 ，
設 為平面 的法向量，則 即
不妨令 ，可得 ．
因此有 ，于是 ．
所以，二面角 的正弦值為 ．
(3) 設線段 的長為 ，則點 的坐標為 ，可得 ．
易知， 為平面 的一個法向量，故 ，
由題意，可得 ，解得 ．
所以線段 的長為 ．
19. 【答案】
(1) 依題意 ，
故 ，
而 ，
聯立兩式解得 ，，
所求平均數為 ．
(2) ①因為一款游戲初測被認定需要改進的概率為 ，
一款游戲二測被認定需要改進的概率為 ，
所以某款游戲被認定需要改進的概率為
②設每款游戲的測評費用為 元，則 的可能取值為 ，，
，
，
故 ，
令 ，，
．
當 時，， 在 上單調遞增，
當 時，， 在 上單調遞減，
所以 的最大值為 ，
所以實施此方案，最高費用為 ，
故所需的最高費用將超過預算．

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